lista de exercícios 1

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CENTRO UNIVERSITA´RIO JORGE AMADO
Profa. Ana Carolina Moura Teixeira
Lista de Exercı´cios - Geometria Analı´tica
Nome:
Matrı´cula:
1. Justifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas:
(a) Se ~u = ~v, enta˜o |~u| = |~v|;
(b) Se |~u| = |~v|, enta˜o ~u = ~v;
(c) Se ~u//~v enta˜o ~u = ~v;
(d) Se ~u = ~v enta˜o ~u//~v.
(e) os vetores 3~v e −4~u sa˜o paralelos e de mesmo sentido.
2. Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor ~v = (−1, 3), sabendo que
sua extremidade esta´ em (3, 1)? Represente graficamente esse segmento.
3. Dado o vetor ~v = (1,−3), determinar o vetor paralelo a ~v que tenha:
(a) Sentido contra´rio ao de ~v e duas vezes o mo´dulo de ~v;
(b) O mesmo sentido de ~v e mo´dulo 2.
(c) Sentido contra´rio ao de ~v e mo´dulo 4.
4. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2).Determine o vetor ~w tal que 4(~u−~v)+ 13 ~w = 2~u−~w.
5. Considere os pontos A(1, 2) e o vetor ~u = (2,−1):
(a) No sistema de coordenadas XOY , represente o vetor ~u com origem no ponto A, indi-
cando o ponto A1 tal que ~u = ~AA1.
(b) Sabendo que B,A,A1 e C sa˜o ve´rtices consecutivos de um paralelogramo, determine
o ve´rtice C. Represente geometricamente o paralelogramo no sistema de coordenadas
XOY .
6. Dados os pontos A = (1,−2, 3), B = (2, 1,−4) e C = (−1,−3, 1), determine o ponto D tal
que ~AB + ~CD = ~0.
7. considere os vetores ~u = 2~i−~j + 2~k,~v = 5~i+ 5~j − 2~k e ~w = 3~i+ 6~j. Determine:
(a) 2~u− ~v + ~w;
(b) As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0,−2) e ~u = ~AB;
(c) As coordenadas do ponto M , onde M e´ o ponto me´dio do segmento AB item anterior;
(d) O verso de~b, onde~b e´ paralelo a ~u.
8. Determinar os valores de m para que o vetor ~v = m~i+ 6~j tenha mo´dulo igual a 10.
9. Determine os valores de m para que o vetor ~v = (m, 2m, 2m) seja um versor.
10. Determine um vetor paralelo a ~v =~i+~j + ~k e que tenha mo´dulo igual a 5.
11. Determine um vetor de mo´dulo 10 paralelo ao vetor ~v = 4~i+ 2~j − 5~k.
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12. Considere os vetores ~u = 2~i−~j + 2~k,~v = 5~i+ 5~j − 2~k e ~w = 3~i+ 6~j. Determine
(a) ~u.~v e ~u~w;
(b) |~v| e ~uo;
(c) Um vetor na˜o nuleo ortogonal a ~v.
13. Determine o versor do vetor ~v = (−1, 2,−2)
14. Determine o valor de α para que os vetores ~u = (α, 2,−4) e ~v = (2, 3−2α, 3) sejam ortogonais.
15. Dados os vetores ~u = (2,−3,−1) e ~v = (1,−1, 4), calcule:
(a) 2~u.(−~v);
(b) (~u+ 3~v)(~v − 2~u);
(c) (~u+ ~v)(~u− ~v);
(d) (~u+ ~v)(~v − ~u)
16. Determinar o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (2,−1, 3), tal que ~v.~u = −42.
17. Determine o vetor ~v = (x, y, z) sabendo que |~v| = 5, ~v ⊥ Ox, ~v ~w = 6, onde ~w = (1, 2, 0).
18. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e ~u~v = −1, calcule:
(a) (~u− 3~v)~u;
(b) (2~v − ~u)(2~v);
(c) (~u+ ~v)(~v − 4~u);
(d) (~u+ ~v)(~v − ~u).
19. Calcular |~u+ ~v|, |~u− ~v| e (~u+ ~v)(~u− ~v), sabendo que |~u| = 4, |~v| = 3 e o aˆngulo entre ~u e ~v e´
de 60 graus.
Gabarito:
Bom Trabalho! ;)
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