atlas econometria[1]
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atlas econometria[1]


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multicolinearidade? (explique
detalhadamente)
Solução: O exercício procura aguçar a intuição do estudante.
Note, inicialmente, que não existe uma solução para multicolinearidade. Em segundo
lugar, deve estar claro que retirar uma variável pode significar a omissão de variável
relevante, o que resulta no viés de estimação. Porém, se a variável retirada for altamente
correlacionada com outra do modelo, pouca informação se perderia, pois essa outra variável
do modelo já está incorporando a informação da outra que foi retirada. Portanto, quanto
mais correlacionadas forem duas variáveis, menos necessário é que apareçam
simultaneamente no modelo, pois uma contém a informação da outra. É nesse sentido que
retirar uma variável pode ser uma \u201csolução\u201d para multicolinearidade.
' (1\u2c6Var "
2
1 1X X
(
)
2
12r1
44
6.3 (K) Se x2 é uma função exata de x, defrontar-nos-íamos com exata multicolinearidade se
usássemos x e x2 simultaneamente como regressores. Explique.
Solução: Mais uma vez, o objetivo do exercício é aguçar a intuição do estudante.
A afirmação é falsa, pois não existe uma relação linear entre x e x2. A multicolinearidade é
causada quando há uma relação linear. O próprio nome já leva a pensar isso, pois pontos
colineares são pontos que pertencem à mesma linha (ou reta).
6.4 (K) No modelo de regressão linear clássico, a multicolinearidade poderia resultar em
viés na estimativa de suas variâncias? Explique.
Solução: Este é um exercício bastante sutil, por isso importante.
Afirmação falsa. As variâncias tornam-se grandes, mas suas estimativas também. Isso é
fácil de ser visto, pois variância e estimativas têm (X\u2019X)-1 como fator comum, que fica cada
vez menor à medida que mais perfeita seja a multicolinearidade.
6.5 (K) Suponha um modelo de regressão linear clássico: y x w! " % #! " " " . Muitas
amostras são tais que x e w são correlacionados, porém, por sorte, você observa uma
amostra em que eles são não correlacionados. Então, você regride y contra x e um
intercepto, obtendo *" .
a. *" é não viesado?
b. A estimativa da variância de *" é não viesada?
Solução: Mais um exercício cuja sutileza lapida o conhecimento do estudante,
fazendo-o raciocinar sobre o problema.
a. *" é não viesado, haja vista que x e w são não correlacionados. Basta ver o primeiro
exercício deste capítulo.
b. A variância de *" é viesada, no entanto. Isto ocorre porque a estimativa de 2"( é
viesada para cima. Para ver isso, lembre-se de que s2 é dividido por n \u2013 k, onde k
deveria ser igual a 3, mas neste caso, por falta de uma variável, será dividido por (n \u2013 k
\u2013 1).
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7. Econometria das Variáveis de Resposta Qualitativas e
Limitadas
7.1 Escreva o modelo de probabilidade de escolha Probit. Interprete o impacto de uma
modificação em uma variável explicativa.
Sugestão: Consulte GRIFFTHS, William E., HILL, R Carter, JUDGE, George G. Learning
and Practicing Econometrics. New York: Wiley, 1992.
Solução: Apesar do livro texto escrever a função Probit explicitamente, esta é uma
boa oportunidade para entendermos melhor as conseqüências do uso desse modelo.
De acordo com o modelo Probit temos:
' (i iP F X ")! ,
onde ' (iF X ") é a função densidade de probabilidade acumulada, tal que
' (
21 exp
22
iX
i
zF X dz
"
"
-
)
$L
5 6
7 8) ! $7 89 :
P .
A questão agora e derivar essa função com respeito a Xj. Para isso, usamos o teorema de
Leibnitz que diz o seguinte:
' (
' (
' (
' (' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (
' (
' (, ,
, ,
A x
A x
B x
B x
F x z dz
F x z
F A x z A x F B x z B x dz
x x
,
,) )! $ "
, ,
P
P .
Como ' (B x !$L , então ' ( 0B x) ! . Além diso, como ' ( ' (,F x z F z! , então
' (,
0
F x z
x
,
!
,
. Logo o resultado da derivada é:
' ( ' (
2
1 exp
22
i
j i j
X
f X
"
" " "
-
5 6)7 8 )$ !7 8
7 89 :
,
onde ' (if X ") é a função densidade de probabilidade.
Podemos, assim, ver que o impacto de uma modificação da variável explicativa dependerá
de ' (if X ") e j" , e não apenas de j" isoladamente, como em modelos lineares.
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Vamos entender, intuitivamente, o que está ocorrendo. Quanto mais próximo de 1 ou 0
estiver a função densidade de probabilidade acumulada, ' (iF X ") , menores serão os valores
da f.d.p., ' (if X ") . Com isso, a mínima modificação em Xj tem poucas chances de mudar a
decisão. Se ' (iF X ") estiver ao redor de 0,5, então torna-se mais fácil modificar uma
decisão, pois a ' (if X ") estará em seu valor máximo.
Dessa discussão podemos concluir que, dado que ' (if X ") é sempre positiva, o sentido da
modificação dependerá do sinal de j" . Além disso, a magnitude da mudança na
probabilidade, dada uma variação em Xj, é determinada pela magnitude de j" e de
' (if X ") , simultaneamente.
7.2 (C) Em um modelo de escolha discreta Probit, suponha que a utilidade líquida é
' (2, 0,I X N #" # # (! " ! ,
onde
1, se 0
0, c.c.,
D I
D
1 ! 02232 !24
e
' (2, 0, VX V V N# / (! " ! .
Assuma que, na amostra à sua disposição, as observações são independentes entre as
pessoas.
O que pode ser identificado de uma grande amostra de observações de pessoas, quando (dê
as condições precisas):
a. 0/! ?;
b. 0/# ?.
Solução: Este é um exercício simples, apenas exigindo a montagem da função de
verossimilhança para fins estimação.
a. Vamos definir a função de verossimilhança primeiro, para, depois, responder as
questões.
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I X X X V" # " /! " ! " " .
Logo,
' (
' (
1, se 0 0
0, se 0.
D I X V
D X V
" /
" /
1 ! 0 - " " 02232 ! " " /24
Dessa forma,
' ( ' (' ( ' (
' ( ' (
Pr 1 Pr 0 Pr
Pr .
V V
V V V
XVD X V
X XV
" /
" /
( (
" / " /
( ( (
< =&quot; >? >! ! &quot; &quot; 0 ! 0$ !? >? >>?@ A
< = < =&quot; &quot;> >? ?> >B !Q? ?> >? ?> >> >? ?@ A @ A
Aqui, ' (Q ; representa a função densidade de probabilidade acumulada. É preciso dividir as
expressões pela variância de V, pois os resultados estimados sempre referem-se a uma
normal-padrão.
Então, o modelo Probit fica:
' ( ' (
1
1
1
ii DDn
i i
i V V
X X
L
&quot; / &quot; /
( (
$
!
5 6< = < =&quot; &quot;> >? ?7 8> >! Q $Q? ?> >7 8? ?> >> >? ?@ A @ A7 89 :
C ,
donde obtemos a estimativa
' (
V
&quot; /
(
&quot;
.
Assim, se 0/! , podemos identificar 
V
&quot;
(
.
b. Se 0/# , identificamos ' (
V
&quot; /
(
&quot;
 sem, no entanto, podermos separar 
V
&quot;
(
 de 
V
/
(
.
7.3 (C) Seja ' ( ' ( ' (1 1 2 2, , , , , ,n nY x Y x Y x5 69 :# uma amostra aleatória de n observações, onde xi é
uma variável aleatória escalar, e Yi é variável aleatória de Bernoulli, que assume apenas
dois valores, 0 e 1, com as seguintes probabilidades:
' ( ' (' (
' ( ' (
1 2
1 2
1 2
exp
Pr 1 ;
1 exp
1Pr 0 .
1 exp
i
i
i
i
i
x
Y X
x
Y X
x
) )
) )
) )
&quot;
! !
&quot; &quot;
! !
&quot; &quot;
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Esse modelo é conhecido como um modelo de resposta binária Logit. É uma alternativa ao
modelo Probit, como já sabemos.
a. Encontre a função esperança condicional de Yi dado X = (x1, x2, ..., xn);
b. Escreva a função log-verossimilhança para esse modelo.
Solução: Este é um exercício que requer apenas os conhecimentos de probabilidade. É
muito importante saber escrever a função log-verossimilhança, por isso a insistência
nesse conceito ao longo dos exercícios propostos.
a. Primeiro, vamos converter o problema em notação matricial, apenas para resolvê-lo de
uma maneira mais geral, mas isso não seria preciso, de fato.
' (
' (
Pr 1 ;
1
1Pr 0 .
1
i
i
i
X
i X
i X
eY X
e
Y X
e
)
)
)
! !
&quot;
! !
&quot;
Agora, é aplicar o operador esperança, simplesmente.
' ( ' ( ' (1 2 1 2 1 2, , , 1 Pr 1 , , , 0 Pr 0 , , ,
.
1
i
i
i n i n i n