atlas econometria[1]
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por isso podemos olhar para ele sem
problemas. Vale lembrar que, para um parâmetro apenas, t2 é equivalente a F(1,n),
como provado no corpo do texto.
b. O procedimento de Ismiti está absolutamente equivocado. O correto seria testar,
conjuntamente, por F, se 3"\u2c6 e 5"\u2c6 são, simultaneamente, iguais a zero. A razão
específica é que no segundo teste, mudou-se o número de graus de liberdade, por isso o
equívoco. Ou, em outras palavras, no segundo teste, o modelo mudou em relação ao
primeiro.
2.4 (J) Para entender melhor como funciona o R2, prove que uma regressão estimada sem a
constante não implica que os resíduos somarão, necessariamente, zero e que o R2, se
calculado como 1 2\u2212
\u2032
\u2032 \u2212
! !e e
y y ny
, pode ser negativo, onde ! !e y X= \u2212 \u3b2 , em que !\u3b2 é o
vetor de parâmetro estimados estimado4.
Solução: Este exercício mostra que o R2 pode ser negativo, quando a regressão por
mínimos quadrados ordinários é feita sem constante (note que, mesmo com constante,
quando estimamos um modelo não linear por máxima verossimilhança, podemos ter
um R2 negativo, mas isso é um caso raro). Seu objetivo é alertar o estudante que,
quando o R2 é negativo, na regressão por MQO, é porque ele deve acrescentar a
constante ao modelo. O motivo é muito sutil e será explicitamente apresentado na
resolução. A primeira parte do exercício procura esclarecer por que os resíduos
somam zero, quando há constante, embora isto já esteja no corpo do capítulo. O
 
4 A segunda parte deste exercício é difícil.
9
exercício também é útil para treinar e entender várias passagens feitas no corpo do
texto.
Dada a regressão y X" #! " , temos que:
' (
1 1 2 2
2
1
1 1 2 2
1
, 1,2, , .
0, 1,2, , .
i i i ik k i
n
i n
i
i i i ik k ji
ij
y X X X i n
y X X X X j k
" " " #
#
" " "
"
!
!
! " " " " !
,
! $ $ $ $ ! !
,
%
%
" #
" #
Isso não garante que o resíduos somarão zero, pois Xji pode ser diferente de 1, para todo i,
mesmo quando j = 1. Claramente, se X1i = 1, para todo i, os resíduos somarão zero. Isto
finaliza a primeira parte da questão. Sigamos para a segunda parte.
Lembremos que:
' ( ' ( ' (2 2
1
2
2
' ;
\u2c6 \u2c6 \u2c6 ;
\u2c6 \u2c6 \u2c6 .
n
i
i
SQT y y y y y y y y ny
SQE y y ny
SQR e e ne
!
) )! $ ! $ $ ! $
)! $
)! $
%
Note como nada garante que e\u2c6 seja zero, e, no cálculo do R2, não incluímos esse termo
(retorne à fórmula dada no exercício); é por isso que o R2 pode ser negativo. Note, também,
que: \u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6i i ï i i ïy y e y y e y y! " - ! " - !% % % , apenas quando \u2c6 0ïe !% , o que
somente ocorre se o modelo é estimado com constante, como demonstrado na primeira
parte do exercício.
Sabemos, ainda, que \u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6y y y y e e) ) )! " . Com essas informações, temos:
2 2
2 2 2 2
\u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6
1 1e e y y y y y y ny y y y y ny y y
y y ny y y ny y y ny y y ny
) ) ) ) ) ) )$ $ $ " $ "$ ! $ ! !
) ) ) )$ $ $ $
.
Conseqüentemente, se 2 2\u2c6 \u2c6 0ny y y R). - / .
Para ver por que o R2 é positivo quando existe constante, note que se \u2c6y y! (caso com
constante), temos que ' (22
1
\u2c6 \u2c6 \u2c6 0
n
i
i
ny y y y y
!
)$ " ! $ 0% 5.
 
5 Veja a semelhança com a fórmula do SQT.
10
2.5 (J) Dadas as seguintes estimativas de MQO:
1 1
2 1 2
1 3 3
4 1 4
0,9
0,8
0,7
0,5
t t t
t t t
t t t
t t t
C K Y
C K C
C K Y
Y K C
#
#
#
#
$
$
$
1 ! " "2222 ! " "2232 ! " "222 ! " "224
, calcule as
estimativas de MQO de 2" e 3" na regressão C Y C ut t t t= + + +\u2212\u3b2 \u3b2 \u3b21 2 3 1 .
Solução: O exercício é de nível médio a difícil. Tem o objetivo de treinar os conceitos
básicos de regressão, para verificar se o aluno sabe formulá-los. A solução pode ser
avaliada em duas etapas. Na primeira etapa, o aluno deve ser capaz de oferecer as
seguintes respostas.
O modelo pode (e deve) ser formulado em relação aos desvios. O aluno deve perceber isso
pelo fato de não ser pedido o valor de 1" , ou seja
2 3 1t t ttc y c u" " $! " " .
Sendo assim, pode-se concluir que:
' (
2
12
222 2
1 13 1 1
\u2c6 1
\u2c6
t t t t t
t t t t tt t t t
c y c y c
y c y c cy c y c
"
"
$
$ $$ $
5 6 5 6 5 6$7 8 7 8 7 8!7 8 7 8 7 8$$ 7 8 7 87 8 9 : 9 :9 :
% % %
% % %% % %
.
 Ainda, podemos concluir o seguinte:
1 1 1
2 2 2 2
1 1
0,9 ;0,8 ;0,7 ;0,5t t t t t t t t
t t t t
y c c c y c y c
y c y c
$ $ $
$ $
! ! ! !% % % %
% % % %
.
A segunda etapa começa aqui, pois, com essas informações, torna-se tranqüilo encontrar os
parâmetros desejados.
' (
' (
' (
2
1 1 1
2 22 2
1 1
2 2 2 2
1 1
22 2 2 2
1
2
1
2 2 2
1
\u2c6
0,9 0,7 0,8
0,7
0,9 0,7 0,8
.
0,7
t t t t t t t
t t t t
t t t t
t t t
t
t t
c c y c y c c
y c c y
c y y c
y c y
c
c y
" $ $ $
$ $
$ $
$
$
$
$
! !
$
$
! !
$
$ ;
!
$
% % % %
% % %
% % % %
% % %
%
% %
Mas, das duas últimas equações acima, 2 20,7 0,5t ty c!% % . Logo,
11
2
2
2 2
0,70,34
0,5\u2c6 0,5231
0,7 0,7
0,5
t
t
y
y
&quot; ! !< =>? $ >? >>?@ A
%
%
.
Aplicando o mesmo procedimento, obtemos 3\u2c6 0,5385&quot; ! .
Uma outra maneira de resolver o problema é a seguinte: seja 1 o índice da variável ct, 2 o
índice da variável y e 3 o índice de ct-1. Além disso, seja bij o coeficiente angular da
regressão que tem i como regressando e j como regressor, segue-se, então, que6:
12 13 32
2
23 32
13 12 23
3
23 32
0,9 0,8 0,7\u2c6 0,5231;
1 1 0,7 0,5
0,8 0,9 0,5\u2c6 0,5385.
1 1 0,7 0,5
b b b
b b
b b b
b b
&quot;
&quot;
$ $ ;! ! !
$ $ ;
$ $ ;! ! !
$ $ ;
.
 
6 Ver Johnston (1984), cap. 3.
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3. Extensões ao Modelo Básico de Regressão Linear
3.1 Qual é a intuição do método de estimação por máxima verossimilhança? Este método
produz resultados necessariamente iguais ao método de mínimos quadrados ordinários?
Por que é possível obter um R2 negativo quando estimamos um modelo (com constante)
pelo método de máxima verossimilhança?
Solução: (Sugestão de leitura adicional \u2013 CUTHBERTSON, Keith; HALL, Stephen &
TAYLOR, Mark. Applied Econometrics Techniques. Ann Arbor: Michigan, 1992)
Este é um exercício que reforça a idéia de máxima verossimilhança introduzida no
texto, procurando estimular o raciocínio intuitivo do alunos.
Dada uma seqüência de observações e supondo-se uma determinada distribuição para os
erros dessa seqüência e seu processo gerador de dados, o método de máxima
verossimilhança permite obter os parâmetros que mais aproximam a distribuição amostral
da suposta distribuição populacional dos erros. Nesse sentido, não importa se o método
produz erros pequenos ou grandes, desde que esses erros tenham a configuração de uma
normal, por exemplo. Por isso, a média desses erros pode ser bem diferente de zero, de
modo que o R2 pode ser negativo (ver exercício 2.5).
Observe que, nos pacotes econométricos, o R2 é calculado supondo-se que a estimação seja
feita por MQO com constante. Daí um dos motivos para que não seja uma boa medida de
regressão, necessariamente.
3.2 (C) Uma variável aleatória X tem uma distribuição exponencial, com parâmetro
' (0&quot; &quot;. se X tem uma distribuição contínua pela qual a função densidade de
probabilidade, f.d.p.,
' ( , para 0,
0, para 0
xe x
f x
x
&quot;&quot;&quot;
$12 .2!32 B24
.
Para mais tarde, note que essa formulação implica que a função densidade acumulada,
f.d.c., é:
' ( 1 , para 0,
0, para 0
xe x
F x
x
&quot;&quot;&quot;
$12 $ .2!32 B24
.
13
A média e a variância de uma distribuição exponencial com parâmetro &quot; é ' ( 1E X
&quot;
! e
' ( 2
1Var X
&quot;
! .
a. Suponha