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Provas Cálculo 1
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Provas/a.jpg
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Arq05_ProblemasDeOti (1).pdf
(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Este texto estuda um grupo de problemas, conhecido como “problemas de
otimização”, em tais problemas, quando possuem soluções, é sempre possível encontrar
uma função onde uma vez determinado o valor mínimo ou máximo absoluto da função,
também chamados de valores ótimos, obtém-se a solução do problema. Os problemas de
otimização deste texto são exemplos simples de um grupo tratado na vasta área de
Matemática Aplicada chamada de Programação Matemática, esta área é subdividida em
outros ramos, como por exemplo: Programação Linear, Programação Quadrática,
Programação Inteira, etc.
Os exemplos seguintes ilustram problemas de otimização e procedimentos usados
para resolver tais problemas.
Exemplo Resolvido 1. Encontrar o número
positivo que somado com o inverso do seu
quadrado, dê o menor valor possível.
Solução. Seja x um número arbitrário,
então 1 2x é o inverso do seu quadrado.
Assim, o problema fica resolvido,
encontrando o valor de x que minimiza a função definida por
.
x
1x)x(S
2
+=
Como 3
2
x
S (x) 1 ,′ = − tem-se S x′ =( ) 0 para x = 23 e S x′ ( ) não existe para
x 0,= mas apenas 23 é valor crítico de S, pois 0 não pertence ao domínio de S.
Sendo S x′ <( ) 0 para 0 23< <x e S x′ >( ) 0 para x > 23 , S é decrescente no
intervalo ( 30, 2 e crescente no intervalo )
3 2, , +∞
logo S tem valor mínimo
absoluto em x = 23 , portanto este é o número procurado.
Exemplo Proposto 1. Mostrar que 2 é o número positivo que somado com o dobro do
seu inverso é o menor valor possível.
Exemplo Resolvido 2. Se numa indústria
forem produzidas de 200 a 230 unidades
de uma peça, haverá um rendimento semanal
de $540,00 por cada unidade. Entretanto se
forem produzidas mais de 230 peças, o
rendimento semanal em cada peça será re-
duzido em $2,00 por cada peça a mais. De-
terminar o maior rendimento semanal da
indústria.
Solução. Considere x a quantidade de
peças produzidas semanalmente e R o
rendimento semanal da indústria. Logo, se
200 230≤ ≤x então
R(x) 540x=
e se x > 230 o rendimento de cada peça
será ),230x(2540 −− isto é,
2 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
[ ]R x x x x x se x( ) ( ) .= − − = − >540 2 230 1000 2 2302
Observe que 200 500≤ ≤x pois x ≥ 200 pela formulação do problema e
.0x2x1000 2 ≥− Assim, resumindo tem-se
R x
x se x
x x se x
( )
,
=
≤ ≤
− < ≤
540 200 230
1000 2 230 5002
logo R x′ =( ) 0 para x = 250 e R x′ ( ) não existe para x = 230, ou seja, estes são os
valores críticos de R em [ ]200 500, . Como
R R R e R( ) , ( ) , ( ) ( ) ,200 108000 230 124200 250 125000 500 0= = = =
o maior rendimento semanal para a indústria é de $125.000,00 e é atingido quando forem
produzidas 250 peças.
Exemplo Proposto 2. Numa excursão, cada pessoa pagará $800,00 se forem no máximo
30 pessoas. Entretanto, se forem mais de 30 pessoas, será reduzido $10,00 do valor por
cada pessoa excedente. Provar que deverão ir 55 pessoas na excursão, para que haja lucro
máximo.
É comum haver na relação em que aparece a variável que deverá ser minimizada
ou maximizada, mais de duas variáveis; neste caso, usando outras relações que também são
dadas pelo problema, é mais conveniente explicitar a variável (que deverá ser minimizada
ou maximizada) como função de uma única variável, através da eliminação das variáveis
excedentes. Por exemplo, se num problema aparece uma relação envolvendo as variáveis
x, y e z, onde y deverá ser minimizada ou maximizada, então o problema terá que
fornecer outra relação envolvendo apenas x e z, a fim de dar meios para colocar y como
função apenas de x ou somente de z.
Exemplo Resolvido 3. Achar os pontos
sobre a curva y x= 2 mais próximos do
ponto (0,2).
X
O
2y = x2 d
(x,y)
Y
Solução. Para resolver o problema, deve-se
encontrar o ponto ( , )x y sobre a curva, tal
que a distância
2 2d x (y 2)= + −
de ( , )0 2 a ( , )x y seja mínima.
Substituindo x y2 = , acha-se d como
função apenas de y, assim
(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 3
2d(y) y (y 2) .= + −
Tem-se
,
)2y(y2
3y2
)y(d
2−+
−=′
logo d y′ =( ) 0 para 32y ,= como d é derivável, este é seu único valor crítico. Sendo
d y′ <( ) 0 para 32y< e d y′ >( ) 0 para
3
2
y ,> d tem mínimo local em 3
2
que
também é mínimo absoluto. Portanto, como 3
2
y= corresponde a 3
2
x ,=± os pontos
( )3 32 2,− e ( )3 32 2, estão mais próximos de ( , )0 2 do que qualquer outro ponto sobre a
curva y x= 2 .
Observe que, considerando [ ]D y d y( ) ( ) ,= 2 o valor que minimiza d é o mesmo
que minimiza D e os cálculos usando a função D são mais simples. Veja o exercício 31
do exercitando do tópico 1 desta aula.
Exemplo Proposto 3. Mostrar que a origem é o ponto da curva 3xy = mais próximo do
ponto (0,1).
Exemplo Resolvido 4. Determinar as
dimensões do retângulo de maior área, que
pode ser inscrito no círculo de raio igual a
3.
X
O
(x,y)
Y
Solução. Considere o círculo com centro na
origem. Se ( , )x y está sobre a
circunferência de centro em ( , )0 0 e
raio
3, então 2x e 2y são as dimensões de
um retângulo inscrito no círculo, logo sua
área é
A xy= 4 .
Como ,9yx 22 =+ esta relação em x e y
permite expressar a área do retângulo em função apenas de x ou de y. Substituindo y,
obtém-se
.x9x4)x(A 2−=
Sendo
,
x9
x836)x(A
2
2
−
−=′
4 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
tem-se A x′ =( ) 0 para 3 22x=± e )x(A′ não existe se x ≤ −3 ou x ≥ 3.
Observe que 0 3< <x , a fim de que A x( ) seja a área de algum retângulo inscrito no
círculo, assim 3 2
2
é o único valor crítico de A, o qual dá o máximo absoluto de A.
Substituindo 3 2
2
x= na equação x y2 2 9+ = , encontra-se 3 22y= . Portanto, o
retângulo procurado é um quadrado de lados iguais a 3 2.
Exemplo Proposto 4. Provar que o triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito
num círculo de raio 3, é eqüilátero de lados iguais a .33
Exemplo Resolvido 5. Um muro com m
metros de altura é paralelo a uma parede e
está à distância d metros da mesma. Se um
refletor deve ser colocado no solo, a fim de
atingir a parede com um raio luminoso;
encontrar o ponto em que o refletor deve ser
colocado, para que o raio luminoso tenha o
menor comprimento possível e o
comprimento do raio.
y
x
m
c
d x-d
Solução. Sejam x à distância do
refletor até a parede e y a altura em que o
raio luminoso atinge a parede. Então, o
comprimento c do raio luminoso é
c x y= +2 2 .
Como o triângulo de lados x d− e m é
semelhante ao triângulo de lados x e y,
tem-se
.
y
x
m
dx =−
Substituindo y desta última relação em
2 2c x y ,= + acha-se c como função só
de x, isto é,
2
2 mxc(x) x .
x d
= + −
Seja [ ]C x c x( ) ( )= 2 (veja observação após a solução do exemplo 3 – pág. 231),
então
3 2
3
2x (x d) m d
C (x) ,
(x d)
− − ′ =
−
logo C x′ =( ) 0 para x = 0 e x d dm= + 23 e C x′ ( ) não existe para x d= . Como o
problema exige que x d> , d dm+ 23 é o único valor crítico de C, no qual C tem o seu
(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5
valor mínimo absoluto. Portanto, c tem mínimo absoluto em 3 2dmd + , isto é, o
refletor deve ser posto a dm23 metros do muro, para que o raio luminoso tenha o menor
comprimento possível que é de
( )3 2c d dm+ = ( )2 32 2d3 m1 m m d m + + metros.
Exemplo Proposto 5. Um fio de comprimento C vai ser cortado em duas partes, uma será
dobrada na forma de circunferência e a outra na forma de triângulo eqüilátero. Mostrar que
a circunferência deverá ter
pi+
pi
39
C3 de comprimento e o triângulo
pi+ 39
C9 de perímetro,
para que a soma das áreas das figuras seja menor possível.
EXERCITANDO
1. Encontre o número negativo que somado com o seu inverso, seja o maior valor possível.
2. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível com 4 cm de perímetro.
3. Encontre os dois números cuja soma seja igual a 12 e o produto seja maior possível.
4. Seja R a região limitada pela parábola y x= 2 e a reta y = 4. Determine as dimensões
do triângulo com base paralela ao eixo X, de maior área possível e que pode ser inscrito
na região R.
5. Encontre os pontos da curva dada, mais próximos do ponto indicado:
(a) xy A= 1 2 2, ( , ); (b) y x A2 2 1 0 4− = , ( , ).
6. Mostre que a elipse de maior área circunscrita num retângulo de base e altura iguais a 4
e 2, respectivamente, tem semi-eixos iguais a 2 2 e 2 . Sugestão: use que a área
da elipse de semi-eixos a e b é igual a piab.
7. Ache as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito num
semicírculo de raio igual a 2. Resolver o problema trocando o semicírculo por uma
semi-elipse de semi-eixos a e b.
8. Determine o triângulo isóscele de maior área inscrito num círculo de raio igual a 3.
Resolver o problema trocando o círculo por uma elipse de semi-eixos a e b, sendo o
lado do triângulo, diferente dos outros dois, paralelo a um dos eixos da elipse.
9. Considere uma reta contendo ( , )11 e interceptando os semi-eixos positivos. Ache a reta
6 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
de forma que a área do triângulo determinado pela reta e os eixos coordenados seja
mínima. Mostre que essa é a reta contendo (1,1) que está à distância máxima da
origem.
10. Um texto vai ser impresso numa folha de papel retangular com a cm2 , as margens
inferior e superior terão b cm e as margens laterais c cm. Ache as dimensões da
folha de papel, para que a área a ser impressa seja maior possível.
11. Um retângulo está inscrito num triângulo de base b e altura h. Se esse retângulo é o
de maior área possível e tem um lado sobre a base do triângulo, determine suas
dimensões, quando o triângulo é:
(a) Eqüilátero (b) Retângulo; (c) Qualquer.
12. Um terreno retangular vai ser murado pelo seu proprietário e um de seus vizinhos vai
pagar um dos lados. Se as despesas são de $8,00 por metro para o lado paralelo ao do
vizinho e $5,00 por metro para os lados restantes, ache as dimensões do terreno de
maior área possível que pode ser murado pelo proprietário com $800,00.
13. Uma janela terá a forma retangular encimada por uma semi-elipse. Se p e h são o
perímetro da parte retangular e a altura máxima da janela, respectivamente, determine
as dimensões do retângulo e o semi-eixo vertical da semi-elipse, para que penetre o
máximo de luz pela janela.
14. Uma pessoa encontra-se numa embarcação a 8 km do local mais próximo de uma
praia e ele deseja chegar a um lugar da praia distante 208 km de onde se encontra.
Se a embarcação desenvolve 6 km h e a pessoa pode andar 8 km h, determine onde
ela deve desembarcar na praia para chegar ao menor tempo possível.
15. Considere um fio na forma de Y suspenso nos pontos A e B, se a distância de A até
B é de d metros e a extremidade inferior do fio está h metros da reta contendo A e
B, determine o fio de menor comprimento possível.
16. Quais são as dimensões de uma lata cilíndrica com tampa de menor área possível e que
tenha volume igual a V.
17. Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume possível, que pode ser
inscrito num cone cuja base tem raio e altura iguais a r e h, respectivamente.
18. Encontre as dimensões do cilindro circular reto de área máxima, que pode ser inscrito
numa esfera de raio igual a r.
19. Determine as dimensões do cone de máximo volume, que pode ser inscrito numa esfera
de raio igual a r.
20. A resistência de uma viga, cuja seção transversal será retangular, devera variar na razão
direta da raiz quadrada da largura pela altura. Se a viga deverá ser serrada de um
(Tóp. 2 – Texto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 7
tronco de árvore cilíndrico, ache as dimensões da seção transversal da viga mais
resistente possível.
21. Uma indústria deseja fazer embalagens na forma de caixa:
(a) Se as partes laterais e o fundo serão feitos com uma lâmina quadrada de 30 cm de
lados, cortando quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados, ache o
comprimento do lado do quadrado que deve ser cortado, para que seja obtido uma
embalagem de maior volume possível;
(b) Se as caixas terão tampa e serão feitas da mesma forma e com a mesma lâmina de
(a), só que cortando retângulos iguais em cada canto, encontre as dimensões do
retângulo que deve ser cortado, para que seja obtida uma embalagem de maior
volume possível;
(c) Se as caixas não terão tampa e serão feitas com uma lâmina quadrada, cortando
quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados, determine o comprimento dos
lados da lâmina e do quadrado a ser cortado, para que seja obtida uma caixa de
volume igual a V com o menor custo possível;
(d) Se as caixas terão tampa e serão confeccionadas com uma lâmina quadrada,
cortando retângulos iguais nos cantos, determine o comprimento dos lados da
lâmina e as dimensões do retângulo a ser cortado, para que seja obtida uma caixa
de volume igual a V com o menor custo possível.
22. Uma viga deverá passar horizontalmente por dois corredores que se encontram em
ângulos retos e de larguras iguais aos valores a e b. Mostre que a maior viga deve
ter comprimento igual a ( ) ( ) .b/a1ba/b1a 3232 +++
23. Uma viga de comprimento igual a c é arrastada por uma extremidade ao longo de um
corredor de largura a e que se encontra com outro corredor perpendicularmente.
Determine a menor largura do outro corredor para que a viga possa passar.
24. (Lei da Refração de Snell). Suponha que um raio de luz vai do ponto A ao ponto B,
onde A e B estão em meios diferentes, e v e vA B são as velocidades da luz nos
dois meios. Se M é o ponto onde o raio de luz muda de meios, mostre que a luz
percorre o caminho de A até B, no menor tempo possível se v vB Asen sen ,α β=
onde α está subtendido pelo raio de luz e a vertical por M no meio onde se
encontra o ponto A e β está compreendido entre o raio de luz e a vertical por M no
meio onde se encontra o ponto B. Mostre ainda a lei da reflexão, isto é, o ângulo de
incidência do raio luminoso é igual ao ângulo de reflexão.
RESPOSTAS (Exercícios Ímpares)
1. ;1− 3. 6 e 6; 5. (a) ( , )− −1 1 se x < 0 e ( , )11 se x > 0, (b) ( )± 3 2, ;
7. 2 2 e 2 , e 2a e ;
2
b 9. x y 2;+ = 11. (a)
2
b e ,
2
h (b)
2
b e ,
2
h (c)
2
b e ;
2
h
8 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
13. As dimensões do retângulo são
)4(2
h
4
p
pi−
pi− e p h ,
4 2(4 )
pi+
− pi
e o semi-eixo da elipse é
;
)4(2
)8(h
4
p
pi−
pi−
+−
15. As partes iguais têm d m
3
e a parte de baixo dh m;
2 3
−
17. O raio é 2r
3
e a altura é ;
3
h 19. O raio é 2 2r
3
e a altura é ;
3
r4
21. (a) 5 cm, (b) 5 cm e 10 cm, (c) os lados da lâmina são 32 2V e os lados do
quadrado são ,
4
V3 (d) os lados da lâmina são ,V32
9
V4 33 + as dimensões do
retângulo são 3
9
V2 e ;
22
V3
9
V2
3
3 +
23. ( )3 2 2 3 2 3 3c c a a .− +
2-Teorema_do_Valor_Medio.pdf
4.2
Teorema
do
Valor
Médio
Material
online:
h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a) f é contínua no intervalo [a,b]
b) f é diferenciável no intervalo (a,b)
c) f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Prova:
caso 1: f(x) = k constante
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a) f é contínua no intervalo [a,b]
b) f é diferenciável no intervalo (a,b)
c) f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
f’(x)=0 para qualquer x em (a,b)
caso 2: f(x) > f(a) para algum x em (a,b)
Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge um valor���
máximo f(xM) em algum xM em [a,b].
Como f(a)=f(b)< f(x) para algum x,���
xM deve estar no aberto (a,b).
Como f é diferenciável em (a,b) e xM é ponto de máximo, temos f’(xM)=0,���
Dai c=xM.
Prova:
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a) f é contínua no intervalo [a,b]
b) f é diferenciável no intervalo (a,b)
c) f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Analogamente, f atinge um valor mínimo f(xm)
em algum xm em (a,b), onde teremos f’(xm)=0,���
Dai c=xm.
caso 3: f(x) < f(a) para algum x em (a,b)
Exemplo:
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a) f é contínua no intervalo [a,b]
b) f é diferenciável no intervalo (a,b)
c) f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Considere uma bola jogada para cima de uma altura inicial de 2m.
Em algum momento, a bola para de subir e desce, até atingir
novamente a altura de 2m.
Logo, se f é uma função que dá a altura da bola em metros no
instante t, o Teorema de Rolle nos garante que em algum momento a
velocidade da bola se anula, pois:
f(t0)=f(t1)= 2, onde t0 é o instante de tempo inicial e t1 o instante de
tempo final onde a altura mede 2m.
Como a função altura é contínua e diferencial, existe c
em (t0, t1) tal que f’(c)=0.
2m
f(c)
Exemplo:
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a) f é contínua no intervalo [a,b]
b) f é diferenciável no intervalo (a,b)
c) f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Demonstre que a equação x3 + x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
Temos que f(0) = -1 < 0 e f(1) = 1 > 0.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é
contínua, existe um número c entre 0 e 1 tal que ���
f(c) = 0. Logo, f tem pelo menos uma raiz real.
Suponha agora que f tem duas raízes reais. Então ���
f(a) = f(b) = 0.
f é derivável e contínua em todo ponto, pois é polinômio. Logo, pelo
Teorema de Rolle, existe c entre a e b tal que f’(c) = 0.
Mas isso é um absurdo, pois f’(c) = 3x2 + 1 ≥ 1 para todo x.
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− aou
y=f(x)
A = (a, f(a))
B = (b, f(b))
P = (c, f(c))
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− aou
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− aou
Prova:
Equação da reta por A e B:
Considere a funcão h(x) que dá a diferença entre
f e a função linear cujo gráfico é a secante que
por A e B.
y − f(a) = f(b)− f(a)
b− a (x− a),
mAB =
f(b)− f(a)
b− a
y = f(a) +
f(b)− f(a)
b− a (x− a),
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− aou
Prova:
y = f(a) +
f(b)− f(a)
b− a (x− a),
1. h é contínua em [a,b]
2. h é derivável em (a,b)
3. h(a) = 0 = h(b)
Pelo Teorema de Rolle, existe c em (a,b) tal que h’(c) = 0
0 = h�(c) = f �(c)− f(b)− f(a)
b− a � f
�(c) =
f(b)− f(a)
b− a
h�(x) = f �(x)− f(b)− f(a)
b− a .Mas
Exemplo: Se um objeto se move em linha reta com função posição s = f(t), então a
velocidade média entre t = a e t = b é
Pelo Teorema do Valor Médio, em algum instante t = c entre a e b, temos
vm =
f(b)− f(a)
b− a
Mas f’(c) é a velocidade instantânea do objeto quando t = c.
Logo, o Teorema do Valor Médio nos diz que em algum momento entre a e b a
velocidade instantânea é igual a velocidade média.
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− a = vm
Por exemplo, se um carro percorre 180 km em duas horas, sua velocidade média é
de 90 km/h. Logo, em algum instante nessas
duas horas, o velocímetro marcou 90
km/h.
Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f
(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte?
Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos:
f �(c) =
f(2)− f(0)
2− 0 =
f(2) + 3
2
Mas f’(c) ≤ 5, logo:
f(2) + 3
2
≤ 5
f(2) + 3 ≤ 10
f(2) ≤ 7
Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f
(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte?
Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos:
f �(c) =
f(2)− f(0)
2− 0 =
f(2) + 3
2
Mas f’(c) ≤ 5, logo:
f(2) + 3
2
≤ 5
f(2) + 3 ≤ 10
f(2) ≤ 7
f’(c) = 0 = f(b) – f(a)
f(b) = f(a)
Podemos, analogamente, tomar b < a e chegar a mesma conclusão de que f(b) = f(a).
Logo, f(x) = f(a) para todo x, e f é constante.
Corolário: Se f’(x) = g’(x) para todo x em um intervalo aberto (a,b) então f – g é
constante em (a, b), isto é, f(x) = g(x) + c, onde c é uma constante.
Seja F(x) = f(x) – g(x).
F’(x) = f’(x) – g'(x)
Como f’(x) = g’(x) em (a,b) , F’(x) = 0
Pelo corolário anterior, F é constante em (a,b).
Demonstração:
Exemplo: Demonstre que arctg(x) + arccotg(x) = π/2.
Seja F(x) = arctg(x) + arccotg(x).
F �(x) =
1
1 + x2
− 1
1 + x2
= 0
Pelo corolário, F é constante. Resta mostrar que essa constante vale π/2.
Basta tomar um valor qualquer de x, por exemplo, x=1:
F(1) = arctg(1) + arccotg(1) = π/4 + π/4 = π/2.
Logo, arctg(x) + arccotg(x) = F(x) = F(1) = π/2.
Exercício: Mostre que se x > 0.
Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…
√
1 + x < 1 +
1
2
x
Tome
f(x) =
√
1 + x
f �(x) =
1
2
√
1 + x
Se x > 0,
f �(x) <
1
2
Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0,
podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em
(a, b) tal que
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− a <
1
2
√
1 + b−√1 + a
b− a <
1
2
Exercício: Mostre que se x > 0.
Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…
√
1 + x < 1 +
1
2
x
Tome
f(x) =
√
1 + x
f �(x) =
1
2
√
1 + x
Se x > 0,
f �(x) <
1
2
Pelo Teorema do Valor Médio, como f é
contínua e derivável quando x > 0, podemos
tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de
modo que existe c em (a, b) tal que
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− a <
1
2
√
1 + b−√1 + a
b− a <
1
2
√
1 + b−√1 + a < 1
2
(b− a)
Para chegar próximo da
expressão desejada,
façamos b = x:
√
1 + x−√1 + a < 1
2
x− 1
2
a
√
1 + x <
√
1 + a+
1
2
x− 1
2
a
Finalmente, faça a = 0:
√
1 + x < 1 +
1
2
x
Exercício: Encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio
na função
f(x) = e−2x, [0,3]
f �(x) = e−2x · d
dx
[−2x] = −2 · e−2xSolução:
f(0) = e−2·0 = e0 = 1
f(3) = e−2·3 = e−6
=
e−6 − 1
3− 0
f �(c) = −2 · e−2c
−2 · e−2c = f �(c) = f(b)− f(a)
b− a
log
�
e−2c
�
= log
�
1− e−6
6
�
c = −1
2
log
�
1
6
(1− e−6)
�
Exercício: Suponha que para todo x. Mostre que
Solução:
3 ≤ f �(x) ≤ 5
18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30.
Vamos aplicar o Teorema do Valor no intervalo (2,8).
f �(c) =
f(8)− f(2)
8− 2 =
f(8)− f(2)
6
Como :
3 ≤ f �(c) ≤ 5
3 ≤ f(8)− f(2)
6
≤ 5
18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30
3_ prova 2014.2.pdf
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
Ca´lculo 1 Terceira Avaliac¸a˜o Data: 01/11/2014
Aluno(a):
Professor(a): Curso:
1
2
3
4
5
Nota
ATENC¸A˜O:
(1) SUAS RESPOSTAS SO´ SERA˜O CONSIDERADAS SE ESTIVEREM ESCRITAS COM CLAREZA E CORREC¸A˜O;
(2) A AUSEˆNCIA DOS CA´LCULOS NECESSA´RIOS IMPLICARA´ NA DESCONSIDERAC¸A˜O DA QUESTA˜O;
(3) E´ VEDADO O USO DE CALCULADORAS E CELULARES;
(4) SOBRE A CARTEIRA, DEVEM FICAR APENAS CANETA, LA´PIS, BORRACHA E O DOCUMENTO DE IDENTIDADE.
1. (a) (1 ponto) O ponteiro dos minutos de um relo´gio mede 16cm, enquanto o das horas tem 8cm
de comprimento. Qua˜o ra´pido esta´ variando a distaˆncia entre as pontas dos ponteiros a`s duas
horas?
(b) (1 ponto) O diaˆmetro e a altura de um cilindro circular reto sa˜o, num determinado instante,
20cm e 40cm, respectivamente. Se a altura crescer a uma taxa de 2cm/min, como variara´ o
raio do cilindro, se seu volume permanecer constante?
2. (a) (1 ponto) Use aproximac¸a˜o linear para estimar (63)2/3, em forma de frac¸a˜o.
(b) (1 ponto) Use diferenciais para obter uma aproximac¸a˜o para sen 60◦30′.
3. (a) (1 ponto) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = senh[x+ cosh(x− 1)] no
ponto de abscissa x = 1. O gra´fico dessa reta intercepta os eixos coordenados em dois pontos,
A e B. Determine a a´rea do triaˆngulo formado pela origem e pelos pontos A e B, em termos
do nu´mero e.
(b) (1 ponto) Considere f(x) = cosh(senx) + 5x e encontre uma equac¸a˜o para a reta tangente ao
gra´fico de f ′(x), no ponto de f ′ que tem abscissa igual a zero.
4. (a) (1 ponto) Determine, se existirem, os nu´meros cr´ıticos de f(x) = x1/x, x > 0.
(b) (1 ponto) Determine os valores extremos absolutos da func¸a˜o f(x) = sen(arctg x), quando
restrita ao intervalo [
√
3, 2
√
2].
5. (a) (1 ponto) Dada a func¸a˜o f(x) =
x + 8
2x− 4, mostre que na˜o existe c ∈ (0, 4), tal que
f ′(c) =
f(4)− f(0)
4
. Tal fato contradiz o Teorema do Valor Me´dio? Justifique.
(b) (1 ponto) Mostre que a func¸a˜o f(x) =
x4
4
+ 8x + arctg(10) na˜o pode ter mais de duas ra´ızes
reais.
1
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
.
2
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
.
3
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
.
4
4_ Prova (Adventistas) 2013.1.pdf
Ca´lculo 1 Quarta Avaliac¸a˜o (Evange´licos) Data: 02/08/2013
Aluno(a):
Professor(a): Curso:
1
2
3
4
5
Nota
ATENC¸A˜O:
1. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS OU QUE NA˜O INCLUAM OS CA´LCULOS NECESSA´RIOS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS.
2. NA CORREC¸A˜O VAMOS QUERER VER ARGUMENTOS BEM ESCRITOS.
3. NA˜O E´ PERMITIDO O USO DE CALCULADORAS.
1. (a) (1pt) Mostre que se f for uma func¸a˜o polinomial, na˜o podera´ haver, entre duas ra´ızes
consecutivas de f ′(x), mais de uma raiz de f .
(b) (1pt) Usando dos conhecimentos de Ca´lculo Diferencial, mostre que para todo x ∈
[−2pi, 2pi], temos cos2 x+ sen2x = 1.
2. Calcule os seguintes limites:
(a) (1pt) lim
x→0
(1− x)[cosx]
1
x
(b) (1pt) lim
x→∞
(ex + x)e
−x
3. (2pts) Uma companhia ae´rea possui uma rota entre Maceio´ e Sa˜o Paulo realizada por uma
aeronave que comporta ate´ 240 passageiros. Pore´m, nos u´ltimos meses a companhia so´ tem
conseguido vender metade de seus bilhetes por voˆo, ao custo de R$ 350,00 cada um. Apo´s
realizar uma pesquisa, chegou-se a` conclusa˜o de que e´ poss´ıvel vender 3 bilhetes a mais por
voˆo para cada R$ 5,00 dado como desconto no valor do bilhete. Considerando que todos os
bilhetes devem ser vendidos pelo mesmo prec¸o, determine o valor do bilhete que maximiza
o lucro da companhia.
4. (a) (1pt) Para que valor de a ∈ R existe o limite a seguir? Calcule o limite para o valor
de a encontrado.
lim
x→0
ex − eax + x
x2
.
(b) (1pt) Seja p(x) = c0+c1x+c2x
2. Mostre que o nu´mero c do intervalo [a, b] que satisfaz
o Teorema do Valor Me´dio e´ o ponto me´dio do intervalo [a, b].
5. (2pts) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) =
2x
x2 + 1
determinando seu domı´nio, suas ass´ıntotas,
seus intervalos de crescimento e decrescimento, concavidades, pontos de inflexa˜o, e ma´ximos
e mı´nimos locais. Considere que:
f ′(x) =
2− 2x2
(x2 + 1)2
f ′′(x) =
4x(x2 − 3)
(x2 + 1)3
4prova.jpg
8954_922325481129870_1411897828378564165_n.jpg
Prova1_Sexta_2013.2.pdf
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
Ca´lculo 1 Primeira Avaliac¸a˜o (Evange´licos) Data: 27/09/2013
Aluno(a):
Professor(a): Curso:
1
2
3
4
5
Nota
ATENC¸A˜O:
I. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS OU QUE NA˜O INCLUAM OS CA´LCULOS NECES-
SA´RIOS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS.
II. NA CORREC¸A˜O VAMOS QUERER VER ARGUMENTOS BEM ESCRITOS.
III. NA˜O E´ PERMITIDO O USO DE CALCULADORAS.
1. (a) Considere a func¸a˜o f(x) =
2x
2 − 6x− 30
x− 2 , x 6= 2
6, x = 2.
Analise a continuidade da func¸a˜o f . A descontinuidade de f e´ remov´ıvel? Em caso
afirmativo, redefina f para que a func¸a˜o seja cont´ınua.
(b) A func¸a˜o f(x) =
x
6. sen
(
2
x2
)
, x 6= 0
0, x = 0
e´ cont´ınua em R?
2. (a) Ache as ass´ıntotas verticais do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
x2 + x
x4 − 4x3 + x2 + 6x. Para
facilitar, informamos que x = 1 e´ raiz do denominador.
(b) Mostre que lim
x→a+
(xn − an)1/2. cos51
(
1
x− a
)
= 0.
3. (a) A func¸a˜o f(x) =
[[x]]− x
3− x possui ass´ıntota vertical? Em caso afirmativo, qual e´ a sua
equac¸a˜o?
(b) Se f(x) =
2x. sen
(
pix+
pi
2
)
, x <
1
2
−x3 + x2 + 5, x ≥ 1
2
,
mostre que f possui raiz a` esquerda do eixo y e a` direita do eixo y.
1
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matema´tica
4. Calcule os seguintes limites, caso existam:
(a) lim
x→1
(
1
x− 1 +
1
x2 − 3x+ 2
)
;
(b) lim
x→0
4
√
16 + x− 2
x
.
5. (a) Calcule f ′(0), se f(x) =
x
2. sen
(
1
x
)
, x 6= 0
0, x = 0.
(b) Ache a a´rea do triaˆngulo determinado pelos pontos de contato das ass´ıntotas a` curva
y =
√
x2 + 4
x+ 4
com o gra´fico de y =
√
x2 + 4
x+ 4
.
2
MA22_Unidade_11.pdf
11
1
Derivação implícita e
taxas relacionadas
Sumário
11.1 Derivação implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
11.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
11.3 Problemas de taxa de variação . . . . . . . . . . . . 6
11.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
11.5 Aproximação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
11.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11.7 Textos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Unidade 11
Derivação implícita
11.1 Derivação implícita
Nas Unidades 9 e 10 aprendemos a derivar funções da forma y = f(x).
Nesse caso, dizemos que a função está definida explicitamente. No entanto,
pode-se não derfinir explicitamente uma função, mas fornecer uma propriedade
que permita encontrar sua derivada, admitindo que a derivada exista. Por
exemplo, considere a
x2 + y2 = 4
Como sabemos, trata-se da equação de um círculo de centro na origem e raio 2.
Podemos resolver explicitamente por:
y2 = 4− x2 =⇒ y = ±
√
4− x2
Há, portanto, duas possibilidades de funções, as duas com domínio x ∈ (−2, 2):
y = f1(x) =
√
4− x2 ou y = f2(x) = −
√
4− x2
A derivada em cada caso é:
f ′1(x) =
1
2
(4− x2)− 12 (−2x) = − x√
4− x2 = −
x
f1(x)
f ′2(x) = −
1
2
(4− x2)− 12 (−2x) = x√
4− x2 =
−x
−√4− x2 = −
x
f2(x)
Logo, nos dois casos,
dy
dx
= −x
y
.
Por outro lado, admitindo a existência de uma função y = f(x) derivável
que satisfaça a relação x2 + y2 = 4, podemos derivar diretamente a relação:
x2 + y2 = 4
2x+ 2y.
dy
dx
= 0
dy
dx
= −x
y
Encontramos o mesmo resutado que antes, mas sem a necessidade de expli-
citar a definição da função. Observe o uso da regra da cadeia, quando fazemos
dy2
dx
= 2y
dy
dx
.
2
Unidade 11
Derivação implícita e taxas relacionadas
Em resumo, admitindo a existência de uma função derivável y = f(x) e
dada uma equação em x e y, é possível encontrar f ′(x) derivando a equação,
mesmo sem explicitar a definição de y = f(x).
Observe que dada uma equação entre x e y pode ser muito difícil ou mesmo
impossível encontrar a definição explícita y = f(x). Pode também acontecer
de mais de uma função satisfazer a equação, como no caso acima. No entanto,
admitindo a existência de função derivável y = f(x), a relação pode permitir o
cálculo da derivada f ′(x). Esta técnica é conhecida como derivação implícita.
Exemplo 1
Seja y = f(x) função derivável satisfazendo a equação y3 − xy = 1.
Encontre
dy
dx
.
Derivando y3 − xy = 1 obtemos:
3y2
dy
dx
− (1.y + x.dy
dx
) = 0
3y2
dy
dx
− y − x.dy
dx
= 0
dy
dx
(
3y2 − x) = y
dy
dx
=
y
3y2 − x
Portanto,
dy
dx
=
y
3y2 − x é a derivada de f(x) para os pontos onde 3y
2−x 6= 0.
Exemplo 2
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
y3 − 3x2y + x3 = 11
no ponto (2, 3).
Observe que o ponto (2, 3) satisfaz à equação: 33 − 3(22)3 + 23 = 27 −
24 + 8 = 11.
Admitindo a existência de uma função y = f(x) derivável que satisfaça a
3
Unidade 11
Derivação implícita
equação, podemos obter sua derivada por derivação implícita.
y3 − 3x2y + x3 = 11
3y2
dy
dx
− 3
(
2xy + x2
dy
dx
)
+ 3x2 = 0
3y2
dy
dx
− 6xy − 3x2 dy
dx
+ 3x2 = 0
dy
dx
(
3y2 − 3x2) = 6xy − 3x2
dy
dx
=
6xy − 3x2
3y2 − 3x2 =
2xy − x2
y2 − x2
Portanto,
dy
dx
=
2xy − x2
y2 − x2 é a derivada de f(x) para os pontos onde y
2−x2 6=
0 =⇒ y 6= ±x.
Para o ponto (2, 3), obtemos:
dy
dx
∣∣∣∣
x=2
=
2 · 2 · 3− 22
32 − 22 =
8
5
Portanto, a reta tangente em x = 2 tem coeficiente angular 8
5
. A equação da
reta é y = 8
5
x + b e passa por (2, 3), logo 3 = 8
5
· 2 + b =⇒ b = −1
5
. A reta
tangente tem equação
y =
8
5
x− 1
5
Exemplo 3
Encontre a equação da reta tangente à hipérbole xy = 1 passando pelo
ponto (u, v), em que (u, v), u 6= 0 é um ponto qualquer da hipérbole.
xy = 1 =⇒ y + xdy
dx
= 0 =⇒ dy
dx
= −v
u
.
O coeficiente angular da tangente é −v/u. Logo, a reta tem equação y =
−v
u
x+ b e passa pelo ponto (u, v).
Resulta que v = −v
u
u + b =⇒ b = 2v. Assim, a reta tangente tem
equação
y = −v
u
x+ 2v .
+ Para Saber Mais - Teorema da função implícita - Clique para ler
4
Unidade 11
Derivação implícita e taxas relacionadas
11.2 Exercícios
Encontre a derivada
dy
dx
para a função derivável y = f(x) que satisfaz cada
uma das seguintes equações:
1. xy + y2 = 1
2. y3 + xy2 + y = 3
3. x2 − y2 = 1
4.
1
x
+ 1
y
= 1
5. x2/3 + y2/3 = a2/3
Seja y = f(x) uma função derivável que satisfaz cada uma das equações abaixo.
Ache a equação da reta tangente ao gráfico
de f no ponto P indicado.
7. x2 + xy + y2 = 7, P = (1, 2)
8. x3 + 2xy + y2 = 4, P = (1, 1)
9. sen (xy) =
√
2
2
x, P = (1, pi
4
)
10. Encontre a equação da reta tangente à elipse
x2
2
+ y
2
8
= 1 passando pelo
ponto (1, 2).
5
Unidade 11
Problemas de taxa de variação
11.3 Problemas de taxa de variação
Vimos na Unidade 9 que a velocidade (instantânea) de um objeto é definida
por
v = lim
∆t→0
∆s
∆t
=
ds
dt
em que s = s(t) é a função posição do objeto. A velocidade mede a taxa de
variação (instantânea) da posição do objeto com o tempo.
De maneira geral,
Definição 4
Taxa de variação
Se x e y são duas grandezas sujeitas a uma relação funcional y = y(x),
então a taxa de variação de y em relação a x é a derivada
dy
dx
.
Outro exemplo de taxa de variação é a aceleração, definida por
a = a(t) =
dv
dt
.
Na próxima seção iremos deduzir e aplicar as equações do movimento linear de
aceleração constante.
Em algumas aplicações do cálculo, temos duas ou mais grandezas relaci-
onadas entre si e devemos calcular a taxa de variação das grandezas. Como
as grandezas estão relacionadas, usando derivação implícita ou, algumas vezes,
regra da cadeia, podemos calcular a taxa de variação de uma delas em fun-
ção da(s) outra(s). Tais problemas são conhecidos como problemas de taxas
relacionadas.
Vejamos alguns exemplos de problemas de taxas relacionadas.
Exemplo 5
Um quadrado se expande de tal maneira que seu lado aumenta à razão
de 5 m/s. Calcule a taxa de variação da área no instante em que a lado do
quadrado mede 10 m.
Seja l = l(t) o lado do quadrado. Note que o lado varia com o tempo,
sendo
dl
dt
= 5 m/s sua taxa de variação.
A área é dada por A(l) = l2. Vamos obter a taxa de variação de A usando
a regra da cadeia:
dA
dt
=
dA
dl
dl
dt
= 2l . 5 = 10l
6
Unidade 11
Derivação implícita e taxas relacionadas
l
l
ll A = l2
Figura 11.1: Quadrado de lado l
Portanto, no instante em que l = 10, temos
dA
dt
= 10.10 = 100 m2/s .
Logo, a taxa de variação da área é 100 m2/s.
Exemplo 6
Uma escada de 5 m está recostada em uma parede. A base da escada
escorrega, afastando-se da parede a uma velocidade de 6 cm/s. Com que
velocidade o topo da escada cai no momento em que a base da escada dista
3 m da parede?
es
ada
5
x
y
Figura 11.2:
As grandezas x e y estão relacionadas pelo teorma de Pitagóras x2+y2 = 25.
7
Unidade 11
Problemas de taxa de variação
Considerando x = x(t) e y = y(t) e derivando em relação ao tempo, temos:
x2 + y2 = 25
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0
y
dy
dt
= −xdx
dt
(11.1)
Basta, agora, substituir os valores para obter
dy
dt
. Temos
dx
dt
= 6 cm/s e
x = 3 m = 300 cm. Como x2 + y2 = 25, então 9 + y2 = 25 =⇒ y = 4 m =
400 cm. Resulta em
400
dy
dt
= −300dx
dt
= −300 · 6 = −1800 =⇒ dy
dt
= −4,5 cm/s
O resultado negativo indica que y diminui, ou seja, a escada cai. Observe que
tivemos que converter os comprimentos dados em metros para centímetros pois
a taxa de variação de x estava dada em cm/s.
Portanto, a velocidade de queda do topo da escada quando x = 3 m é
4, 5 cm/s.
Voltemos agora à equação 11.1. Podemos escrever a equação como
dy
dt
= −x
y
dx
dt
Se a escada cai de forma que
dx
dy
= 6 cm/s é constante, temos que x cresce até
no máximo x = 5 m, que é o comprimento da escada. No entanto, y diminui
até chegar a zero quando a escada está na horizontal. A fórmula 11.1 mostra
que
dy
dt
→∞ quando y → 0, o que revela apenas que é fisicamente impossível
que uma escada caia de forma que
dx
dt
seja constante até o final da queda.
Exemplo 7
Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 20 m e raio
de 4 m. A água está fluindo para dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min.
Quão rápido se eleva o nível de água no tanque quando a água estiver com 5
m de profundidade?
Conforme a água enche o tanque, a parte cheia forma um cone de raio r e
altura h. Por semelhança de triângulos, temos
r
4
=
h
20
=⇒ r = h
5
8
Unidade 11
Derivação implícita e taxas relacionadas
r
4
20
h
Água
O volume de água na parte cheia é V = 1
3
pir2h, substituindo r = h
5
, obtemos:
V =
1
3
pir2h =
1
3
pi
(
h
5
)2
h =
pih3
75
Derivando esta última expressão em relação à variável t, obtemos:
dV
dt
=
3pih2
75
.
dh
dt
=
pih2
25
dh
dt
=⇒ dh
dt
=
25
pih2
dV
dt
Observe que
dV
dt
é a taxa de aumento do volume, ou seja, é o fluxo de água que
entra, que é 2 m3/min. Portanto, quanto h = 5, temos
dh
dt
=
25
25pi
2 =
2
pi
m/min ≈ 0, 64 m/min.
Exemplo 8
Um cilindro é comprimido lateralmente e, ao mesmo tempo, alongado, de
forma que o raio da base decresce a uma taxa de 4 cm/s e a altura do cilindro
aumenta a uma taxa de 5 cm/s. Encontre a taxa de variação do volume do
cilindro quando o raio da base mede 6 cm e a altura 8 cm.
O volume do cilindro é dado por V = pir2h, em que r = r(t) é o raio da
base e h = h(t) é a altura do cilindo. Derivando esta fórmula, obtemos:
dV
dt
= pi
(
2r
dr
dt
h+ r2
dh
dt
)
= 2pirh
dr
dt
+ pir2
dh
dt
Substituindo agora os valores r = 6, h = 8, dr
dt
= −4 e dh
dt
= 5, obtemos:
dV
dt
= 2pi · 6 · 8 · (−4) + pi · 62 · 5 = pi(−384 + 180) = −204pi
Portanto, o volume do cilindro diminui a uma taxa de 204pi cm3/min ≈ 640.56 cm3/min.
9
Unidade 11
Problemas de taxa de variação
4
m/s4
m/s
h
r
r
5
m/s
5
m/s
Figura 11.3: Cilindro sendo alongado e comprimido lateralmente
Exemplo 9
Um objeto se move no eixo x das abscissas de modo que sua posição x
metros no instante t segundos é dada por x(t) = 1 + t + t3. Encontre sua
velocidade e aceleração em função do tempo.
A velocidade é dada v =
dx
dt
, logo
v =
d
dt
(1 + t+ t3) = 1 + 3t2 m/s .
A aceleração é dada por
a =
dv
dt
=
d
dt
(1 + 3t2) = 6t m/s2 .
Exemplo 10
Um objeto se move no eixo x das abscissas de modo que sua posição x em
metros no instante t segundos é dada por
x(t) =
t se 0 ≤ t < 2
2 se 2 ≤ t < 4
6− t se 4 ≤ t ≤ 6
Determine a velocidade do objeto. Faça um gráfico.
10
Unidade 11
Derivação implícita e taxas relacionadas
A função x = x(t) é derivável em todo o intervalo (0, 6), exceto nos ponto
t = 2 e t = 4, já que nestes pontos as tangentes à curva à direita e à esquerda
não coincidem. Excluindo estes pontos, temos as derivadas:
x′(t) =
1 se 0 < t < 2
0 se 2 < t < 4
−1 se 4 < t < 6
Portanto, o objeto saiu de x = 0 em t = 0, se deslocou com velocidade
constante igual a 1 até chegar em x = 2 em t = 2; ficou parado entre t = 2 e
t = 4 e, a partir de t = 4, voltou para a origem com velocidade constante igual
a −1. Compare os gráficos de x(t) e x′(t) a seguir:
1
2
3
1 2 3 4 5 6
b
b b
b
t
2
6− t
t
x(t)
1
2
−1
1 2 3 4 5 6
bc bc
bc
bc
1
bc
0
bc
−1
x′(t)
t
Exemplo 11
Dois carros se deslocam em estradas perpendiculares, um para o norte com
velocidade média
de 48 km/h e o outro para o leste, com velocidade média de
60 km/h. O segundo carro passou pelo cruzamento das estradas 2 horas depois
do primeiro. Determine a taxa de variação da distância entre os carros 3 horas
após o segundo carro passar pelo cruzamento.
Sejam y a distância do carroA, que vai para o norte, ao ponto de cruzamento
O e x a distância do carro B, que vai para leste, ao ponto de cruzamento O.
Seja l a distância entre os carros, como representado na Figura 11.4.
11
Unidade 11
Problemas de taxa de variação
A
B
48 km/h
60 km/h
l
x
y
O
Figura 11.4: Qual a taxa de variação da distância entre os carros?
Três horas após o segundo carro passar pelo cruzamento, o primeiro terá se
deslocado 5 horas após passar por O. A distância de A até O é, portanto:
y = vA ·∆t = 48 · 5 = 240 km/h .
Neste mesmo instante, o carro b terá se deslocado por 3 horas após passar
pelo cruzamento, logo a distância de B até O é
x = vB ·∆t = 60 · 3 = 180 km/h .
Pelo Teorema de Pitágoras, l2 = x2 + y2, em que l é a distância entre
os carros. No momento em que x = 180 e y = 240, o valor de l é l2 =
1802 + 2402 = 90000 =⇒ l = 300.
Derivando a expressão l2 = x2 + y2 e substituindo os valor de l, x, y, dx
dt
e
dy
dt
, obtemos
l2 = x2 + y2
2l
dl
dt
= 2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
dl
dt
=
1
l
(
x
dx
dt
+ y
dy
dt
)
dl
dt
= 74 km/h
12
Unidade 11
Derivação implícita e taxas relacionadas
11.4 Exercícios
1. Um círculo possui raio inicial de 1 m e começa a crescer de tal forma
que sua área aumenta a uma taxa de 10 cm2/min. Encontre a taxa de
variação do raio do círculo quando seu raio mede 5 cm.
2. Um balão esférico perde ar por um furo de tal forma que seu raio diminui
a uma taxa de 2 cm/min. Qual a taxa de diminuição do volume, quando
o raio do balão é r = 50 cm?
3. Uma escada de 5 metros de comprimento está apoiada em uma parede
vertical. Sabendo-se que o pé da escada se afasta da parede a uma
velocidade de 10 cm/s, qual a velocidade com que cai verticalmente o
topo da escada?
4. Um avião voa a 800 km/h em relação ao solo, mantendo uma altura
constante de 6 km. Uma câmera montada no solo aponta para o avião.
Seja θ o ângulo de elevação da câmera em relação ao solo. No instante
em que θ = pi
6
, qual a velocidade com que a câmera deve rodar para que
continue apontando para o avião, sabendo-se que este se aproxima da
câmera.
b
A
b
B
b
C
Câmera
Avião
6 km
θ
5. Um tanque com a forma de um cone invertido tem altura igual a 5 e raio
do topo igual 2 m. Se o tanque se enche a uma taxa de 1 m3/s, determine
a a taxa de aumento no nível de água quando está com profundidade de
2 m.
13
Unidade 11
Exercícios
6. Um homem de 2 m de altura se move em direção a um a poste de luz a
uma velocidade de 5 m/s. Do alto deste poste, uma lâmpada ilumina o
homem e projeta uma sombra. Quando a distância entre o homem e o
poste é de 4 m:
(a) Com que velocidade a ponta da sobra se move?
(b) Qual a taxa de variação do comprimento da sombra?
7. Um peixe mordeu a isca e começa a ser puxado pelo pescador. Este
diminui a linha a uma taxa de 30 cm/min, mas o peixe permance na
superfície da água. Se o pescador mantén a ponta da vara de pesca a
uma altura de 2 m e o peixe está a uma distância de 4 m do barco, com
que velocidade se aproxima do barco? Qual a taxa de variação do ângulo
que a linha faz com a superfície da água?
8. Um mecanismo é composto de uma roda de 1,5 m de raio, que gira no
sentido anti-horário a uma taxa constante de 1 radiano por segundo. Uma
barra metálica de 2,5 m tem uma extremidade A presa à roda. A outra
extremidade está presa a uma haste horizontal de forma que pode deslizar
livremente ao longo desta haste. Qual a velocidade da extremidade que
desliza da barra, quando o ponto A está em sua altura máxima?
b
B
b
A
2, 5 m
1, 5 m
1 rad/s
14
Unidade 11
Derivação implícita e taxas relacionadas
11.5 Aproximação linear
Nesta seção veremos uma aplicação da derivada que consiste em estimar o
valor de uma função f(x) próximo a uma ponto x0 usando a reta tangente ao
gráfico de f passando por x0,
Se a função f é derivável em x0 então a reta tangente ao gráfico de f
passando por (x0, f(x0)) é a reta
y = L(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0)
A aproximação linear consiste em estimar o valor de f(x), para x próximo
de x0 usando o valor y = L(x). Observe a Figura 11.5.
b
b
b
x0
f(x0)
x0 + h
f(x0 + h)
L(x) = f(x0) + f
′(x0)h
Figura 11.5: Aproximação linear de f
Como a função f é derivável em x0 então
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= f ′(x0) .
Se
R = R(h) =
f(x0 + h)− f(x0)
h
− f ′(x0)
então
f(x0 + h)− f(x0) = (f ′(x0) +R(h))h = f ′(x0)h+R(h)h (11.2)
e como f é derivável em x0:
lim
h→0
R(h) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
− f ′(x0) = f ′(x0)− f ′(x0) = 0
15
Unidade 11
Aproximação linear
Desprezando o termo R(h)h na equação 11.2, obtemos
f(x0 + h)− f(x0) ≈ f ′(x0)h
ou, escrevendo ∆f = f(x0 + h)− f(x0) e ∆x = (x0 + h)− x0 = h
∆f ≈ f ′(x0)∆x
Em resumo, para calcular por aproximação linear o valor de f(x0 + ∆x),
usamos a aproximação f(x0 + ∆x) = f(x0) + f
′(x0)∆x. Quanto menor ∆x,
melhor será a aproximação.
Exemplo 12
Calcule o valor aproximada de
√
102.
Se f(x) =
√
x então sabemos que f ′(x) = 1
2
√
x
. Tomando x0 = 100 e
∆x = 2, temos
f(100 + ∆x) ≈ f(100) + f ′(100)∆x
√
102 ≈
√
100 +
1
2
√
100
· 2 = 10,1
O valor correto até a 4a casa decimal é 10,0995, o que mostra que a apro-
ximação está correta até a 3a casa decimal.
Exemplo 13
Use aproximação linear para estimar o valor de
3
√
65.
Como
3
√
64 = 4, faremos a aproximação linear em torno de x0 = 4.
f(x) = 3
√
x =⇒ f ′(x) = 1
3
x−2/3 .
Assim,
f(65) ≈ f(64) + f ′(64) · 1 = 3
√
64 +
1
3
64−2/3 = 4 +
1
48
= 4.021
Exemplo 14
Se y = x3 + x+ 1, use a aproximação linear para determinar a variação de
y quando x passa de 3 para 3,05.
Temos ∆f ≈ f ′(x0)∆x. Usando a derivada f ′(x) = 3x2 + 1 e fazendo
x0 = 3 e ∆x = 0, 05,obtemos:
∆f ≈ (3 · 32 + 1) · 0,05 = 1,4
16
Unidade 11
Derivação implícita e taxas relacionadas
11.6 Exercícios
1. O raio de um círculo foi estimado em R = 20 cm, com precisão de ±0,1
cm. Determine a margem de erro no cálculo da área do círculo.
2. Mostre que para h suficiente pequeno vale a aproximação
√
x2 + h ≈ x+ h
2x
.
3. Usando aproximação linear, encontre uma fórmula que aproxima
3
√
x3 + h.
4. Estime o valor do seno de 31o
5. Mostre que aplicando uma fina camada de tinta de espessura h à su-
perfície de uma esfera de superfície S, o volume da esfera aumenta de
aproximadamente S · h.
17
Unidade 11 Textos Complementares
11.7 Textos Complementares
Para Saber Mais Teorema da função implícita
Nos exemplos anteriores, apresentamos uma relação entre x e y e dissemos
que a relação define implicitamente a função y = f(x). Na verdade, esta
afirmação não é trivial. podemos ver esta relação entre x e y como uma função
F : R × R → R em que F (x, y) = c, c constante. Para garantir que esta
relação define y como função de x, precisamos garantir certas condições para
a função F .
O Teorema da função implícita estabelece
condições suficientes para garantir
a existência de função derivável y = f(x) tal que F (x, f(x) = c. Como o teo-
rema envolve derivadas parciais, não é apresentado em uma primeira disciplina
de Cálculo.
No contexto das funções reais de uma variável que estamos estudando o
Teorema pode se enunciado da seguinte maneira:
Teorema 15
Teorema da função
implícita
Seja F : R × R → R uma função real derivável com derivada contínua.
Seja (x0, y0) ∈ R2 um ponto de seu domínio. Suponha que F satisfaça as duas
condições a seguir:
F (x0, y0) = z0
∂F
∂y
(x0, y0) 6= 0
Então existem intervalos abertos U e V , com x0 ∈ U e y0 ∈ V e existe uma
única função f : U → V tal que
F (x, f(x)) = z0, para todo x ∈ U .
Além disso, esta função f é derivável com derivada contínua e
f ′(x0) = −
∂F
∂x
(x0, y0)
∂F
∂y
(x0, y0)
O símbolo
∂F
∂y
, chamado derivada parcial de F em relação a y, é a derivada
da expressão na variável y, ou seja, ao derivarmos a função de duas variáveis
18
Unidade 11
Derivação implícita e taxas relacionadas
F (x, y), consideramos apenas a variável y.
No exemplo 1, a condição
∂F
∂y
6= 0 fornece:
∂(y3 − xy)
∂y
= 3y2 − x 6= 0 .
Esta mesma condição apareceu naturalmente na expressão de
dy
dx
encontrada.
No exemplo 2, a condição
∂F
∂y
6= 0 fornece:
∂(y3 − 3x2y + x3)
∂y
= 3y2 − 3x2 6= 0 =⇒ y2 − x2 6= 0 =⇒ y 6= ±x
condição esta que apareceu naturalmente na expressão de
dy
dx
encontrada.
19
Derivação implícita e taxas relacionadas
Derivação implícita
Exercícios
Problemas de taxa de variação
Exercícios
Aproximação linear
Exercícios
Textos Complementares
lista_otimizacao_e_gabarito.pdf
Lista de exercícios - Cálculo Diferencial e Integral I
Problemas de Otimização
1) De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma
calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem
ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?
2) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40
cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da
cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o
tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.
3) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375pi cm3. O custo
do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos o cm2 e o custo do
material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de
material, determine as dimensões que minimizem o custo do material.
4) Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em
um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone
coincidem.
5) Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de
cilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades. O custo de metro
quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do
tanque deve ser de 10pi cm3, que dimensões minimizará o custo da construção?
6) Uma bateria de voltagem fixa V e resistência interna fixa r está ligada a um circuito
de resistência variável R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é I =
)rR(
V
+
. Se a
força resultante é dada por P = I2.R, mostre que a força máxima ocorre quando R = r.
7) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/s.
Pela física sabemos que sua distância acima do solo após t segundos é
s(t) = - 4,9t2 + 120t.
a) Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.
b) Determine a altura máxima alcançada pelo projétil.
c) Determine a aceleração em um instante t arbitrário.
8) Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x
reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x3 – 3x2 – 80x + 500.
Cada mesa é vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro?
Qual o máximo lucro semanal possível?
9) Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro (1000 cm3) de líquido. Como
poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção
da lata?
10) O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma área de
piquenique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser
retangular, com uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos três
lados não-adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que será
necessária para completar o trabalho?
11) No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado “fator de
arraste”, isto é, a força de freagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo mede
o arraste por uma função da forma F(v) = Av2 +
2v
B
, onde A e B são constantes
positivas. Descobre-se experimentalmente que o arraste é minimizado quando v =
160 mph. Use esta informação para encontrar a razão
A
B
.
Sugestões para a resolução e gabarito
1) x = 7,5 cm
2) V = x(40 – 2x)(52 – 2x)
x = 7,47 cm
__________________________________________________________________
3) V = 375pi cm3
V = pir2h = 375pi
h =
2r
375
Custo = 15(pir2) + 5(2pirh)
C = 15(pir2) + 5(2pir
2r
375
)
C = 15pir2 + 3750r -1
C’(r) = 0
30pir - 3750r -2 = 0
r = 5 cm
h = 15 cm
___________________________________________________________________
4) Fazendo semelhança de triângulos
4
12
r4
h
=
−
h = 3(4 – r)
V = pir2h = pir2(3)(4 – r)
r =
3
8
____________________________________________________________________
5) r = 315
2
1
m
h = 3152 m
____________________________________________________________________
6) I =
rR
V
+
P = I2 R
P = R
rR
V
2
+
P’(R) = 0
R = r
____________________________________________________________________
7) a) – 4,9t2 + 120t = 0
t = 0 ou t = 24,5
O projétil atinge o solo após 24,5
segundos
v(t) = s’(t) = –9,8 + 120
s’(24,5) = –120,1 m/s
b) v(t) = 0
t = 12,24 s
c) a(t) = s”(t) = – 9,8 m/s2
v(24,5) = 120,1 m/s
____________________________________________________________________
8) Lucro = L(x)
Receita = R(x)
Custo = C(x)
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 2800x – (x3 – 3x2 – 80x + 500)
L’(x) = 0
Resposta: x = 32 mesas
L(32) = 61 964 unidades monetárias
____________________________________________________________________
9) V = 1000 cm3
V = pir2h = 1000
h =
2r
1000
Π
Material = 2pir2 + 2pirh
M(r) = 2pir2 + 2pir
2r
1000
Π
M’(r) = 0
r = 3
500
Π
≈ 5,42 cm
h = 10,84 cm = 2r
____________________________________________________________________
10) A = 5000 m2
A = xy = 5000
y =
x
5000
Cerca = 2x + y
C(x) = 2x +
x
5000
C’(x) = 0
x = 50m
y = 100m
____________________________________________________________________
11) F(v) = Av2 +
2v
B
F’(v) = 0
A
B
= (160)4
1-Maximos_e_Minimos.pdf
4.3
Máximos
e
Mínimos
Material
online:
h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html
Máximos
e
Mínimos
Máximos
e
Mínimos
Máximos
e
Mínimos
Máximos
e
Mínimos
Máximos
e
Mínimos
+
b2
4a2
− b
2
4a2
2 2
Máximos
e
Mínimos
2 2≥ p
�
− b
2a
�
x0 = − b2a é mínimo global, pois
p
�
− b
2a
�
≤ p(x),∀x
. Logo,
Máximos
e
Mínimos
Note que
p
�
− b
2a
�
= a
�
− b
2a
�2
+ b
�
− b
2a
�
+ c
=
�
b2
4a
�
−
�
b2
2a
�
+ c
=
�
b2 − 2b2 + 4ac
4a
�
=
�−b2 + 4ac
4a
�
=
∆
4a
Máximos
e
Mínimos
Máximos
e
Mínimos
Exercício:
y = 2− x
p(x) = x(2− x)
p(x) = −x2 + 2x
x0 = − b2a = −
2
−2 = 1
y = 2− x0 = 2− 1 = 1
p�(x) = −2x+ 2
−2x+ 2 = 0� x = 1
Máximos
e
Mínimos
Máximos
e
Mínimos
Exercício:
f �(x) = 1− cos(x)
f �(x) = 0� 1− cos(x) = 0
cos(x) = 1
x = {. . . ,−4π,−2π, 0, 2π, 4π, . . . }
Máximos
e
Mínimos
f(x)− f(x0) ≥ 0Note que
x− x0 > 0
x− x0 < 0
pois
Máximos
e
Mínimos
f �(x0) = lim
x→x+0
f(x)− f(x0)
x− x0 ≤ 0
f �(x0) = lim
x→x−0
f(x)− f(x0)
x− x0 ≥ 0
f �(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = 0
Máximos
e
Mínimos
f �(x) = 3x2
f �(x) = 0� 3x2 = 0� x = 0
Máximos
e
Mínimos
Onde podem estar os pontos de mínimo e máximo globais?
Pontos críticos:
f �(x) = 0 Extremos do intervalo:
f(a), f(b)
Máximos
e
Mínimos
Vamos restringir o domínio da função ao intervalo [-1, 3]
f �(x) = 0� 3x2 − 3 = 0� x2 = 1� x = ±1
Calculando a derivada de f:
Calculando os pontos críticos:
Calculando o valor da função nos extremos do intervalo:
Calculando o valor da função nos pontos críticos:
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 4 = 6 f(1) = (1)3 − 3(1) + 4 = 2
f(3) = (3)3 − 3(3) + 4 = 22
Máximo: 22, atingido em x=3
Mínimo: 2, atingido em x=1
Obs.: Faça
f(x) = x(x2 − 3) + 4
Teoria- Apostila cálculo 1.pdf
Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Gerência de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadêmico de Matemática
CÁLCULO DIFERENCIAL
E
INTEGRAL
Prof���*LOPDU�%RUQDWWR�
Cálculo Diferencial e Integral
1
AULA 01
1 - FUNÇÕES
1.1 - Conceito matemático de função
Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável
independente.
Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável
dependente.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos
numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a
linguagem da teoria dos conjuntos.
Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois
conjuntos.
Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produto
cartesiano (indica-se: A ×B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o
primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .
(Eq.1) A ×B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈B }.
Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B a
qualquer subconjunto de A ×B .
(Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A ×B .
Exemplo:
Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que
y =2 x , x ∈ A e y ∈B . Escrever os elementos dessa relação r .
Como x ∈ A :
x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A ×B ;
x =1 ⇒ y =2 ⇒ (1,2)∈ A ×B ;
x =2 ⇒ y =4 ⇒ (2,4)∈ A ×B ;
x =3 ⇒ y =6 ⇒ (3,6)∈ A ×B .
Então, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.
3210
1
2
3
4
5
6
y
x
7
8
9
10
[Fig.1]: Representação da relação por diagrama. [Fig.2]: Representação da relação por sistema cartesiano.
0
0A B
1
2
3
2
4
6
8
10
r
Cálculo Diferencial e Integral
2
Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos pares
( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈B mediante uma lei de associação
(no caso, y =2 x ).
1.2 - Definição de função
Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa
relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado
um e apenas um elemento y do conjunto B .
Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique sua
resposta e apresente o diagrama da relação.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B expressa
pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈B .
0
0A B
5
15
5
10
15
20
25
x =0 ⇒ y =5 ⇒ (0,5)∈ A ×B ;
x =5 ⇒ y =10 ⇒ (5,10)∈ A × B ;
x =15 ⇒ y =20 ⇒ (15,20)∈ A ×B .
• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 é uma função de A em B .
2) Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B expressa
pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈B .
0
A B
2
5
0
2
5
10
20
-2
x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A ×B ;
x =2 ⇒ y =2 ⇒ (2,2)∈ A ×B ;
x =5 ⇒ y =5 ⇒ (5,5)∈ A ×B .
• O elemento −2 de A não está associado a nenhum elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
Cálculo Diferencial e Integral
3
3) Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa pela
fórmula y = 2x , com x ∈ A e y ∈B .
A B
1
3
1
3
6
9
-3
-1
x =−3 ⇒ y =9 ⇒ (−3,9)∈ A ×B ;
x =−1 ⇒ y =1 ⇒ (−1,1)∈ A ×B ;
x =1 ⇒ y =1 ⇒ (1,1)∈ A ×B ;
x =3 ⇒ y =9 ⇒ (3,9)∈ A ×B .
• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = 2x é uma função de A em B .
4) Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela
fórmula 4y = x , com x ∈ A e y ∈B .
A B
81
-2
2
3
16
x =16 ⇒ y =−2 ou y =2 ⇒ (16,−2) e (16,2)∈ A × B ;
x =81 ⇒ y =3 ⇒ (81,3)∈ A × B .
• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
• O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
1.3 – Notação de Função
Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:
f : A→B (lê-se: função de A em B )
x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só
valor y ∈B )
A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc.
Numa função g : R →R , dada pela fórmula y = 2x −8, podemos também escrever g ( x )= 2x −8.
Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6.
Cálculo Diferencial e Integral
4
1.4 - Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
f : A→B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )
x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈B )
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da
função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir
em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no
contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de
y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são
imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que
o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.
f : A→B
x a y = f ( x )
D = A , CD =B , Im ={ y ∈CD / y é correspondente de algum valor de x }.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem da
função f : A→B definida por f ( x )= x +2.
f (−3)=(−3)+2=−1
f (−1)=(−1)+2=1
f (0)=(0)+2=2
f (2)=(2)+2=4
A B
0
2
0
1
2
3
4
-3
-1
-1
Im ={−1,1,2,4}
2) Dada a função f : R →R definida por f ( x )=a x +b , com a ,b ∈R , calcular a e b , sabendo
que f (1)=4 e f (−1)=−2.
A lei de formação da função é f ( x )=a x +b ou y = a x +b .
f (1)=4 ⇒ x =1 e y =4 ⇒ 4=a ⋅1+b (i)
f (−1)=−2 ⇒ x =−1 e y =−2 ⇒ −2=a ⋅(−1)+b (ii)
De (i) e (ii), temos:
a + b = 4
−a + b = −2
2b = 2
⇒ b =1 e a =3
a =3 e b =1 ⇒ f ( x )=3 x +1.
Cálculo Diferencial e Integral
5
1.5 – Função Composta
Tome as funções f : A→B , definida por f ( x )=2 x , e g : B →C , definida por g ( x )= 2x .
Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .
f : A→B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈B , tal que y =2 x .
g : B →C : a cada y ∈B associa-se um único z ∈C , tal que z = 2y .
Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A→C , que faz a composição
entre as funções f e g :
A B C
g
h
f
x y z
[Fig. 1]: Função composta
h : A→C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈C , tal que z = 2y = 22 )( x =4 2x .
Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 2x , é denominada função composta de g e
f .
De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈C é determinado de modo único pelo
elemento x ∈ A , escrevemos:
z = g ( y )= g ( f ( x ))
Notação:
A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f )
(Eq.3) ( g o f )( x )= g ( f ( x ))
Exemplos:
1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e g ( x )=2 2x −3.
Determine:
a) f ( g ( x )).
f ( g ( x ))= f (2 2x −3)=2 2x −3+1=2 2x −2
f ( g ( x ))=2 2x −2.
b) g ( f ( x )).
g ( f ( x ))= g ( x +1)=2 21)( +x −3=2( 2x +2 x +1)−3=2 2x +4 x +2−3=2 2x +4 x −1
g ( f ( x ))=2 2x +4 x −1.
c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )).
f ( g ( x ))= g ( f ( x ))
2 2x −2=2 2x +4 x −1
−2=4 x −1
4 x =1−2
x =−
4
1 .
Cálculo Diferencial e Integral
6
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
f
f
-1
2) Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ).
Como f ( x )=3 x −1, então f ( g ( x ))=3⋅ g ( x )−1.
Como f ( g ( x ))=6 x +8, então 3⋅ g ( x )−1=6 x +8.
3⋅ g ( x )−1=6 x +8
3⋅ g ( x )=6 x +8+1
g ( x )=
3
96 +x
g ( x )=2 x +3.
1.6 – Função Inversa
Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições
abaixo:
• 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio
é correspondente de algum elemento do domínio.
• 2. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.
Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa 1−f se for bijetora.
1.6.1 – Determinação da Função Inversa
Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua
inversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida
“isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa.
É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.
Exemplo:
1) Obter a lei da função inversa 1−f da função f dada por y = x +2.
y = x +2 ⇒ função f .
x = y +2 ⇒ trocando a variável x por y e y por x .
y = x −2 ⇒ isolando y .
Então, y = x −2 é a lei da função inversa da função dada por y = x +2.
Logo:
f ( x )= x +2 e 1−f ( x )= x −2
2) Construir os gráficos das funções f e 1−f do exercício anterior, num mesmo sistema de
coordenadas.
x f ( x ) x 1−f ( x )
−1 1 1 −1
0 2 2 0
1 3 3 1
2 4 4 2
Note que os gráficos
das funções f e
1−f são simétricos
em relação à reta
que contém as
bissetrizes do 1o e 3o
quadrantes.
Cálculo Diferencial e Integral
7
3) Determinar a função inversa 1−g da função g ( x )=
32
5
−
+
x
x , cujo domínio é D =R − ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
2
3 .
y =
32
5
−
+
x
x
⇒ função g .
x =
32
5
−
+
y
y
⇒ trocando a variável x por y e y por x .
(2 y −3) x = y +5 ⇒ isolando y .
2 x y −3 x − y =5
y (2 x −1)=3 x +5
y =
12
53
−
+
x
x
⇒ 2 x −1≠0 ⇒ x ≠
2
1
.
Logo, 1−g : R − ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
2
1 → R − ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
2
3
dada por y =
12
53
−
+
x
x
é a função inversa procurada.
AULA 01 – EXERCÍCIOS
1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B =
{0, 1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2 –
4x + 3. Faça o diagrama de g e verifique
se g é uma função de A em B. Em caso
afirmativo escreva o conjunto imagem.
2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em
R definida por f(x) = (x – 2)(x – 4).
Determine o seu conjunto imagem.
3) Sejam f e g funções reais definidas, para
todo o número real não nulo, por:
( )2583)( −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−= x
x
xxf e
( )2331
3
5)( 2 +−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= xx
x
xg
Se a e b são números reais distintos tais
que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a +
b
4) Considere a função f(x) real, definida por
f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15.
Determine o valor de f(0)
5) Determine o domínio das seguintes
funções:
a) 54)( −= xxf
b)
1
3)( 2 −= xxf
c) xy 21−=
d)
2
7
4
1
3
1)( −−−++
+=
x
x
xx
xxf
6) Sendo
1
1)( −= xxf , x≠ 1 e 42)( −= xxg ,
ache o valor de ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
2
1))2(( fggf .
7) Se
1
1)( −= xxf , qual o valor de x para que
f(f(x)) =Compartilhar
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