LISTA DE EXERCÍCIOS - APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE E SUA INVERSA

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Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS - APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE 
LAPLACE E SUA INVERSA 
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: 
1. ( ) ( )
( )ïî
ï
í
ì
=
=-¢
10y
ety3ty t2 ; 
2. 
( ) ( ) ( )
( )
( )ïî
ï
í
ì
=¢
=
=+¢-¢¢
60y
20y
etty9ty6ty t32
; 
3. 
( ) ( ) ( )
( )
( )ïî
ï
í
ì
=¢
=
=+¢¢
10x
00x
t4costx16tx
; 
4. 
( ) ( ) ( )
( )
( )ïî
ï
í
ì
=¢
=
+=+¢+¢¢ -
00y
00y
e1ty6ty4ty t
; 
5. 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )ïî
ï
í
ì
-=¢
=
d=+¢+¢¢
50y
10y
tty4ty5ty
; 
6. 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=¢¢
=¢
=
=¢+¢¢¢
00y
00y
00y
tH2ty9ty
;
7. 
î
í
ì
³
<£
=
ï
î
ï
í
ì
=¢
=
=-¢¢
4tse,3
4t0se,0
)t(fonde
0)0(y
1)0(y
)t(f)t(y4)t(y
; 
8. 
( )
î
í
ì
³
<£
=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=¢¢
=¢
=
=-¢¢¢
4tse2
4t0se,0
)t(gonde
0)0(y
0)0(y
0)0(y
tg)t(y8)t(y
; 
9. 
î
í
ì
³
<£
=
ï
î
ï
í
ì
=¢
-=
=-¢+¢¢
5tse,2
5t0se,0
)t(fonde
0)0(y
2)0(y
)t(f)t(y7)t(y2)t(y
; 
10. 
î
í
ì
³
<£
=
ï
î
ï
í
ì
=¢
=
=+¢+¢¢
2tse0
2t0se1
)t(fonde
2)0(y
1)0(y
)t(f)t(y4)t(y4)t(y
. 
 
Use a transformada de Laplace e sua inversa para resolver os problemas abaixo: 
11. 0)0(y)0(x,0xyx,1y2x ===-+¢=¢-¢ ; 
12. ( ) ( ) 00y0x,0yx2,1yy2x ===+¢=-¢+¢ ; 
Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace 
 
2 
13. ( ) ( ) 00y0x,0yyx,t2yx3 ===-¢+¢=-¢ ; 
14. ( ) ( ) 00y0x,txyx,0yx2x 2 ===++¢=¢-+¢ ; 
15. ( ) ( ) 00y0x,1xy2x,0yxyx ===+¢+¢=-+¢+¢ ; 
16. ò -- --=
t
0
utt2 due)u(fet3)t(f ; 
17. 
ïî
ï
í
ì
=
--=¢ ò
0)0(y
du)u(y)t(sen1)t(y
t
0 ; 
18. 
ï
î
ï
í
ì
=¢
=
=¢-¢¢
2)1(y
0)0(y
t)t(y)t(yt 2
.
 
19. Um peso de 4 kg distende uma mola em 2 cm. O peso é solto a partir do repouso a 18 cm 
acima da posição de equilíbrio. O movimento resultante tem lugar em um meio que oferece 
uma força de amortecimento numericamente igual a 7/8 da velocidade instantânea do corpo. 
Determine a equação de movimento deste corpo. 
20. Determine a corrente em um circuito em série RLC quando L = 0,005 henry, R = 1 ohm, C = 
0,02 farad, E(t) = 100[1 - H(t - 1)] volts e a corrente inicial é nula. 
21. Determine a carga e a corrente em um circuito em série no qual L = 1 henry, R = 20 ohms, C 
= 0,005 farad, E(t) = 150 volts, para t > 0, com carga no capacitor e corrente iniciais nulas. 
Qual é a corrente estacionária? 
 
Sabe-se que a deflexão estática y(x) em uma posição x de uma viga uniforme de 
comprimento L, suportando uma carga w(x) por unidade de comprimento satisfaz a equação 
diferencial de quarta ordem: 
)x(w)x(
dx
yd
EI
4
4
= , 
onde E é o módulo de elasticidade de Young e I denota o momento de inércia de uma seção 
transversal da viga. Resolva os seguintes problemas de contorno: 
22. Uma viga de comprimento L está fixa em ambos os extremos (engastada). Neste caso, a 
deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y(L) = 0, 
y’(0) = 0 e y’(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que não há deflexão vertical nas 
extremidades e as outras duas significam que a linha de deflexão é horizontal nos extremos. 
Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w está uniformemente distribuída 
ao longo de seu comprimento. 
23. Para uma viga engastada em seu extremo esquerdo (x = 0) e solta em seu estremo direito (x = 
L), a deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y’(0) = 
0, y”(L) = 0 e y’”(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que a deflexão e a inclinação 
são nulas em x = 0. As outras duas significam que o momento fletor e a força de 
cisalhamento são nulos em x = L. Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w 
está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento. 
Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace 
 
3 
RESPOSTAS: 
1) t2t3 ee2)t(y -= ; 2) t3
4
e
12
t
2)t(y
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+= ; 3) 
8
)t4(sen)t2(
)t(x
+
= ; 
4) 
( ) ( )[ ]
6
t2sen22t2cos3ee21
)t(y
t2t +-+
=
--
; 5) t4e)t(y -= ; 
6) )1t(H
9
)3t3(sen
3
1t
-÷
ø
ö
ç
è
æ --
- ; 7) ( ) ( )[ ] ( )4tH)4t2cosh(1
4
3
t2cosh)t(y ----= ; 
8) ( ) ( )( ) ( )4tH4t3cos
6
e
e
12
1
4
1
)t(y
t4
4t2 -
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-++-=
-
- ; 
9) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5tHe24e248
28
1
e24e24
4
1
)t(y
)5t(221)5t(221
t221t221
-úû
ù
êë
é ++-++
+úû
ù
êë
é ++--=
-+--+-
+-+-
; 
10) ( ) ( ) ( ) ( )2tHe2t
2
1
e
4
1
4
1
te
2
7
e
4
3
4
1
)t(y 2t22t2t2t2 -úû
ù
êë
é -++-+++= ------ . 
11) ( ) ( ) te1ty;te22tx 2/t2/t -+-=-+-= ; 
12) 4/t34/t3 e
3
2
3
2
)t(y;e
9
4
t
3
1
9
4
)t(x +-=-+= ; 
13) ( )
2
3
te
2
3
ty;t
2
1
t
2
1
e
4
3
4
3
)t(x 3/t223/t2 ++-=++-= ; 
14) ( ) ( ) ( ) tttsenety;1ttcose)t(x 2tt -+=-+= -- ; 
15) ( ) ( ) ttt e1ty;et2e1tx --- -=--= ; 16) t32 e21tt3)t(f --+-= ; 
17) 
2
)t(sen)t2(
)t(y
-
= ; 18) 
6
t3t2
)t(y
23 -
= . 
19) 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
-
t
2
15
sen157t
2
15
cos15
10
e
)t(x
2/t7
. 
20) [ ])1t(He)1t(te000.20)t(i )1t(100t100 ---= --- . 
21) t10
t10
te60)t10(sen6)t(i;
5
)t10cos(3e)t303(
)t(q -
-
-=
-+
= ; a corrente estacionária é igual 
a 6 sen(10t). 
22) 
EI24
)Lx(wx
)x(y
22 -
= . 23) ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ +-
=
12
xLx4)Lx(6
EI
w
)x(y
432
.