atlas econometria[1]
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atlas econometria[1]


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duas limitações, pois a terceira é bastante sutil, tratando-se de modelos não lineares.
Para teste de apenas uma mudança estrutural, divida a amostra em antes e depois da
mudança. Estime o modelo não restrito, ou seja, estime o modelo antes e depois da
mudança separadamente, calcule a soma dos quadrados dos resíduos para cada caso e
some-as. Estime o modelo sem mudança estrutural, usando todos os dados, e obtenha a
soma dos quadrados dos resíduos restritos. Use o teste F, tomando cuidado para especificar
corretamente o número de restrições. O teste de Chow serve para verificar se houve alguma
mudança estrutural na série.
A primeira limitação trata do fato de que o teste de Chow, usado para mudanças estruturais,
não é aplicável se o número de variáveis explicativas, k, é maior do que o número de
observações de uma das subamostras, isto é, se k > ni, para algum i. Na prática isso
dificilmente ocorre, mas trata-se um problema potencial. Imagine intervenções na economia
de poucos meses, por exemplo, o que poderia acarretar esse problema.
A segunda limitação é que o teste supõe um modelo homocedástico, ou seja, mesma
variância nas diversas subamostras, o que é fortemente implausível se há mudança
estrutural.
A terceira limitação é que o teste se aplica apenas a modelos lineares, e não se aplica a
modelos não lineares. Porém, o escopo desse livro é estudar estimação apenas em modelos
lineares. Para maiores detalhes sobre isso, ver DAVIDSON, Russel & MACKINNON,
James G. Estimation and Inference in Econometrics. New York: Oxford, pág. 376, 1993.
4.2 (K) Suponha que se estime y x D! " % #! " " " , onde D é uma dummy para estado
civil (casado ou solteiro). Suponha que saibamos que a fração de casados na amostra é
duas vezes maior do que a fração de solteiros na população Que modificação, se
houver, você sugeriria.
24
Solução: Este é um exercício destinado a treinar a atenção do aluno, para evitar que,
num trabalho real, ele cometa erros primários.
Nada, pois esta informação não tem qualquer implicação sobre os valores s parâmetros.
4.3 (C) Suponha que o único determinante do consumo das famílias no Br
ai, do chefe da família. Temos dados de cross-section de famílias. Con
modelo simples:
( 1 ) 1 2i i ic a" " #! " " ,
e o modelo mais geral
( 2 ) 1 1 2 2i i i i i ic D a D a" $ " $ #! " " " " ,
onde Di é uma variável dummy indicando se o chefe é aposentado ou
seguinte forma:
1, se 60;
0, se 60.
i
i
i
a
D
a
1 022!32 /24
Assuma que todas as hipóteses padrões para pequenas amostras são 
modelo ( 2 ) e que ' ( 2iVar # (! é desconhecido.
a. De acordo com ( 2 ), qual é a esperança condicional do consumo da f
tem 40 anos de idade? E para aquela cujo chefe tem 20 anos de idade?;
Para b. e c. considere as três figuras abaixo:
ai
ci
sem pulo
sem quina
60
ci
sem pulo
quina
60
ai
ci
pulo
quina
60
do
asil, ci, é a idade,
sidere o seguinte
 não, definida da
satisfeitas para o
amília cujo chefe
ai
25
b. Que restrições devem ser impostas sobre os parâmetros do modelo ( 2 ) para evitar
mudanças descontínuas na esperança condicional do consumo na época da
aposentadoria? Como você testaria essa restrição?
c. Suponha que a restrição de b. seja verdadeira. Imponha isso sobre ( 2 ) e derive um
teste de hipótese que não haja pulo (como imposto) e não haja quina na consumo na
época da aposentadoria.
Solução: O exercício aplica os conhecimentos de variáveis dummy. Ele tem o mérito de
induzir o estudante a pensar em como se usam as variáveis dummy.
 a. O exercício é bastante simples, não demandando maiores dificuldades.
1 2
1 2
40 40;
20 20.
i i
i i
E c a
E c a
" "
" "
5 6! ! " ;9 :
5 6! ! " ;9 :
Ao passo que, por exemplo,
' (1 1 2 273 73i iE c a " $ " $5 6! ! " " " ;9 : .
 b. A restrição necessária para evitar o pulo é:
1 2 60 0$ $" ; ! .
Podemos testar,
0 1 2 1 1 2: 60 0 : 60 0H H$ $ $ $" ; ! & " ; # ,
fazendo um teste t-student da combinação linear dos coeficientes. Assim, rejeite H0 se
' (
' (
M N M N
12 2
1 1 2 2
\u2c6 0 4 , onde
0,1,0,60 ; , , , .
Rt t n
s R X X R
R
!
"
" " $ " $
$
$! 0 $
5 6) )7 89 :
)! !
c. Impondo a restrição de que não haja pulo sobre ( 2 ), obtemos:
' (1 2 2 60i i i i ic a D a" " $ #! " " $ " .
A restrição adicional para evitar quina é 2 0$ ! . Podemos, então, testar:
0 2 1 2: 0 : 0H H$ $! & # ,
fazendo um teste t-student da seguinte forma:
26
' (
' (2
12 2
33
\u2c6 0 3t t n
s X X
!
$
$
$! 0 $
5 6)7 89 :
.
Se a desigualdade for verdadeira, rejeitamos H0.
Apenas note o número de graus de liberdade, entre parênteses.
4.4 (J) Um conjunto de dados \u201ccross-section\u201d de famílias com relação a renda, y, e
consumo, c, é dividida em subconjuntos de observações, da seguinte maneira:
a. Operários;
b. Assalariados; e
c. Autônomos.
Uma regressão do log(c) contra o log(y) é computada para cada sub-amostra e para a
amostra completa (com \u201cdummy\u201d para cada intercepto), produzindo:
 
!\u3b2 s2 T
a. Operários 1 02
0 06
,
( , )
0,24 102
b. Assalariados 0 91
0 1
,
( , )
0,46 104
c. Autônomos 0 76
0 08
,
( , )
0,30 26
d. Todas famílias 0 86
0 05
,
( , )
0,39 232
Aqui !\u3b2 é o coeficiente de declividade (com os erros-padrão entre parênteses), s2 é a
variância residual, e T é o tamanho da amostra.
Teste as hipóteses de que:
a. A elasticidade de c com respeito a y é a mesma para todas as classes ocupacionais;
b. Seu valor é unitário.
Interprete os seus resultados e dê algumas possíveis explanações para as diferenças
observadas.
Solução: Este exercício é ilustrativo do uso das variáveis dummy, onde o aluno é
obrigado a raciocinar sobre sua utilização. Ao mesmo tempo, introduz-se um exemplo
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prático, para aguçar a intuição do estudante. O exercício é muito bom, porque
esclarece muitos detalhes que em geral passam despercebidos, mesmo após uma
cuidadosa leitura do texto principal. Ao final da resolução, apresentamos uma
variante do exercício, muito ilustrativa, embora de um elevado grau de dificuldade, se
proposto aos alunos. Porém, tal variante poderia servir como um desafio, mais voltado
aos alunos aplicados.
a. Temos que fazer um teste de F para esse caso. Assim, precisamos encontrar os erros
quadrados da equação restrita e da não restrita. Não temos isso diretamente, mas
podemos calcular. Se somarmos os erros das três regressões separadas, teremos o erro
da equação não restrita, da mesma forma que é feito no corpo do texto. Vamos ver
isso, algebricamente.
2 \u2c6 \u2c6 , 1, 2,3í íi
e es i
n k
)
! !
$
,
1 representa os operários,
2 representa os assalariados,
3 representa os autônomos.
Com isso, podemos calcular o erro quadrado de cada regressão. Sabemos que o tamanho da
amostra, T, será nosso n da equação e k é o número de parâmetros estimados. Como temos
uma dummy para cada intercepto, cada equação foi estimada com duas variáveis
explicativas, e a última equação foi estimada com três dummy mais o coeficiente de
declividade. Este é o primeiro detalhe importante. Logicamente, a última equação trata do
modelo restrito, que será denotado por um asterisco, *. Assim, temos:
' (
' (
' (
' (
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
* * * *
\u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c60, 24 102 2 24;
\u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c60, 46 104 2 46,92;
\u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c60,30 26 2 7,2;
0,39 232 4 88,92.
e e e e
e e e e
e e e e
e e e e
) )$ ! - !
) )$ ! - !
) )$ ! - !
) )$ ! - !
A soma dos erros quadrados das três primeiras equações nos dá a soma dos quadrados dos
erros da equação não restrita. Calculando temos que 24 46,92 7,2 78,12" " ! .
Agora, vamos especificar o teste F que desejamos fazer. Este segundo detalhe é muito
importante, pois define