atlas econometria[1]
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X
X
E Y x x x Y x x x Y x x x
e
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# # #
b. Como assumimos cada observação independente da outra, temos:
' ( ' (
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1
1 1
1
1
1 1 1
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1
; ln ; ln 1
ii iii
i i i
ii
i
i
YY XYX
i X X Xi
YXn n
i Xi
i i
n
X
i i
i
eef Y X
e e e
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L X f Y X
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&quot;
5 6! ! $ &quot;7 89 :
C C
%
Para completar, fornecemos as condições de primeira ordem.
M N ' (' (
M N ' (' (
1 2
1
1 1 1 2
1 2
2
1 1 1 2
exp
: ;
1 exp
exp
: .
1 exp
n n
i
i
i i i
n n
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i i
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x
Y
x
x x
Y x
x
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&quot;
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&quot; &quot;
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% %
7.4 (K) Suponha que você deseja estimar a curva de demanda por bilhetes de futebol. Você
acredita que a demanda é determinada linearmente por uma séries de fatores, entre os
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quais o preço do bilhete, o padrão relativo da equipe local e da equipe visitante, a renda
familiar da cidade, a renda total da cidade, etc. Você possui 10 anos de dados, durante
os quais, em várias ocasiões, os bilhetes estiveram esgotados. Qual a sua recomendação
para os dados quando os bilhetes estiveram esgotados?
Solução: Este é problema de dados censurados, em que se procura verificar se o
estudante entendeu a idéia geral para esses casos.
Um jogo cujos bilhetes estavam esgotados reflete uma demanda acima da capacidade dos
lugares. Essas observações devem ser tratadas como observações limites em um modelo
Tobit.
50
8. Sistemas de Equações Simultâneas
8.1 (C) Discuta a identificação e estimação do seguinte modelo de equações simultâneas:
1 12 2 13 3 11 1 13 3 1
2 23 3 22 2 23 3 2
31 1 3 32 2 3 .
t t t t t t
t t t t t
t t t t
y y y x x
y y x x
y y x
$ $ &quot; &quot; #
$ &quot; &quot; #
$ &quot; #
1 &quot; &quot; &quot; &quot; !2222 &quot; &quot; &quot; !3222 &quot; &quot; !24
Aqui não há restrições de covariância. Assegure-se de considerar as condições de ordem e
rank (ou posto, em português) e explicitar as hipóteses de que você precisa para estimar os
parâmetros do modelo.
Solução: Este é um exercício básico para verificar a compreensão do aluno a respeito
do texto principal. Ele treina fartamente as condições de ordem e posto, necessárias à
estimação e identificação do modelo.
Vamos apresentar um método de resolução do problema, não necessariamente único, mas
que entendemos que seja compreensível. Na verdade, depois de entendida técnica é que se
verifica quão fácil é o método de identificação de equações simultâneas. Primeiramente,
vamos montar uma matriz, onde na linha superior estão as variáveis do modelo, endógenas
e exógenas. Na primeira coluna, representam-se as equações. Os zeros da matriz
representam as variáveis excluídas, endógenas ou exógenas. Com isso, podemos obter a
condição de ordem.
1 2 3 1 2 3
1 12 13 11 13
2 23 22 23
3 31 32
1 0
0 1 0
0 1 0 0
y y y x x x
i y
ii y
iii y
$ $ &quot; &quot;
$ &quot; &quot;
$ &quot;
Montada essa matriz, temos que preencher a seguinte tabela:
51
Cond. Ordem Exóg. Excl. End. Incl. \u2013 1 Diagnóstico
i 1 < 2 não identificado
ii 1 = 1 Identificado?
iii 2 > 1 super identificado?
Note que, na matriz, separamos o bloco de endógenas do bloco de exógenas. Contamos as
exógenas excluídas olhando na linha da matriz. Para cada zero em cada linha, no bloco das
variáveis exógenas, temos uma exclusão. Com isso, preenchemos a segunda coluna da
tabela acima.
Depois contamos as endógenas incluídas. Outra vez, olhando em linha, para cada zero
temos uma endógena excluída, portanto o número de endógenas incluídas é o número total
de endógenas menos o número de zeros da linha. No nosso caso, temos três endógenas e, na
segunda linha, não há exclusões. Feito isso, preenchemos a quarta coluna da tabela, sem
esquecer de subtrair 1 do número de endógenas incluídas.
Note que as exógenas excluídas é o K00 do corpo do texto.
Depois disso, preenchemos a coluna três com o sinal apropriado, comparando as colunas 2
e 4. Se o número de endógenas incluídas menos um superar o de exógenas excluídas, não se
identificam os parâmetros daquela equação com certeza, ou seja, a equação é
subidentificada. Se são iguais ou maiores, aquela equação é candidata a identificação exata
ou superidentificação, respectivamente, dependendo da condição de posto a ser discutida a
partir de agora.
Temos que nos preocupar com as equações ii e iii. Para definir a condição de posto, temos
que olhar simultaneamente na linha, procurando os zeros para aquela equação, e a coluna,
para montar a matriz relevante para calcular o posto. Olhando na linha da equação ii o zero
aparece na terceira coluna, abaixo de 1 e acima de 31$ ; depois aparece no bloco das
exógenas, abaixo de 11&quot; e acima de outro zero. Montam-se com esses elementos a matriz
para se calcular o posto:
(ii) 11
31
1
0
&quot;
$
< =>? >? >? >?@ A
.
52
Esta matriz tem posto 2, assumindo que 11 31 0&quot; $ # , ou seja, que nenhum desses parâmetros
seja zero, inclusive porque não seria lógico do contrário.
Utilizando mesmo procedimento para a equação (iii), obtemos a seguinte matriz:
(iii) 12 11 13
231 0
$ &quot; &quot;
&quot;
< =>? >? >? >?@ A
.
No máximo, o posto dessa matriz é 2. Assumimos esse resultado, a menos que 11 0&quot; ! ou
23 0&quot; ! , o que não teria sentido como já dissemos, ou 13 12 23&quot; $ &quot;! . Nesse caso, a equação
iii é super identificada.
8.2 (C) Considere o seguinte modelo de oferta e demanda:
0 1 2
0 1 2
s s
d d
s d
q p w
q p y
q q
! ! ! #
&quot; &quot; &quot; #
1 ! &quot; &quot; &quot;2222 ! &quot; &quot; &quot;3222 !24
,
onde w denota um vetor de observações 1T& a respeito do clima, y é um vetor de
observações da renda de mesma dimensão, ambos exógenos.
a. Discuta a questão de identificação sobre as equações de oferta e demanda;
b. Assumir 2 0! ! impõe alguma restrição sobre os parâmetros da forma reduzida?
Cuidadosamente esquematize um teste 0 2 1 2: 0 : 0H H! !! & # , usando a forma
reduzida dos parâmetros. (Dica: escreva H0 como 0 0:H R qR! );
c. Suponha que a primeira equação é estimada por um estimador de informação limitada,
por exemplo, variáveis instrumentais. Você pode determinar se a primeira equação é
uma curva de demanda ou oferta apenas examinando o sinal de 1! ?;
d. Suponha que uma agência do governo fixe o preço a cada ano em 0tp , o qual pode ser
diferente de ano para ano. Que efeito esta política terá sobre a identificação e
estimação do modelo?
Solução: Este é um exercício que continua o anterior, relembrando e solidificando os
principais conceitos aprendidos no texto principal. Não se trata de um exercício difícil,
embora tenha um grande enunciado.
a. Vamos proceder como no exercício anterior, sem tantas explicações detalhadas.
Primeiro montamos a matriz de coeficientes para as três equações.
53
1 0 2
1 0 2
1
1 0 0
0 1 0
1 1 0 0 0 0
s dq q p w y
i
ii
iii
! ! !
&quot; &quot; &quot;
$ $ $
$ $ $
$
O detalhe aqui é que, embora não explicitamente, o vetor de 1s é uma variável explicativa
também.
Vamos agora preencher a tabela da condição de ordem.
Cond. Ordem Exóg. Excl. End. Incl. \u2013 1 Diagnóstico
i 1 = 1 Identificado?
ii 1 = 1 Identificado?
iii 3 > 1 super identificado?
Agora vamos montar as matrizes para cada equação.
(i) 2
1
2
1 0
&quot;
'
< =$ >? >!? >? >?$@ A
,
onde ' (' ; representa o posto da matriz entre parênteses.
Note que o posto é válido assumindo que 2 0&quot; # . Portanto i é exatamente identificado.
(ii) 2
1
2
1 0
!
'
< =$ >? >!? >? >?$@ A
,
a menos que 2 0! ! . Portanto ii é exatamente identificado.
1 0 2
1 0 2
0
2
0
! ! !
'
&quot; &quot; &quot;
< =$ $ $ >? >!?