atlas econometria[1]
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atlas econometria[1]


DisciplinaAnálise Estatística5.905 materiais35.628 seguidores
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M N
2 2
1
2
1 1
;
.
t
t j
j
t m t
t m j i
j i
E y E t
E y y E m
# (
# # (
!
/
! !
5 6
5 6 7 8! !7 89 : 7 87 89 :
5 6
7 8! !7 87 89 :
%
% %
Em particular, para m = t \u2013 s:
64
M N ' ( 2
1 1
.
t m
t t s j i
j i
E y y E t s# # ($
! !
5 6
7 8! ! $7 87 89 :
% %
Ou seja, o processo é estacionário com incrementos independentes. Além disso, os
incrementos são normalmente distribuídos, pois ' (20,t N# (! . Logo, passeio aleatório é
um movimento browniano, cuja distribuição é ' (0,N t , dada por quando ' (20,t N# (! .
65
10. Metodologia de Box-Jenkins para Modelos Univariados
10.1 Responda:
a. Por que o processo de construção de Modelos ARIMA pode ser considerado um ciclo
iterativo, como afirmam Granger e Newbold?
b. Quais os principais instrumentos utilizados na identificação de um modelo ARIMA?
Por que essa é a etapa mais difícil para o pesquisador?
Solução:
a. O processo de construção de Modelos ARIMA constitui-se de 4 partes: identificação,
estimação, verificação e previsão. Se na verificação há problemas, volta-se à
identificação;
b. FAC e FACP, complementado pelo teste de Ljung-Box. Esta etapa é difícil, porque se
trabalha com resultados amostrais, o que dificulta a análise. Pode-se usar o critério
AIC e BIC, para a identificação, tomando-se aquele modelo que gerar o menor valor
para essas estatísticas.
10.2 Responda
a. Mostre algebricamente como um processo AR(2), com raízes fora do círculo unitário é
expresso como um ( )MA \u221e ;
b. Escreva um MA(1) sob a forma de um ( )AR \u221e ;
c. Por que as raízes do processo MA devem estar fora do círculo unitário?
Solução: O exercício treina, algebricamente os conceitos estudados no capítulo. Trata-
se de entender que toda série de tempo, se inversível ou estacionária, pode ser
reduzida a um processo com coeficientes finitos, mesmo que o número de termos seja,
inicialmente e aparentemente, infinito.
a. Seja 1 1 2 1t t t ty y y+ + #$ $! " " , então temos:
' ( ' (' (
2
1 2
1 2
1 1 2
2 1 2.
1 , onde
1 1
;
t
t t ty L L y b L b L
b b
b b
#+ + #
+
+
$ " ! - !
$ $
! "
!
Notando que:
66
' ( 1 2 21 1i i ib L b L b L
$$ ! " " "# ,
por se tratar de uma progressão geométrica infinita de razão, em módulo, menor do que um,
temos:
' (
1
1
21
j
t j
j
t
b
y
b L
#
L
$
!!
$
%
.
Logo yt é um ( )MA \u221e .
b. Seja 1t t ty # )# $! " . Assim, temos;
' (
' (
2 2
1
1
1
.
t
t t t
i i
t t t
i
y y L L
L
y L y AR
# ) ) #
)
) #
L
!
! - " " " ! -
$
!$ " - ! L%
#
c. As raízes do processo de médias móveis devem estar fora do círculo unitário para que
o processo yt seja unicamente identificado e inversível.
10.3 Verifique se os modelos abaixo são estacionários e/ou inversíveis, em que L é o
operador defasagem.
a. ( ) ( )1 1 0 5\u2212 = \u2212L y Lt t, \u3b5 ;
b. ( ) ( )1 0 8 1 1 2+ = \u2212, ,L y Lt t\u3b5 ;
c. ( ) ( )1 0 7 0 4 1 0 52\u2212 + = \u2212, , ,L L y Lt t\u3b5 ;
d. ( ) ( )1 0 7 0 4 1 16 0 72 2\u2212 \u2212 = \u2212 +, , , ,L L y L Lt t\u3b5 ;
e. ( ) ( )1 0 9 1 0 5 0 4 0 32 3+ = + + +, , , ,L y L L Lt t\u3b5
 Solução: Este um exercício numérico, para verificar se o aluno compreendeu os
conceitos de estacionaridade e inversão. O principal é entender as expressões fora e
dentro do círculo unitário, pois devem ser cuidadosamente entendidas. Às vezes foram
e dentro do círculo unitário representam a mesma coisa, conforme esteja definida a
polinomial, pela qual se calculam as raízes da equação a diferenças.
a. Primeiro é preciso entender que L é um operador, logo não se podem fazer contas
usando L. Nesse caso, o truque é simples, troque L por uma variável qualquer,
digamos, z. Assim temos,
1 0 1z z$ ! - ! , logo não estacionário.
67
1 0,5 0 2z z$ ! - ! , logo, como z está fora do círculo unitário, o processo é
inversível.
b. 
1 0,8 0 1,25z z" ! - !$ , outra vez, por ser, em módulo, maior que 1, o processo
estacionário.
51 1, 2 0 1
6
z z$ ! - ! / , logo não inversível.
c. 
21 0,7 0,4 0z z$ " ! . Fazendo 1z
x
! , temos 2 0,7 0,4 0x x$ " ! , o que nos dá as
seguintes raízes: 
1
2
0,7 1,05
2
0,7 1,05
2
ix
ix
1 "22 !22232 $2 !2224
. O módulo de um número complexo a + bi é dado por
2 2a b" .
Ambas as raízes terão o mesmo módulo, dado por: 2 20,35 0,525 0,631 1" ! / . Assim,
estando o módulo dentro do círculo unitário (como invertemos as variáveis, temos que
inverter o raciocínio), o processo é estacionário.
1 0,5 0 2z z$ ! - ! , então o processo é inversível.
d. 
21 0,7 0, 4 0z z$ $ ! . Adotando o mesmo procedimento do item anterior,
encontramos 1
2
1,0728
0,3728
x
x
1 !2232 !$24
. Ora, a primeira raiz está fora do círculo unitário, logo
processo não estacionário.
21 1,6 0,7 0z z$ " ! . A inversa das raízes são 1,6 1,05
2
ix $ Y! , cujo módulo é
dado por 2 20,8 0,245 0,836 1" ! / , que é inversível.
e. 
101 0,9 0 1
9
z z" ! - !$ . - estacionaridade.
68
2 31 0,5 0,4 0,3 0z z z" " " ! . As raízes dão:
1
2
3
1,597
0,132 1, 438
0,132 1, 438
z
z i
z i
1 !$2222 ! "322 ! $224
. Essas raízes
estão obviamente fora do círculo unitário, logo a condição de inversibilidade está
satisfeita14.
10.4 Prove que na previsão para s passos à frente do modelo
( ) ( ) ( )y y i dt t t t t\u2212 = \u2212 + \u2212\u2212 \u2212µ \u3b1 µ \u3b5 \u3b2\u3b5 \u3b5 \u3c31 1 20, ~ .i. . , :
a. ' ( ' ( 1\u2c6 \u2c6 s st s t s t ty y# * ! * ! "#$" "! $ ! $ $ ;
b. ' (
2
2
2
1 2\u2c6
1t s
Var !" "# (
!"
$ "!
$
, quando s tende para o infinito.
Solução: Este é um exercício que procura esclarecer um pouco por que a previsão
mais distante no tempo é pior do que a mais recente, e notar que a variância é a
mesma no longo prazo. Na verdade, isto ocorre porque a variância de longo prazo é a
variância não condicional.
a. Apenas álgebra. Primeiro, chamemos t tx y *! $ , para descarregar a notação.
' (
' (
' (
1 1 1 1
2
2 1 2 1 2 1
1
1 1 1
\u2c6 ;
\u2c6 ;
\u2c6 .
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
s s
t s t s t s t s t s t t s t t
x x E x y x x
x x E x y x x
x x E x y x x
! # "# ! "#
! # "# ! ! !"#
! # "# ! ! ! "#
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" " " " " "
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" " $ " " $ " " $
! " $ - ! ! $
! " $ - ! ! $
! " $ - ! ! $
/
Provando o que gostaríamos.
b. Aqui apenas temos que cuidar da álgebra, que é carregada.
 
14 O cálculo de um polinômio do terceiro graus não é simples. Sugiro usar um programa como Mathematica
ou Matlab para obter o resultado.
69
' ( ' ( ' ( M N
' (
' (
2 2
1 1 2 1 2 1
2
2 1 1 2
2
2 1 2
2
3 2
\u2c6 \u2c6 \u2c6 .t s t s t s t s t s
t s t s t s t s t s t s t s t s t s
t s t s t s t s t s
t s t s t s t s
t s t s
Var E y y E x x
x x x
x
x
x
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5 6! $ $ $ ! $9 :
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' ( ' (
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3 1 2
3 2
3 1 2 3
2
1
1 3
0
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t s t s t s t s t s
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x
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" $ " " $ " $ " $
$
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" " $ $ !
! " " $ " $ $ !
! " " $ $%
/
Obtida a fórmula acima, calculemos a variância:
' ( ' ( ' (
' (
' (
2
2 2
22 2
1
0 0
2 2
22
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 1
\u2c6 1
11 1
1
1 2 1 2\u2c6lim , pois
1 1
lim 0.
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