Algebra Linear - Combinações Lineares (Resumo)

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ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Definições 
Seja V um espaço vetorial. Temos as seguintes definições:
1-Subespaço vetorial Um subconjunto não vazio W de V, é um subespaço vetorial de V se forem verificadas as seguintes condições:
Dados u, v W, u + v W
Dados λ R, u W, λu W.
2-Combinação Linear: Se v1, v2, ..., vn são vetores de V e a1, a2, ..., an são números reais, qualquer vetor v V da forma
v = a1 v1 + a2 v2 + ...+ an vn
é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn.
3-Subespaço vetorial gerado: Se v1, v2, ..., vn são vetores de V, o conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares destes vetores é um subespaço de V. Este subespaço S diz-se gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn e é representado por 
S = [v1, v2, ..., vn ].
S = { a1 v1 + a2 v2 + ...+ anvn, a1, a2,...an Є R}
4- Dependência e Independência Linear: Seja A = {v1, v2, ..., vn } V. A equação
a1 v1 + a2 v2 + ...+ anvn = 0
admite a solução trivial a1 = a2 = ...= an = 0. Se esta for a única solução da equação, diz-se que o conjunto A é linearmente independente(LI), ou que os vetores v1, v2, ..., vn são LI.
Se existirem ai ≠ 0, diz-se que o conjunto é linearmente dependente(LD), ou que os vetores v1, v2, ..., vn são LD.
5- Base: Um conjunto B = {v1, v2, ..., vn } V é uma base de V se:
a) B é LI
b) B gera V, isto é, V = [v1, v2, ..., vn].
Se V tem uma base com n vetores, então qualquer base de V tem n vetores e a dimensão de V é n.
6- Componentes de um vetor
Seja B = V uma base de V. Dado v V , tem-se que existem , e são únicos, números reais tais que v = . Os números reais são denominados: componentes (ou coordenadas) de v, em relação à base B. Neste caso v é indicado por vB (ou [v]B ) e é representado por:
VB = ou por vB = 
Exemplo.
Seja V = R3 e seja a base B = {(2,0,0), (0,-3,0), (0,0,5)}. Determine as coordenadas de v = (-6, 4. -1) em relação a esta base.
Se A = {(5,0,0), (0,7,0),(0,0,-8)} também é uma base, determine 
[v]A
Sol:
[v]B = [v]A =