atlas econometria[1]
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Para o processo acima, os valores de (y1, y2, ..., yT-1) interessam para yT apenas através do
valor de yT-1. Assim, ' ( ' (1 2 1 1, , ,t t t t tf y y y y f y y$ $ $!# .
b. Mostre que \u2c6 \u2c6 \u2c6EMV MQO+ + +! ! , onde \u2c6MQO+ vem da regressão de yt contra yt-1 e \u2c6EMV+ é a
EMV (condicional em y1).
c. Mostre que +\u2c6 é um estimador viesado de + .
d. Mostre que +\u2c6 é consistente.
e. Obtenha a distribuição assintótica de +\u2c6 .
f. Agora, suponha que o processo seja alterado para ' (
1 1
2
, ,
. . . 0, , , 1.
t t t t t t
t
y y u u
u i i d N
+ # # )
( + )
$ $! " ! "
/!
 O
estimador de mínimos quadrados é consistente? Derive o limite de probabilidade.
Solução: No corpo do texto, usaram-se termos como consistência, viés, eficiência. Este
exercício serve para trabalhar esses termos, de modo a esclarecer seu significado. Daí
sua importância. No entanto, este exercício pode ser considerado difícil, a partir da
letra d. Note que aqui, implicitamente, estamos retirando a hipótese de que a matriz X
é não estocástica. Isto muda radicalmente os resultados. Sugerimos a seguinte
bibliografia adicional: HAMILTON, James D. Time Series Analysis. Princeton:
Princeton, p. 215, 1994.
a. Vamos primeiro definir a função de verossimilhança condicional a y1, como, aliás, já
foi ensinado no corpo do exercício.
' ( ' (
' (21
2
1
1
22 2
1 1 1, , , 2
t ty y
t t tf y y y y e
#(
#-(
$
5 6$7 8$7 8$ 7 87 89 :
$ $ !# .
Agora, seguindo a sugestão do exercício:
19
' ( ' (
' (21
2
2
1
2
1
2 2
1 1 1, , , 2
T
t t
t
y y
T
t t tf y y y y e
#(
#-(
$
!
5 6
7 8$7 8
7 8$7 8
7 8
7 8$ 7 8$ 7 87 89 :
$ $
%
!# .
Dessa forma:
' ( ' ( ' ( ' (22 2 121
2
1 1 1, ; ln 2 ln
2 2 2
T
T
t t tt
t
T Tl y y y# #
#
+ ( - ( +
( $! !
$ $5 6 !$ $ $ $7 89 : % .
 b. Agora, é fácil ver que ' ( ' (2* 2 11
2
\u2c6 arg max , ; arg min
T
T
t t tt
t
l y y y#+ + ( + $!
!
5 6! ! $7 89 : % . Assim,
temos que \u2c6 \u2c6EMV MQO+ +! .
De fato, tomando as condições de primeira ordem,
' (
' (
2
1
1 12
2
2
1 1
2 2
1
2
2
1
2
, ; 1 0
0
\u2c6 \u2c6 .
T
Tt t
t t t
t
T T
t t t
t t
T
t t
t
EMV MQOT
t
t
l y
y y y
y y y
y y
y
#
#
+ (
+
+ (
+
+ +
!
$ $
!
$ $
! !
$
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$
!
5 6, 7 89 : ! $ ! -
,
$ ! -
! !
%
% %
%
%
Apenas para constar, as condições de segunda ordem dão para + :
2
1
2
2 0
T
t
t
y
#(
$
!$ /
%
.
c. Para mostrar que é viesado, temos apenas que tomar a esperança da estimativa. Ou
seja,
' (1 1 1
2 2
2 2
1 1
2 2
\u2c6
T T
t t t t t
t t
T T
t t
t t
y y y
E E E
y y
+ # #
+ +
$ $ $
! !
$ $
! !
5 6 5 6
7 8 7 8"7 8 7 85 6 7 8 7 8! ! "7 89 : 7 8 7 8
7 8 7 8
7 8 7 89 : 9 :
% %
% %
.
Temos que desenvolver o numerador da segunda parcela.
20
' ( ' (
' (
2
1 2 1 1 2 3
2 2 2
1
1
1
2 1
.
T T T
t t t t t t t t t t t
t t t
j tT
j j
t t j t
t j
y y y
y
# # + # # # +# # + #
# # + + #
$ $ $ $ $ $
! ! !
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$
$
! !
! " ! " " !
! !
! "
% % %
%%
"
Podemos ver, a partir disso, que:
' (
1
1
1 1
2 1
0
j tT
j j
t t j t
t j
E y y# # + + #
! $
$
$
! !
5 6
7 8" !7 87 89 :
% % ,
porém,
' ( ' (
' (
' (
' (
1
1
2 1
1
2
1
2
g xg x
0, pois E
j tT
j
t t j
t j
T
t
t
E
E y
h y E h yy
# # +
! $
$
$
! !
$
!
5 6
7 8 5 65 67 8 9 :7 87 8 # #7 87 8 5 67 89 :7 8 9 :
7 87 89 :
% %
%
.
A conclusão, portanto, é que +\u2c6 é viesado.
A intuição básica é que o denominador, que também depende dos erros, altera a razão, ou
seja, impõe uma estrutura de ponderação, cuja esperança não é mais zero.
d. A consistência é um conceito, quando tomamos a probabilidade do limite. Como,
nesse caso, pelo Teorema de Slutsky,
' (
' (
' (
' (
lim g xg x
lim
lim
p
p
h y p h y
5 65 6 9 :7 8 !7 8 5 67 89 : 9 :
,
temos que:
' ( ' (
1 1
1 1
2 1 2 1
2 2
1 1
2 2
01
1
2 1
2
1
2
lim
\u2c6lim lim
lim
lim
.
lim
j t j tT T
j j
t t j t t j
t j t j
T T
t t
t t
j tT
j
t t j
t j
T
t
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y p y
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p y
# # + # # +
+ + +
+ # #
+ +
! $ ! $
$ $
$ $
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$
$
! !
$
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! " ! " !
5 69 :
! " !
%% %%
% %
%%
%
%&&&&&'&&&&&(
Logo, +\u2c6 é consistente.
e. Este exercício não é difícil, mas exige atenção.
21
' (
1
2
1
2
2 2
1 1
2 2
1\u2c6 \u2c61
1
T
T t t
t
t t
t
T T
t t
t t
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TT
y y
T
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#
+ + + +
$
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$
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$ $
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$! " - $ $ !
$
%
%
% %
.
Pelo Teorema Central do Limite,
' (' (
1 4
2 22
1 20, 0,11
T
t t
dt
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y
N E y N
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#
#
#
((
+
$
!
$
< =>? >GGH ! ? >? >? $@ A$
%
.
Pela Lei dos Grandes Números,
2
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2
21 1
T
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pt
y
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#(
+
$
! GGH
$ $
%
.
Para ver este último resultado, observe que
' ( ' (
' (
' ( ' ()
' (
22
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
1 1
0
2
2
2
2
2
.
1
p pp
t
t t t t t t t t
t t t t t
E y
t
y y y y y
E y E y E y E
E y
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+ # + # #
+ # #
(
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$ $ $
$ $
GGH GGHGGH
! &quot; - ! &quot; &quot; -
! &quot; &quot; -
!
$
*&&&+&&&,*&&+&&,
Ou, de outra maneira, lembrando que a esperança é sobre uma amostra infinita:
' (
2
2 2 2
2
2 2 1
T
j j
t t j t
t t
y E y ##
(+ # + (
+
L
$
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Portanto
' ( ' (
2
2
2 2
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1\u2c61 0, 0,1
1
1
dT N N#
#
(+ + +
( +
+
< =>? >$ $ GGH ! $? >? >? $@ A
$
.
f. Agora, como 1 1, lim 0t t t t tu u p y# ) #$ $! &quot; # . Assim,
22
' (' (
2
1 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
0 0 0
2
1 2 1
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0
p p p
p p
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#
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GGH GGH GGH
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GGH GGH
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*&&&+&&&, *&&&+&&&, *&&&+&&&,
*&&&&+&&&&, *&&+&&,
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GGH
$
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%
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*&&&&+&&&&,
Agora, no denominador temos:
' (
2 2
2
1
2
2
22 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2
2 22 2 2 2 2
1 2 2 2
2 2
0
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T p p
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u
T T T T T
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*&&&&+&&&&, *&&&&+&&&&,
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Portanto,
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&quot; &quot;&quot; &quot;
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.
Logo, podemos concluir que \u2c6MQO+ é inconsistente.
23
4. Análise da Base de Dados e Utilização de Variáveis Binárias
4.1 Explique sucintamente como se faz o teste de Chow e para que ele serve. Apresente,
pelo menos, duas limitações ao teste de Chow.
Solução: O exercício pretende estimular o raciocínio do estudante quanto à
aplicabilidade do teste de Chow. O professor deve esperar que o estudante encontre