Apostila de Estatistica Geral e Aplicada
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Apostila de Estatistica Geral e Aplicada


DisciplinaIntrodução à Estatística251 materiais2.033 seguidores
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u n i l a t e r a l (o u u n i c a u d a l) à d i r e i t a: 
 
 
Quando a variação está concentrada nos valores acima do esperado, ou seja, quando a região crítica (ou 
região de rejeição da hipótese nula) está no lado direito da curva de distribuição, como mostra a figura (ver 
tabela z para encontrar o valor crítico): 
 
 
 
 
V a l o r C r í t i c o d o T e s t e U n i l a t e r a l à D i r e i t a 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra o valor crítico de z (zcrít = + 1,65), para o teste unilateral à direita e uma confiança 
de 95%: 
 
 
 
 
 
E x e m p l o s (t e s t e s u n i l a t e r a i s à d i r e i t a) 
 
 
a) Conteúdo máximo de gordura no leite. 
 
b) Número de peças defeituosas de certa remessa. 
 
c) Poluição atmosférica ocasionada por certa fábrica. 
 
d) Radiação emitida por usinas nucleares. 
 
 
 
Observação: Em todas as nossas aplicações, quando o tamanho da amostra é n \u2264 30, estaremos admitindo que 
a referida amostra provém de uma população que tenha aproximadamente a forma de uma distribuição 
normal. 
 
 
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V A L O R D A E S T A T Í S T I C A D E T E S T E 
 
 
 
 
 
Uma hipótese nula (Ho) sempre nos diz que uma afirmação é verdadeira, ou seja, que a diferença 
observada na amostra foi devida ao acaso. 
 
Para sabermos se devemos aceitar ou rejeitar essa hipótese nula, vamos transformar a média da amostra 
 
(m) em um coeficiente (valor da estatística do teste) e compará-lo com o valor crítico do teste. 
 
O valor da estatística de teste é dado pela expressão: 
e
Mm \u2212
, onde e = erro padrão da média (isto é, 
desvio padrão das médias amostrais). 
 
Temos, então, três fórmulas para encontrar o valor do teste: 
 
1ª) Quando o desvio padrão é o populacional (\u3c3\u3c3\u3c3\u3c3 ), o valor do teste é dado por: 
n
Mm
z teste \u3c3
\u2212
= ( XXI ) 
 
 
 
2ª) Quando o desvio padrão é o amostral ( s ) e n > 30, o valor do teste é dado por: 
n
s
Mm
z teste
\u2212
= ( XXII ) 
 
 
 
3ª) E quando o desvio padrão é o amostral ( s ) e n \u2264\u2264\u2264\u2264 30, o valor do teste é dado por: 
n
s
Mm
t teste
\u2212
= ( XXIII ) 
 
 
 
 
 
 
Testes de Hipóteses ou de Significância para MÉDIAS Populacionais 
 
 
 
 
 
Roteiro para aplicar um teste de hipótese 
 
 
 
1. Elaborar as hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1). 
 
2. Verificar se o teste é unilateral (à esquerda ou à direita) ou bilateral. 
 
\u201cDica\u201d: Observar o símbolo matemático que aparece na hipótese alternativa (H1): 
 
a) Se aparecer o símbolo \u2260\u2260\u2260\u2260, então o teste é b i l a t e r a l. 
 
b) Se aparecer o símbolo <, então o teste é u n i l a t e r a l à e s q u e r d a. 
 
c) Se aparecer o símbolo >, então o teste é u n i l a t e r a l à d i r e i t a. 
 
 
Obs.: Para formular a hipótese alternativa (H1), existem três modos: 
 
 
 
 
 
H1: M \u2260\u2260\u2260\u2260 Mo ou H1: M < Mo ou H1: M > Mo 
 
 
 
onde M = média populacional 
 
Mo = valor hipotético específico para média populacional 
 
3. Construir uma figura com a curva normal e as regiões de aceitação e rejeição da hipótese nula. 
 
4. Identificar no enunciado da questão se o desvio padrão é amostral (s) ou populacional (\u3c3\u3c3\u3c3\u3c3). 
 
5. Verificar se será utilizada a Tabela 1 (coeficiente z) ou a Tabela 2 (coeficiente t). 
 
6. Encontrar o valor crítico do coeficiente de confiança. 
 
7. Calcular o valor do teste. 
 
8. Verificar se o valor do teste se encontra na região de aceitação ou de rejeição da hipótese nula. 
 
9. Dar a conclusão. 
 
 
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Exemplos de Testes de Hipóteses para a Média (utilizando o teste bilateral) 
 
 
 
 
 
 
1. O engenheiro responsável pelo setor de produção de uma empresa afirmou ao gerente financeiro que o 
tempo médio para produção de determinado tipo de aparelho é igual a 82,8 minutos. O gerente dessa 
empresa, desejando testar essa afirmação do engenheiro, tomou uma amostra aleatória de 36 aparelhos, e 
anotou os tempos gastos na sua produção, obtendo um tempo médio de 78,3 minutos, com um desvio 
padrão de 15,3 minutos. Testar a afirmação do engenheiro responsável pelo setor de produção, ao nível de 
significância de 5%, contra a alternativa de que o tempo médio de produção desses aparelhos é diferente de 
82,8 minutos. 
Solução: 
 
( I ) Dados: M = 82,8 (média populacional) 
m = 78,3 (média amostral) 
s = 15,3 (desvio padrão amostral) 
n = 36 (tamanho da amostra) 
nível de significância de 5% (ou seja, confiança de 95%) 
 
(II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: 
 
 
Ho: M = 82,8 minutos (é a afirmação do engenheiro e que será testada) 
 
H1: M \u2260\u2260\u2260\u2260 82,8 minutos (é o que o gerente dessa empresa pretende verificar) 
 
 
(III) Valor crítico: 
 
Como n = 36 > 30, então devemos utilizar a Tabela 1 (z). 
 
Como o teste é bilateral, pois a média amostral obtida tanto poderia resultar em um valor menor como um 
valor maior que a média populacional, então o valor crítico de z, ao nível de significância de 5%, é: 
96,1±=crítz 
 
 
 
(IV) Valor do teste: 
 
A nossa hipótese nula (Ho) nos diz que essa diferença verificada é devida ao acaso. Para sabermos se 
devemos aceitar ou rejeitar essa hipótese, vamos transformar a média da amostra no coeficiente zteste e 
compará-lo com o valor crítico de z (zcrít). 
 
Pela fórmula (XXII) 
n
s
Mm
z teste
\u2212
= , temos: \u21d2\u2212=
36
3,15
8,823,78
testez
76,1\u2212=testez 
 
 
 
 
(V) Conclusão: Como zteste = \u2013 1,76 encontra-se na região de aceitação, devemos aceitar a hipótese nula, ou 
seja, o gerente deve aceitar a afirmação do engenheiro responsável pelo setor de produção de que o 
tempo médio para produção desses aparelhos é igual a 82,8 minutos, pois a diferença ocorrida entre as 
médias amostral e populacional é irrelevante (insignificante), isto é, foi devida ao acaso. 
 
 
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2. A engenheira responsável pelo setor de produção de uma grande indústria afirmou que o tempo médio para 
montagem de determinado equipamento é igual a 82,8 minutos. O gerente geral dessa empresa, desejando 
testar essa afirmação da engenheira, escolheu aleatoriamente 25 desses equipamentos na linha de 
montagem e verificou que o tempo médio gasto foi de 88,1 minutos, com um desvio padrão de 15,3 minutos. 
Testar a afirmação da engenheira, ao nível de significância de 10%, contra a alternativa de que o tempo 
médio para montagem desse equipamento não é de 82,8 minutos. 
 
 
Solução: 
 
 
( I ) Dados: M = 82,8 (média populacional) 
 
m = 88,1 (média amostral) 
 
s = 15,3 (desvio padrão amostral) 
 
n = 25 (tamanho da amostra) 
 
nível de significância de 10% (ou seja, confiança de 90%) 
 
 
 
 
(II) As hipóteses estatísticas são: 
 
 
 
 
Ho: M = 82,8 minutos (é a afirmação da engenheira e que será testada) 
 
H1: M \u2260\u2260\u2260\u2260 82,8 minutos (é o que o gerente geral pretende verificar) 
 
 
 
 
(III) Valor crítico: 
 
 
 
Como n = 25 < 30 e o desvio padrão é amostral (s), então devemos utilizar o coeficiente t (Tabela 2). 
 
 
O valor crítico de t, para o teste bilateral, ao nível de significância de 10%, é: 711,1±=crítt 
 
 
 
 
(IV) Valor do teste: 
 
 
 
Pela fórmula (XXIII) 
n
s
Mm
t teste
\u2212
= , temos: \u21d2\u2212=
25
3,15
8,821,88
testet
 
732,1+=testet 
 
 
 
 
 
 
 
 
(V) Conclusão: 
 
 
 
Como tteste = + 1,732 encontra-se na região de rejeição, devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, não 
devemos aceitar a afirmação da engenheira, portanto o gerente geral não deve aceitar a afirmação