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CAMPUS PATO BRANCO CURSO DE MATEMA´TICA PARA ALUNOS INGRESSANTES Projeto Institucional da A´rea de Matema´tica do campus Pato Branco Pato Branco - PR, 2011 Suma´rio 1 Nu´meros Naturais 4 1.1 Nu´meros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mu´ltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Mı´nimo Mu´ltiplo Comum (M.M.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Ma´ximo Divisor Comum (M.D.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Frac¸o˜es 11 2.1 Operac¸o˜es com frac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Outras operac¸o˜es com frac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Potenciac¸a˜o e Radiciac¸a˜o 16 3.1 Potenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.1 Exerc´ıcios para Fixac¸a˜o! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Radiciac¸a˜o e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.1 Propriedades da Radiciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Expresso˜es nume´ricas 21 4.1 Ordem das Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Equac¸a˜o do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 Expresso˜es Alge´bricas e Polinoˆmios 25 5.1 Expresso˜es Alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.1.1 Operac¸o˜es com Monoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2.1 Operac¸o˜es com Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2.2 Operac¸o˜es com polinoˆmios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.3 Decomposic¸a˜o de Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3.1 Frac¸o˜es Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6 Exponencial e Logaritmo 38 6.1 Equac¸o˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2 Inequac¸o˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.3.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 7 Trigonometria 44 7.1 Introduc¸a˜o a` trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.1.1 Razo˜es trigonome´tricas no triaˆngulo retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.1.2 Aˆngulos Nota´veis: 30o, 45o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.1.3 Ca´lculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.1.4 Ca´lculo do seno, cosseno e tangente de 45o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.3 Arcos, aˆngulos e o c´ırculo trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.3.1 Arcos e aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.3.2 Estudo do C´ırculo Trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.3.3 Expressa˜o Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.3.4 Circulo Trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7.4 Identidades Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.4.1 Identidades Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 8 Respostas dos Exerc´ıcios 59 8.1 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8.2 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.3 Respostas dos Exerc´ıcios do Capitulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.4 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.5 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.6 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.7 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.8 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Refereˆncias 76 Cap´ıtulo 1 Nu´meros Naturais 1.1 Nu´meros Naturais O sistema de numerac¸a˜o mais usados em nossos dias e´ o indo-ara´bico, que tem base decimal e e´ de cara´ter posicional, ou seja, o valor de cada algarismo e´ definido em func¸a˜o da posic¸a˜o que ele ocupa na expressa˜o do nu´mero. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}. Exemplo 1 Escreva o conjunto dos nu´meros naturais menores que 12: Soluc¸a˜o: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Nota: N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} FAZENDO VOCEˆ APRENDE 1) Represente os seguintes subconjuntos de N por seus elementos: (a) O conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o ı´mpares. (b) O conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o pares. (c) O conjunto dos nu´meros ı´mpares e menores que 12. (d) O conjunto dos nu´meros ı´mpares menores ou iguais a 11. 2) Escreva em extensa˜o, ou seja, pelos seus elementos, os seguintes conjuntos escritos por uma propriedade: (a) A = {n ∈ N|n < 1} (b) B = {n ∈ N∗|n ≤ 11} (c) C = {n ∈ N|n > 2 e n < 10} (d) D = {n ∈ N| 2 < n < 10} (e) E = {n ∈ N|n ≥ 2 e n ≤ 10} (f) F = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10} 3) Represente por uma propriedade os seguintes subconjuntos de N: (a) A = {1, 2, 3, 4, 5} (b) B = {0, 2, 4, 6, 8} (c) C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4 5 (e) E = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n, ...} (f) F = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} 4) ) Represente em extensa˜o os conjuntos: (a) A = {2n|n ∈ N} (b) B = {2n ∈ N|n > 0 e n < 5} (c) C = {2n ∈ N|0 < n < 5} (d) D = {2n ∈ N|0 ≤ n ≤ 5} 5) Represente na reta nume´rica os seguintes subconjuntos dos nu´meros naturais: (a) A = {0, 1, 2, 3} (b) B = {0, 2, 4, 6, 8} (c) C = {3, 4, 7, 10} (d) D = {n ∈ N|n < 10} (e) E = {n ∈ N∗|n < 12} (f) F = {N ∈ N|n > 2 e n < 9} E´ LO´GICO ! Num certo planeta, os dias teˆm 17 horas e 17 minutos. La´ costuma se praticar o zists. As partidas de zists comec¸am sempre a`s 13h 10min e duram 2h 15min. A que horas elas terminam? 1.2 Mu´ltiplos Definic¸a˜o 1 : Chamam-se mu´ltiplos de um nu´mero ao produto desse nu´mero por um nu´mero natural qualquer. O conjunto dos mu´ltiplos de um nu´mero natural na˜o nulo e´ infinito e podemos consegu´ı-lo multiplicando-se o nu´mero dado por todos os nu´meros naturais. Exemplo 2 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...} Observac¸a˜o 1 O nu´mero zero (0) e´ mu´ltiplo de qualquer nu´mero. FAZENDO VOCEˆ APRENDE! 1) Determine e indique os conjuntos em N: 1. M(1) 2. M(2) 3. M(6) 4. M(10) 5. M(12) 6. M(50) 2) Classifique em verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es abaixo. (a) O nu´mero zero e´mu´ltiplo de qualquer nu´mero natural. (b) O maior mu´ltiplo de um nu´mero e´ o pro´prio nu´mero. (c) O conjunto dos mu´ltiplos de um nu´mero e´ infinito. (d) Todo nu´mero natural e´ mu´ltiplo de si mesmo. (e) O nu´mero um so´ e´ mu´ltiplo dele mesmo. 6 3) Quais sa˜o os mu´ltiplos de 12 menores do que 50? 4) Quais sa˜o os mu´ltiplos de 13 compreendidos entre 15 e 40? 5) Qual e´ o menor mu´ltiplo de um nu´mero natural? 6) Qual e´ o nome que se da´ ao conjunto dos mu´ltiplos de 2? 7) Considere n ∈ {1, 2, 3}. Sabendo que a = 2n e b = 3n, escreva os mu´ltiplos comuns de a e b menores que 50. 8) Escreva o conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o mu´ltiplos de 3 e tambe´m, de 6. 9) Escreva o conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o mu´ltiplos de 4 e tambe´m, de 5. 10) Escreva o conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o mu´ltiplos de 5 e tambe´m, de 6. E´ LO´GICO! Na piraˆmide abaixo, tem-se que o nu´mero de cada tijolo e´ a soma dos nu´meros dos dois tijolos vizinhos, do andar de baixo. 1. Usando x, como se indica o nu´mero do tijolo escuro? 2. Usando x, como se indica o nu´mero do tijolo hachurado? 3. Qual e´ o valor de x? 4. Determine o valor de cada tijolo da piraˆmide. Resp: x = 11 1.3 Mı´nimo Mu´ltiplo Comum (M.M.C) Definic¸a˜o 2 Tendo-se dois ou mais nu´meros naturais na˜o nulos, o m.m.c. deles e´ o menor nu´mero na˜o nulo que seja mu´ltiplo de todos eles. 7 Exemplo 3 Obter m.m.c de 28 e 36. Observac¸a˜o 2 Decompor um nu´mero composto em fatores primos significa expressar este nu´mero como produto de outros que sejam primos. Definic¸a˜o 3 Nu´meros Primos sa˜o aqueles que sa˜o divis´ıveis apenas por 1 e por ele mesmo. Definic¸a˜o 4 Nu´meros Compostos sa˜o aqueles que podem ser escritos atrave´s do produto de nu´meros primos elevados a uma poteˆncia. Observac¸a˜o 3 Os nu´meros 0 e 1 na˜o sa˜o nem primos, nem compostos. FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1) Determine o m.m.c. entre os nu´meros: 1. 14 e 21 2. 8,12 e 16 3. 10,15 e 20 4. 12, 18, 30 e 36 5. 2,3, 5,7 e 10 2) O Sr. Joaquim toma um comprimido de 5 em 5 horas e um xarope de 3 em 3 horas. Se a` meia-noite ele tomou os dois reme´dios, a que horas ele voltara´ a tomar os dois reme´dios juntos? 3) Do porto de Santos, partem navios argentinos de 16 em 16 dias e navios uruguaios de 40 em 40 dias. Se, num certo dia, sa´ıram navios das duas nac¸o˜es, quantos dias demorara´ para ocorrer uma nova partida conjunta? 4) Em uma pista circular dois ciclistas partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. O primeiro completa cada volta em 24 minutos e o segundo em 18 minutos. Apo´s quantos minutos da partida os dois va˜o estar juntos outra vez? 5) Numa estac¸a˜o rodovia´ria, os oˆnibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B de 8 em 8 horas. Numa ocasia˜o, um oˆnibus para a cidade A partiu junto com o outro para a cidade B. Quanto tempo depois isso acontecera´ de novo? 6) Um pa´ıs tem eleic¸o˜es para presidente de 5 em 5 anos, e para governadores de 4 em 4 anos. Em 1988, essas duas eleic¸o˜es coincidiram. Deˆ os anos das treˆs pro´ximas vezes em que elas voltara˜o a coincidir. E´ LO´GICO ! Um poc¸o tem 10 metros de profundidade. Uma lesma que esta no fundo do poc¸o sobe quatro metros durante o dia, e durante a noite, enquanto dorme, escorrega, para baixo, treˆs metros. Em quantos dias saira´ do poc¸o? 8 1.4 Divisores Definic¸a˜o 5 Sendo a e b dois nu´meros inteiros, com a 6= 0, dizemos que a e´ divisor de b quando b e´ divis´ıvel por a. Exemplo 4 1) Determine os divisores de 14. Soluc¸a˜o: D(14)={1, 2, 7, 14} FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1) Escreva os nu´meros naturais que: 1. Sa˜o divisores de 12. 2. Sa˜o divisores de 30. 3. Sa˜o divisores de 12, mas na˜o de 30. 4. Sa˜o divisores de 30, mas na˜o de 12. 5. Sa˜o divisores comuns de 12 e 30. 2) Quais sa˜o os divisores de um nu´mero primo p? 3) O conjunto dos divisores de 10 e´ indicado por D(10) e os divisores de 24 por D(34). Apresente os conjuntos: 1. D(10) 2. D(24) 3. D(10) ∩D(24) 4. D(10) ∪D(24) 4) A tia Rosa da cantina comprou 200 balas para serem vendidas em pacotes que contenham mais de 3 balas e menos de 7 balas. Todos os pacotes devem ter o mesmo nu´mero de balas e na˜o deve sobrar nenhuma das 200 balas. Quais sa˜o as diferentes maneiras que tia Rosa encontrou para fazer os pacotes? 5) O professor Elder, de artes, quer dividir a classe em grupos que tenha no mı´nimo 3 alunos e no ma´ximo 6. Sabendo-se que a classe tem 36 alunos e que todos os grupos devem ter o mesmo nu´mero de alunos, quais sa˜o as maneiras poss´ıveis de o professor Elder formar os grupos? 6) Um torneio de futebol de sala˜o vai reunir 24 equipes. O organizador quer formar grupos que tenham o mesmo nu´mero de equipes, com no mı´nimo 2 e no ma´ximo 8 equipes. Quais sa˜o as maneiras poss´ıveis de formar estes grupos? 7) Encontre todas as maneiras poss´ıveis para ampliar 20 caixas de refrigerante em pilhas iguais, de modo que cada pilha tenha no mı´nimo 2 e no ma´ximo 10 caixas. 8) Disse um matema´tico: “O produto das idades de meus dois filhos e´ igual a 18 anos.” Quais sa˜o as poss´ıveis idades (em anos) dos filhos deste matema´tico? E´ LO´GICO ! Usando 32 quadrinhos, de 1 cm de lado, quero formar retaˆngulos como o da figura abaixo: 9 Agora, responda: (a) E´ poss´ıvel formar outros retaˆngulos usando todos os quadrinhos? (b) Quais as medidas dos lados desses retaˆngulos? 1.5 Ma´ximo Divisor Comum (M.D.C) Definic¸a˜o 6 Tendo-se dois ou mais nu´meros naturais na˜o nulos, o m.d.c. deles e´ o maior nu´mero natural divisor de todos eles. Exemplo 5 Determine o m.d.c de 12 e 16. MDC(12)= {12} MDC(16)= {16} Observac¸a˜o 4 O m.d.c. e´ o produto dos fatores comuns com o menor expoente: m.d.c.{12, 16} = 22 = 4. Exemplo 6 Determinar o mdc entre 20 e 9. D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e D(9) = {1, 3, 9} Assim, mdc{20, 9} = 1 Atenc¸a˜o: Dois nu´meros sa˜o primos entre si, se o m.d.c. entre os dois for 1. FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1) Obtenha: 1. o m.d.c. (27, 36) 2. o m.d.c. (45, 75) 3. o m.d.c. (20, 26) 4. o m.d.c. (16, 21) 2) Um professor da´ aulas numa 7a se´rie, de 30 alunos, e numa 8a se´rie, de 18 alunos. Em cada sala, ele formou grupos, e todos os grupos (tanto na 7a como na 8a) tinham o mesmo nu´mero de alunos. Qual e´ o maior nu´mero de alunos que cada grupo pode ter? 3) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois nu´meros naturais na˜o nulos, quando um deles e´ divisor do outro? 4) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois nu´meros primos diferentes? 5) Na escola de Laura, a 5a se´rie A tem 36 alunos e a 5a se´rie B tem 42. Para participar de uma exposic¸a˜o de artes, cada classe formara´ equipes. Todas as equipes devem ter o mesmo nu´mero de alunos. Sabendo que todos os alunos devem participar dessa exposic¸a˜o, responda: 10 (a) Qual o nu´mero ma´ximo de alunos por equipe? (b) Quantas sera˜o as equipes da 5a se´rie A? E da 5a se´rie B? 6) Para confecc¸a˜o de uma tela, dois rolos de arame de 350 cm e 140 cm va˜o ser divididos em pedac¸os da mesma medida e a maior poss´ıvel (sem sobras). Qual o nu´mero de pedac¸os que sera˜o obtidos de cada rolo? 7) Para montagem de uma estante, treˆs pedac¸os de madeira (caibros) medindo 240 cm, 320 cm e 400 cm devem ser divididos em pedac¸os iguais de maior medida poss´ıvel (sem sobras). Qual o nu´mero total de pedac¸os que sera˜o obtidos? 8) A gerente de uma loja de tecidos quer dividir treˆs pec¸as de fazenda em partes iguais e de maior tamanho poss´ıvel. Sabendo que essas pec¸as medem 180 m, 216 m e 288 m, determine o nu´mero de partes em que sera´ dividida cada pec¸a e o comprimento dessas partes. E´ LO´GICO ! Quantos quadrados ha´ na figura? Cap´ıtulo 2 Frac¸o˜es 2.1 Operac¸o˜es com frac¸o˜es • Adic¸a˜o eSubtrac¸a˜o Exemplo 7 (a) 78 + 5 6 = 3.7 24 + 4.5 24 = 21 24 + 20 24 = 41 24 (b) 75 − 38 = 8.7−5.340 = 56−1540 = 3140 FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1) Efetue as adic¸o˜es e se poss´ıvel, simplifique os resultados: (a) 76 + 5 3 (b) 8 4 + 2 3 (c) 5 12 + 7 24 (d) 1 2 + 9 4 2) Calcule as adic¸o˜es e expresse os resultados na forma de frac¸a˜o irredut´ıvel: (a) 718 + 7 8 (b) 5 36 + 1 24 (c) 9 28 + 10 21 (d) 1 7 + 14 21 3) Efetue as adic¸o˜es: (a) ( 310 + 3 5 ) + 3 4 (b) 310 + ( 3 5 + 3 4 ) (c) ( 59 + 2 3 ) + 4 5 (d) 1225 + ( 3 5 + 7 15 ) (e) 1021 + 6 7 + 3 14 5 6 + 2 5 + 4 4) Transforme os nu´meros mistos em frac¸o˜es impro´prias e efetue as adic¸o˜es: (a) 2 13 + 5 3 5 = 2.3+1 3 + 5.5+3 5 = 7 3 + 28 5 = 5.7+3.28 15 = 119 15 (b) 2 910 + 4 4 5 (c) 5 3 8 + 3 3 4 (d) 5 1 4 + 5 1 2 11 12 5) Calcule as diferenc¸as: (a) 57 − 23 (b) 1012 − 38 (c) 1112 − 17 − 121 (d) 139 − 56 − 118 (e) ( 98 − 35 )− 518 (f) ( 72 − 2)− (3− 78 ) 6) Calcule: (a) 205 − ( 34 − 12 ) (b) ( 205 − 34 )− 12 (c)Considerando os resultados obtidos em a e b, responda: (1) O que voceˆ observa neles? (2) A subtrac¸a˜o de nu´meros fraciona´rios e´ associativa? (Pesquise o que e´ uma operac¸a˜o associativa). 7) Transforme os nu´meros mistos em frac¸o˜es impro´prias e efetue as subtrac¸o˜es: (a) 5 55 − 2 13 = 5.5+55 − 2.3+13 = 285 − 73 = 84−3515 = 4915 (b) 4 58 − 1 34 (c) 3 58 − 1 16 (d) 2 56 − 13 (e) 5 15 − 5 (f) 3− 1 34 (g) 16− 12 13 8) No s´ıtio de Lucas, 13 da plantac¸a˜o e´ de milho, 1 4 e´ de arroz e o restante e´ de soja. Qual e´ a frac¸a˜o correspondente a` plantac¸a˜o de soja? 9) Rui, Noe´ e Isa ganharam uma caixa de bombons “Quero-Quero”. Rui comeu 16 , Noe´ comeu 1 10 e Isa comeu 15 . Que frac¸a˜o sobrou dos bombons? 10) Uma prac¸a retangular tem lados medindo 100 m e 60 m. 13 da prac¸a e´ reservado para a a´rea de recreac¸a˜o infantil, 14 e´ constitu´ıdo de calc¸adas e o restante e´ gramado. Qual a a´rea, em m 2, reservada para o gramado? 11) Uma piscina e´ um bloco retangular de arestas medindo 25 m, 12 m e 1,5 m. Se apenas um terc¸o da piscina conte´m a´gua, quantos litros faltam para encher completamente essa piscina? 12) Fa´bio tem uma barraca de feira onde vende frutas. Das trinta caixas de laranjas que comprou, um meio estavam verdes. Das caixas restantes 115 estavam estragadas e as demais estavam maduras. Quantas caixas de laranjas maduras Fa´bio comprou? E´ LO´GICO ! Um grupo de seis alunos pediu ao professor que elaborasse mais uma prova para a classe. O professor disse: - Voceˆs sa˜o apenas um quinto da classe. So´ darei outra prova se a metade da classe pedir. Voceˆs na˜o sabem o trabalho que da´ para corrigir... Quantos alunos precisara˜o se juntar ao grupo para que o professor deˆ a prova? 13 2.2 Outras operac¸o˜es com frac¸o˜es • Multiplicac¸a˜o: Exemplo 8 (a) 78 . 5 3 = 7.5 8.3 = 35 24 (b) 5 2 .(−3) = 52 .(−31 ) = −152 = − 152 • Divisa˜o: Exemplo 9 (a) 35 ÷ 64 = 35 . 46 = 3.45.6 = 1230 = 25 (b) 52 ÷ (−3) = 52 ÷ (−31 ) = − 56 FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1) Determine o produto e simplifique quanto puder: (a) 56 × 68 (b) 34 × 13 (c) 65 × 43 (d) 72 × 53 (e) 65 × 74 (f) 118 × 25 × 533 (g) 23 × 35 × 38 × 49 (h) 3 45 × 3 (i) 1 12 × 2 34 2) Calcule: (a) A metade de uma dezena (b) Um terc¸o de uma du´zia (c) A metade da metade (d) A metade de um terc¸o (e) A metade de um quarto (f) A terc¸a parte de uma du´zia e meia 3) Determine os quocientes e simplifique se puder: (a) 57 ÷ 47 (b) 712 ÷ 512 (c) 154 ÷ 34 (d) 512 ÷ 13 (e) 1115 ÷ 35 (f) 34 ÷ 25 (g) 78 ÷ 23 (h) 23 ÷ 12 4) Transforme os nu´meros mistos em frac¸o˜es impro´prias e efetue as diviso˜es: (a) 28÷ 1 34 (b) 7÷ 3 14 (c) 2 14 ÷ 1 35 (d) 6 16 ÷ 2 16 5) Um aluno acertou 45 de uma prova de 10 questo˜es. Quantas questo˜es ele errou? 6) Um guardanapo de papel e´ quadrangular e tem lados medindo 15 m. Quantos metros quadrados de papel correspondem a 100 guardanapos? 7) Um ladrilho e´ quadrangular e tem lados medindo 14 m. Para fazer o piso de uma sala retangular de lados medindo 10 m e 12 m, quantos ladrilhos iguais a esse sera˜o necessa´rios? 14 8) O piso de um sala˜o, que e´ quadrado, vai ser coberto por 400 placas de borracha. Essas placas sa˜o quadradas e seus lados medem 25m . (a) Qual e´ a a´rea em m2 , de sala˜o? (b) Qual o per´ımetro, em m, desse sala˜o? 9) Uma empresa de transporte coletivo vai muito mal: 1320 dos seus oˆnibus esta˜o quebrados. Isso corresponde a 520 oˆnibus quebrados. Quantos oˆnibus teˆm essa empresa? 10) Para evitar problema com a coluna, as crianc¸as na˜o devem carregar mais de 110 do pro´prio peso. Adultos podem carregar ate´ 15 do pro´prio peso. Sabendo disso, um adulto e uma crianc¸a fizeram seus ca´lculos: ele pode carregar ate´ 14 kg e a crianc¸a ate´ 4. Quantos quilogramas tem esse adulto e essa crianc¸a? 11) Eu tenho 35 da quantia que voceˆ tem. (a) Se voceˆ tiver R$1.800, 00, quanto eu terei? (b) Se eu tiver R$1.800, 00, quanto voceˆ tera´? 12) Uma estrada de 308 km acaba de ser inaugurada. So´ que e´ a terceira vez que isso acontece. Na primeira vez, apenas 27 da estrada estavam asfaltadas; na segunda, mais 1 4 da estrada, e desta vez, mais 2 11 . Quantos quiloˆmetros da estrada esta˜o sem asfalto? E´ LO´GICO ! Dona Ester foi trabalhar e deixou dinheiro para seus treˆs filhos com este bilhete. “Dividam igualmente o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou 13 do dinheiro e saiu. O segundo chegou e na˜o viu ningue´m. Pensando que era o primeiro, pegou 13 do dinheiro que tinha pela frente e saiu. O terceiro encontrou 8 notas de R$1, 00. Achou que era o u´ltimo, pegou tudo e saiu. a) Que frac¸a˜o de dinheiro deixado pela ma˜e o segundo filho pegou? b) Que frac¸a˜o do dinheiro deixado pela ma˜e sobrou, quando o segundo filho saiu? c) Quantos reais dona Ester deixou? d) Devido ao engano do segundo filho, algue´m saiu beneficiado? E prejudicado? Quem? 2.3 Decimais Definic¸a˜o 7 As frac¸o˜es com denominadores 10, 100, 1000, 10000 (poteˆncias de 10) sa˜o frac¸o˜es deci- mais. Exemplo 10 (a) 510 = 0, 5 (b) 13 100 = 0, 13 (c) 45 1000 = 0, 045 FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1) Coloque na forma decimal as seguintes frac¸o˜es: (a) 23 (b) 8 100 (c) 5 100 (d) 234 1000 15 2) Substitua 2 por = ou 6=: (a) 11020, 1 (b) 1 100020, 01 (c) 0, 102 1 10 (d) 0, 720, 700 (e) 21221, 0 (f) 0, 70120, 71 3) Escreva o nu´mero decimal correspondente a cada uma das func¸o˜es decimais: (a) 310 (b) 1 100 (c) 7 1000 (d) 21 100 (e) 43 1000 (f) 1235 10 (g) 57802 1000 (h) 61004 10000 4) Transforme em frac¸a˜o decimal: (a) 0, 5 (b) 1, 3 (c) 0, 08 (d) 0, 212 (e) 8, 71 (f) 0, 485 (g) 5, 278 (h) 9, 3164 5) Expresse o nu´meros na forma de frac¸a˜o irredut´ıvel: (a) 0, 60 (b) 0, 225 (c) 0, 155 (d) 0, 45 (e) 0, 006 (f) 0, 422 (g) 0, 425 (h) 5, 008 E´ LO´GICO ! Responda: (1) Qual e´ o menor nu´mero decimal que somado a 6,032 resulta em um nu´mero natural? (2) Qual e´ o menor numero decimal que subtra´ıdo de 6,032 resulta em numero natural? (3) Qual e´ o menor numero decimal, na˜o nulo, que somado a ele mesmo resulta em um nu´mero natural? Cap´ıtulo 3 Potenciac¸a˜o e Radiciac¸a˜o 3.1 Potenciac¸a˜o Definic¸a˜o 8 Potenciac¸a˜o e´ a operac¸a˜o em que determinamos o produto de fatores iguais: an = a.a.a....a︸ ︷︷ ︸ nfatores Exemplo 11 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256 Propriedades da Potenciac¸a˜o (1) Multiplicac¸a˜o: am.an = am+n (2) Divisa˜o: am ÷ an = am−n (3) Potenciac¸a˜o: (am)n = am.n (4) Radiciac¸a˜o: a n m = m √ an (5) Poteˆnciade um produto: (a.b)n = an.bn (6) Poteˆncia de um quociente: ( ab ) n = a n bn , com b 6= 0 (7) Poteˆncia com expoente inteiro negativo: a−n = 1an , com a 6= 0 (8) a1 = a, a 6= 0 (9) a0 = 1, a 6= 0 FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1) Reduza a uma so´ poteˆncia: (a) 6.69 (b) 7.70 (c) 72.73.75 (d) 103.102.104 2) Deˆ o resultado na forma de poteˆncia: (a) 124 ÷ 123 (b) 28 ÷ 23 (c) 310 ÷ 312 (d) 89 ÷ (8.86) 3) Reduza a uma so´ poteˆncia: 16 17 (a) (34)2 (b) (43)5 (c) (73)4 ÷ 78 (d) (62)5 ÷ 63 (e) [(102)3.(103)4]÷ (106)3 (f) [710 ÷ (78)2].(75)2 4) Aplique a propriedade de poteˆncia de um produto: (a) (3.a)2 (b) (4.a)5 (c) (x.y)3 (d) (2.x.y)7 5) Use as propriedades da potenciac¸a˜o para transformar cada expressa˜o em uma so´ poteˆncia: (a) (− 1321 )× (− 1321 ) (b) ( 833 ) 2 × ( 833 )−3 (c) ( 175 ) −2 × ( 175 )−3 (d) (− 79 )5 ÷ (− 79 )2 (e) (− 214 )−2 ÷ (− 214 )−5 (f) [( 1112 ) 2]3 (g) [( 54 ) −2]3 (h) (0, 03)−7 ÷ (0, 03)−4 (i ) [(0, 03)5]−2 6) Resolva as poteˆncias abaixo, usando a propriedades 8 e 9: (a) 31 = (b) 30 = (c) (0, 5)1 = (d) (0, 5)0 = (e) (1/2)1 = (f) (1/2)0 = (g) √ 2 1 = (h) √ 2 0 = 7) Deˆ um exemplo de uma poteˆncia em que: (a) A base e o expoente sa˜o inteiros, mas a poteˆncia na˜o e´. (b) A base na˜o e´ um nu´mero inteiro, mas o expoente e a poteˆncia sa˜o. E´ LO´GICO ! Represente as expresso˜es com uma so´ poteˆncia de base 2: (a) 116 × 0, 25× 128× 132 (b) ((0, 5)2)3 × [( 116 )3]4 Outros Exemplos: 1) Calcule as expresso˜es seguintes (sem usar sua calculadora). (a) 91/2 (b) 272/3 (c) 8−1/3 (d) ( 1100 ) −3/2 (e) 50 3.1.1 Exerc´ıcios para Fixac¸a˜o! 1) Usando as propriedades elencadas anteriormente, calcule as seguintes expresso˜es: (a) 161/2 (b) 4−1/2 (c) 23.25 (d) 2 5 23 (e) (34)2 (f) (5.6)2 18 (g) (−3)3 (h) (−1, 2)−2 (i) (5) 3 4 (j) (pi) 1 4 (l) 10 2 10−5 2) Calcule o valor das poteˆncias: (a) (−5)−1 (b) ( 13 ) −3 (c) (0, 4)−1 (d) 10−2 (e) (0, 01)−2 (f) ( 1102 ) −1 (g) (− 32 )−1 (h) ( 38 ) −2 (i) ( √ 3)−2 (j) ( 3√ 2 )−4 (l) [( 3 √ 9 4 ) −2]−3 3) Escreva na forma de poteˆncia: (a) √ 7 (b) 4 √ 23 (c) 5 √ 32 (d) 13√4 (e) 1(−2)3 (f) 1 ( 3 2 )5 4) Escreva na forma de radical: (a) 2 1 5 (b) 8− 1 2 (c) (a3b) 1 4 (d) (m2.n)− 1 5 (e) m− 3 4 5) Fatore os radicandos e escreva na forma de poteˆncia com expoente fraciona´rio: (a) 3 √ 32 (b) 3 √ 25 (c) 4 √ 27 (d) 7 √ 8 (e) 8 √ 512 (f) 8 √ 625 3.2 Radiciac¸a˜o e suas propriedades n √ a = b ←→ bn= a, n ≥ 2 Onde: n → I´ndice. √ → Sinal radical. b → Raiz. a → Radicando. 3.2.1 Propriedades da Radiciac¸a˜o 1. √ a2= |a| 2. n √ a× b = n√a × n√b, com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0. 3. n √ a b = n √ a n √ b , com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0. 19 4. n √ am= ( n √ a)m,n ¿ 1 5. n √ an= a, com n > 1 6. n √ am= n÷p √ am÷p 7. n √ m √ a= n×m √ a 8. n √ am = a m n RACIONALIZAC¸A˜O: Exemplo 12 (a) a√ b = a√ b . √ b√ b = a √ b√ b.b = a √ b√ b2 = a √ b b (b) a 3 √ b = a 3 √ b . 3 √ b2 3 √ b2 = a 3 √ b2 3 √ b3 = a 3 √ b2 b (c) 7 3−√2 = 7 3−√2 . 3 + √ 2 3 + √ 2 = 21 + 7 √ 2 9− 2 = 21 + 7 √ 2 7 = 3 + √ 2 (d) 2√ a + √ b = 2√ a + √ b . √ a−√b√ a−√b = 2 √ a− 2√b a− b (e) 3 2 √ 3 = 3 2 √ 3 . √ 3√ 3 = 3 √ 3 2.3 = √ 3 6 FAZENDO VOCEˆ APRENDE! 1) Calcule o valor das expresso˜es: (a) 2 3 √ 27− 3 6√64 (b) √ 100− 64 + 3√400− 8 4√0, 0001 (c) 5 √ 0, 00032− 4√0, 0064− 2 3√−0, 027 2) Simplifique os radicais: (a) 7 √ x17 (b) 4 √ 81 (c) 3 √ 64.b6 (d) 5 √ 1024.x5.y10 (e) √ 25a4x (f) 13 √ 45 (g) 6 √ a12x13 (h) 3 √ 81 (i) 9 √ 1024 (j) √ 52 (l) √ 288.a2 75.b4 (m) 3 √ x6.y5 a7 (n) √ x2 + 6x + 9 = (o) √ y2 + 10y + 25 3) Efetue as operac¸o˜es com radicais, simplificando o resultado sempre que poss´ıvel:: (a) 3 √ 20 + 3 √ 5−√45−√80 (b) √ 8 27 + 2 √ 32 108 − 3 √ 72 243 (c) −3b√a + 7 √ b2a− 3a√a− √ a3 (d) 3 √ 81÷ 3√9 (e) 3 6 √ 125÷ 5 4√24 (f) 3 √ b.5 3 √ b. 13 4 √ b (g) ( 2ab √ 2b a 2 )2 20 (h) (3a √ a4b)3 (i) 4 √ a b 5 √ b a (j) 3 √ x y 4 √ x2 y3 4) Racionalize os denominadores das frac¸o˜es: (a) a 2 √ b (b) a 2b√ ab (c) ab5√ ab3c4 (d) 22 4+ √ 5 (e) 2a−1√ 2a−1 (f) 3+ √ 3 3− √ 3 Cap´ıtulo 4 Expresso˜es nume´ricas 4.1 Ordem das Operac¸o˜es • Ordem das operac¸o˜es: (1) Poteˆncia e/ou raiz (2) Multiplicac¸a˜o e/ou divisa˜o (3) Soma e/ou subtrac¸a˜o (4) Considere-se as operac¸o˜es na ordem em que aparecem Exemplo 13 ( 15 13 × 3 5 ) + 3− [(2 3 )−1 ÷ 3 2 ]− 1 4 + 81 1 2 = ( 15× 3 13× 5) + 3− [ 3 2 ÷ 3 2 ]− 1 4 + 2 √ 81 = ( 3×313 ) + 3− [ 32 × 23 ]− 14 + 9 = ( 9 13 ) + 3− [1]− 1 4 + 9 = 9 13 +−1− 1 4 + 9 = 36 + 156− 52− 13 + 468 52 → 595 52 FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1) Determine o valor das expresso˜es: (a) (− 34 )× (−2)− 38 (b) 56 × (− 34 )− 32 (c) 34 + (− 23 )× (− 35 )− 4× [( 34 − 58 )× 8] (d) (− 78 )÷ 316 − [ 52 ÷ (− 12 )] (e) (−4, 7)(6, 8− 9, 4)− [18, 3× (−4, 5)] (f) 67 − (− 5 4 ) (− 7 8 ) (g) (−198, 07 + 16, 8− 12, 003)× 0, 006 (h) (− 35 + 615 )÷ (1− 710 ) 7 15 ÷ [ 920 − (− 52 )× 45 ] 2) Calcule o valor das expresso˜es: 21 22 (a) ( 12 ) 2 × (− 59 )−1 + (− 23 )2 ÷ 79 (b) [(− 12 )−2 × 34 ]−1 − ( 35 )−1 (c) [(− 67 )÷ ( 821 )− (2−2)]3 (d) − √ 25 81 + √ 100 9 (e) √ 9 4 − √ 9 4 × √ 36 81 (f) √ 25 36 × √ 81 100 + √ 49 64 ÷ √ 196 144 3) Resolva as expresso˜es: (a) (−1)÷ 1× 10 + (2× 5)× 10 (b) 104 × (− 25 )× (− 1610 )× (− 154 ) (c) (−5 58 × 4 32 )÷ [1 411 × (−3 19 )] (d) [(− 23 )(− 34 ) + ( 12 )−1]2 ÷ (− 158 ) (e) √ 4 9 − √ 4 25 + √ 64 9 ÷ (−16) (f) (− 1 2 )2− 3 4 (2)−2+ 5 8 E´ LO´GICO! Uma escola tem 354 alunos. Um deles inventou uma fofoca sobre o diretor da escola e, em um minuto, contou a 3 colegas. Pelo jeito, a fofoca era boa porque, no minuto seguinte, cada um desses 3 contou a novidade a 3 colegas que ainda na˜o conheciam. Assim, cada um que recebia a not´ıcia a transmitia a 3 colegas desinformados, gastando, para isso, um minuto. a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no terceiro minuto? b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato nos treˆs primeiros minutos? FALAR, PENSAR E FAZER MATAME´TICA! Definic¸a˜o 9 (Mo´dulo ou Valor absoluto de um nu´mero) O mo´dulo ou valor absoluto de um nu´mero e´ o pro´prio nu´mero, se ele for positivo. Caso ele seja negativo, torna-se o sinal contra´rio, tornando-o positivo. |x| = { x se x ≥ 0 −x se x < 0 Exemplo 14 (1) | − 5| = 5 (2) |5| = 5 ou seja, por definic¸a˜o: -(-5)=5. Observac¸a˜o 5 (Nu´meros Inteiros Opostos) Quando dois nu´meros inteiros teˆm o mesmo valor ab- soluto e sinais contra´rios, dizemos que sa˜o opostos ⇒ +a o oposto de −a. Exemplo 15 (1) -3 e´ oposto de +3. (2) +100 e´ o oposto de -100. Observac¸a˜o 6 Ordenac¸a˜o dos nu´meros inteiros (Seja a > 0 e b > 0 1) +a > −b 2) +a > +b⇒ |+ a| > |+ b|, 3) −a > −b⇒ | − a| < | − b|, 4)−a < 0 < +b. 23 4.2 Equac¸a˜o do primeiro grau Definic¸a˜o 10 Equac¸a˜o e´ uma sentenc¸a matema´tica, que conte´muma ou mais letras com valores desco nhecidos (inco´gnitas), formada por duas expresso˜es ligadas pelo sinal de igual. Equac¸a˜o do primeiro grau e´ uma equac¸a˜o do tipo ax + b = 0, onde a e b representam nu´meros reais com a 6= 0 Exemplo 16 (1) 3x + 1 = 0 → 3x = −1 → x = −1 3 (2) 2x + 3 = 3(x− 1) → 2x + 3 = 3x− 3 → 2x− 3x + 3 + 3 = 0 → −x + 6 = 0 x = 6 Observac¸a˜o 7 Num dado universo U,dizemos que uma sentenc¸a que expressa uma igualdade e´ uma equac¸a˜o em U, quando e somente quando essa sentenc¸a determina um conjunto verdade V, que esta´ contido em U. (V ⊂ U). Exemplo 17 Se U = {1, 2, 3} e x + 3 = 5 enta˜o V = {2}. FAZENDO VOCEˆ APRENDE! 1) Resolva as seguintes equac¸o˜es para U = Q: (a) 2x + 3 = 19 (b) 8x− 4 = 60 (c) 2x− 1 = 54 (d) 37 − 5x = 12 (e) x−43 = x−2 2 − 1 (f) 3x−15 + 2 = 3x 4 + 5 (g) 4x+13 = 5(5x+2) 2 (h) 3(x−2)2 = 4(5−x) 3 2) Escreva uma equac¸a˜o para cada sentenc¸a: (a) O dobro de um nu´mero mais seu triplo e´ igual a 50. (b) A metade de um nu´mero mais sua terc¸a parte e´ igual a 15. (c) A diferenc¸a entre um nu´mero e sua metade e´ 40. (d) A soma de dois nu´meros consecutivos e´ 11. (e) A diferenc¸a entre o triplo de um nu´mero e sua metade e´ 25. (f) A soma de duas idades e´ 20. O mais moc¸o nasceu 4 anos depois do mais velho. (Use uma so´ varia´vel) (g) A diferenc¸a entre duas idades e´ 20 anos. O mais velho tem triplo da cidade do mais moc¸o. 3) Determine o nu´mero que, somado aos seus 3/5, e´ igual a 24. 4) Determine o nu´mero tal que a diferenc¸a entre ele e os seus 2/3 seja 8. 5) Um nu´mero, somado a` sua quinta parte e a` sua metade, e´ igual a 51. Qual e´ esse nu´mero? 6) A soma de dois nu´meros e´ 63 o quociente entre ambos e´ exato e vale 6. quais sa˜o esses nu´meros? 7) Na classe de Rosana, 49% dos alunos foram para a praia nos feriados, 25% para as montanhas e 14 alunos na˜o sa´ıram da cidade. Quantos alunos teˆm essa classe? 24 8) Numa fabrica trabalham, 532 pessoas entre homens, mulheres e menores. O nu´mero de homens e´ o dobro do de mulheres e este e´ o dobro do de menores. Quantos sa˜o os homens, as mulheres e os menores? 9) Um pai tem 46 anos e um filho tem 10. Daqui a quantos anos a idade do pai sera´ o qua´druplo da idade do filho? 10) A soma das idades de um pai e um filho e´ de 42 anos. Ha´ treˆs anos, a idade do pai era onze vezes a idade do filho. Determine as idades. 11) Repartir 36 figurinhas entre dois garotos de modo que um ganhe o dobro do outro. 12) Num estacionamento, ha´ um total de 200 ve´ıculos, entre motos e carros. Se ha´ 20 motos a mais que carros, quantas motos e quantos carros esta˜o nesse estacionamento? E´ LO´GICO! Descubra os nu´meros do seguinte circuito: Cap´ıtulo 5 Expresso˜es Alge´bricas e Polinoˆmios 5.1 Expresso˜es Alge´bricas Definic¸a˜o 11 Expresso˜es que apresentam uma ou mais varia´veis e, ainda, as expresso˜es que so´ teˆm nu´meros sa˜o chamadas expresso˜es alge´bricas. Exemplo 18 3x + 2xy − 3. Definic¸a˜o 12 Monoˆmios, sa˜o expresso˜es alge´bricas que apresentam apenas um nu´mero, apenas uma varia´vel ou multiplicac¸o˜es entre nu´meros e varia´veis. Exemplo 19 (a) 5x2y3 (b) 2x (c) x3 (d) 12 Observac¸a˜o 8 (Monoˆmios Semelhantes) Sa˜o aqueles que tem a mesma parte literal semelhantes. Exemplo 20 (a) 7x3y2 e −5x3y2 (b) −6x e x FAZENDO VOCEˆ APRENDE! (1) Escreva estas sentenc¸as, utilizando varia´veis. (a) Todo nu´mero real multiplicado por um resulta no pro´prio nu´mero real. (b) Todo valor real somado com ele mesmo resulta em duas vezes o seu valor. (c) Numa multiplicac¸a˜o de dois nu´meros reais quaisquer, a ordem dos fatores na˜o altera o produto. (d) Todo nu´mero real somado com seu oposto da´ zero. (2) Tenho 35,00 e minha irma˜ tem x (ela nunca me diz quanto tem!). (a) Responda com uma expressa˜o alge´brica: ganhando 16,00, com quanto minha irma˜ ficara´? 25 26 (b) Qual e´ o valor nume´rico dessa expressa˜o quando e´ igual a 59? (3) Houve um tempo em que os ta´xis cobravam 4,00 pela bandeirada, mais 1,40 por km rodado. (a) Responda com uma expressa˜o alge´brica: quantos reais eram pagos num percurso de quiloˆmetros? (b) Qual e´ o valor dessa expressa˜o quando vale 10? (4) Escreva estas sentenc¸as, utilizando varia´veis: (a) Todo nu´mero real multiplicado por ele mesmo resulta no quadrado desse nu´mero. (b) Numa adic¸a˜o de dois nu´meros reais quaisquer, a ordem das parcelas na˜o altera a soma. (5) Considere estas adic¸o˜es: 1+1 2+2+2 3+3+3+3 4+4+4+4+4 ... Observe: na 1a adic¸a˜o as parcelas valem 1 e o nu´mero de parcelas e´ 2. Na 2a adic¸a˜o as parcelas valem dois e nu´mero de parcela e´ 3, e assim por diante. (a) A terceira adic¸a˜o da´ 12. Quanto da´ a 30a adic¸a˜o? (b) Qual e´ o resultado da ene´sima adic¸a˜o? Para responder, use a varia´vel . (6) Escreva a parte literal de cada monoˆmio. (a) 5x5y5 (b) −2x3 (c) x4y2 (d) 4, 2y3 (7) Escreva os coeficientes dos monoˆmios: (a) 7ax6 (b) −ax4 (c) − 12x2y (d) 31ay2 5.1.1 Operac¸o˜es com Monoˆmios (1) Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o: Considerando 7x3y2 +5x3y2, para soma´-los, pode-se pensar assim: temos 7 monoˆmios x3y2 mais 5 desses monoˆmios, logo, temos 7+5, ou seja, 12 monoˆmios x3y2. Portanto: 7x3y2 +5x3y2 = 12x3y2. Quando falamos em adic¸a˜o alge´brica de monoˆmios, podemos estar nos referindo tanto a uma adic¸a˜o de monoˆmios, quanto a uma subtrac¸a˜o. 27 (2) Multiplicac¸a˜o: Acompanhe a multiplicac¸a˜o do monoˆmio x4 pelo monoˆmio x3: Exemplo 21 (6x2y3).(5x4y4z) = 6.5.x2.x4.y3.y4.z = 30x6y7z Observac¸a˜o 9 Essa propriedade e´ a base qualquer da multiplicac¸a˜o de monoˆmios. (3) Divisa˜o: Acompanhe a divisa˜o do monoˆmio x5 pelo monoˆmio x3 : Exemplo 22 x5 x3 = x.x.x.x.x x.x.x = x2 Exemplo 23 12x5y3z4 3x3y2z = 12 3 . x5 x3 . y3 y2 . z4 z = 4x2yz3 (4) Potenciac¸a˜o: Exemplo 24 (2x3y4)3 = (2x3y4).(2x3y4).(2x3y4) = 2.2.2.x3.x3.x3.y4.y4.y4 = 8x9y12 Exemplo 25 (−2x3y)4 = (−2x3y).(−2x3y).(−2x3y).(−2x3y) = (−2).(−2).(−2).(−2).x3.x3.x3.x3.y.y.y.y = 16x12y4 FAZENDO VOCEˆ APRENDE! 1)Efetue as adic¸o˜es e subtrac¸o˜es: (a) 5x2 + 12x2 (b) 8xy2 − 8xy2 (c) −2xy5z − 2xy5z (d) 2x3 − 12x3 (e) 12x2y − 8x2y − x2y + x2 (f) −y − 12y + 3x2 − 18y + x2 (g) 5x2y2 − 72x2y2 − 52x2y2 (h) 2y2 − 34y2 + y2 − 310y2 (i) −7x3y + 8x3y − 15x3y 2) Efetue as multiplicac¸o˜es e diviso˜es: (a) 2y2.y3 (b) −5y.(−8y2) (c) x2.(xy) (d) (3x2z2).(−2xy).(6z2) (e) (−2x2).(−4y2).(−5x3y4) (f) ( 25x 2y2).( 37x 3y3) 28 (g) (4a2b3)2 (h) (xy2z3)8 (i) x 3y3 x2y2 (j) 63a 4x5 −9a3x2 (l) −8a 5y6 −40ay (m) 25a3x2y4 5x2 (n) − 25a5b5 − 415a2b (o) (2x3y)4 − (5x6y2)2 (p) ( 2 3 x2y2)3.( 3 4 xy3)2 (q) x2.x4 + x.x5 + x3.x3 − 2x5.x (r) 3x 2y−7x2y+3x2y x2 3) Indique com um monoˆmio: (a) A a´rea do retaˆngulo I (b) A a´rea do retaˆngulo II (c) A a´rea do quadrado III (d) A a´rea total da figura. 4) Escreva o monoˆmio que: (a) Subtra´ıdo 3x5y da´ −2x5y (b) Subtra´ıdo de −6y da´ −10y (c) Somado com 12x3y8 resulta zero (d) Somado com 4xy da´ 4xy. 5) Calcule o valor nume´rico das expresso˜es alge´bricas a seguir, para x = −2 e y = 13. Mas, antes, efetue as adic¸o˜es dos monoˆmios semelhantes. (a) 23xy − 18xy + 17xy − 216xy (b) 2x5y + 3x5y + 5x5y (c) x 2y 4 + x2y 2 + x2y 4 (d) 7x− 9y − 9x + 8y 6) Na figura a seguir, a parte hachurada e´ formada por quatro retaˆngulos. As medidas esta˜o em cent´ımetros. Determine: 29 (a) A a´rea da figura hachurada pode ser obtida como uma adic¸a˜o de monoˆmios. Efetue essa adic¸a˜o. (b) Calcule a a´rea da figura hachurada nestes dois casos: quando x = 0, 5 e quando x = 2. (c) Para que valor dex a figura hachurada tem uma a´rea de 82cm2. 5.2 Polinoˆmios Definic¸a˜o 13 Um polinoˆmio na varia´vel x e´ toda expressa˜o P(x) que pode ser reduzida a forma P (x) = anx n + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...a1x1 + a0 Em que ai ∈ C e n ∈ N Sendo: (1) anx n, an−1xn−1, an−2xn−2, a1x1, a0, sa˜o os termos ou monoˆmios do polinoˆmio, sendo a0, denominado termo independente da varia´vel x; (2) an, an−1, an−2, a1, a0, sa˜o os coeficientes do polinoˆmio. (3) O grau de um Polinoˆmio na˜o nulo e´ o maior expoente da varia´vel, dentre os termos de coeficientes na˜o nulos. (4) Ao atribuir um valor complexo a varia´vel x, o resultado da expressa˜o obtida e´ chamado de valor nume´rico do polinoˆmio para a x = α. Indica-se esse valor nume´rico como P (α) (5) O grau de um polinoˆmio indica a o nu´mero de raizes que existem como soluc¸a˜o da expressa˜o. Sendo que, chama-se de raiz do polinoˆmio P(x) todo nu´mero complexo tal que P (α) = 0 (6) Polinoˆmios Ideˆnticos: dizemos que os polinoˆmios p e q sa˜o ideˆnticos quando possuem os coefi- cientes correspondentes iguais, ou seja, sejam p(x) = anx n + · · ·+ a2x2 + a1x + a0 e q(x) = bnx n + · · ·+ b2x2 + b1x1 + b0. Assim, p = q ⇔ ai = bi, para todo i ∈ {0, 1, · · · , n}. Exemplo 26 A expressa˜o 5x4 − 3x3 + 2x2 − 4x + 7 e´ um polinoˆmio de grau 4. 30 (1) 5,−3, 2,−4 e 7 sa˜o seus coeficientes; (2) x e´ sua varia´vel; (3) 5x4,−3x3, 2x2,−4x, 7 sa˜o seus termos ou monoˆmios. (4) 7 e´ seu termo independente. FAZENDO VOCEˆ APRENDE! 1) Quais das expresso˜es representam um polinoˆmio na varia´vel x? (a) x5 + x3 + 2 (b) 0x4 + 0x2 (c) 3 (d) x 5 2 + 3x2 (e) ( √ x)4 + x + 2 (f) x √ x + x2 (g) x15 (h) x + 2 (i) x2 + 2x + 3 (j) 1 x4 + x (k) x + x3 + x6 + x4 (l) (3x2 − 5x + 3)(7x3 + 2) 2) Determine a, b, c de modo que a func¸a˜o f(x) = (a+b−5)x2+(b+c−7)x+(a+c) seja identicamente nula. 5.2.1 Operac¸o˜es com Polinoˆmios (1) Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o : Ambas consistem no agrupamento de monoˆmios semelhantes, usando a propriedade distributiva. Veja: Exemplo 27 (a) (2x3 − 3x2 + 4x− 1) + (x3 + 2x2 − 5x + 3) (b) (4x2 + 3x− 4)− (2x3 + x2 − x + 2) Soluc¸a˜o: (a) (2x3 + x3) + (−3x2 + 2x2) + (4x + (−)5x) + (−1 + 3)= 3x3 − x2 − x + 2 (b) (0− 22x3) + (4x2 + x2) + (3x− (−x)) + (−4− 2)= −2x3 + 3x2 + 4x− 6 (2) Multiplicac¸a˜o: Usando-se a propriedade distributiva, expandimos o produto de dois ou mais polinoˆmios ou monoˆmios. Veja: (3x + 2)(4x + 5) = 3x(4x − 5) + 2(4x − 5) = (3x)(4x) − (3x)(5) + (2)(4x) − (2)(5) = 12x2 −15x + 8x −10 = 12x2 − 7x− 10 31 FAZENDO VOCEˆ APRENDE! 1) Dados os polinoˆmios: f(x) = 7− 2x + 4x2 g(x) = 5 + x + x2 + 5x3 h(x) = 2− 3x + x4 Calcule (f + g)(x), (g − h)(x) e (h− f)(x). 2) Sendo dados os polinoˆmios: f = 2x2, g = 2x2 + 3x4, h = 3x2 + 2x4 − x6 e k = 3x6 − 2x4 + 4x2, obtenha os nu´meros reais a, b, c de modo que se tenha k = af + bg + ch. 3) Determine a, b c de modo que se verifique cada identidade: 1. a(x2 − 1) + bx + c = 0 2. a(x2 + x) + (b + c)x + c = x2 + 4x + 2 5.2.2 Operac¸o˜es com polinoˆmios II Divisa˜o: Pode-se efetuar a divisa˜o de polinoˆmios se utilizando de 2 diferentes me´todos: BRIOT-RUFFINI (Dispositivo Pra´tico):Utilizado quando o divisor for um polinoˆmio do 1 grau da forma x-a ou x+a. Este processo opera apenas com os coeficientes e a raiz dada pelo polinoˆmio de grau 1. Escrevemos os coeficientes do polinoˆmio em questa˜o na parte superior de uma linha trac¸ada, sem esquecer os termos nulos(grau zero) apartir do grau do polinoˆmio e tambe´m o termo independente da equac¸a˜o. Exemplo 28 P (x) = 3x5 − 2x4 + 3x2 + 1 dividido por D(x)=x-2 32 Obtendo-se enta˜o: Q(x) = 3x4 + 4x3 + 8x2 + 19x + 38 e R(x) = 77. ME´TODO DAS CHAVES: Se o divisor na˜o for um polinoˆmio de grau 1, pode-se utilizar esse me´todo. Ao efetuar a divisa˜o de dois polinoˆmios, P (x) e D(x)(6= 0) encontraremos Q(x) e R(x), visto que: P (x) = D(x).Q(x) + R(x). Exemplo 29 Vejamos como obter o quociente e resto da divisa˜o pelo me´todo das chaves do polinoˆmio P (x) = 2x5 + 4x4 + 4x3 + 9x2 + 3x + 1 por D(x) = x2 + 2. 1 - Dividir o monoˆmio de mais alto grau de P(x) pelo monoˆmio de mais alto grau de D(x) 2 - Subtrair do dividendo o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo, obtendo o primeiro resto parcial. 3 - Dividimos o monoˆmio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monoˆmio de mais alto grau do D(x). 4 - Subtraimos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) o resultado obtido no terceiro passo, obtendo o segundo resto parcial. E assim sucessivamente, ate´ obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma das condic¸o˜es: ∂R < ∂D ou R(x) ≡ 0 33 Temos enta˜o: Q(x) = 2x3 + 4x2 + 1 e R(x) = 3x− 14 Ha´ casos em que se deseja saber apenas o resto da divisa˜o de um polinoˆmio por outro do primeiro grau. Enta˜o utiliza-se o TEOREMA DO RESTO: Teorema 1 (Resto) O resto da divisa˜o de um polinoˆmio P (z) pelo polinoˆmio ax+ b (a 6= 0) e´ o valor nume´rico de P (x) para x = − b a (raiz de ax + b) R = P (− ba ) Observac¸a˜o 10 Existe uma consequeˆncia imediata do Teorema do Resto conhecida como: Teorema 2 (D’Alembert) Um polinoˆmio P(x) e´ divis´ıvel por ax + b (a 6= 0), se, e somente se, P (− b a ) = 0 Exemplo 30 2x3 + 2x2 − 2x + 4 e´ divis´ıvel por 2x + 4? P (−42 ) = P (−2) P (−2) = 2.(−2)3 + 2.(−2)2 − 2.(−2) + 4 = 0 Ou seja, O polinoˆmio em questa˜o e´ divis´ıvel por 2x + 4 Observac¸a˜o 11 Divisibilidade pelo produto: Se um polinoˆmio e´ divis´ıvel separadamente pelos binoˆmios x− a e x− b, enta˜o P (x) e´ divis´ıvel pelo produto (x− a).(x− b). FAZENDO VOCEˆ APRENDE! 1) Dados os polinoˆmios: P(x)= 3x4 + 2x3 + x − 1, Q(x) = 5x4 + 3x + 7, A(x) = 6x3 + 2x2 − 3x, B(x) = 4x2 + 5x− 1 e C(x) = 9x− 2, calcule: 34 (a) P (x) + Q(x) (b) P (x)−Q(x) (c) A(x) + B(x) (d) A(x)−B(x) (e) 4A(x) (f) B(x).C(x) (g) C(x) 2 (h) 2A(x)− 3B(x) (i) A(x).C(x) + B(x) 2) Efetue as operac¸o˜es, sendo P (x) = 5x2 − 3x + 2 e Q(x) = 4x− 6 (a) 3P (x)= 15x2 − 9x + 6 (b) P (x).Q(x) = 20x3 − 42x2 + 26x− 12 3)Utilize os dois me´todos citados para encontrar o quociente e confira o resultado do resto pelo teorema do resto. P (x)÷D(x) P (x) = x2 + 6x− 1; D(x) = x− 1 4) Dividindo o polinoˆmio P (x) = 6x3 + 4x2 + 2x − 1 pelo polinoˆmio D(x), obteˆm-se o quociente Q(x) = 3x + 2 e o resto R(x) = 11x + 5. Determine D(x). 5) Treˆs polinoˆmios, P (x), Q(x) e T (x), sa˜o tais que,∂P = 7, ∂Q = 5, ∂T = 5. Qual das afirmac¸o˜es seguintes pode ser falsa? (a) O grau do polinoˆmio P (x) + Q(x) e´ 7. (b) O grau do polinoˆmio P (x)−Q(x) e´ 7. (c) O grau do polinoˆmio P (x).Q(x) e´ 12. (d) O grau do polinoˆmio Q(x) + T (x) e´ 5. 6) Sendo x3 + 1 = (x + 1)(x2 + ax + b), para todo x, com x ∈ C, quais sa˜o os valores de a e b? 7) Sejam os polinoˆmios f = (x + 1)2, g(x) = x2− 1 e h = x4− 2x3 + x2− 2x− 1.O polinoˆmio f.g−h e´ igual a? 5.3 Decomposic¸a˜o de Polinoˆmios Teorema 3 Todo polinoˆmio de grau n, com n ≥ 1, P (x) ≡ anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...+ a0 pode ser fatorado sob a forma P (x) ≡ an(x − r1).(x − r2).(x − r3)...(x − rn), em que r1, r2, r3, rn, sa˜o todas as ra´ızes de P(x). Exemplo 31 Para fatorar um polinoˆmio, P (x) = 3x3−20x2 +23x+10, sabendo que uma de suas raizes e´ 5, ou seja, este polinoˆmio e´ divis´ıvel por x− 5 e P (x) ≡ (x− 5)Q(x). Obtem-se o polinoˆmio Q(x) por Briot-Ruffini. Desta forma reduzimos o grau da equac¸a˜o e podemos encontrar as outras 2 raizes. P (x) = (x− 5)(3x2 − 5x− 2) Fazendo, x− 5 = 0 e 3x2− 5x− 2 = 0, encontramos: x1 = 5, x2 = 2 , x3 = −1 3 , e pelo teorema da decomposic¸a˜o temos que: P (x) = 3(x− 5)(x− 2)(x + 13 ). Observac¸a˜o 12 (Multiplicidade de raiz:) Se uma raiz comparecer k vezes(com k > 1), esta e´ chamada de raizde multiplicidade k da equac¸a˜o. 35 5.3.1 Frac¸o˜es Polinomiais Definic¸a˜o 14 Chama-se frac¸a˜o polinomial toda expressa˜o do tipo P (x) Q(x) , em que P (x) e Q(x) sa˜o polinoˆmios complexos de varia´vel complexa, com Q(x) 6= 0. Exemplo 32 Dado a identidade: a x− 1 + b x + 1 ≡ 5x + 1 x2 − 1 . Encontre as constantes a e b Soluc¸a˜o: a(x + 1) + b(x− 1) (x− 1)(x + 1) ≡ 5x + 1 x2 − 1 (a + b)x + a− b ≡ 5x + 1 e, portanto: { (I) a + b = 5 (II) a− b = 1 Somando o membro (I) e (II), obtemos 2a = 6 → a = 3. Substituindo a = 3 em (I), obtemos: 3 + b = 5 → b = 2. Exemplo 33 (Voceˆ vai utilizar em Ca´lculo I!!) Decomponha a frac¸a˜o abaixo em uma soma: x− 3 x2 + 3x + 2 = Frac¸a˜o 1 + Frac¸a˜o 2 1 Passo) Decompor o denominador! Para isso encontra-se as raizes desse polinoˆmio utilizan do-se de baskhara ou soma e produto (como preferir). Neste caso, as raizes sa˜o -1 e -2. Ou seja, x2 + 3x + 2=(x+1)(x+2) . 2 Passo) Igualar a frac¸a˜o polinomial a uma soma de frac¸o˜es, cujos numeradores a princ´ıpio sa˜o desconhecidos, e por isso representa-se por uma inco´gnita qualquer: x− 3 x2 + 3x + 2 = A x + 2 + B x + 1 3 Passo) Encontrar o MMC dessa soma, de tal modo que torne poss´ıvel anular os denominadores da igualdade em questa˜o. Obtemos assim a seguinte igualdade: x− 3 x2 + 3x + 2 = A(x + 1) + B(x + 2) (x + 1)(x + 2) (...) A(x + 1) + B(x + 2)= x− 3 4 Passo) Igualar os termos semelhantes da igualdade e montar um sistema para poder descobrir o valor dos numeradores, ou seja, A e B.{ Ax + Bx = 1 A + 2B = −3 36 Sabendo que A = 5 e B = −4, substituimos esses valores na igualdade montada inicialmente no passo 3: x− 3 x2 + 3x + 2 = 5 x + 2 − 4 x + 1 . FAZENDO VOCEˆ APRENDE! (1) Quais sa˜o as raizes da equac¸a˜o (x− 2)3(x− 5)(x− 4)2 = 0 e que multiplicidade apresentam? (2) Determine as constantes a e b na identidade: a x− 3 + b x + 3 ≡ 3x x2 − 9 (3) Escreva as frac¸o˜es na forma de uma soma: (a) 2x− 1 x2 + 5x + 6 (b) 5x + 3 x2 − 3x + 2 (4) Decomponha P (x) como o produto de uma constante por polinoˆmios de 1 grau, em cada um dos seguintes casos: (a) P (x) ≡ 4x2 − x− 3 (b) P (x) ≡ x3 − 8x2 + 12x (5) Sabendo que o polinoˆmio P(x)≡ 3x4− 25x3 + 59x2− 47x + 10 satisfaz a condic¸a˜o P(1)=P(2)=0, represente P(x) como o produto de uma constante por polinoˆmios do primeiro grau. IMPORTANTE: Produtos Nota´veis Exemplos (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 (a− b)2 = a2 − 2ab + b2 (x− 3)2 = x2 − 6x + 9 (a + b)(a− b) = a2 − b2 (x + 3)(x− 3) = x2 − 9 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 ∗(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 ∗a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4) a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2) x3 − 8 = (x− 2)(x2 + 2x + 4) Observac¸a˜o 13 *Veja como o uso do pareˆntese muda totalmente o resultado!! → Fatore os polinoˆmios a seguir: (a) x3 + 2x2 − x− 2 = (b) x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 = (c) x3 + 2x2 − 3x = (d) x3 + 3x2 − 4x− 12 = 37 (e) x3 + 6x2 + 11x + 6 = Respostas: (a) (x− 1)(x2 + 3x + 2) (b) (x− 1)2(x2 − x− 2) ou (x− 1)2(x− 2)(x + 1) (c) (x− 1)(x + 3)x (d) (x + 3)(x2 − 4) ou (x + 3)(x + 2)(x− 2) (e) (x + 2)(x2 + 4x + 3) ou (x + 2)(x + 3)(x + 1) Observac¸a˜o 14 Seja P (x) = anx n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 um polinoˆmio com coeficientes inteiros. Se α for um nu´mero inteiro e uma ra´ız de P (x), enta˜o α sera´ um divisor do termo independente a0. Cap´ıtulo 6 Exponencial e Logaritmo 6.1 Equac¸o˜es exponenciais Definic¸a˜o 15 Chama-se equac¸a˜o exponencial toda equac¸a˜o que conte´m inco´gnita no expoente. Exemplo 34 1. 2x = 16 2. 3x−1 = 27 3. 3x+1 + 3x−2 = 9 4. 4x − 2x = 8 Me´todo da reduc¸a˜o a uma base comum Este me´todo, como o pro´prio nome ja´ diz, sera´ aplicado quando ambos os membros da equac¸a˜o, com as transformac¸o˜es convenientes baseadas nas propriedades de poteˆncias, forem redut´ıveis a poteˆncias de mesma base a (0 < a 6= 1). O me´todo da reduc¸a˜o a uma base comum e´ baseado no seguinte resultado: Teorema 4 Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. Enta˜o: ax = ay ⇐⇒ x = y. Demonstrac¸a˜o: ax = ay ⇔ a x ay = 1⇔ ax−y = 1⇔ x− y = 0⇔ x = y � FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! Exemplo 35 1. 2x = 16 2. 3x−1 = 27 3. 8x = 1 32 4. 100x = 0, 001 5. 73x+4 = 492x−3 6. 52x 2−32 = 1 7. 4x − 2x = 56 8. 9x + 3x = 90 9. 4x+1 − 9 . 2x + 2 = 0 38 39 10. 3x + 3−x 3x − 3−x = 2 6.2 Inequac¸o˜es exponenciais Definic¸a˜o 16 Inequac¸o˜es exponenciais sa˜o as inequac¸o˜es com inco´gnita no expoente. Seguem alguns exemplos de inequac¸o˜es exponenciais: 1. 2x > 32 2. ( 1 3 )x < 1 81 3. 4x − 2 > 2x Me´todo da reduc¸a˜o a uma base comum Este me´todo sera´ aplicado quando ambos os membros da inequac¸a˜o puderem ser representados como poteˆncias da mesma base a (0 < a 6= 1). Faz-se uso do seguinte resultado: Teorema 5 Sejam x e y nu´meros reais. Enta˜o: se a > 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x > y; se 0 < a < 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x < y. Demonstrac¸a˜o: Faremos a demonstrac¸a˜o para o caso a > 1. O outro caso e´ ana´logo. ax > ay ⇔ a x ay > 1⇔ ax−y > 1⇔ x−y > 0⇔ x > y. � Exemplo 36 Classifique em Verdadeiro ou Falso: 1. 32,7 > 1 2. (0, 3)0,2 > 1 3. pi √ 2 > 1 4. ( 4 5 )−1,5 > 1 FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! Exemplo 37 Resolva: 1. 2x > 128 2. 32x+3 > 243 3. ( 1 3 )x > 1 81 4. 3x < 1 27 40 Observac¸a˜o 15 Na˜o aprofundaremos o assunto, para func¸a˜o exponencial, mas deixamos aqui alguns lembretes sobre: Func¸a˜o exponencial e´ func¸a˜o R → R definida por f(x) = ax, onde a ∈ R e 0 < a 6= 1. Ou seja, a base dessa func¸a˜o sempre devera´ ser positiva, e diferente de um. O domı´nio da func¸a˜o exponencial sempre abragera´ todos os nu´meros reais. Ja´ a imagem, todos os nu´meros reais positivos, exceto zero. Quando a base for maior que 1, sabemos que a func¸a˜o e´ crescente. Quando a base estiver entre 0 e 1, a func¸a˜o sera´ decrescente. 6.3 Logaritmos Lembremos que no estudo de equac¸o˜es e inequac¸o˜es exponenciais, feito anteriormente, so´ tratamos dos casos em que pod´ıamos reduzir as poteˆncias a` mesma base. Se queremos resolver a equac¸a˜o 2x = 3, por exemplo, sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 21 < 2x = 3 < 22, mas na˜o sabemos qual e´ esse valor nem o processo para determina´-lo. A fim de que possamos resolver este e outros problemas, iniciamos o estudo de logaritmos. Definic¸a˜o 17 Sejam a e b dois nu´meros reais positivos, com a 6= 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar a` base a de modo que a poteˆncia obtida seja igual a b, isto e´, loga b = x⇐⇒ ax = b Em loga b = x, dizemos: a e´ a base do logaritmo b e´ o logaritmando x e´ o logaritmo Exemplo 38 1. log2 8 = 3, pois 2 3 = 8 2. log3 1 9 = −2, pois 3−2 = 1 9 3. log5 5 = 1, pois 5 1 = 5 4. log7 1 = 0, pois 7 0 = 1 Exemplo 39 Resolva: 1. log81 3 2. log0,25 32 3. log0,5 8 4. log2 √ 2 41 Teorema 6 Sejam 0 < a 6= 1 e b > 0. Enta˜o: 1. loga 1 = 0 2. loga a = 1 3. aloga b = b 4. loga b = loga c⇐⇒ b = c Demonstrac¸a˜o: Aplicac¸a˜o imediata da definic¸a˜o de logaritmo. � FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! Exemplo 40 1. Se A = 5log5 2, determine o valor de A3. 2. Determine o nu´mero cujo logaritmo na base a e´ 4 e na base a 3 e´ 8. Notac¸o˜es: log10 x e´ denotado simplesmente por log x (logaritmo decimal). loge x e´ denotado por ln x (logaritmo neperiano ou natural). 6.3.1 Propriedades dos logaritmos Teorema 7 (Logaritmo do produto) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, enta˜o loga b.c = loga b + loga c Demonstrac¸a˜o: Fazendologa b = x, loga c = y e loga b.c = z, provemos que z = x + y. De fato: loga b = x⇒ ax = b; loga c = y ⇒ ay = c; loga b.c = z ⇒ az = bc. Assim, az = bc⇒ az = axay = ax+y ⇒ z = x + y � Teorema 8 (Logaritmo do quociente) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, enta˜o loga ( b c ) = loga b− loga c Teorema 9 (Logaritmo da poteˆncia) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e α ∈ R, enta˜o loga (b α) = α(loga b) Corola´rio 1 Se 0 < a 6= 1, b > 0 e n ∈ N∗, enta˜o loga n √ b = loga b 1 n = 1 n loga b 42 CUIDADO! loga (x± y) 6= loga x± loga y FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! Exemplo 41 1. Se m = bc d2 , determine log m. 2. Seja x = √ a bc , determine log x. 3. Se log 2 = 0, 301, calcule o valor da expressa˜o log 20 + log 40 + log 400. 4. Determine a raza˜o entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer. 5. Se log2 (a− b) = m e a + b = 8, determine log2 (a2 − b2). Teorema 10 (Mudanc¸a de base) Se a, b e c sa˜o nu´meros reais positivos e a e c sa˜o diferentes de 1, enta˜o loga b = logc b logc a Demonstrac¸a˜o: Consideremos loga b = x, logc b = y e logc a = z e notemos que z 6= 0, pois a 6= 1. Provemos que x = y z . De fato: loga b = x⇒ ax = b; logc b = y ⇒ cy = b; logc a = z ⇒ cz = a. Assim, (cz) x = ax = b = cy ⇒ zx = y. � Corola´rio 2 Se a e b sa˜o reais positivos e diferentes de 1, enta˜o loga b = 1 logb a Demonstrac¸a˜o: Usando o teorema da mudanc¸a de base e observando que, por hipo´tese, b 6= 1, temos: loga b = logb b logb a = 1 logb a . � 43 FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! Exemplo 42 1. Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b, determine log6 5. 2. Calcule o valor de log0,04 125. 3. Determine o valor de: log3 2 . log4 3 . log5 4 . log6 5 . log7 6 . log8 7 . log9 8 . log 9 Exemplo 43 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es exponenciais via logaritmos 1. 2x = 3. 2. 52x−3 = 3. 3. 7 √ x = 2. 4. 32x+1 = 2. 5. 4x + 6x = 2.9x. 6. log2 (3x− 5) = log2 7. FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! Exemplo 44 (Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es logar´ıtmicas) Nos exemplos seguintes, sempre observar as condic¸o˜es de existeˆncia do logaritmo. 1. log3 (2x− 3) = log3 (4x− 5). 2. log2 (3x− 1) = 4. 3. log3 (x 2 + 3x− 1) = 2. 4. log22 x− log2 x = 2. 5. 2 + log3 x log3 x + log3 x 1 + log3 x = 2. Cap´ıtulo 7 Trigonometria 7.1 Introduc¸a˜o a` trigonometria A Trigonometria, que e´ uma palavra de origem grega: trigono (triangular) e metria (medida), tem por objetivo estabelecer relac¸o˜es entre os elementos ba´sicos (lados e aˆngulos) de um triaˆngulo. 7.1.1 Razo˜es trigonome´tricas no triaˆngulo retaˆngulo Um triaˆngulo e´ retaˆngulo quando um de seus aˆngulos internos e´ reto. Observando o triaˆngulo retaˆngulo ABC, (Aˆ = 900), temos: BC = hipotenusa = a; AC = cateto = b; AB = cateto = c; Bˆ + Cˆ = ˆ900; AC = cateto oposto ao aˆngulo Bˆ; AB = cateto adjacente ao aˆngulo Bˆ; AC = cateto adjacente ao aˆngulo Cˆ; AB = cateto oposto ao aˆngulo Cˆ; Considerando o que vimos no triaˆngulo retaˆngulo da figura anterior, temos: senBˆ = AC BC ⇒ senBˆ = cateto oposto a Bˆ hipotenusa ⇒ senBˆ = b a . 44 45 cos Bˆ = AB BC ⇒ cos Bˆ = cateto adjacente a Bˆ hipotenusa ⇒ cos Bˆ = c a . tgBˆ = AC BA ⇒ tgBˆ = cateto oposto a Bˆ cateto adjacente a Bˆ ⇒ tgBˆ = b c . Teorema 11 ( Teorema de Pita´goras) O quadrado da hipotenusa e´ igual a soma dos quadrados dos catetos: a2 = b2 + c2 7.1.2 Aˆngulos Nota´veis: 30o, 45o e 60o Alguns aˆngulos, devido ao seu contante uso, merecem um estudo especial. E´ o caso daqueles que medem 30o, 45o e 60o. Vamos considerar que num triaˆngulo equila´tero a mediana, a altura e a bissetriz relativas a um mesmo aˆngulo interno coincidem. Observe o triaˆngulo equila´tero ABC, cujos lados medem l e alturas medem h. Aplicando o teorema de Pita´goras no triaˆngulo AMC, podemos calcular a altura h: h2 + ( l 2 )2 = l2 h2 = l2 − l 2 4 h2 = 3 l2 4 h = l √ 3 2 . 46 7.1.3 Ca´lculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o Observe o triaˆngulo AMC: Temos: sen 30o = l 2 l = 1 2 cos 30o = l √ 3 2 l = √ 3 2 tg 30o = l 2 l √ 3 2 = √ 3 3 sen 60o = l √ 3 2 l = √ 3 2 cos 60o = l 2 l = 1 2 tg 60o = l √ 3 2 2 = √ 3 7.1.4 Ca´lculo do seno, cosseno e tangente de 45o Vamos considerar um triaˆngulo retaˆngulo e iso´sceles ABC cujos catetos medem l e a hipotenusa mede x. Aplicando o teorema de Pita´goras no triaˆngulo ABC: x2 = l2 + l2 ⇒ x2 = 2l2 ⇒ x = √ 2l2 ⇒ x = l√2. Vamos agora calcular o seno, cosseno e tangente de 45o: sen 45o = l l √ 2 = 1√ 2 = √ 2 2 cos 45o = l l √ 2 = √ 2 2 tg 45o = ll = 1. Organizando os resultados, constru´ımos a tabela: 47 α 300 450 600 sen α 1 2 √ 2 2 √ 3 2 cos α √ 3 2 √ 2 2 1 2 tg α √ 3 3 1 √ 3 FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! Exemplo 45 1. Uma pessoa com 1, 80m de altura esta´ distante 80m da base de um pre´dio e veˆ o ponto mais alto do pre´dio sob um aˆngulo de 160 em relac¸a˜o a` horizontal. Sabendo-se que tg 160 ∼= 0, 28, determine a altura do pre´dio. 2. Um avia˜o levanta voˆo num ponto B, e sobe fazendo um aˆngulo constante de 150 com a horizontal. Sabendo-se que sen 150 ∼= 0, 26 e que tg 150 ∼= 0, 27, determine a que altura estara´ e qual a distaˆncia percorrida quando passar em linha vertical sobre uma igreja situada a 2km do ponto de partida B. 3. Calcular a medida z na figura: 7.2 Exerc´ıcios 1. Calcule os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, sabendo que a altura relativa a` hipotenusa e´ h = 4 e um aˆngulo agudo e´ Bˆ = 300. 2. Calcule os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, sendo que a altura relativa a` hipotenusa mede 4 e forma um aˆngulo de 150 com o cateto b. Dados: sen 750 = √ 2 + √ 6 4 e cos 750 = √ 6−√2 4 . 3. Uma escada de bombeiro pode ser estendida ate´ um comprimento ma´ximo de 25 m, formando um aˆngulo de 700 com a base, que esta´ apoiada sobre um caminha˜o, a 2 m do solo. Qual e´ a altura ma´xima que a escada atinge? 48 4. Um observador veˆ um pre´dio, constru´ıdo em terreno plano, sob um aˆngulo de 600. Afastando-se do edif´ıcio mais 30 m, passa a ver o edif´ıcio sob aˆngulo de 450. Qual e´ a altura do pre´dio? 5. Calcule a distaˆncia entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-ce´u, conhecendo os aˆngulos (α e β) sob os quais sa˜o observados de um ponto O do solo, a` distaˆncia d do pre´dio. 6. Um topo´grafo foi chamado para obter a altura de um edif´ıcio. Para fazer isto, ele colocou um teodolito a 200 metros do edif´ıcio e mediu um aˆngulo de 30o. Sabendo que a luneta do teodolito esta´ a 1,5 m do solo, qual o valor aproximado, da altura do edif´ıcio? 7.3 Arcos, aˆngulos e o c´ırculo trigonome´trico 7.3.1 Arcos e aˆngulos Se dois pontos encontram-se sobre uma circunfereˆncia esta fica dividida em duas partes denominadas, arcos de circunfereˆncia, ou arcos. Se dois pontos A e B forem coincidentes, um dos arcos fica reduzido a um ponto, e outro a pro´pria circunfereˆncia. A medida do comprimento de uma circunfereˆncia (2pi = 360) e´ dado por c = 2pir. Para os diversos arcos que podem ser formados numa circunfereˆncia, tambe´m e´ possivel calcular seu comprimento, visto que eles sa˜o proporcionais a essa medida. Veja no exemplo abaixo: Exemplo 46 A orientac¸a˜o de uma circunfereˆncia pode ser no sentido hora´rio (-) ou anti-hora´rio (+). Sendo poss´ıvel, portanto, obter equivalaˆncia de um arco de sentidos opostos. Exemplo 47 −90 = 270. −315 = 45. −180 = 180. −225 = 135. 49 7.3.2 Estudo do C´ırculo Trigonome´trico Definic¸a˜o 18 Dado um arco AM, de medidaα, chama-se de cosα e sinα, a abcissa e a ordenada do ponto M, respectivamente. A circunfereˆncia trigonome´trica e´ dividida em 4 quadrantes de 90 cada, seguindo sentido anti- hora´rio.Esses quadrantes sa˜o formados na origem do eixo cartesiano, onde se intersepta o eixo da abcissa (cosseno), com o eixo das coordenas (seno). Os sinais dos arcos variam conforme o eixo, ou seja, conforme a func¸a˜o. Por exemplo, a func¸a˜o seno apresenta o 1 e o 2 quadrantes positivos, ja´ o cosseno, tem o 2 e o 3 quadrante positivo, os outros sa˜o negativos. Quanto a tangente, nos quadrantes ı´mpares e´ positiva, nos pares negativa. Veja, abaixo: O c´ırculo trigonome´trico e´ sime´trico e portanto, um arco pode ser trazido (reduzido), ao primeiro quadrante. No caso do arco 330 , contido no quarto quadrante, ele pode ser reduzido ao primeiro, obtendo-se assim um arco de 30 . Isso por que, se andassemos no sentido hora´rio da circunfereˆncia trigonome´trica, pode-se verificiar que 330 =-30 . Logo, tem-se que o arco sime´trico primeiro quadrante e´ 30 . No caso da medida do arco ser maior que 360 , isto e´, ele possui mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360 ou 2pi rad, com base nessa informac¸a˜o podemos reduzi-lo a` primeira 50 volta, realizando o seguinte ca´lculo: 1- Dividir a medida do arco em graus por 360 (volta completa), 2- O resto da divisa˜o sera´ a menor determinac¸a˜o positiva do arco. Exemplo 48 (a) Fac¸a a reduc¸a˜o do arco 4380 e diga onde o mesmo se localiza. 4380÷ 360 = 4320 + 60 Logo, tem-se que o resto da divisa˜o e´ 60 , o que indica que a determinac¸a˜o principal do arco,pertence ao 1 quadrante. Observac¸a˜o 16 No caso de se desejar as infinitas soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o ou inequac¸a˜o trigonome´trica, deve-se observar com atenc¸a˜o o intervalo dado para soluc¸a˜o, bem como a divergeˆncia de sinais em cada quadrante! Veja o exemplo que segue... Exemplo 49 Dado a figura e as afirmac¸o˜es abaixo, identifique quais sa˜o verdadeiras e falsas. (A) sin(180− α) = sinα (B) sin(180− α) = − sin α (C) sin(180 + α) = sinα (D) sin(180 + α) = − sin α (E) sin(360− α) = sinα (F) cos(360− α) = − sin α 51 (G) cos(180− α) = cosα (H) cos(180− α) = − cos α (I) cos(180 + α) = cosα (J) cos(180 + α) = − cos α (M) cos(360− α) = cosα (N) cos(360− α) = − cos α Observac¸a˜o 17 (Arco Coˆngruo): Dois arcos sa˜o coˆngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Uma regra pra´tica eficiente para determinar se dois arcos sa˜o coˆngruos consiste em verificar se a diferenc¸a entre eles e´ um nu´mero divis´ıvel ou mu´ltiplo de 360 , isto e´, a diferenc¸a entre as medidas dos arcos dividida por 360 precisa ter resto igual a zero. Menor determinac¸a˜o α: e´ o menor arco na˜o negativo dentre todos os congruos, assim, podemos afirmar 0 ≤ x < 360. 7.3.3 Expressa˜o Geral A partir de um arco de midade α, pode se obter outros infinitos arcos de mesmas extremidades, quando consideramos que podemos dar infinitas voltas. Dado isso, torna-se necessa´rio criar uma expressa˜o para representar todos esses infinitos arcos. A expressa˜o geral se apresenta da seguinte forma: AM = 360k + α, k ∈ Z, ou AM = 2kpi + α, k ∈ Z. Portanto fica estabelecida uma correspondencia biun´ıvoca entre os nu´meros reais e os pontos da circunfereˆncia trigonome´trica. FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1- Determine a medida de x do arco da primeira volta positiva (0 ≤ x < 360) que possui a mesma extremidade do arco de: (a) 7850 (b) 1853 (c) −50 (d) 1190 2- Verifique o sinal de cada um desses produtos: (a) y= cos 110. sin 130 (b) y= sin 200. cos 190 (c) y= sin 300. cos 330 (d) y= cos pi4 . sin pi 4 (e) y= sin 2pi3 . cos 2pi 3 (f) y= sin 7pi6 . cos 7pi 6 3- Como poderiamos escrever a expressa˜o geral para os arcos formados na questa˜o 1, anterior? (qual intervalo de k?) 52 4- Dois arcos de medidas opostas quaisquer, α e −α, teˆm extremidades sime´tricas em relac¸a˜o ao eixo dos cossenos. Identifique quais das afirmativas abaixo sa˜o verdadeiras: (a) cos(−α) = cos α (b) − cos(α) = cosα (c) sin(−α) = sin α (d) sin(−α) = − sin α 5- Se F: R → R e´ uma func¸a˜o definida por F (x) = sin x + cosx, o valor de f(pi) + f( 3pi2 ) f(pi2 ) e´? 6- Determine o valor da expressa˜o: sin 330 + cos2 300 sin 200 + cos 70 + sin2 240 7- Simplifique a expressa˜o: A= cos(pi + x) + cos(−x) + cos(pi − x) sin(−x) + sen(pi − x) + cos(x) 7.3.4 Circulo Trigonome´trico Como estudado nas sec¸o˜es anteriores, eis que se apresenta o circulo trigonome´trico, com suas sime- trias e equivaleˆncias: 53 7.4 Identidades Trigonome´tricas Para iniciar o conteu´do, de identidades trigonome´tricas, vamos primeiramente entender o significado das novas relac¸o˜es que ira˜o surgir: (a) COTANGENTE: Seja a reta s tangente a` circunfereˆncia trigonome´trica no ponto B=(0,1). Esta reta e´ perpendicular ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunfereˆncia intersecta a reta tangente s no ponto S=(s’,1). A abscissa s’ deste ponto, e´ definida como a cotangente do arco AM correspondente ao aˆngulo a. Observac¸a˜o 18 Possui os mesmos sinais da tangente no c´ırculo trigonome´trico. 54 (b) SECANTE: Seja a reta r tangente a` circunfereˆncia trigonome´trica no ponto M=(x’,y’). Esta reta e´ perpendicular a` reta que conte´m o segmento OM. A intersec¸a˜o da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do ponto V, e´ definida como a secante do arco AM correspondente ao aˆngulo a. Observac¸a˜o 19 Possui os mesmos sinais do cosseno no c´ırculo trigonome´trico. (c) COSSECANTE: A intersec¸a˜o da reta r com o eixo OY e´ o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, e´ definida como a cossecante do arco AM corres pondente ao aˆngulo a. Enta˜o a cossecante do aˆngulo a e´ dada pelas suas va´rias determinac¸o˜es. Observac¸a˜o 20 Possui os mesmos sinais do seno no c´ırculo trigonome´trico. 7.4.1 Identidades Trigonome´tricas Abaixo, tem-se as principais indentidades trigonome´tricas. Os exercicios seguintes sera˜o baseadas nas mesmas. Na segueˆncia, pode-se verificar a demostrac¸a˜o de algumas identidades. (1) sin2 x + cos2 x = 1 55 Demonstrac¸a˜o: Aplicando o teorema de Pita´goras: a2 = b2 + c2, 12 = cos2 x + sin2 x, cos2 x + sin2 x = 1. 2 (2) sec = 1 cos x (3) csc = 1 sin x (4) cot = 1 tan x = cos x sin x (5) sec2 x = 1 + tan2 x Demonstrac¸a˜o: Dividindo ambos os membros da relac¸a˜o fundamental trigonome´trica (cos2 x + sin2 x = 1) por cos2 x, temos: sin2 cos2 + cos2 cos2 = 1 cos2 ↓ tan2 x + 1 = sec2 x. 2 Observac¸a˜o 21 Podemos obter a relac¸a˜o trigonome´trica (6), adotando o passo a passo acima, entretanto, ao inve´s de dividir a relac¸a˜o fudamental trigonome´trica por cos2 x, divide-se por sin2 x. (6) csc2 x = 1 + cot2 x (7) sin 2x = 2 sin x. cos x 56 Demonstrac¸a˜o: Atrave´s da relac¸a˜o (12), que faz a soma do seno de dois arcos diferentes: sin(a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b, podemos fazer a soma de dois arcos iguais, procedendo da seguinte forma: sin(a + a) = sin a. cos a± cos a. sin a ↓ sin 2a = 2 sin a. cos a. 2 O mesmo procedimento pode ser adotado para obter as relac¸o˜es (8) e (9), entratanto, muda-se a relac¸a˜o inicial para cada func¸a˜o. Ou seja, para obter a relac¸ao (8) cos 2x = cos2 x− sin2 x, utiliza-se a relac¸a˜o (13), que faz a soma do cosseno de dois arcos. Para obter a relac¸a˜o (9) tan 2x = 2 tan x 1− tan2x , utiliza-se a relac¸a˜o (14), que faz a soma da tangente de dois arcos. (8) cos 2x = cos2 x− sin2 x = 1− 2 sin2 x = 2 cos2−1 (9) tan 2x = 2 tan x 1− tan2x (10) sin2 x = 1 2 + (1− cos 2x) (11) cos2 x = 1 2 + (1 + cos 2x)(12) sin(a ± b) = sin a. cos b∓ cos a. sin b (13) cos(a ± b) = cos a. cos b ∓ sin a. sin b (14) tan(a + b)= tan a + tan b 1− tan a. tan b (15) tan(a− b)= tan a− tan b 1 + tan a. tan b Que tal lembrar das LEI DOS SENOS (16) COSSENOS (17) e a LEI DA A´REA(18) de um triaˆngulo ? 57 (16) (17) (18) 58 FAZENDO VOCEˆ APRENDE ! 1 - Encontre o valor da expressa˜o: (a) y = cos 1305− sin 1305 sec 1740 + tan 855 (b) y = tan 315× csc 1200 sin 1560− cos 1650 2- Determine cos α, sabendo que sin α = 1 3 e que α corresponde a uma arco do 2 quadrante. 3- Simplifique as expresso˜es abaixo sob as condic¸o˜es de existeˆncia. (a) E=(sec x− cosx)(csc x− sin x)(tan x + cot x) (b) E= 2 tan(180 + α)− tan(180− α) 5 tan(360− α) (tan α 6= 0) 4- Para escorar um muro vertical localizado em um terreno plano e horizontal, foi usada uma barra de ferro de 2,6 m. de comprimento, reta, apoiada em um ponto P do terreno e em um ponto Q do muro. A medida α do aˆngulo obtuso que a barra forma com o terreno e´ tal que secα = −2√3 3 . Calcule a distaˆncia entre o ponto Q e o solo. 5- Deˆ o conjunto soluc¸a˜o de acordo com o intervalo dado para as equac¸o˜es abaixo: (a) tan2 x−√3 tan x = 0 [0, pi] (b) (tan2 x− 3)(sin x + 1) = 0 [0, 2pi] 6- Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 5cm e 10,cm e formam entre si um aˆngulo de 120 . Calcule as medidas das diagonais desse pol´ıgono. 7- Determine o valor de x nas figuras a seguir: Cap´ıtulo 8 Respostas dos Exerc´ıcios 8.1 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1 SEC¸A˜O 1.1 1. (a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...} (b) B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...} (c) C = {1, 3, 5, 7, 9, 11} (d) D = {1, 3, 5, 7, 9, 11} 2. (a) A = {0} (b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} (c) C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (e) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (f) F = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 3. (a) A = {n ∈ N∗|n 5 5} (b) B = {n ∈ N∗|n e´ par e n ≤ 8} (c) C = {n ∈ N |2 ≤ n ≤ 10} (d) D = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10} (e) E = {n ∈ N|n ≥ 5} (f) F = {n ∈ N|n ≥ 1} ou N∗ 4. (a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...} (b) B = {2, 4, 6, 8} (c) C= {2,4,6,8} (d) D = {0, 2, 4, 6, 8, 10} 5. (a) (b) 59 60 (c) (d) (e) (f) SEC¸A˜O 1.2 1. (a) R (b) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...} (c) {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...} (d) {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60...} (e) {0, 12, 24, 36, 48, 60...} (f) {0, 50, 100, 150, 200, 250...} 2. (V)= a, c, d, e (F)= b 3. {0, 12, 24, 36, 48} 4. {26, 39} 5. {o} 6. nu´meros pares 7. {6} 8. {0, 6, 12, 18, 24, 30...} 9. 0,20,40,60.. 10. {0, 30, 60, 90...} SEC¸A˜O 1.3 1. (a) 42 (b) 48 (c) 60 (d) 180 (e) 210 2. 15 : 00 3. 80 dias 4. 72 minutos 5. 1 dia 6.{2008, 2028, 2048} SEC¸A˜O 1.4 1. (a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} (b) {1, 3, 5, 610, 15, 30} (c) {4, 12} (d) {5, 10, 15} (e) {1, 2, 3, 6} 2. 1 e ele mesmo. 3. 61 (a) {1, 2, 5, 10} (b) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} (c) {1, 2} (d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24} 4. duas maneiras 5. 3 maneiras 6. 5 maneiras 7. 4 maneiras 8. 1,18;2,9;3,6. SEC¸A˜O 1.5 1. (a) 9 (b) 15 (c) 2 (d) 1 2. 6 3. O menor e´ o m.d.c 4. Sempre 1 5. (a) 39 (b) a = 6, b = 7 6. 20 7. 60 8. Em 5,6,8 pec¸as; Comprimento= 36 m 8.2 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 SEC¸A˜O 2.1 1. (a) 17 6 (b) 8 3 (c) 17 24 (d) 11 4 2. (a) 91 72 (b) 13 72 (c) 67 84 (d) 17 21 3. (a) 33 20 (b) 33 20 (c) 91 45 (d) 116 75 (e) 65 42 (f) 157 30 4. (b) 77 10 (c) 73 8 (d) 43 4 5. (a) 1 21 (b) 11 24 (c) 61 84 (d) 10 18 (e) 89 360 (f) −5 8 6. (a) 75 20 (b) 55 20 (c) (1) O agrupamento diferente gera resultados diferentes. (2) A operac¸a˜o na˜o e´ associativa (Operac¸a˜o que independe da ordem). 7. (b) 23 8 (c) 59 24 (d) 15 6 (e) 1 5 (f) 5 4 (g) 11 3 8. 5 12 9. 8 15 10. 5 12 11. 300.000 L 12. 14 caixas SEC¸A˜O 2.2 1. (a) 5 8 (b) 1 4 (c) 8 5 (d) 35 6 (e) 21 10 (f) 11 132 (g) 3 45 (h) 57 5 (i) 33 8 2. (a) 5u (b) 4u (c) 1 4 u (d) 1 5 u (e) 1 8 u (f) 6u 3. 62 (a) 5 4 (b) 7 5 (c) 5 (d) 5 4 (e) 11 9 (f) 15 8 (g) 21 16 (h) 4 3 4. (a) 16 (b) 28 13 (c) 1 16 (d) 37 13 5. duas questo˜es 6. 4m2 7. 1920 ladrilhos 8. (a) 64m2 (b) 40m 9. 800 oˆnibus 10. Adulto : 70 Kg,Crianc¸a: 40 Kg 11. (a) 1.080 reais (b)3.000 reais 12. 87 Km SEC¸A˜O 2.3 1. (a) 0, 66... (b) 0, 08 (c) 0, 05 (d) 0, 234 2. =: a),(b),(c),(d),(e) 6=: (b) e (f). 3. (a) 0, 3 (b) 0, 01 (c) 0, 007 (d) 0, 21 (e) 0, 043 (f) 123, 5 (g) 57, 802 (h) 6, 104 4. (a) 1 2 (b) 13 10 (c) 8 100 (d) 212 1000 (e) 871 100 (f) 485 1000 (g) 5278 1000 (h) 93, 164 10 5. (a) 3 5 (b) 9 40 (c) 23 200 (d) 9 20 (e) 3 500 (f) 211 500 (g) 17 40 (h) 626 125 SEC¸A˜O ?? 1. V= a, c, e F= b, d, f 2. (a) 500dcm2 (b) 11.400cm2 (c) 0, 055km2 (d) 735mm2 (e) 6, 47m2 3. (a) 61, 17 (b) 5.000.047, 51 (c) 90, 5 (d) 14.735 (e) 58.684 4. (a) 10min 45seg (b) 42min 17seg (c) 5h. 10min 49seg 5. (a) 13h 16min 52seg (b) 5h 8min (c) 18h 46min 7. 11 : 53 8. 108dl 9. (a) 100min 10seg (b) 1h 1min 1seg (c) 2h 30min (d) 1h 7min 30s 63 8.3 Respostas dos Exerc´ıcios do Capitulo 3 SEC¸A˜O 3.1 1) (a) 610 (b) 71 (c) 710 (d) 109 2) (a) 121 (b) 25 (c) 3−2 (d) 82 3) (a) 38 (b) 415 (c) 74 (d) 67 (e) 100 (f) 74 4) (a) 9a2 (b) 10245 (c) x3y3 (d) 128x7y7 5) (a) ( −13 21 )2 (b) ( 8 33 −1 ) (c) ( 17 5 )−5 (d) ( −7 9 )3 (e) ( −21 4 )3 (f) ( 11 12 )6 (g) ( 5 4 )−6 (h) (0, 03)−3 (i) (0, 03)−10 6) (a) 3 (b) 1 (c) 0, 5 (d) 1 (e) 1 2 (f) 1 (g) √ 2 (h) 1 7) a)2−3 b) ( 12 ) −2 SEC¸A˜O 3.1.1 1) (a) 4 (b) 1 2 (c) 256 (d) 4 (e) 6561 (f) 900 (g) −27 (h) ( 1 1, 2 )2 (i) 4 √ (5)3 (j) 4 √ pi (l) 107 2) 64 (a) −1 5 (b) 3 (c) 2, 5 (d) 0, 01 (e) 10.000 (f) 100 (g) −2 3 (h) 64 9 (i) 1 3 (j) 4 81 (l) 81 4096 3) (a) 7 1 2 (b) 2 3 4 (c) 3 2 5 (d) 4 −1 3 (e) (−2)−3 (f) ( 3 2 )−5 4) (a) 5 √ 2 (b) 1√ 8 (c) 4 √ a3b (d) 1 5 √ m2n (e) 1 4 √ m3 5) (a) 2 5 3 (b) 5 2 3 (c) 3 3 4 (d) 2 3 7 (e) 2 9 8 (f) 5 1 2 SEC¸A˜O 3.2 1) (a) 4 (b) 26 5 (c) 12 25 2) (a) x 17 7 (b) 3 (c) 4b2 (d) 4xy2 (e) 5a2 √ x (f) √ 5 (g) a6x8 (h) 3 3 √ 3 (i) 2 9 √ 2 (j) 2 √ 13 (l) 12 √ 2a 5 √ 3b2 (m) x2y 3 √ y2 a2 √ a (n) x + 3 (o) x + 5 3) (a) 2 √ 5 (b) 0 (c) 4b √ a− 4a√a (d) 3 3 √ 3 (e) √ 30 20 (f) 5b 12 √ (5b) (g) 4 (h) 27a9 × b 3 2 (i) 1 (j) 4 √ x 3 √ y 65 4) (a) a √ b 2b (b) a √ b ab (c) 5 √ a4b4c c (d) 8− 2√5 (e) √ 2a + 1 (f) 2 + √ 3 8.4 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4 SEC¸A˜O 4.1 1) (a) 9 8 (b) −17 8 (c) −57 20 (d) 1 3 (e) 94, 57 (f) −4 7 (g) −11, 59 (h) −7 2 2) (a) 17 140 (b) −17 12 (c) −125 8 (d) 25 9 (e) 1 2 (f) 3 2 3) (a) 90 (b) −6 (c) 3267 448 (d) −10 3 (e) −3 10 (f) −4 7 SEC¸A˜O 4.2 1) (a) 8 (b) 8 (c) 9 8 (d) − 1 70 (e) x = 4 (f) x = −64 3 (g) x
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