atlas econometria[1]
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o número de restrições, q, para o teste de F, número esse que
freqüentemente causa confusões.
28
1 2
1 2
0 1
2 3
2 3
: : ouH H
" "
" "
" "
" "
1 #221 !2 22 2&3 32 2!24 2 #224
.
O número de restrições é melhor entendido, pensando na hipótese alternativa. Dessa forma,
calculando F, obtemos:
' (
' (
' (95%
88,92 78,12
2 15,62 2, 22678,12
232 6
F F
$
! ! .
$
.
Com esse resultados, rejeitamos H0 de que as declividades são idênticas para as três classes
laborais. Note que não sabemos se as três declividades são diferentes entres si, ou se apenas
uma delas difere das outras duas, nem qual delas seria. Apenas sabemos que são diferentes.
b. Agora temos que testar, para cada regressão, se a declividade é diferente. Basta usar
um teste t-student, bastante conhecido.
' (0 1 1 1 2,5%
1,02 1: 1 : 1: 0,333 100
0,06
H H t t" " $! & # ! ! / ,
de modo que aceitamos H0 ao nível de 5% de significância.
' (0 2 1 2 2,5%
0,91 1: 1 : 1: 0,9 102
0,1
H H t t" " $! & # ! ! / ,
de modo que aceitamos H0 ao nível de 5% de significância.
' (0 3 1 3 2,5%
0,76 1: 1 : 1: 3 24
0,08
H H t t" " $! & # ! ! . ,
de modo que rejeitamos H0 ao nível de 5% de significância.
À luz do teste que fizemos no item anterior, observamos que a diferença de declividade
encontra-se no 3" . Ou seja, temos duas declividades iguais a 1 e uma diferente de 1. Não
fizemos o teste para verificar se 3" é maior ou menor do que 1 (nosso teste foi para
verificar se era diferente de 1), mas é de se esperar que seja menor do que 1, de acordo com
as explicações a seguir.
Uma possível explicação é a percepção do que a renda representa para cada classe laboral.
Os assalariados e operários percebem aquela renda de uma perspectiva de mais longo
prazo, ou seja, entendem aquela renda como fazendo parte de seu fluxo de renda
permanente. Os autônomos não sabem se a renda percebida será igual nos períodos
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seguintes, ou seja, se se trata de renda permanente ou transitória. Por isso, os autônomos
têm uma propensão marginal a poupar maior do que as outras classes ocupacionais. À
propósito, isto é o que Milton Friedman propôs em suas Teoria da Renda Permanente. Esta
é a razão por que a elasticidade renda dos autônomos é menor.
Isto encerra o problema proposto.
O problema comporta algumas variantes de interesse. Inicialmente, suponha que não
tivesse sido citada uma dummy para cada intercepto. Então, isso traria ambigüidades, pois
não seria possível definir se em \u201ctodas famílias\u201d foram regredidas com apenas um
intercepto ou com uma dummy para cada intercepto. Assim, a solução dada anteriormente
testa a seguinte hipóteses:
Modelo Restrito: diferentes interceptos e uma declividade comum;
Modelo não Restrito: diferentes interceptos e diferentes declividades.
Porém, se assumimos que \u201ctodas famílias\u201d tem apenas um intercepto, então estaríamos
testando H0: interceptos são os mesmos e declividades são as mesmas. Formalmente:
1 2 1 2
2 3 2 3
0 1
1 2 1 2
2 3 2 3
, ou
, ou
: :
, ou
.
H H
! ! ! !
! ! ! !
" " " "
" " " "
1 1! #2 22 22 22 2! #2 22 2&3 32 2! #2 22 22 2! #2 22 24 4
Nesse caso, apenas o valor dos erros quadrados restritos é que mudariam para:
' ( * * * *0,39 232 2 89,70e e e e) )$ ! - ! .
O teste de F seria dado por:
' (
' (
' (95%
89,70 78,12
4 8,38 4, 22678,12
232 6
F F
$
! ! .
$
.
De modo que rejeitaríamos a hipótese nula, sem saber se a rejeição seria causada por
interceptos diferentes, ou declividades diferentes, ou ambos.
Agora uma problema mais difícil. Supondo que a regressão \u201ctodas famílias\u201d tenha, de fato,
um único intercepto, seria possível extrair a soma dos quadrados dos resíduos para um
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modelo restrito com diferentes interceptos e uma declividade comum, a partir dos mesmos
dados fornecidos?
Se estimássemos os modelos a partir de seus desvios em relação à média, recuperaríamos
os betas. Isto é, a partir da média, para modelos com intercepto e declividade apenas:
\u2c6 y x
x x
"
)
!
)
,
onde y e x são desvios em relação à sua média. Disso, podemos deduzir que::
' (2
* *
y x
e e y y
x x
)
) )! $
)
.
Dos dados do problema, temos que:
21 1
1 1 1 1
22 2
2 2 2 2
23 3
3 3 3 3
0, 241,02 e 0,06 ;
0, 460,91 e 0,10 ;
0,300,76 e 0,08 .
y x
x x x x
y x
x x x x
y x
x x x x
)
! !
) )
)
! !
) )
)
! !
) )
Assim, obtemos:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
66,67 e y 68,00;
46,00 e 41,86;
46,88 e 35,63;
159,55 e 145, 49.
x x x
x x y x
x x y x
x x y x
) ! !
) )! !
) )! !
) )! !
Assim:
145,49\u2c6 0,91
159,55
" ! ! .
Isso difere da declividade de \u201ctodas famílias\u201d de 0,86, confirmando nossa conjectura que a
regressão \u201ctodas famílias\u201d não continha variáveis dummy que permitisse interceptos
diferentes. Quer dizer, se queremos testar para diferentes declividades apenas, devemos
estimar o " da equação restrita com dummy para os interceptos e declividade comum,
como assumimos para resolver o problema anterior.
Para estimar * *e e) , precisamos computar 1 1 2 2 3 3y y y y y y y y) ) ) )! " " . Para qualquer regressão:
31
' ( ' (
' ( ' (
2
2
2
2
\u2c6 \u2c6 , 1,2,3
.
í i
í í i i i
í i
í i
i i i
í i
y x
e e s n k y y i
x x
y x
y y s n k
x x
)
) )! $ ! $ ! -
)
)
) ! " $
)
Logo, temos;
' (
' (
' (
2
1 1
2
2 2
2
68,00 0, 24 100 93,36;
66,67
41,86 0, 46 102 85,01;
46,00
35,63 0,30 24 34, 28;
46,88
212,65.
i i
y y
y y
y y
y y
) ! " !
) ! " !
) ! " !
) !
Dessa forma, obtemos:
2
* *
145,49212,65 80,50
159,55
e e) ! $ ! .
Ou seja, se não avisássemos no enunciado do problema que \u201ctodas famílias\u201d é calculado
com uma dummy para cada intercepto, teríamos que realizar todos os cálculos acima, para
obter a soma dos quadrados dos resíduos corretamente, a fim de testar para diferentes
declividades.
Finalmente, estamos prontos para testar que a elasticidade do consumo com relação à renda
é a mesma para todas as classes. Agora, há apenas duas restrições:
1 2 1 2
0 1
2 3 2 3
; ou
: :H H
" " " "
" " " "
1 1! #2 22 2&3 32 2! #2 24 4
.
Fazendo o teste F:
' (
' (
' (
' (95% 99%
80,50 78,12
22, 226 3,05 3,44 2,226 3,7078,12
232 6
F F F
$
/ ! ! /
$
- - .
Portanto, podemos rejeitar a hipótese de declividades comuns ao nível de 5%, mas não ao
nível de 1%.
Estas conclusões estão sujeitas a qualificações, no entanto. Se os dados disponibilizados
tiverem sido arredondados, consideráveis erros podem ter sido introduzidos. Por exemplo,
32
se 
2
\u2c6 0,0501"( ! (embora reportado 0,1), então 2 2 180,37x x) ! , não 46,00, como
assumimos. Assim, este exercício deve ser visto como pedagogicamente interessante, em
vez de empiricamente útil.
Para concluir o problema, suponha que aceitemos a hipótese de que as declividades sejam
iguais. Devemos, agora, testar se elas diferem da unidade. As informações que temos são as
seguintes:
2
2 * *
\u2c6
0,353\u2c6 0,91; 0,353; 0,047
232 4 159,55
e e ss s
x x"
"
)
! ! ! ! ! !
)$
.
O teste t é dado por:
' (2,5%
0,91 1 1,915 226 1,97
0,047
t t$! ! / ! .
Portanto, aceitamos a hipótese nula de que os coeficientes são conjuntamente iguais a 1.
Note que isso contrasta com os resultados obtidos pelo teste individual dos coeficientes,
feitos na resposta principal. O problema de se usar este tipo de teste é que estamos fazendo
um teste sobre outro. Isto é, aceitamos a hipótese de que os coeficientes são iguais; dado
isso, testamos se são iguais a 1. Nesse processo, perdem-se precisão e informação, motivo
pelo qual não recomendamos esse procedimento freqüentemente. Além disso, não é
intuitivo