atlas econometria[1]
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MQO em ( 5 ), conseguimos:
' ( ' (
' ( ' ( ' (
1 1
1
.
z z z z
z z
X M X X M Y X M X X M
E X M X X M E
" " #
" " # "
$ $
$
) ) ) )! ! " -
) )! " !
$
$
Portanto, "$ é não viesado.
b. Podemos estimar o modelo da seguinte forma:
M N
1\u2c6
.
\u2c6
Y X Z
X X X Z X Y
Z X Z Z Z Y
"
.
$
"
$
$
5 6
7 8! " -7 89 :
5 6 5 6 5 6) ) )7 8 7 8 7 8!7 8 7 8 7 8) ) )7 8 9 : 9 :9 :
Agora, temos que relembrar uma propriedade de inversão de matrizes. Dada a seguinte
matriz:
A B
M
C D
5 6
7 8! 7 89 :
,
então
38
' (1 1 1 1 11
1 1 1
A I BE CA A BE
M
E CA E
$ $ $ $ $
$
$ $ $
5 6" $7 8! 7 8$7 89 :
,
onde E = D \u2013 CA-1B.
Então, defina
' (
' ( ' ( ' ( ' (
' ( ' ( ' (
' (
1
11 1 11 1 1
1
1 1 1
1
;
xM
E Z Z Z X X X X Z
A I BE CA X X I X Z Z Z Z X X X X Z Z X X X
X X I X Z Z I X X X X Z Z X X X
X X
$
$$ $ $$ $ $
$
$ $ $
!
$
) ) ) )! $
1 I2 25 62 2) ) ) ) ) ) ) )" ! " $ !3 J7 82 29 :2 24 K
1 I2 25 6< =2 2>?7 82 2>2 2? >) ) ) ) ) ) )! &quot; $ !7 8?3 J>? >2 27 8? >>?2 2@ A7 82 29 :2 24 K
)!
*&&&&&&&+&&&&&&&,
' ( ' (E F1 1 .xI X Z Z M Z Z X X X$ $) ) ) )&quot;
Na primeira regressão, em ( 3 ), ' ( ' ( 12\u2c6Var X X&quot; ( $)! . Agora,
' ( ' ( ' ( ' ( ' (1 1 1 12 2 xVar X X X X X Z Z M Z Z X X X&quot; ( ($ $ $ $) ) ) ) ) )! &quot;$ .
Portanto, uma condição suficiente para que ' ( ' (\u2c6Var Var&quot; &quot;! $ é que X\u2019Z = 0, isto é, que X e
Z sejam ortogonais.
39
6. Multicolinearidade
6.1 (C) Considere o modelo
1 1 2 2 , 1, 2, ,t t t ty x x t T&quot; &quot; #) )! &quot; &quot; ! # ,
onde x1t é 1k& e x2t é 1m& . Assuma que ' ( ' ( 21 2 1 2, 0, ,E X X E X X I# ## ()! ! , e
1 2 0X X) ! . Seja &quot;\u2c6 o estimador por MQO do modelo correto. As variáveis estão em termos
de seus desvios em relação a sua média.
a. Mostre que a único estimador de ' (1 2,&quot; &quot; de variância mínima, não viesado e linear
pode ser escrito na forma:
' ( ' (1 11 1 1 1 2 2 2 2,X X X y X X X y&quot; &quot;
$ $) ) ) )! !$ $ .
Note que estes são estimadores de MQO para os modelos 1 1 1 1t t ty x! &quot; #)! &quot; &quot; e
2 2 2 2t t ty x! &quot; #)! &quot; &quot; , respectivamente.
b. 1&quot;$ e 2&quot;$ são estimadores não viesados se 1 2 0X X) # ? Se são, compute o viés de cada
um.
c. Suponha, agora, que 1 2 0X X) # . Seja ' (
1
, 1,2i i i i iM I X X X X i
$) )! $ ! . Qual é a
interpretação de M2X1 e M2y? Mostre que a estimativa de 1&quot; pode ser escrita como
' ( 11 1 2 1 1 2\u2c6 X M X X M y&quot;
$) )! ,
e similarmente para 2&quot;\u2c6 . Compute as matrizes de covariância de 1\u2c6&quot; e 2&quot;\u2c6 .
d. Considere o caso onde k = 1, m = 1 e 1 2 0X X) # . Expresse a variância de 1\u2c6&quot; como
uma função do coeficiente de correlação amostral entre X1 e X2, 212r . O que acontece
quando 212 1r H ?
Solução: Este problema tem vários objetivos. O primeiro é mostrar as várias maneiras
de se obter as estimativas do modelo. O segundo é mostrar as conseqüências de não se
ter X1 e X2 ortogonais entre si, ou seja, mostrar o viés causado por variáveis omitidas.
Além disso, prova-se parte do importante Teorema de Frisch-Waugh. Finalmente,
mostram-se as conseqüências da multicolinearidade, inclusive graficamente.
a. Vamos reescrever o modelo na forma matricial
40
( 6 ) 1 1 2 2 1 2 1 1, , , ,T TT k T my X X X X y&quot; &quot; # #& && &! &quot; &quot; .
Defina
' ( 1 , 1,2i i i i iM I X X X X i
$) )! $ ! .
Pré-multiplicando ( 6 ) por M2, obtemos:
( 7 ) 2 2 1 1 2M y M X M&quot; #! &quot; .
Por causa do Teorema de Frisch-Waugh-Lovell 1\u2c6&quot; estimado por ( 6 ) é idêntico ao 1\u2c6&quot; por
estimado por ( 7 )12. Logo,
' ( 11 1 2 1 1 2\u2c6 X M X X M y&quot;
$) )! .
Como
.
' (
0
1
1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1X M X X X X X X X M X
!
$) ) ) ) ) )! $ - ! ,
então,
' ( 11 1 1 1\u2c6 X X X y&quot;
$) )! ,
como queríamos demonstrar.
Adotando o mesmo procedimento para 2&quot;\u2c6 , obtemos
' ( 12 2 2 2\u2c6 X X X y&quot;
$) )! .
b. Suponha que 1 2X X# , e que 1&quot;$ é estimado usando o modelo 1 1y X &quot; #! &quot; , quando o
verdadeiro modelo é 1 1 2 2y X X&quot; &quot; #! &quot; &quot; . Então,
' ( ' ( M N
' ( ' (
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
1 1
1 1 1 1 2 2 1 1 1 .
X X X y X X X X X
X X X X X X X
&quot; &quot; &quot; #
&quot; &quot; #
$ $
$ $
) ) ) )! ! &quot; &quot; !
) ) ) )! &quot; &quot;
$
Logo
' ( ' ( 11 1 1 1 1 2 2
vies
E X X X X&quot; &quot; &quot;$) )! &quot;$ *&&&&&&&+&&&&&&&, .
Procedendo da mesma maneira,
 
12 Ver demonstração no item c. deste exercício.
41
' ( ' ( 12 2 2 2 2 1 1
vies
E X X X X&quot; &quot; &quot;$) )! &quot;$ *&&&&&&&+&&&&&&&, .
c. Primeiro observe que ' (
2
1
2 2 2 2 2
\u2c6
yX
M y y X X X X y
&quot;
$
!
) )! $ *&&&&&&+&&&&&&, é o resíduo da regressão de y
contra X2.
Seguindo o mesmo raciocínio, observe que
' (
1 2
1
2 1 1 2 2 2 2 1
\u2c6
X X
M X X X X X X X
&quot;
$ )! $ *&&&&&&+&&&&&&, .
Ou seja, isto é como se regredíssemos cada uma das colunas de X1 contra X2, e depois
calculássemos os resíduos de cada uma da k regressões.
Agora temos que provar que 1 1\u2c6 \u2c6
A B&quot; &quot;! , onde
(A) 1 1 2 2y X X&quot; &quot; #! &quot; &quot; ;
(B) 2 2 1 1 2M y M X M&quot; #! &quot; .
Este é o Teorema de Frisch-Waugh-Lovel que temos usado.
Tomando as condições de primeira ordem de (A), por mínimos quadrados ordinários,
obtemos:
11 1 1 2 1
2 1 2 2 22
\u2c6
\u2c6
X X X X X y
X X X X X y
&quot;
&quot;
5 65 6 5 6) ) )7 87 8 7 8!7 87 8 7 8) ) )7 89 : 9 :9 :
.
Desenvolvendo essa expressão, chegamos a
' ( ' (1 11 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2
\u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6
\u2c6 \u2c6 .
X X X X X y X X X y X X X X
X X X X X y
&quot; &quot; &quot; &quot;
&quot; &quot;
$ $12 ) ) ) ) ) ) )&quot; ! - ! $2232 ) ) )&quot; !224
Substituindo a primeira equação na segunda, temos:
' ( ' (
' ( ' (
' (
1 1
1 1
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 1
1
2 2 1 2 2 1
\u2c6 \u2c6
\u2c6
\u2c6
\u2c6 .
M M
X X X X X y X X X X X X X X X y
X I X X X X X X I X X X X y
X M X X M y
X M X X M y
&quot; &quot;
&quot;
&quot;
&quot;
$ $
$ $
! !
$
) ) ) ) ) ) )$ &quot; ! -
5 6 5 6
7 8 7 8) ) ) ) ) )$ ! $ -7 8 7 8
7 8 7 87 8 7 89 : 9 :
) )! -
) )!
*&&&&&&&&+&&&&&&&&, *&&&&&&&&+&&&&&&&&,
Procedimento análogo dá:
42
' ( 11 1 2 1 1 2\u2c6 X M X X M y&quot;
$) )! .
Para calcular a variância, note que:
' ( ' ( ' (
' (
' (
' ( ' ( ' ( ' (
1 1
1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
1
1 1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 12
1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1
\u2c6
\u2c6
\u2c6 , e
\u2c6 .
X M X X M M X M X M X X M
X M X X M
E
Var E X M X X M M X X M X X M X
&quot; &quot; # &quot; #
&quot; &quot; #
&quot; &quot;
&quot; ## (
$ $
$
$ $ $
) ) ) )! &quot; ! &quot; -
) )$ ! -
!
5 6) ) ) ) )! !7 89 :
Analogamente,
' ( ' ( 122 2 1 2\u2c6Var X M X&quot; ( $)! .
d. Primeiro, do apêndice sabemos que o coeficiente de correlação amostral é dado por:
' (
' (' (
2
1 22
12
1 1 2 2
X X
r
X X X X
)
!
) )
.
Dessa forma,
' ( ' ( ' (
' (
' (' (
' (' (
12
11 1 22 2
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1
2 2
12
11 22 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 12
1 1 2 2
2
2
1 1 12
\u2c6
.
1
X X
Var X X X X X X X X X X
X X
X X
X X X X X X X X r
X X X X
X X r
&quot; ( (
( (
(
$
$$
$
$
5 6)7 85 6) ) ) ) )! $ ! $ !7 87 89 : )7 89 :
5 6)7 8 5 6) ) ) )! $ ! $ !7 8 7 89 :) )7 89 :
!
) $
Ou seja,
' ( ' (' ( ' (212
2
1 12 1
1 1 12
\u2c6 \u2c6lim
1 r
Var Var
X X r
(&quot; &quot;
H
! - !L
) $
.
Graficamente, isso significa:
43
Interpretando 1 2 1X M X) como a soma dos quadrados dos resíduos de regressão de cada
coluna de X1 contra X2, podemos ver que, quanto menor os resíduos, maior a ' (1\u2c6Var &quot; . Os
resíduos serão menores, quanto maior for a colinearidade entre X1 e X2. Assim, se 212 1r H ,
' (1\u2c6Var &quot; vai para o infinito, e concluímos que o modelo tem variáveis redundantes. Isso
significa que podemos excluir uma das variáveis explicativas do modelo sem perder muita
informação.
6.2 (K) Retirar um variável pode ser uma \u201csolução\u201d para