atlas econometria[1]
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DisciplinaAnálise Estatística5.880 materiais35.547 seguidores
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modelo pode ser uma maneira de se verificar isso.
O EGARCH apresentado por Nelson não pressupõe que o impacto das informações seja
simétrico e que os coeficientes estimados precisem ser, necessariamente, positivos como
ocorria nos modelos GARCH iniciais. Ou seja, permitem-se assimetrias de resposta para os
choques. De fato, espera-se que choque negativos produzam mais volatilidades que
choques positivos.
Aqui é interessante notar que o ARCH-M pode ser parametrizado segundo qualquer
variante dos modelos GARCH.
Glosten, Jagannathan e Runkle propõem o uso de variáveis dummy na equação da variância
caso o choque seja negativo. Pesquisas indicam que o EGARCH e o TGARCH costumam
ser modelos melhor parametrizados.
13.4 (E) Considere o seguinte modelo risco-média:
ttty \u3b5µ += ,
onde
2
tt \u3b4\u3c3\u3b2µ +=
ttt u\u3c3\u3b5 = ,
sendo
)1,0.(..~ diiut ;
2
1
2
it
q
i
it \u2212
=
\u2211+= \u3b5\u3b1\u3b1\u3c3 .
Considere ( ) ( ) 12 12 === \u2212 "tt EE \u3b5\u3b5 .
a. Mostre que a seqüência { }t\u3b5 é um ruído branco;
90
b. Encontre a média não condicional de yt. Como uma mudança em \u3b4 afeta a média?.
Mostre que mudar e " % de (\u2013 3, 3) para (\u2013 1, 1) preserva a média da seqüência {yt};
c. Mostre que a variância não condicional de yt, para q = 1, não depende de \u3b1\u3b4\u3b2 ou , .
Solução: A questão aborda dois aspectos. Um mais intuitivo, relacionado a finanças e
ao \u201ctrade-off\u201d entre risco e retorno. O segundo, mais técnico, refere-se aos resultados
que se obtêm com modelos GARCH.
a. Como ut é independente de t( , temos que
' ( ' ( ' ( ' ()
0
0t t t t tE E u E E u# ( (
!
! ! !
Além disso,
' ( ' ( ' (2 2 2 2
1 2
1
1 ...t t t q
E E E u #
!# ( (
! ! !
! ! ! !
$ $ $ $
.
Falta apenas as correlações cruzadas:
' ( ' ( ' ( ' (
0
0t t k t t t k t k t t k t t kE E u u E E u u# # ( ( ( ($ $ $ $ $
!
! ! !*&&&+&&&, ,
onde k > 0.
Portanto, concluímos que é um ruído branco.
b. Calculemos:
' ( ' ( ' (
' (
' (
2
2
.
t t t t t
i t i t
i
E y E E
E
* # " %( #
" % ! ! # #
" % ! !
$
! " ! " " !
5 6! " " " !7 89 :
! " "
%
%
Para verificar como uma mudança de % afeta a média, note que:
' ( ' ( ' ()
2 2 2
1
1
i
t t t iE E E u
! !
# ( ! !
!! "
! ! " !
%
%*&&+&&, .
Logo, a proporção que % afeta a média é de 1:1. Como esta proporção é a mesma para " ,
então, a média não condicional de yt é, para ' ( ' (, 3,3" % ! $ :
' ( ' (3 3 3 3 1 0t iE y ! !!$ " " !$ " ; !% .
O mesmo ocorre para ' ( ' (, 1,1" % ! $ , preservando-se a média não condicional de yt.
c. Calculemos:
91
' ( ' ( ' ( ' ( ' (
1
2 ,t t t t t t tVar y Var Var Var Cov* # * # * #
!
! " ! " "*&&+&&, .
Calculemos cada uma das parcelas que faltam:
' ( ' ( ' ( ' ()
' ( ' () ' (
' () ' (
0
2 2
1 1
0
2
1 1
0
,
.
t t t t t t
t t t t t
t t t
Cov E E E
E E E
E E
* # * # * #
" %( # " # % ! ! # #
%! # %! # #
!
$
!
$
!
! $ !
5 6 5 6! " ! " " !7 8 7 89 : 9 :
! "
Como sabemos que t# é um ruído branco, temos:
' ( ' ( ' ()
2
1 1
01
, 0t t t tCov E E* # %! # #$
!!
! !
*&&+&&,
.
Agora, passemos à variância de t* :
' ( ' ( ' ( ' (2 2 2 2 2 21 1 1 1t t t tVar Var Var Var* " %( % ! ! # % ! #$ $! " ! " ! .
Portanto:
' ( ' (2 2 21 11t tVar y Var% ! # $! " .
Como " não está na equação da variância, Var(yt) depende apenas de 1 e % ! .
Com isso, concluímos que aumentar o valor de % aumenta a variância de yt. Isso tem
sentido, porque significa aumentar o retorno na equação da média e isso só é possível se
aumentarmos o risco do investimento.