atlas econometria[1]
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atlas econometria[1]


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que os coeficiente sejam todos iguais a 1, conforme explicamos na resolução
principal, embora possam ser todos iguais.
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5. Problemas Econométricos no Modelo Linear Geral
6.1 Suponha o modelo y X&quot; #! &quot; , onde y e # são vetores 1n& , X <\u221e é uma matriz
n k& e\u3b2 é um vetor 1k& , estimado por MQO com constante. Responda F(also) ou
V(erdadeiro) para cada alternativa e justifique sucintamente:
a. Heterocedasticidade nas perturbações produz estimativas consistentes de\u3b2 ;
b. Heterocedasticidade nas perturbações geram estimativas ineficientes;
c. Heterocedasticidade nas perturbações resulta numa matriz de covariância das
estimativas inconsistente;
d. Testes de hipóteses sobre os coeficientes deixam de ser válidos se há
heterocedasticidade.
Solução: Este é um exercício que tenta dirimir dúvidas, dando ao estudante a
oportunidade de voltar aos conceitos básicos e entendê-los melhor.
A resposta do exercício exige que se façam algumas hipóteses não explicitadas no
enunciados. Elas são as seguintes:
i. ' (. . . 0,i i d# O! ;
ii. X é não estocástico.
Com essas hipóteses, podemos responder a questão.
a. Verdadeiro, pois prova-se, como está no corpo do texto, que ' (\u2c6E &quot; &quot;! ;
b. Verdadeiro, pois ' ( ' ( ' ( ' ( ' (1 11\u2c6 \u2c6MQG MQOVar X X Var X X X X X X&quot; &quot; $ $$) ) ) )! O / ! O ;
c. Verdadeiro, decorrente de b.;
d. Verdadeiro, decorrente de b. Aqui, uma consideração. O teste de hipótese usando o
lado direito da igualdade em b. é válido. O problema é que muitos pacotes
econométricos simplesmente calculam como matriz de covariância como (X\u2019X)-1 e não
a matriz de covariância correta.
Maiores detalhes a respeito deste exercício são encontrados em WHITE, H. A
Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix and a Direct Test for Heteroskedasticity.
Econometrica, vol. 48, n.º 4, 1980.
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6.2 Suponha um modelo de regressão linear múltiplo em que !\u3b2 exista, seja não viesado e
eficiente, pois u é homocedástico. Suponha que você imponha falsas restrições sobre os
parâmetros do modelo.
a. Mostre que as estimativas nesse caso são viesadas;
b. Mostre que a variância das estimativas do modelo com restrições é menor do que a
variância das estimativas do modelo sem restrição;
c. Qual a implicação desse resultado em termos de previsão? Qual a intuição desse
resultado?
Sugestão: Lembre o que é EQM, ou seja, o erro quadrático médio.
Solução: O exercício procura ilustrar um caso que não é muito intuitivo, à primeira
vista, ou seja quando se impõem falsas restrições no modelo a variância reduz-se. Isto
é importante para se ter uma primeira intuição do erro quadrático médio, sua
importância e suas conseqüências para a previsão. Às vezes, impondo falsas restrições,
pode-se melhorar a previsão, pois reduz-se o erro de previsão, não obstante o viés
possa aumentar.
a. Primeiramente, note que
' ( ' (
' ( ' (
1 *
11 1
\u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6; ,
.
sr crX X X Y K r R
K X X R R X X R
&quot; &quot; &quot; &quot; &quot; &quot;$
$$ $
) )! ! ! ! &quot; $
5 6) ) ) )! 7 89 :
10
Daqui podem-se tirar as seguintes conclusões:
' ( ' (
' ( ' (
12
*
\u2c6 ;
.
Var X X
E K r R
&quot; (
&quot; &quot; &quot;
$)!
! &quot; $
Como ' (*r R E&quot; &quot; &quot;# - # . Portanto, as estimativas são viesadas.
b. Há bastante álgebra neste exercício, mas, com calma, obtém-se a resposta.
 
10 Ver exercício 3.1.c.
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' (
' ( M N ' (' (' ( ' (
' (
* \u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6
\u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6
A A
Var E Kr KR Kr KR Kr KR Kr KR
E AA
E KR A E I KR I KR
I KR B I
&quot; &quot; &quot; &quot; &quot; &quot; &quot; &quot; &quot;
&quot; &quot; &quot; &quot; &quot; &quot; &quot; &quot;
! !
)5 6 5 6
7 8 7 8! &quot; $ $ $ $ &quot; $ $ $ $ !7 8 7 87 8 7 89 : 9 :
5 6)! !9 :
5 6)5 6 ) )7 8! $ $ $ ! $ $ $ $ !7 8 7 89 : 9 :
! $
*&&&&&&&&&&&&&&+&&&&&&&&&&&&&&, *&&&&&&&&&&&&&&+&&&&&&&&&&&&&&,
' (
' (
2 2
1
,
.
D
KR B BR K KRB KRBR K
B X X
( (
!
$
< =) >? ) ) ) )$ ! $ $ &quot; >? >>?@ A
)!
*&&&+&&&,
Desenvolvendo D, temos:
' ( ' ( ' (
11 1 1
BK
D X X R R X X R R X X R K BR K
$$ $ $
!!
5 6) ) ) ) ) ) ) ) )! !7 89 : *&&&+&&&,*&&&&&&&&&&&&+&&&&&&&&&&&&,
.
Dessa forma, conseguimos:
' ( ' ( ' ( ' (' ( 1* 2 2 2Var B KRB I KR B I KR X X&quot; ( ( ($)! $ ! $ ! $ .
Logo, se ' ( ' (* \u2c60KR Var Var&quot; &quot;. - / . Para ver este último fato, observe que
' ( ' (
11 1
0
T T
R L LR
KR X X R R X X R R
)
$$ $
. ) )
5 6) ) ) )! 7 89 :
*&&&+&&&,
*&&&+&&&, *&&&&&&&&&+&&&&&&&&&,
.
Agora, seja c = Tv, onde c é um vetor 1n& . Sendo assim, c\u2019c = v\u2019T\u2019Tv > 0, como
queríamos demonstrar, pois c\u2019c é um escalar.
c. Mesmo com falsas restrições, as previsões serão melhores se a diminuição da
variância for maior do que o aumento do viés. Formalmente, se EQM* < EQM. A
intuição do resultado é que impor falsos parâmetros significa que haverá menos
parâmetros variando, o que poderia reduzir o erro de previsão.
6.3 Responda:
a. Cite pelo menos dois testes para a hipótese de homocedasticidade;
b. Cite pelo menos um teste para a hipótese de autocorrelação dos resíduos;
c. Em caso de rejeição da hipótese nula em a., por que método você estimaria o modelo?
d. Em caso de rejeição da hipótese nula em b., por que método você estimaria o modelo?
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Solução: O exercício pretende que o aluno volte ao livro-texto e verifique claramente
que testes ele pode aplicar e de que maneiras ele deve estimar o modelo, em caso de
rejeição da hipótese nula. Com isso, sistematiza-se todo o capítulo. Sugerimos
consultar, adicionalmente, Johnston e Dinardo (1998).
a. Há vários testes que podem ser usados: Breusch-Pagan, White, Goldfeld-Quandt,
Glesjer;
b. Durbin-Watson, ACF, Ljung-Box;
c. Mínimos quadrados generalizados, mínimos quadrados generalizados factíveis;
d. Pode-se usar o método de Cochrane-Orcutt, Durbin ou Variáveis instrumentais.
6.4 (C) Suponha o seguinte e verdadeiro modelo:
, 1, 2, ,t t ty x t T&quot; #)! &quot; ! # ,
porém um econometrista, equivocadamente, estima
, 1, 2, ,t t t ty x z t T&quot; $ #) )! &quot; &quot; ! # ,
onde xt é 1k& e zt é 1m& . Assuma que ' ( ' ( 2, 0, ,E x z E x z I# ## ()! ! . Seja &quot;\u2c6 o
estimador por MQO do modelo correto. Seja &quot;$ e $$ os estimadores do modelo equivocado.
a. &quot;$ é não viesado para &quot; ?;
b. Compute a matriz de covariância para ' (,&quot; $$ $ . Compare o bloco da matriz de
covariância correspondente a &quot;$ com a matriz de covariância de &quot;\u2c6 . Quando elas são
as mesmas?
Solução: O exercício tem o objetivo de mostrar se variáveis omitidas causam viés.
Sabemos que não, conforme provado no corpo do texto. Por isso, o exercício apenas
busca formalizar melhor os resultados já conhecidos, aplicando-se o Teorema de
Frisch-Waugh-Lovell ou Frisch-Waugh11, entre tantas outras maneiras de resolvê-lo.
Tal teorema pode ser encontrado em livros como DAVIDSON, Russel &
MACKINNON, James G. Estimation and Inference in Econometrics. New York:
Oxford, cap. 1, 1993 ou GREENE, William H. Economic Analysis, 4th. ed. Upper
 
11 Veja exercício 6.1.c, onde se demonstra esse teorema.
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Saddle River: Prentice Hall, 2000. À propósito, por se tratar de um teorema muito
útil, sugerimos que o mesmo seja apresentado em detalhes para os alunos.
a. Sim, &quot;$ é não viesado. Para ver isso, reescreva o modelo como
( 3 ) 1 1, , ,T k T TY X X Y&quot; # #& & &! &quot; .
Reescreva o modelo equivocado como
( 4 ) 1, ,T m TY X Z Z&quot; $ . .& &! &quot; &quot; .
Agora, pré-multiplique ( 4 ) por ' ( 1zM I Z Z Z Z
$) )! $ , observando que Mz é idempotente
e simétrica. Assim, obtemos,
( 5 ) z z zM Y M X M&quot; .! &quot; .
Pelo Teorema de Frisch-Waugh-Lovell, o &quot; estimado usando-se ( 5 ) é idêntico àquele
usando-se ( 4 ). Agora, note que pré-multiplicando ( 3 ) por Mz, voltaríamos a ( 5 ). Isto é,
se &quot; estimado por ( 3 ) é não viesado, então aquele estimado por ( 5 ) também não o é.
Formalmente, usando