Apostila de Estatistica Geral e Aplicada
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Apostila de Estatistica Geral e Aplicada


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Linha da tabela: n \u2013 1 = 16 \u2013 1 = 15 graus de liberdade (ou seja, linha 15 da tabela 2). 
 
 
 
 
Coluna da tabela: Como a confiança é de 90%, então a metade da diferença entre 100% e 90% é igual a 
5%, e que corresponde à área no extremo de cada cauda da curva, logo devemos utilizar a coluna 0,05 (5%) da 
Tabela 2. 
 
 
 
Tabela 2 
 
 
Graus 
liberd. Área na cauda superior 
 0,10 0,05 0,025 
1 \u2193\u2193\u2193\u2193 
2 \u2193\u2193\u2193\u2193 
3 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 \u2193\u2193\u2193\u2193 
 \u2193\u2193\u2193\u2193 
14 \u2193\u2193\u2193\u2193 
15 \u2192\u2192\u2192\u2192 1,753 
16 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a área de probabilidade de 5% situada no extremo de cada cauda da curva de probabilidade, 
corresponde aos seguintes valores críticos: t = ± 1,753 . 
 
 
 
 
Obs.: A área de probabilidade pode localizar-se à esquerda (o valor de t é negativo) ou à direita (o valor de t é 
positivo), de acordo com o nosso interesse. 
 
 
 
 
 
2. n = 10 (tamanho da amostra) e 95% de confiança. 
 
 
Solução: 
 
 
 
Linha da tabela: n \u2013 1 = 10 \u2013 1 = 9 graus de liberdade (ou seja, linha 9 da tabela 2). 
 
 
 
Coluna da tabela: é a coluna 0,025 (correspondente a 2,5%), para uma confiança de 95% . 
 
 
 
Portanto, a área de probabilidade de 2,5% situada no extremo de cada cauda da curva de probabilidade, 
corresponde aos seguintes valores críticos: t = ± 2,262 . 
 
 
 151
 
 
E X E R C Í C I O (valor de t na Tabela 2) 
 
 
 
 
Encontre os valores críticos de t (Tabela 2) para a estimativa da média populacional, sendo conhecido o 
desvio padrão amostral (s), quando: 
 
a) n = 25 e 90% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) n = 8 e 95% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) n = 19 e 80% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) n = 13 e 99,5% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) n = 16 e 99% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) n = 10 e 98% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) t = ± 1,711; b) t = ± 2,365; c) t = ± 1,330; d) t = ± 3,428; e) t = ± 2,947; f) t = ± 2,821 
 
 
 152
 
 
Estimativa da média populacional 
 
(quando o desvio padrão populacional é DESCONHECIDO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª fórmula: A estimação da verdadeira média populacional M, quando o tamanho da amostra é n \u2264\u2264\u2264\u2264 30, a 
média aritmética amostral é m, o desvio padrão populacional \u3c3 é desconhecido (isto é, é conhecido o desvio 
padrão amostral s) e a população é normalmente distribuída, devemos usar a Tabela 2 (coeficiente t). A 
estimação da média será dada por: 
 
 
 
 
 
 
n
s
tm \u22c5±
 (X) (quando o desvio padrão populacional é desconhecido e n \u2264\u2264\u2264\u2264 30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O S (intervalo de confiança usando a Tabela 2) 
 
 
 
 
 
1. Uma amostra aleatória constituída de 12 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou 
uma média de 7,38 kg e um desvio padrão de 1,24 kg. Determine um intervalo de 95% de confiança para a 
verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio. 
 
 
Solução: 
 
 
 
Como n \u2264\u2264\u2264\u2264 30 e o desvio padrão populacional (\u3c3 ) é desconhecido, isto é, é conhecido o desvio padrão 
amostral (s), devemos utilizar a Tabela 2 (coeficiente t). 
 
 
Pela fórmula (X) 
n
s
tm \u22c5± , temos: \u21d2±\u21d2\u22c5± 788,038,7
12
24,1201,238,7 de 6,592 a 8,168 kg. 
 
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio 
de algodão é de 6,592 a 8,168 kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma fábrica de lâmpadas testou uma amostra aleatória de 8 lâmpadas, as quais apresentaram um vida útil 
média de 1.120 horas, com o desvio padrão de 125 horas. Determine um intervalo de 90% de confiança para 
a verdadeira vida útil média dessas lâmpadas. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
Pela fórmula (X) 
n
s
tm \u22c5± , temos: \u21d2±\u21d2\u22c5± 7,83120.1
8
125895,1120.1 de 1.036,3 a 1.203,7 horas. 
 
 
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 90% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as lâmpadas 
desse tipo produzidas por essa fábrica é de 1.036,3 e 1.203,7 horas. 
 
 
 
 
 
 153
 
 
 
2ª fórmula: Se o desvio padrão populacional é desconhecido (isto é, é conhecido o desvio padrão 
amostral s) e o tamanho da amostra é n > 30, então o valor de t (Tabela 2) pode ser aproximado por z (Tabela 1). 
 
Por exemplo, para o grau de confiança de 95%, na Tabela 1 encontramos z = 1,96 e, na Tabela 2, 
encontramos t = 1,96 (para gl = \u221e\u221e\u221e\u221e). 
 
 
Neste caso, devemos utilizar a seguinte fórmula para estimar a média populacional: 
 
 
 
 
 
n
s
zm \u22c5±
 
 (XI) (quando o desvio padrão populacional é desconhecido e n > 30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O (Intervalo de confiança usando a Tabela 1) 
 
 
 
 
 
 
Uma amostra aleatória constituída de 40 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou 
uma média de 7,38 kg e um desvio padrão de 1,24 kg. Determine um intervalo de confiança de 95% para a 
verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio. 
 
Solução: 
 
 
Como n > 30, então devemos utilizar a Tabela 1 (coeficiente z). 
 
Pela fórmula (XI) 
n
s
zm \u22c5± , temos: \u21d2±\u21d2\u22c5± 384,038,7
40
24,196,138,7 de 6,996 a 7,764 kg 
 
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio 
de algodão é de 6,996 a 7,764 kg. 
 
 
 
 
 
 
Estimativa da média populacional utilizando o fator de correção finita 
 
(quando o desvio padrão populacional é DESCONHECIDO) 
 
 
 
 
 
 
Vimos anteriormente que quando a população (de tamanho N) é finita e a amostra (de tamanho n) é 
superior a 5% da população, devemos usar o fator de correção finita (fórmula IV). 
Assim, as fórmulas (X) e (XI) ficarão, respectivamente: 
 
 
 
 
1\u2212
\u2212
\u22c5\u22c5±
N
nN
n
s
tm (XII) 
(utilizar quando o desvio padrão populacional é 
desconhecido, n \u2264\u2264\u2264\u2264 30, a população é finita e n é 
superior a 5% da população) 
 
 
 
 
 
1\u2212
\u2212
\u22c5\u22c5±
N
nN
n
s
zm (XIII) 
(utilizar quando o desvio padrão populacional é 
desconhecido, n > 30, a população é finita e n é 
superior a 5% da população) 
 
 
 
 
Obs.: Nas fórmulas do erro de estimação da média e do erro padrão da média, também deverá ser 
utilizado o fator de correção. 
 
 
 
 
 154
 
 
E X E M P L O S (intervalo de confiança e fator de correção) 
 
 
 
 
O setor de compras de uma empresa recebeu um lote completo de 400 unidades de determinado tipo de 
peça. Para estimar o peso médio de todas as peças adquiridas, foi tomada uma amostra de n unidades, a qual 
apresentou um peso médio de 243 g, com um desvio padrão de 16 g. Supondo que a distribuição desses pesos é 
aproximadamente normal, construir um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro peso médio 
populacional, sendo: 
a) n = 25 
Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é %5%25,6100
400
25100 >=\u22c5=\u22c5
N
n
, então 
devemos usar o fator de correção finita. 
 
E como n = 25, ou, seja, n \u2264\u2264\u2264\u2264 30, e o desvio padrão é o amostral