atlas econometria[1]
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2 2 3
1 0,50,5 1 0,5 0,5
1 0,5
1 0,5 0,5 1 0,5 1 0,5 1 0,5
1 0,5 1 0,5 0,5 1 0,5
1 0,5
1 0,5 0,5
f t
t t t t t z t t
t t z t t
y
f t z t t z t t
Ly y L z y
L
L y L y L L
Ly L L L
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Podemos, encontrar facilmente a correlação cruzada multiplicando a equação acima por ,z t#
e tomar as esperanças, notando que ' (, 0,t z t kE k# # $ ! X . Então, obtemos:
' (
' (
' (
' (
2
, ,
2
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2
, , 2
1 2
, ,
;
;
0,5 ;
0,5 , 1.
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z
z
z
f t z t
f t z t
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E y
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! 0
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Calculemos agora a variância de yf,t:
' (
' ( ' (
2 2 3
, ,
2 4 2 2
,
2 2 2 2
1 0,5 0,5
1 1 0,5 0,5
1 71 .
1 0,25 3
z
z z
f t z t t
f t
y L L L
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&quot;
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75
Com essas informações podemos calcular a correlação cruzada requerida:
' (
2 2
1
2 2
, 1
7
3
0,5
, 1
7
3
z
z
z
z
yz k
k
k
k
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#
#
#
(
( (
'
(
( (
$
122 /2222 &quot;2222!3222 0222 &quot;22242
.
c. Como as duas primeiras covariâncias cruzadas possuem o mesmo coeficiente, igual a
um, então é óbvio que são proporcionais aos coeficientes da função da transferência.
d. Claramente, pode ser ver que para k > 1, a função de covariância cruzada decais a uma
taxa de 0,5.
11.4 Explique por que os modelos de Análise de Intervenção são, em geral, mais flexíveis
que os modelos de regressão que utilizam variáveis dummy.
Solução: O exercício procura averiguar se o estudante entendeu, simultaneamente, os
modelos de análise de intervenção, bem como suas potencialidades.
Os modelos de análise de intervenção são mais flexíveis porque permitem que haja efeito
residual e efeito defasado, o que não ocorre com os modelos que utilizam dummy, onde há
apenas afeito abrupto, temporário ou permanente.
Em resumo os modelos de análise de intervenção são:
i. Início abrupto, com efeito permanente:
' ( ,
0,
T
t b
t
S t TE
t T
1 $12 02!32 /24
.
ii. Início abrupto, com efeito temporário:
' (
1 2,1
0, .
t
t
t
P T t T
E B
c c
1
%
122 B B22! $322224
.
iii. Início gradual, efeito permanente:
' (
,
1
0,
t
T
t
S t TE B
t T
1
%
122 022!3 $22 /224
.
iv. Início gradual, com efeito temporário:
76
' (
1 12
1 2
,
1
0, .
T
t
t
P T t T
B BE
c c
1
% %
122 B B22 $ $!322224
.
v. Início abrupto, com efeito residual:
' ( ' (1
2 ,1
0,
t T
t t b
t
P S t T
E B
t T
1 1
% $
122 &quot; 022! $322 /224
.
Os modelos com dummy somente admitem início abrupto, com duração temporária ou
permanente, sem considerar o efeito residual e o início gradual.
11.5 Como se faz a identificação do ruído de um modelo de Análise de Intervenção?
Solução: Apenas deseja-se que o aluno tenha segurança quantos aos procedimentos de
identificação nesse tipo de modelo. Por isso, o exercício pede-lhe pense sobre o
assunto.
Existem duas maneiras. Na primeira estima-se o modelo com maior número de observações
possível, antes ou depois da intervenção. Obtêm-se, então, as ordens p e q do modelo
ARMA. Em seguida, estima-se o modelo todo, incluindo a intervenção, de acordo com
essas ordens já estabelecidas. Se a intervenção não alterou o comportamento da série, ou
resultou em mudanças de parâmetros, obter-se-ão resíduos com média zero e variância
constante. Se, porém, houve alguma mudança estrutural, é melhor utilizar o segundo
método, a seguir descrito.
Definem-se as intervenções, estima-se o modelo apenas com as dummy especificadas e
obtém-se o ruído. Identifica-se o ruído e reestima-se o modelo como um todo. Dever-se-á
obter um ruído branco. Caso isso não ocorra, duas alternativas são possíveis:
a. Altera-se o comportamento previsto das intervenções, para se obter um modelo mais
consistente;
b. Verificam-se os resíduos outra vez.
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12. Testes de Raízes Unitárias e Co-Integração
12.1 Qual é a utilidade dos testes de raízes unitárias quando se trabalha com abordagem de
Box-Jenkins? Pode-se regredir uma série de tempo não estacionária contra outra série
de tempo não estacionária? No caso de se poder regredir, os testes sobre os
coeficientes são válidos?
Solução: O exercício avalia a compreensão do aluno com relação aos modelos de séries
temporais. Leva-o a compará-lo com o caso tradicional, nos quais a série pode ser
qualquer coisa. Alerta para a possibilidade de se estimar modelos, cujas séries são não
estacionárias, evitando-se que se esqueça dessa possibilidade.
A abordagem de Box-Jenkins pressupõe que a série seja estacionária, de tal sorte que
inferências estatísticas sejam válidas de acordo com as distribuições estatísticas
tradicionais. Caso a série não seja estacionária, testes estatísticos tradicionais deixam de ser
válidos. Assim, o teste de raiz unitária permite identificar uma série não estacionária, bem
com descobrir quantas diferenças devem ser empregadas para \u201cestacionarizar\u201d a série, de
modo que se possam fazer inferências sobre os parâmetros estimados.
Pode-se regredir uma série não estacionária contra outra, se tiverem mesma ordem de
integração, de tal sorte que o resíduo obtido seja integrado de ordem zero. Caso contrário, o
que se está a fazer é uma regressão espúria. Os dois gráfico abaixo, mostram a diferença de
uma regressão espúria de outra não espúria.
O primeiro mostra uma regressão espúria, pois a diferença entre as séries, conforme o
tempo passa, cresce. Em regressões espúrias é comum encontrar coeficientes significantes
estatisticamente. Esta é mais uma razão de ser fazer o teste de cointegração, para evitar tais
t
yt
espúria legítima
t
yt
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problemas. A segunda série poderia apresentar uma regressão legítima, pois os erros não
crescem com o tempo. Nesse caso, os estimadores são superconsistentes, de modo que os
testes estatísticos continuam válidos.
12.2 Qual a seqüência de testes que deve ser realizada para verificar se uma série de
tempo yt, apresenta uma raiz unitária segundo a metodologia de Dickey e Fuller,
considerando que este teste tem problemas de poder? Por que esses testes não podem
ser aplicados para testar a presença de uma segunda raiz unitária? Como você definiria
a ordem de defasagem q.
Solução: Este é um exercício muito importante, pois avalia se o aluno realmente
entendeu o problema da raiz unitária e se ele sabe, efetivamente, fazer esse teste.
Há várias seqüências possíveis. Para o caso de uma raiz unitária, apresentamos a seguinte
seqüência, inspirada em Enders (1995), sempre imaginando um nível de significância de
5%.
Primeiro, definamos a equação de interesse.
' (
' (
2
1
1
1 1
1
, 0,
1 .
q
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j
q
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$ !Z ! &quot; $ $ &quot; Z &quot;
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Portanto, a equação mais geral possível é:
( 8 ) 1
1
q
t t j t j t
j
y t y y u* $ ' %$ $
!
Z ! &quot; &quot; &quot; Z &quot;% .
Outras duas equações, menos gerais, também poderiam ser estimadas:
( 9 ) 1
1
q
t t j t j t
j
y y y u* ' %$ $
!
Z ! &quot; &quot; Z &quot;% .
( 10 ) 1
1
q
t t j t j t
j
y y y u' %$ $
!
Z ! &quot; Z &quot;% .
A soma dos quadrados dos resíduos dessas três equações são, respectivamente: SQR(1),
SQR(2) e SQR(3).
Dessa forma, testar 0 1: 0 : 0H H! !! & / é equivalente a testar:
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