Apostila de Estatistica Geral e Aplicada
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Apostila de Estatistica Geral e Aplicada


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E X E M P L O S (tamanho da amostra) 
 
 
 
1. O engenheiro de controle e automação, responsável pela produção de uma indústria, precisa determinar o 
tempo médio gasto para perfurar cinco orifícios em uma placa de metal. Por experiência prévia, pode-se 
admitir um desvio padrão em torno de 40 s (segundos). Com um erro de estimação de 14 s e uma confiança 
de 95%, determine o tamanho da amostra necessário para estimar o tempo médio amostral para fazer as 
perfurações necessárias nessas placas. 
 
Solução: Pela fórmula (VIII) 
2
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u22c5
=
E
z
n
\u3c3
, temos:
 
\u21d2=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u22c5
= 36,31
14
4096,1 2
n
 
 n = 32 placas .. 
 
 
 
2. Com os dados históricos sobre a temperatura do pasteurizador de um laticínio, sabe-se que a variância é de 
aproximadamente 1,8 (°C)². Planeja-se fazer uma amostragem para avaliar o valor médio da temperatura do 
pasteurizador. Suponha que as observações sejam feitas sob as mesmas condições e de forma 
independente. Qual deve ser o tamanho de amostra, para garantir um erro máximo de 0,3°C, com um nível 
de 90% de confiança? 
 
Solução: Pela fórmula (VIII) 
2
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u22c5
=
E
z
n
\u3c3
, temos: \u21d2=
\u22c5
=
\u22c5
= 45,54)3,0(
8,1)65,1(
2
2
2
22
E
z
n
\u3c3
 n = 55 observações . 
 
 
 
3. Determine o número de observações necessário para estimar o tempo médio de serviço de atendimento a 
chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro máximo deve ser de 35 minutos para um nível de confiança 
de 95%, sabendo-se que o tempo de atendimento tem um desvio padrão de 1 hora. É necessário supor a 
normalidade da população? 
 
Solução: Pela fórmula (VIII), temos: 
2
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u22c5
=
E
z
n
\u3c3
, temos:
 
\u21d2=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u22c5
= 2896,11
35
6096,1 2
n
 n = 12 observações .. 
 
 
 
Importante: Como n = 12 \u2264 30, é necessário supor que a população tenha distribuição normal. 
 
 
 147
 
 
E X E R C Í C I O S (tamanho da amostra) 
 
 
 
 
1. Um analista do departamento pessoal deseja estimar o número médio de horas de treinamento anual para os 
chefes de uma divisão de uma grande companhia, com um fator de erro de 3 horas (para mais ou para 
menos) e com \u221d\u221d\u221d\u221d% de confiança. Baseado em dados de outras divisões, ele estima o desvio padrão das 
horas de treinamento em \u3c3 = 20 horas. Determine o tamanho mínimo necessário da amostra quando: 
a) \u221d\u221d\u221d\u221d = 98% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) \u221d\u221d\u221d\u221d = 92% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) \u221d\u221d\u221d\u221d = 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o tamanho da amostra de virabrequins de certo tipo de motor necessário para estimar a média de 
uma dimensão crítica, com um erro máximo de 0,020 mm e uma confiança de 95%, sabendo que o desvio 
padrão do processo de fabricação é igual a 0,060 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um engenheiro industrial está interessado em estimar o tempo médio necessário para se montar uma placa 
de circuito impresso, com uma confiança de 96% e um erro máximo de 0,15 minuto. Qual deve ser o 
tamanho da amostra, sabendo que o desvio padrão do tempo de montagem é de 0,40 minuto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) 242 chefes; b) 138 chefes; c) 121 chefes 
2. 35 virabrequins 
3. 31 placas 
 
 
 148
 
 
TAMANHO DA AMOSTRA PARA POPULAÇÃO FINITA 
 
 
 
 
 
 
 
Quando desejamos obter uma amostra de uma população finita para estimar uma média populacional, o 
procedimento é idêntico ao utilizado para encontrar a fórmula anterior. 
 
 
 
Da fórmula (VI) 
1\u2212
\u2212
\u22c5\u22c5=
N
nN
n
zE \u3c3 , obtemos 
1\u2212
\u2212
=
\u22c5
\u22c5
N
nN
z
En
\u3c3
. Elevando ao quadrado ambos os membros 
 
 
dessa igualdade, temos: 
 
 
 
\u21d2\u22c5\u22c5\u2212\u22c5\u22c5=\u22c5\u2212\u22c5\u21d2\u22c5\u22c5\u2212=\u2212\u22c5\u22c5\u21d2
\u2212
\u2212
=
\u22c5
\u22c5 222
²²)1(²²)()1(²
1²²
²
\u3c3\u3c3\u3c3
\u3c3
znzNENnznNNEn
N
nN
z
En
 
 
 
 
222222 ])1[(²²²²)1( \u3c3\u3c3\u3c3\u3c3 \u22c5\u22c5=\u22c5\u22c5+\u22c5\u2212\u22c5\u21d2\u22c5\u22c5=\u22c5\u22c5+\u22c5\u2212\u22c5\u21d2 zNznENnzNznENn 
 
 
 
 
 
Logo, 
²²²)1(
²²
\u3c3
\u3c3
\u22c5+\u22c5\u2212
\u22c5\u22c5
=
zEN
zN
n
 (IX) 
 
 
 
onde, 
 
 
N = tamanho da população 
 
n = tamanho da amostra 
 
z = grau de confiança desejado 
 
\u3c3 = desvio padrão populacional 
 
E = erro de estimação pretendido ou tolerável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O (tamanho da amostra para população finita) 
 
 
 
 
 
 
 
Ao Porto de Santos chega um caminhão com 5.000 peças para exportação. Dado que o desvio padrão do 
comprimento dessas peças é de 3 mm, e sabendo que o comprador devolve os lotes fora das especificações, 
determine o tamanho mínimo da amostra de peças desse caminhão que se deve inspecionar para que, com uma 
confiança de 95%, se possa conhecer o comprimento médio dessas peças, com um erro inferior a 1 mm. 
 
 
Solução: 
 
 
Dados: 
 
 
N = 5.000 (tamanho da população ) 
 
z = 1,96 (grau de 95% de confiança) 
 
\u3c3 = 3 mm (desvio padrão populacional) 
 
E = 1 mm (erro de estimação pretendido) 
 
 
 
Pela fórmula (IX) 
²²²)1(
²²
\u3c3
\u3c3
\u22c5+\u22c5\u2212
\u22c5\u22c5
=
zEN
zN
n , temos: 
 
 
 
 
 
\u21d2
\u22c5+\u22c5\u2212
\u22c5\u22c5
=
²3)²96,1(²1)15000(
²3)²96,1(5000
n \u21d2==
+
34,34
5744,5033
172872
5744,344999
172872
 n = 35 peças . 
 
 
 149
 
 
2º Caso: Estimativa da média quando o desvio padrão populacional é DESCONHECIDO 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
Neste caso, que é o mais comum, substituímos o desvio padrão populacional \u3c3\u3c3\u3c3\u3c3 pelo desvio padrão amostral 
s, que é uma boa aproximação do verdadeiro valor. 
 
 
Pelo Teorema do Limite Central (ver enunciado abaixo) temos que, quando n > 30, a distribuição das médias 
é aproximadamente normal (os coeficientes z são dados pela Tabela 1). Porém, se n \u2264\u2264\u2264\u2264 30 (n = número de 
elementos da amostra), devemos usar a distribuição t (de Student), que é o correto para o desvio padrão 
amostral s (os coeficientes t são dados pela Tabela 2). 
 
 
 
NOTA: Student é o pseudônimo de William S. Gosset (1876\u20131937), funcionário da Cervejaria irlandesa 
Guinness, no início do século XX, criador da distribuição t. 
 
 
 
 
A forma da distribuição t é muito parecida com a normal. A principal diferença entre as duas distribuições 
é que a distribuição t tem área maior nas caudas (ver figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T e o r e m a d o L i m i t e C e n t r a l 
 
 
 
À medida que se aumenta o tamanho da amostra, a distribuição de amostragem da média se aproxima da 
forma da distribuição normal, qualquer que seja a forma da distribuição da população. Na prática, a distribuição 
de amostragem da média pode ser considerada como aproximadamente normal sempre que o tamanho da 
amostra for n > 30. 
 
 
 
 
 
 
 
Como usar a Tabela 2 (Tabela do coeficiente t) 
 
 
 
Para encontrar os valores de t na Tabela 2 (Tabela t de Student), devemos conhecer duas coisas: 
 
 
1ª) o nível de confiança desejado (\u221d\u221d\u221d\u221d%); 
 
 
2ª) o número de graus de liberdade (gl = n \u2013 1). 
 
 
 150
 
 
E X E M P L O S (valor de t na Tabela 2) 
 
 
 
 
 
 
Conhecendo-se apenas o desvio padrão amostral (s), determinar os valores críticos de t na Tabela 2 quando: 
 
 
 
 
1. n = 16 (tamanho da amostra) e 90% de confiança. 
 
 
 
 
Solução: