Apostila de Estatistica Geral e Aplicada
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Apostila de Estatistica Geral e Aplicada


DisciplinaIntrodução à Estatística251 materiais2.032 seguidores
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os parâmetros de uma distribuição normal 
pi (pi) = 3,1415... (constante) 
e = 2,71828... (base dos logaritmos naturais) 
O gráfico de y é do tipo: 
 
 
Características principais da curva normal 
 
 
 
1. A curva tem um ponto de máximo no eixo dos y (eixo vertical), que corresponde à média, no eixo dos x (eixo 
horizontal). 
2. É simétrica em relação à média. 
3. Tem dois pontos de inflexão (isto é, pontos nos quais a curva muda de concavidade), que correspondem a 
M ± \u3c3. 
4. É assintótica em relação ao eixo dos x (eixo horizontal), isto é, a curva não intercepta o eixo dos x. 
5. A curva prolonga-se no eixo dos x de \u2013 \u221e a + \u221e. 
6. A área total sob a curva normal é 100%. 
7. A curva normal tem a forma de \u201csino\u201d. 
A área total sob a curva a curva normal representa 100% da probabilidade associada à variável. Assim, a 
área sob a curva normal, no intervalo [a, b], corresponde à probabilidade de uma variável x estar compreendida 
entre a e b: 
 
 
 
 116
 
 
O C o e f i c i e n t e z 
 
 
 
 
Quando a variável x é expressa em termos da unidade reduzida: 
\u3c3
Mx
z
\u2212
= , a equação anterior fica: 
2
2
1
2
1 z
ey
\u2212
\u22c5=
pi\u3c3
 
 
 
Temos, então, a distribuição normal padronizada, com média 0 (zero), pois a média está à distância 0 (zero) 
de si mesma. 
 
Observação: Nos cálculos de probabilidades através da distribuição normal, usamos a média e o desvio padrão 
da população, mas, o mais comum é conhecer somente a média e o desvio padrão da amostra. É por isso que 
as amostras têm que ser obtidas por técnicas de amostragem confiáveis para que sejam consideradas 
significativas e representem bem a população. 
 
A Tabela 1 indica as proporções de área para vários intervalos de 
valores para a distribuição de probabilidade normal padronizada, com a 
fronteira inferior começando sempre na média. Essa tabela elimina o uso 
da equação normal. 
 
 
 
 
 
Como usar a Tabela 1 (Tabela z de GAUSS) 
 
 
 
Exemplos: Na Tabela 1, encontre a probabilidade correspondente ao seguinte valor do coeficiente z: 
 
a) z = 1,28 
 
Solução: A figura abaixo mostra a área de probabilidade sob a curva normal, correspondente ao valor de z: 
 
 Tabela 1 
 
 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
 0,0 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 0,1 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 0,2 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 
 
 
 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 
 
 
 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 1,1 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 1,2 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 0,3997 
 1,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na 1ª coluna da tabela, descendo até a linha 1,2, e percorrendo-a, nessa direção, até a coluna 0,08, 
encontraremos o valor 0,3997. Portanto, a área de probabilidade correspondente a z = 1,28 é 0,3997 (39,97%), 
que representa a região localizada à direita da linha da média no gráfico da curva normal, conforme mostra a 
figura. 
 
 
 117
 
 
b) z = \u2013 0,67 
 
Solução: 
 
 
 
O valor negativo de z nos indica a área se localiza à esquerda da linha da média no gráfico da curva normal. 
Como a curva normal é simétrica em relação à linha da média, a Tabela 1, fornece apenas os valores positivos 
(isto é, os valores que estão à direita da linha da média). 
 
Assim sendo, basta procurar na Tabela 1 o valor de z = + 0,67, cuja área será IGUAL à área de z = \u2013 0,67, e 
que corresponde a 0,2486 (24,86%). 
 
 Tabela 1 
 
 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
 0,0 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 0,1 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 0,2 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 0,3 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 0,4 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 0,5 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 0,6 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 \u2192\u2192\u2192\u2192 0,2486 
 0,7 
 0,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S (valor de z na Tabela 1) 
 
 
 
1. Encontre a \ufffd\ufffdrea de probabilidade (Tabela 1) para os seguintes valores do coeficiente z: 
a) z = 2,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) z = \u2013 0,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Encontre o valor de z (Tabela 1) correspondente às seguintes áreas de probabilidade: 
a) 38,88% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 49,5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. a) 0,4838 (48,38%); b) 0,2580 (25,80%) 
2. a) z = ± 1,22; b) z = ± 2,58 
 
 
 118
 
 
A PL I C A Ç Õ E S (distribuição normal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. Admitindo-se 
que os pesos estão distribuídos normalmente, determine quantos estudantes pesam: 
 
 
a) Entre 60 e 77,5 kg. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
As medidas dos pesos x1 = 60 e x2 = 77,5 correspondem às seguintes unidades reduzidas (z): 
 
 
 
07,2066,2
5,7
5,7560
1
1
1 \u2212=\u21d2\u2212=
\u2212
=
\u2212
= z
mx
z K
\u3c3
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,4808 (48,08%) 
 
 
27,0266,0
5,7
5,755,77
2
2
2 =\u21d2=
\u2212
=
\u2212
= z
mx
z K
\u3c3
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,1064 (10,64%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,4808 + 0,1064 = 0,5872 (58,72%), ou seja, esperamos que 58,72% dos 
estudantes tenham um peso compreendido entre 60 e 77,5 kg. 
 
 
 
Portanto, o número esperado de estudantes desse grupo é: 500x0,5872 = 293,6 \u2245 294 estudantes. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Entre 81,2e 86 kg. 
 
 
Solução: 
 
 
As medidas dos pesos x1 = 81,2 e x2 = 86 correspondem às seguintes unidades reduzidas (z): 
 
 
 
76,076,0
5,7
5,752,81
1
1
1 =\u21d2=
\u2212
=
\u2212
= z
mx
z
\u3c3
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,2764 (27,64%) 
 
 
40,140,1
5,7
5,7586
2
2
2 =\u21d2=
\u2212
=
\u2212
= z
mx
z
\u3c3
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,4192 (41,92%) 
 
 
 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,4192 \u2013 0,2764 = 0,1428 (14,28%). 
 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,1428 = 71,4 \u2245 71 estudantes com peso entre 81,2 e 86 kg. 
 
 
 119
 
 
c) Entre 68,2 e 72,6 kg. 
 
 
Solução: 
 
As medidas dos pesos x1 = 68,2 e x2 = 72,6 correspondem às seguintes unidades reduzidas (z): 
 
97,09733,0
5,7
5,752,68
1
1
1 \u2212=\u21d2\u2212=
\u2212
=
\u2212
= z
mx
z K
\u3c3
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,3340 
 
39,03866,0
5,7
5,756,72
2
2
2 \u2212=\u21d2\u2212=
\u2212
=
\u2212
= z
mx
z K
\u3c3
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,1517 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,3340 \u2013 0,1517 = 0,1823 (18,23%). 
 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,1823 = 91,15 \u2245 91 estudantes com peso entre 68,2 e 72,6 kg. 
 
 
 
 
 
d) Acima de 83,7 kg. 
 
 
Solução: 
 
 
A medida do peso x = 83,7 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): 
 
 
09,10933,1
5,7
5,757,83
=\u21d2=
\u2212
=
\u2212
= z
mx
z K
\u3c3
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,3621 
 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) \u2013 0,3621 = 0,1379. 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,1379 = 68,95 \u2245 69 estudantes com peso acima de 83,7 kg. 
 
 
 
 
e) Acima de 69 kg. 
 
 
Solução: 
 
A medida do peso x = 69 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): 
 
87,08666,0
5,7
5,7569
\u2212=\u21d2\u2212=
\u2212
=
\u2212
= z
mx
z K
\u3c3
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,3078 
 
 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) + 0,3078 = 0,8078. 
 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,8078 = 403,9 \u2245 404 estudantes com peso acima de 69 kg. 
 
 
 120
 
 
f) Inferior a 85,6 kg. 
 
Solução: