Aula 9 Energia cinética e trabalho Parte 2

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Aula 9 - Energia cinética e trabalho - Parte 2.
X Trabalho realizado pela força elástica Fs (exercida por uma mola) ) exemplo de força variável ) várias
forças na natureza podem ser aproximadas por uma força elástica;
X Mola no estado relaxado ) uma das extremidades está …xa ) partícula presa na outra extermidade;
X Alongamos a mola (puxando a partícula para a direita), a mola puxa a partícula para a esquerda) comprimimos
a mola (empurrando a partícula para esquerda), a mola empurra a partícula para a direita ) força restauradora;
X Vale a Lei de Hooke: Fs = �kx (x = 0 marca a posição da partícula no estado relaxado da mola) ) sinal
negativo: sentido de Fs é sempre oposto ao do deslocamento d da partícula ) k é a constante elástica;
X Se x > 0 (mola alongada para a direita) = força negativa (puxão para a esquerda)) se x < 0 (mola comprimida
para a esquerda) = força positiva (empurrão para a direita);
X Fs é variável, pois depende de x (posição da partícula);
X Hipóteses simpli…cadoras: a) mola ideal sem massa e b) não existe atrito;
X Não podemos utilizar as expressões já conhecidas, pois a força elástica é variável;
X Estratégia: dividir o delocamento total da partícula em vários segmentos muito pequenos (cada um de compri-
mento �x) ) no interior de cada segmento, Fs (módulo de Fs) é praticamente constante (pois x praticamente não
muda)) trabalho realizado dentro do segmento i: Wi = Fs;i�x cos� = �Fs;i�x (pois vale � = 180� e cos 180� = �1)
) trabalho total: Ws =
P
i
Wi = �
P
i
Fs;i�x;
X Limite �x! 0, vale: Ws = �
xfR
xi
Fsdx;
X No caso da força elástica, vale Fs = kx ) resulta:
Ws = �
xfZ
xi
kxdx = �k
xfZ
xi
xdx = �k
�
1
2
x2
�xf
xi
= �k
�
1
2
x2f �
1
2
x2i
�
=
1
2
kx2i �
1
2
kx2f ; (1)
X Ws pode ser positivo (se xf < xi), negativo (se xf > xi) ou nulo (se xf = xi);
X Agora, aplicamos uma força F sobre a partícula ) W� = trabalho realizado por F ) trabalho total: W =
W� +Ws = �K;
X Partícula em repouso antes e depois do deslocamento ) Kf = 0, Ki = 0 e �K = 0 ) W� = �Ws;
X Trabalho realizado por uma força variável genérica F (x) (caso unidimensional) ) de acordo com os
mesmos argumentos usados anteriormente, vale: W =
xfR
xi
F (x) dx (agora vale � = 0� e cos 0� = +1)) trabalho é igual
à área entre a curva de…nida por F (x) e o eixo x, entre os limites xi e xf ;
X Trabalho realizado por uma força variável genérica F = Fx (x) i+Fy (y) j+Fz (z)k (caso tridimensional)
) vale: W =
xfR
xi
Fx (x) dx +
yfR
yi
Fy (y) dy +
zfR
zi
Fz (z) dz ) se F possui apenas componente em x, recuperamos o caso
anterior (unidimensional);
X Teorema do trabalho e energia cinética para uma força variável ) vale (pela 2� lei de Newton):
W =
xfZ
xi
F (x) dx = m
xfZ
xi
adx = m
vfZ
vi
vdv = m
�
1
2
v2
�vf
vi
=
1
2
mv2f �
1
2
mv2i = �K, (2)
onde
adx =
dv
dt
dx =
dx
dt
dv
dx
dx = vdv; (3)
X O teorema do trabalho e energia cinética também é válido para uma força variável ;
X Potência = taxa de variação temporal do trabalho realizado ) trabalho W realizado durante um intervalo de
tempo �t ) a potência média vale: Pm =W=�t ) a potência instantânea vale: p = dW=dt;
X Unidade de potência é o "watt") vale: 1 watt = 1 W = 1 J/s;
1
X Para uma força constante, a potência instantânea pode ser escrita como:
p =
dW
dt
=
d
dt
(Fx cos�) = F cos�
dx
dt
= Fv cos� = F � v, (4)
onde v é a velocidade (vetorial) com a qual a partícula se move.
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