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Apostila Pré-Calculo UTFPR Pato Branco

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CAMPUS PATO BRANCO
CURSO DE MATEMA´TICA PARA ALUNOS INGRESSANTES
Projeto Institucional da A´rea de Matema´tica do campus Pato Branco
Pato Branco - PR, 2011
Suma´rio
1 Nu´meros Naturais 4
1.1 Nu´meros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Mu´ltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Mı´nimo Mu´ltiplo Comum (M.M.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Ma´ximo Divisor Comum (M.D.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Frac¸o˜es 11
2.1 Operac¸o˜es com frac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Outras operac¸o˜es com frac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Potenciac¸a˜o e Radiciac¸a˜o 16
3.1 Potenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Exerc´ıcios para Fixac¸a˜o! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Radiciac¸a˜o e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Propriedades da Radiciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Expresso˜es nume´ricas 21
4.1 Ordem das Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Equac¸a˜o do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Expresso˜es Alge´bricas e Polinoˆmios 25
5.1 Expresso˜es Alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.1 Operac¸o˜es com Monoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1 Operac¸o˜es com Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.2 Operac¸o˜es com polinoˆmios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Decomposic¸a˜o de Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.1 Frac¸o˜es Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Exponencial e Logaritmo 38
6.1 Equac¸o˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Inequac¸o˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2
7 Trigonometria 44
7.1 Introduc¸a˜o a` trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.1 Razo˜es trigonome´tricas no triaˆngulo retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.2 Aˆngulos Nota´veis: 30o, 45o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.1.3 Ca´lculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.1.4 Ca´lculo do seno, cosseno e tangente de 45o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3 Arcos, aˆngulos e o c´ırculo trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.3.1 Arcos e aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.3.2 Estudo do C´ırculo Trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.3.3 Expressa˜o Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3.4 Circulo Trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.4 Identidades Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.4.1 Identidades Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8 Respostas dos Exerc´ıcios 59
8.1 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.2 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3 Respostas dos Exerc´ıcios do Capitulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.4 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.5 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.6 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.7 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.8 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Refereˆncias 76
Cap´ıtulo 1
Nu´meros Naturais
1.1 Nu´meros Naturais
O sistema de numerac¸a˜o mais usados em nossos dias e´ o indo-ara´bico, que tem base decimal e e´ de
cara´ter posicional, ou seja, o valor de cada algarismo e´ definido em func¸a˜o da posic¸a˜o que ele ocupa na
expressa˜o do nu´mero.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.
Exemplo 1 Escreva o conjunto dos nu´meros naturais menores que 12:
Soluc¸a˜o: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Nota: N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
FAZENDO VOCEˆ APRENDE
1) Represente os seguintes subconjuntos de N por seus elementos:
(a) O conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o ı´mpares.
(b) O conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o pares.
(c) O conjunto dos nu´meros ı´mpares e menores que 12.
(d) O conjunto dos nu´meros ı´mpares menores ou iguais a 11.
2) Escreva em extensa˜o, ou seja, pelos seus elementos, os seguintes conjuntos escritos por uma
propriedade:
(a) A = {n ∈ N|n < 1}
(b) B = {n ∈ N∗|n ≤ 11}
(c) C = {n ∈ N|n > 2 e n < 10}
(d) D = {n ∈ N| 2 < n < 10}
(e) E = {n ∈ N|n ≥ 2 e n ≤ 10}
(f) F = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10}
3) Represente por uma propriedade os seguintes subconjuntos de N:
(a) A = {1, 2, 3, 4, 5}
(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}
(c) C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
4
5
(e) E = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n, ...} (f) F = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}
4) ) Represente em extensa˜o os conjuntos:
(a) A = {2n|n ∈ N}
(b) B = {2n ∈ N|n > 0 e n < 5}
(c) C = {2n ∈ N|0 < n < 5}
(d) D = {2n ∈ N|0 ≤ n ≤ 5}
5) Represente na reta nume´rica os seguintes subconjuntos dos nu´meros naturais:
(a) A = {0, 1, 2, 3}
(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}
(c) C = {3, 4, 7, 10}
(d) D = {n ∈ N|n < 10}
(e) E = {n ∈ N∗|n < 12}
(f) F = {N ∈ N|n > 2 e n < 9}
E´ LO´GICO !
Num certo planeta, os dias teˆm 17 horas e 17 minutos. La´ costuma se praticar o zists. As partidas
de zists comec¸am sempre a`s 13h 10min e duram 2h 15min. A que horas elas terminam?
1.2 Mu´ltiplos
Definic¸a˜o 1 : Chamam-se mu´ltiplos de um nu´mero ao produto desse nu´mero por um nu´mero natural
qualquer. O conjunto dos mu´ltiplos de um nu´mero natural na˜o nulo e´ infinito e podemos consegu´ı-lo
multiplicando-se o nu´mero dado por todos os nu´meros naturais.
Exemplo 2 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}
Observac¸a˜o 1 O nu´mero zero (0) e´ mu´ltiplo de qualquer nu´mero.
FAZENDO VOCEˆ APRENDE!
1) Determine e indique os conjuntos em N:
1. M(1) 2. M(2) 3. M(6) 4. M(10) 5. M(12) 6. M(50)
2) Classifique em verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es abaixo.
(a) O nu´mero zero e´mu´ltiplo de qualquer nu´mero natural.
(b) O maior mu´ltiplo de um nu´mero e´ o pro´prio nu´mero.
(c) O conjunto dos mu´ltiplos de um nu´mero e´ infinito.
(d) Todo nu´mero natural e´ mu´ltiplo de si mesmo.
(e) O nu´mero um so´ e´ mu´ltiplo dele mesmo.
6
3) Quais sa˜o os mu´ltiplos de 12 menores do que 50?
4) Quais sa˜o os mu´ltiplos de 13 compreendidos entre 15 e 40?
5) Qual e´ o menor mu´ltiplo de um nu´mero natural?
6) Qual e´ o nome que se da´ ao conjunto dos mu´ltiplos de 2?
7) Considere n ∈ {1, 2, 3}. Sabendo que a = 2n e b = 3n, escreva os mu´ltiplos comuns de a e b
menores que 50.
8) Escreva o conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o mu´ltiplos de 3 e tambe´m, de 6.
9) Escreva o conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o mu´ltiplos de 4 e tambe´m, de 5.
10) Escreva o conjunto dos nu´meros naturais que sa˜o mu´ltiplos de 5 e tambe´m, de 6.
E´ LO´GICO!
Na piraˆmide abaixo, tem-se que o nu´mero de cada tijolo e´ a soma dos nu´meros dos dois tijolos
vizinhos, do andar de baixo.
1. Usando x, como se indica o nu´mero do tijolo escuro?
2. Usando x, como se indica o nu´mero do tijolo hachurado?
3. Qual e´ o valor de x?
4. Determine o valor de cada tijolo da piraˆmide.
Resp: x = 11
1.3 Mı´nimo Mu´ltiplo Comum (M.M.C)
Definic¸a˜o 2 Tendo-se dois ou mais nu´meros naturais na˜o nulos, o m.m.c. deles e´ o menor nu´mero na˜o
nulo que seja mu´ltiplo de todos eles.
7
Exemplo 3 Obter m.m.c de 28 e 36.
Observac¸a˜o 2 Decompor um nu´mero composto em fatores primos significa expressar este nu´mero como
produto de outros que sejam primos.
Definic¸a˜o 3 Nu´meros Primos sa˜o aqueles que sa˜o divis´ıveis apenas por 1 e por ele mesmo.
Definic¸a˜o 4 Nu´meros Compostos sa˜o aqueles que podem ser escritos atrave´s do produto de nu´meros
primos elevados a uma poteˆncia.
Observac¸a˜o 3 Os nu´meros 0 e 1 na˜o sa˜o nem primos, nem compostos.
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1) Determine o m.m.c. entre os nu´meros:
1. 14 e 21 2. 8,12 e 16 3. 10,15 e 20 4. 12, 18, 30 e 36 5. 2,3, 5,7 e 10
2) O Sr. Joaquim toma um comprimido de 5 em 5 horas e um xarope de 3 em 3 horas. Se a` meia-noite
ele tomou os dois reme´dios, a que horas ele voltara´ a tomar os dois reme´dios juntos?
3) Do porto de Santos, partem navios argentinos de 16 em 16 dias e navios uruguaios de 40 em 40
dias. Se, num certo dia, sa´ıram navios das duas nac¸o˜es, quantos dias demorara´ para ocorrer uma nova
partida conjunta?
4) Em uma pista circular dois ciclistas partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. O
primeiro completa cada volta em 24 minutos e o segundo em 18 minutos. Apo´s quantos minutos da
partida os dois va˜o estar juntos outra vez?
5) Numa estac¸a˜o rodovia´ria, os oˆnibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B
de 8 em 8 horas. Numa ocasia˜o, um oˆnibus para a cidade A partiu junto com o outro para a cidade B.
Quanto tempo depois isso acontecera´ de novo?
6) Um pa´ıs tem eleic¸o˜es para presidente de 5 em 5 anos, e para governadores de 4 em 4 anos. Em
1988, essas duas eleic¸o˜es coincidiram. Deˆ os anos das treˆs pro´ximas vezes em que elas voltara˜o a coincidir.
E´ LO´GICO !
Um poc¸o tem 10 metros de profundidade. Uma lesma que esta no fundo do poc¸o sobe quatro metros
durante o dia, e durante a noite, enquanto dorme, escorrega, para baixo, treˆs metros. Em quantos dias
saira´ do poc¸o?
8
1.4 Divisores
Definic¸a˜o 5 Sendo a e b dois nu´meros inteiros, com a 6= 0, dizemos que a e´ divisor de b quando b e´
divis´ıvel por a.
Exemplo 4 1) Determine os divisores de 14. Soluc¸a˜o: D(14)={1, 2, 7, 14}
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1) Escreva os nu´meros naturais que:
1. Sa˜o divisores de 12.
2. Sa˜o divisores de 30.
3. Sa˜o divisores de 12, mas na˜o de 30.
4. Sa˜o divisores de 30, mas na˜o de 12.
5. Sa˜o divisores comuns de 12 e 30.
2) Quais sa˜o os divisores de um nu´mero primo p?
3) O conjunto dos divisores de 10 e´ indicado por D(10) e os divisores de 24 por D(34). Apresente os
conjuntos:
1. D(10) 2. D(24) 3. D(10) ∩D(24) 4. D(10) ∪D(24)
4) A tia Rosa da cantina comprou 200 balas para serem vendidas em pacotes que contenham mais
de 3 balas e menos de 7 balas. Todos os pacotes devem ter o mesmo nu´mero de balas e na˜o deve sobrar
nenhuma das 200 balas. Quais sa˜o as diferentes maneiras que tia Rosa encontrou para fazer os pacotes?
5) O professor Elder, de artes, quer dividir a classe em grupos que tenha no mı´nimo 3 alunos e no
ma´ximo 6. Sabendo-se que a classe tem 36 alunos e que todos os grupos devem ter o mesmo nu´mero de
alunos, quais sa˜o as maneiras poss´ıveis de o professor Elder formar os grupos?
6) Um torneio de futebol de sala˜o vai reunir 24 equipes. O organizador quer formar grupos que
tenham o mesmo nu´mero de equipes, com no mı´nimo 2 e no ma´ximo 8 equipes. Quais sa˜o as maneiras
poss´ıveis de formar estes grupos?
7) Encontre todas as maneiras poss´ıveis para ampliar 20 caixas de refrigerante em pilhas iguais, de
modo que cada pilha tenha no mı´nimo 2 e no ma´ximo 10 caixas.
8) Disse um matema´tico: “O produto das idades de meus dois filhos e´ igual a 18 anos.” Quais sa˜o
as poss´ıveis idades (em anos) dos filhos deste matema´tico?
E´ LO´GICO !
Usando 32 quadrinhos, de 1 cm de lado, quero formar retaˆngulos como o da figura abaixo:
9
Agora, responda:
(a) E´ poss´ıvel formar outros retaˆngulos usando todos os quadrinhos?
(b) Quais as medidas dos lados desses retaˆngulos?
1.5 Ma´ximo Divisor Comum (M.D.C)
Definic¸a˜o 6 Tendo-se dois ou mais nu´meros naturais na˜o nulos, o m.d.c. deles e´ o maior nu´mero
natural divisor de todos eles.
Exemplo 5 Determine o m.d.c de 12 e 16.
MDC(12)= {12}
MDC(16)= {16}
Observac¸a˜o 4 O m.d.c. e´ o produto dos fatores comuns com o menor expoente: m.d.c.{12, 16} =
22 = 4.
Exemplo 6 Determinar o mdc entre 20 e 9.
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e D(9) = {1, 3, 9} Assim, mdc{20, 9} = 1
Atenc¸a˜o: Dois nu´meros sa˜o primos entre si, se o m.d.c. entre os dois for 1.
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1) Obtenha:
1. o m.d.c. (27, 36) 2. o m.d.c. (45, 75) 3. o m.d.c. (20, 26) 4. o m.d.c. (16, 21)
2) Um professor da´ aulas numa 7a se´rie, de 30 alunos, e numa 8a se´rie, de 18 alunos. Em cada sala,
ele formou grupos, e todos os grupos (tanto na 7a como na 8a) tinham o mesmo nu´mero de alunos. Qual
e´ o maior nu´mero de alunos que cada grupo pode ter?
3) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois nu´meros naturais na˜o nulos, quando um deles e´
divisor do outro?
4) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois nu´meros primos diferentes?
5) Na escola de Laura, a 5a se´rie A tem 36 alunos e a 5a se´rie B tem 42. Para participar de uma
exposic¸a˜o de artes, cada classe formara´ equipes. Todas as equipes devem ter o mesmo nu´mero de alunos.
Sabendo que todos os alunos devem participar dessa exposic¸a˜o, responda:
10
(a) Qual o nu´mero ma´ximo de alunos por equipe?
(b) Quantas sera˜o as equipes da 5a se´rie A? E da 5a se´rie B?
6) Para confecc¸a˜o de uma tela, dois rolos de arame de 350 cm e 140 cm va˜o ser divididos em pedac¸os
da mesma medida e a maior poss´ıvel (sem sobras). Qual o nu´mero de pedac¸os que sera˜o obtidos de cada
rolo?
7) Para montagem de uma estante, treˆs pedac¸os de madeira (caibros) medindo 240 cm, 320 cm e 400
cm devem ser divididos em pedac¸os iguais de maior medida poss´ıvel (sem sobras). Qual o nu´mero total
de pedac¸os que sera˜o obtidos?
8) A gerente de uma loja de tecidos quer dividir treˆs pec¸as de fazenda em partes iguais e de maior
tamanho poss´ıvel. Sabendo que essas pec¸as medem 180 m, 216 m e 288 m, determine o nu´mero de partes
em que sera´ dividida cada pec¸a e o comprimento dessas partes.
E´ LO´GICO !
Quantos quadrados ha´ na figura?
Cap´ıtulo 2
Frac¸o˜es
2.1 Operac¸o˜es com frac¸o˜es
• Adic¸a˜o eSubtrac¸a˜o
Exemplo 7 (a) 78 +
5
6 =
3.7
24 +
4.5
24 =
21
24 +
20
24 =
41
24
(b) 75 − 38 = 8.7−5.340 = 56−1540 = 3140
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1) Efetue as adic¸o˜es e se poss´ıvel, simplifique os resultados:
(a) 76 +
5
3 (b)
8
4 +
2
3 (c)
5
12 +
7
24 (d)
1
2 +
9
4
2) Calcule as adic¸o˜es e expresse os resultados na forma de frac¸a˜o irredut´ıvel:
(a) 718 +
7
8 (b)
5
36 +
1
24 (c)
9
28 +
10
21 (d)
1
7 +
14
21
3) Efetue as adic¸o˜es:
(a) ( 310 +
3
5 ) +
3
4
(b) 310 + (
3
5 +
3
4 )
(c) ( 59 +
2
3 ) +
4
5
(d) 1225 + (
3
5 +
7
15 )
(e) 1021 +
6
7 +
3
14
5
6 +
2
5 + 4
4) Transforme os nu´meros mistos em frac¸o˜es impro´prias e efetue as adic¸o˜es:
(a) 2 13 + 5
3
5 =
2.3+1
3 +
5.5+3
5 =
7
3 +
28
5 =
5.7+3.28
15 =
119
15
(b) 2 910 + 4
4
5 (c) 5
3
8 + 3
3
4 (d) 5
1
4 + 5
1
2
11
12
5) Calcule as diferenc¸as:
(a) 57 − 23
(b) 1012 − 38
(c) 1112 − 17 − 121
(d) 139 − 56 − 118
(e) ( 98 − 35 )− 518
(f) ( 72 − 2)− (3− 78 )
6) Calcule:
(a) 205 − ( 34 − 12 )
(b) ( 205 − 34 )− 12
(c)Considerando os resultados obtidos em a e b, responda: (1) O que voceˆ observa neles? (2) A
subtrac¸a˜o de nu´meros fraciona´rios e´ associativa? (Pesquise o que e´ uma operac¸a˜o associativa).
7) Transforme os nu´meros mistos em frac¸o˜es impro´prias e efetue as subtrac¸o˜es:
(a) 5 55 − 2 13 = 5.5+55 − 2.3+13 = 285 − 73 = 84−3515 = 4915
(b) 4 58 − 1 34
(c) 3 58 − 1 16
(d) 2 56 − 13
(e) 5 15 − 5
(f) 3− 1 34
(g) 16− 12 13
8) No s´ıtio de Lucas, 13 da plantac¸a˜o e´ de milho,
1
4 e´ de arroz e o restante e´ de soja. Qual e´ a frac¸a˜o
correspondente a` plantac¸a˜o de soja?
9) Rui, Noe´ e Isa ganharam uma caixa de bombons “Quero-Quero”. Rui comeu 16 , Noe´ comeu
1
10 e
Isa comeu 15 . Que frac¸a˜o sobrou dos bombons?
10) Uma prac¸a retangular tem lados medindo 100 m e 60 m. 13 da prac¸a e´ reservado para a a´rea de
recreac¸a˜o infantil, 14 e´ constitu´ıdo de calc¸adas e o restante e´ gramado. Qual a a´rea, em m
2, reservada
para o gramado?
11) Uma piscina e´ um bloco retangular de arestas medindo 25 m, 12 m e 1,5 m. Se apenas um terc¸o
da piscina conte´m a´gua, quantos litros faltam para encher completamente essa piscina?
12) Fa´bio tem uma barraca de feira onde vende frutas. Das trinta caixas de laranjas que comprou,
um meio estavam verdes. Das caixas restantes 115 estavam estragadas e as demais estavam maduras.
Quantas caixas de laranjas maduras Fa´bio comprou?
E´ LO´GICO !
Um grupo de seis alunos pediu ao professor que elaborasse mais uma prova para a classe.
O professor disse:
- Voceˆs sa˜o apenas um quinto da classe. So´ darei outra prova se a metade da classe pedir.
Voceˆs na˜o sabem o trabalho que da´ para corrigir...
Quantos alunos precisara˜o se juntar ao grupo para que o professor deˆ a prova?
13
2.2 Outras operac¸o˜es com frac¸o˜es
• Multiplicac¸a˜o:
Exemplo 8 (a) 78 .
5
3 =
7.5
8.3 =
35
24 (b)
5
2 .(−3) = 52 .(−31 ) = −152 = − 152
• Divisa˜o:
Exemplo 9 (a) 35 ÷ 64 = 35 . 46 = 3.45.6 = 1230 = 25 (b) 52 ÷ (−3) = 52 ÷ (−31 ) = − 56
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1) Determine o produto e simplifique quanto puder:
(a) 56 × 68
(b) 34 × 13
(c) 65 × 43
(d) 72 × 53
(e) 65 × 74
(f) 118 × 25 × 533
(g) 23 × 35 × 38 × 49
(h) 3 45 × 3
(i) 1 12 × 2 34
2) Calcule:
(a) A metade de uma dezena
(b) Um terc¸o de uma du´zia
(c) A metade da metade
(d) A metade de um terc¸o
(e) A metade de um quarto
(f) A terc¸a parte de uma du´zia e meia
3) Determine os quocientes e simplifique se puder:
(a) 57 ÷ 47
(b) 712 ÷ 512
(c) 154 ÷ 34
(d) 512 ÷ 13
(e) 1115 ÷ 35
(f) 34 ÷ 25
(g) 78 ÷ 23
(h) 23 ÷ 12
4) Transforme os nu´meros mistos em frac¸o˜es impro´prias e efetue as diviso˜es:
(a) 28÷ 1 34
(b) 7÷ 3 14
(c) 2 14 ÷ 1 35
(d) 6 16 ÷ 2 16
5) Um aluno acertou 45 de uma prova de 10 questo˜es. Quantas questo˜es ele errou?
6) Um guardanapo de papel e´ quadrangular e tem lados medindo 15 m. Quantos metros quadrados
de papel correspondem a 100 guardanapos?
7) Um ladrilho e´ quadrangular e tem lados medindo 14 m. Para fazer o piso de uma sala retangular
de lados medindo 10 m e 12 m, quantos ladrilhos iguais a esse sera˜o necessa´rios?
14
8) O piso de um sala˜o, que e´ quadrado, vai ser coberto por 400 placas de borracha. Essas placas sa˜o
quadradas e seus lados medem 25m .
(a) Qual e´ a a´rea em m2 , de sala˜o? (b) Qual o per´ımetro, em m, desse sala˜o?
9) Uma empresa de transporte coletivo vai muito mal: 1320 dos seus oˆnibus esta˜o quebrados. Isso
corresponde a 520 oˆnibus quebrados. Quantos oˆnibus teˆm essa empresa?
10) Para evitar problema com a coluna, as crianc¸as na˜o devem carregar mais de 110 do pro´prio peso.
Adultos podem carregar ate´ 15 do pro´prio peso. Sabendo disso, um adulto e uma crianc¸a fizeram seus
ca´lculos: ele pode carregar ate´ 14 kg e a crianc¸a ate´ 4. Quantos quilogramas tem esse adulto e essa
crianc¸a?
11) Eu tenho 35 da quantia que voceˆ tem.
(a) Se voceˆ tiver R$1.800, 00, quanto eu terei?
(b) Se eu tiver R$1.800, 00, quanto voceˆ tera´?
12) Uma estrada de 308 km acaba de ser inaugurada. So´ que e´ a terceira vez que isso acontece. Na
primeira vez, apenas 27 da estrada estavam asfaltadas; na segunda, mais
1
4 da estrada, e desta vez, mais
2
11 . Quantos quiloˆmetros da estrada esta˜o sem asfalto?
E´ LO´GICO !
Dona Ester foi trabalhar e deixou dinheiro para seus treˆs filhos com este bilhete. “Dividam igualmente
o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou 13 do dinheiro e saiu. O segundo chegou e na˜o viu
ningue´m. Pensando que era o primeiro, pegou 13 do dinheiro que tinha pela frente e saiu. O terceiro
encontrou 8 notas de R$1, 00. Achou que era o u´ltimo, pegou tudo e saiu. a) Que frac¸a˜o de dinheiro
deixado pela ma˜e o segundo filho pegou? b) Que frac¸a˜o do dinheiro deixado pela ma˜e sobrou, quando o
segundo filho saiu? c) Quantos reais dona Ester deixou? d) Devido ao engano do segundo filho, algue´m
saiu beneficiado? E prejudicado? Quem?
2.3 Decimais
Definic¸a˜o 7 As frac¸o˜es com denominadores 10, 100, 1000, 10000 (poteˆncias de 10) sa˜o frac¸o˜es deci-
mais.
Exemplo 10 (a) 510 = 0, 5 (b)
13
100 = 0, 13 (c)
45
1000 = 0, 045
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1) Coloque na forma decimal as seguintes frac¸o˜es:
(a) 23 (b)
8
100 (c)
5
100 (d)
234
1000
15
2) Substitua 2 por = ou 6=:
(a) 11020, 1 (b)
1
100020, 01 (c) 0, 102
1
10 (d) 0, 720, 700 (e) 21221, 0 (f) 0, 70120, 71
3) Escreva o nu´mero decimal correspondente a cada uma das func¸o˜es decimais:
(a) 310 (b)
1
100 (c)
7
1000 (d)
21
100 (e)
43
1000 (f)
1235
10 (g)
57802
1000 (h)
61004
10000
4) Transforme em frac¸a˜o decimal:
(a) 0, 5 (b) 1, 3 (c) 0, 08 (d) 0, 212 (e) 8, 71 (f) 0, 485 (g) 5, 278 (h) 9, 3164
5) Expresse o nu´meros na forma de frac¸a˜o irredut´ıvel:
(a) 0, 60 (b) 0, 225 (c) 0, 155 (d) 0, 45 (e) 0, 006 (f) 0, 422 (g) 0, 425 (h) 5, 008
E´ LO´GICO !
Responda:
(1) Qual e´ o menor nu´mero decimal que somado a 6,032 resulta em um nu´mero natural?
(2) Qual e´ o menor numero decimal que subtra´ıdo de 6,032 resulta em numero natural?
(3) Qual e´ o menor numero decimal, na˜o nulo, que somado a ele mesmo resulta em um nu´mero natural?
Cap´ıtulo 3
Potenciac¸a˜o e Radiciac¸a˜o
3.1 Potenciac¸a˜o
Definic¸a˜o 8 Potenciac¸a˜o e´ a operac¸a˜o em que determinamos o produto de fatores iguais:
an = a.a.a....a︸ ︷︷ ︸
nfatores
Exemplo 11 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256
Propriedades da Potenciac¸a˜o
(1) Multiplicac¸a˜o: am.an = am+n
(2) Divisa˜o: am ÷ an = am−n
(3) Potenciac¸a˜o: (am)n = am.n
(4) Radiciac¸a˜o: a
n
m = m
√
an
(5) Poteˆnciade um produto: (a.b)n = an.bn
(6) Poteˆncia de um quociente: ( ab )
n = a
n
bn , com b 6= 0
(7) Poteˆncia com expoente inteiro negativo: a−n = 1an , com a 6= 0
(8) a1 = a, a 6= 0
(9) a0 = 1, a 6= 0
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1) Reduza a uma so´ poteˆncia:
(a) 6.69 (b) 7.70 (c) 72.73.75 (d) 103.102.104
2) Deˆ o resultado na forma de poteˆncia:
(a) 124 ÷ 123 (b) 28 ÷ 23 (c) 310 ÷ 312 (d) 89 ÷ (8.86)
3) Reduza a uma so´ poteˆncia:
16
17
(a) (34)2
(b) (43)5
(c) (73)4 ÷ 78
(d) (62)5 ÷ 63
(e) [(102)3.(103)4]÷ (106)3
(f) [710 ÷ (78)2].(75)2
4) Aplique a propriedade de poteˆncia de um produto:
(a) (3.a)2 (b) (4.a)5 (c) (x.y)3 (d) (2.x.y)7
5) Use as propriedades da potenciac¸a˜o para transformar cada expressa˜o em uma so´ poteˆncia:
(a) (− 1321 )× (− 1321 )
(b) ( 833 )
2 × ( 833 )−3
(c) ( 175 )
−2 × ( 175 )−3
(d) (− 79 )5 ÷ (− 79 )2
(e) (− 214 )−2 ÷ (− 214 )−5
(f) [( 1112 )
2]3
(g) [( 54 )
−2]3
(h) (0, 03)−7 ÷ (0, 03)−4
(i ) [(0, 03)5]−2
6) Resolva as poteˆncias abaixo, usando a propriedades 8 e 9:
(a) 31 =
(b) 30 =
(c) (0, 5)1 =
(d) (0, 5)0 =
(e) (1/2)1 =
(f) (1/2)0 =
(g)
√
2
1
=
(h)
√
2
0
=
7) Deˆ um exemplo de uma poteˆncia em que:
(a) A base e o expoente sa˜o inteiros, mas a poteˆncia na˜o e´.
(b) A base na˜o e´ um nu´mero inteiro, mas o expoente e a poteˆncia sa˜o.
E´ LO´GICO !
Represente as expresso˜es com uma so´ poteˆncia de base 2:
(a) 116 × 0, 25× 128× 132 (b) ((0, 5)2)3 × [( 116 )3]4
Outros Exemplos:
1) Calcule as expresso˜es seguintes (sem usar sua calculadora).
(a) 91/2
(b) 272/3
(c) 8−1/3
(d) ( 1100 )
−3/2
(e) 50
3.1.1 Exerc´ıcios para Fixac¸a˜o!
1) Usando as propriedades elencadas anteriormente, calcule as seguintes expresso˜es:
(a) 161/2
(b) 4−1/2
(c) 23.25
(d) 2
5
23
(e) (34)2
(f) (5.6)2
18
(g) (−3)3
(h) (−1, 2)−2
(i) (5)
3
4
(j) (pi)
1
4
(l) 10
2
10−5
2) Calcule o valor das poteˆncias:
(a) (−5)−1
(b) ( 13 )
−3
(c) (0, 4)−1
(d) 10−2
(e) (0, 01)−2
(f) ( 1102 )
−1
(g) (− 32 )−1
(h) ( 38 )
−2
(i) (
√
3)−2
(j) ( 3√
2
)−4
(l) [(
3
√
9
4 )
−2]−3
3) Escreva na forma de poteˆncia:
(a)
√
7
(b)
4
√
23
(c)
5
√
32
(d) 13√4
(e) 1(−2)3
(f) 1
( 3
2
)5
4) Escreva na forma de radical:
(a) 2
1
5
(b) 8−
1
2
(c) (a3b)
1
4
(d) (m2.n)−
1
5
(e) m−
3
4
5) Fatore os radicandos e escreva na forma de poteˆncia com expoente fraciona´rio:
(a) 3
√
32
(b) 3
√
25
(c) 4
√
27
(d) 7
√
8
(e) 8
√
512
(f) 8
√
625
3.2 Radiciac¸a˜o e suas propriedades
n
√
a = b
←→
bn= a, n ≥ 2
Onde:
n → I´ndice.
√ → Sinal radical.
b → Raiz.
a → Radicando.
3.2.1 Propriedades da Radiciac¸a˜o
1.
√
a2= |a|
2. n
√
a× b = n√a × n√b, com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0.
3. n
√
a
b =
n
√
a
n
√
b
, com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0.
19
4. n
√
am= ( n
√
a)m,n ¿ 1
5. n
√
an= a, com n > 1
6. n
√
am=
n÷p
√
am÷p
7. n
√
m
√
a= n×m
√
a
8. n
√
am = a
m
n
RACIONALIZAC¸A˜O:
Exemplo 12 (a)
a√
b
=
a√
b
.
√
b√
b
=
a
√
b√
b.b
=
a
√
b√
b2
=
a
√
b
b
(b)
a
3
√
b
=
a
3
√
b
.
3
√
b2
3
√
b2
=
a
3
√
b2
3
√
b3
=
a
3
√
b2
b
(c)
7
3−√2 =
7
3−√2 .
3 +
√
2
3 +
√
2
=
21 + 7
√
2
9− 2 =
21 + 7
√
2
7
= 3 +
√
2
(d)
2√
a +
√
b
=
2√
a +
√
b
.
√
a−√b√
a−√b =
2
√
a− 2√b
a− b
(e)
3
2
√
3
=
3
2
√
3
.
√
3√
3
=
3
√
3
2.3
=
√
3
6
FAZENDO VOCEˆ APRENDE!
1) Calcule o valor das expresso˜es:
(a) 2 3
√
27− 3 6√64
(b)
√
100− 64 + 3√400− 8 4√0, 0001
(c) 5
√
0, 00032− 4√0, 0064− 2 3√−0, 027
2) Simplifique os radicais:
(a)
7
√
x17
(b) 4
√
81
(c)
3
√
64.b6
(d) 5
√
1024.x5.y10
(e)
√
25a4x
(f) 13
√
45
(g)
6
√
a12x13
(h) 3
√
81
(i) 9
√
1024
(j)
√
52
(l)
√
288.a2
75.b4
(m) 3
√
x6.y5
a7
(n)
√
x2 + 6x + 9 =
(o)
√
y2 + 10y + 25
3) Efetue as operac¸o˜es com radicais, simplificando o resultado sempre que poss´ıvel::
(a) 3
√
20 + 3
√
5−√45−√80
(b)
√
8
27 + 2
√
32
108 − 3
√
72
243
(c) −3b√a + 7
√
b2a− 3a√a−
√
a3
(d) 3
√
81÷ 3√9
(e) 3 6
√
125÷ 5 4√24
(f) 3
√
b.5 3
√
b. 13
4
√
b
(g) ( 2ab
√
2b
a
2
)2
20
(h) (3a
√
a4b)3
(i) 4
√
a
b
5
√
b
a
(j) 3
√
x
y
4
√
x2
y3
4) Racionalize os denominadores das frac¸o˜es:
(a) a
2
√
b
(b) a
2b√
ab
(c) ab5√
ab3c4
(d) 22
4+
√
5
(e) 2a−1√
2a−1
(f) 3+
√
3
3−
√
3
Cap´ıtulo 4
Expresso˜es nume´ricas
4.1 Ordem das Operac¸o˜es
• Ordem das operac¸o˜es:
(1) Poteˆncia e/ou raiz
(2) Multiplicac¸a˜o e/ou divisa˜o
(3) Soma e/ou subtrac¸a˜o
(4) Considere-se as operac¸o˜es na ordem em que aparecem
Exemplo 13 (
15
13
× 3
5
) + 3− [(2
3
)−1 ÷ 3
2
]− 1
4
+ 81
1
2 =
(
15× 3
13× 5) + 3− [
3
2
÷ 3
2
]− 1
4
+
2
√
81 =
( 3×313 ) + 3− [ 32 × 23 ]− 14 + 9 =
(
9
13
) + 3− [1]− 1
4
+ 9 =
9
13
+−1− 1
4
+ 9 =
36 + 156− 52− 13 + 468
52
→ 595
52
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1) Determine o valor das expresso˜es:
(a) (− 34 )× (−2)− 38
(b) 56 × (− 34 )− 32
(c) 34 + (− 23 )× (− 35 )− 4× [( 34 − 58 )× 8]
(d) (− 78 )÷ 316 − [ 52 ÷ (− 12 )]
(e) (−4, 7)(6, 8− 9, 4)− [18, 3× (−4, 5)]
(f) 67 −
(− 5
4
)
(− 7
8
)
(g) (−198, 07 + 16, 8− 12, 003)× 0, 006
(h)
(− 35 + 615 )÷ (1− 710 )
7
15 ÷ [ 920 − (− 52 )× 45 ]
2) Calcule o valor das expresso˜es:
21
22
(a) ( 12 )
2 × (− 59 )−1 + (− 23 )2 ÷ 79
(b) [(− 12 )−2 × 34 ]−1 − ( 35 )−1
(c) [(− 67 )÷ ( 821 )− (2−2)]3
(d) −
√
25
81 +
√
100
9
(e)
√
9
4 −
√
9
4 ×
√
36
81
(f)
√
25
36 ×
√
81
100 +
√
49
64 ÷
√
196
144
3) Resolva as expresso˜es:
(a) (−1)÷ 1× 10 + (2× 5)× 10
(b) 104 × (− 25 )× (− 1610 )× (− 154 )
(c) (−5 58 × 4 32 )÷ [1 411 × (−3 19 )]
(d) [(− 23 )(− 34 ) + ( 12 )−1]2 ÷ (− 158 )
(e)
√
4
9 −
√
4
25 +
√
64
9 ÷ (−16)
(f)
(− 1
2
)2− 3
4
(2)−2+ 5
8
E´ LO´GICO!
Uma escola tem 354 alunos. Um deles inventou uma fofoca sobre o diretor da escola e, em um minuto,
contou a 3 colegas. Pelo jeito, a fofoca era boa porque, no minuto seguinte, cada um desses 3 contou a
novidade a 3 colegas que ainda na˜o conheciam. Assim, cada um que recebia a not´ıcia a transmitia a 3
colegas desinformados, gastando, para isso, um minuto.
a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no terceiro minuto?
b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato nos treˆs primeiros minutos?
FALAR, PENSAR E FAZER MATAME´TICA!
Definic¸a˜o 9 (Mo´dulo ou Valor absoluto de um nu´mero)
O mo´dulo ou valor absoluto de um nu´mero e´ o pro´prio nu´mero, se ele for positivo. Caso ele seja
negativo, torna-se o sinal contra´rio, tornando-o positivo.
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Exemplo 14 (1) | − 5| = 5
(2) |5| = 5 ou seja, por definic¸a˜o: -(-5)=5.
Observac¸a˜o 5 (Nu´meros Inteiros Opostos) Quando dois nu´meros inteiros teˆm o mesmo valor ab-
soluto e sinais contra´rios, dizemos que sa˜o opostos ⇒ +a o oposto de −a.
Exemplo 15 (1) -3 e´ oposto de +3.
(2) +100 e´ o oposto de -100.
Observac¸a˜o 6 Ordenac¸a˜o dos nu´meros inteiros (Seja a > 0 e b > 0
1) +a > −b
2) +a > +b⇒ |+ a| > |+ b|,
3) −a > −b⇒ | − a| < | − b|,
4)−a < 0 < +b.
23
4.2 Equac¸a˜o do primeiro grau
Definic¸a˜o 10 Equac¸a˜o e´ uma sentenc¸a matema´tica, que conte´muma ou mais letras com valores desco
nhecidos (inco´gnitas), formada por duas expresso˜es ligadas pelo sinal de igual.
Equac¸a˜o do primeiro grau e´ uma equac¸a˜o do tipo ax + b = 0, onde a e b representam nu´meros reais
com a 6= 0
Exemplo 16 (1) 3x + 1 = 0 → 3x = −1 → x = −1
3
(2) 2x + 3 = 3(x− 1) → 2x + 3 = 3x− 3 → 2x− 3x + 3 + 3 = 0 → −x + 6 = 0
x = 6
Observac¸a˜o 7 Num dado universo U,dizemos que uma sentenc¸a que expressa uma igualdade e´ uma
equac¸a˜o em U, quando e somente quando essa sentenc¸a determina um conjunto verdade V, que esta´
contido em U. (V ⊂ U).
Exemplo 17 Se U = {1, 2, 3} e x + 3 = 5 enta˜o V = {2}.
FAZENDO VOCEˆ APRENDE!
1) Resolva as seguintes equac¸o˜es para U = Q:
(a) 2x + 3 = 19
(b) 8x− 4 = 60
(c) 2x− 1 = 54
(d) 37 − 5x = 12
(e) x−43 =
x−2
2 − 1
(f) 3x−15 + 2 =
3x
4 + 5
(g) 4x+13 =
5(5x+2)
2
(h) 3(x−2)2 =
4(5−x)
3
2) Escreva uma equac¸a˜o para cada sentenc¸a:
(a) O dobro de um nu´mero mais seu triplo e´ igual a 50.
(b) A metade de um nu´mero mais sua terc¸a parte e´ igual a 15.
(c) A diferenc¸a entre um nu´mero e sua metade e´ 40.
(d) A soma de dois nu´meros consecutivos e´ 11.
(e) A diferenc¸a entre o triplo de um nu´mero e sua metade e´ 25.
(f) A soma de duas idades e´ 20. O mais moc¸o nasceu 4 anos depois do mais velho. (Use uma so´
varia´vel)
(g) A diferenc¸a entre duas idades e´ 20 anos. O mais velho tem triplo da cidade do mais moc¸o.
3) Determine o nu´mero que, somado aos seus 3/5, e´ igual a 24.
4) Determine o nu´mero tal que a diferenc¸a entre ele e os seus 2/3 seja 8.
5) Um nu´mero, somado a` sua quinta parte e a` sua metade, e´ igual a 51. Qual e´ esse nu´mero?
6) A soma de dois nu´meros e´ 63 o quociente entre ambos e´ exato e vale 6. quais sa˜o esses nu´meros?
7) Na classe de Rosana, 49% dos alunos foram para a praia nos feriados, 25% para as montanhas e
14 alunos na˜o sa´ıram da cidade. Quantos alunos teˆm essa classe?
24
8) Numa fabrica trabalham, 532 pessoas entre homens, mulheres e menores. O nu´mero de homens
e´ o dobro do de mulheres e este e´ o dobro do de menores. Quantos sa˜o os homens, as mulheres e os
menores?
9) Um pai tem 46 anos e um filho tem 10. Daqui a quantos anos a idade do pai sera´ o qua´druplo da
idade do filho?
10) A soma das idades de um pai e um filho e´ de 42 anos. Ha´ treˆs anos, a idade do pai era onze vezes
a idade do filho. Determine as idades.
11) Repartir 36 figurinhas entre dois garotos de modo que um ganhe o dobro do outro.
12) Num estacionamento, ha´ um total de 200 ve´ıculos, entre motos e carros. Se ha´ 20 motos a mais
que carros, quantas motos e quantos carros esta˜o nesse estacionamento?
E´ LO´GICO!
Descubra os nu´meros do seguinte circuito:
Cap´ıtulo 5
Expresso˜es Alge´bricas e Polinoˆmios
5.1 Expresso˜es Alge´bricas
Definic¸a˜o 11 Expresso˜es que apresentam uma ou mais varia´veis e, ainda, as expresso˜es que so´ teˆm
nu´meros sa˜o chamadas expresso˜es alge´bricas.
Exemplo 18 3x + 2xy − 3.
Definic¸a˜o 12 Monoˆmios, sa˜o expresso˜es alge´bricas que apresentam apenas um nu´mero, apenas uma
varia´vel ou multiplicac¸o˜es entre nu´meros e varia´veis.
Exemplo 19 (a) 5x2y3
(b) 2x
(c) x3
(d) 12
Observac¸a˜o 8 (Monoˆmios Semelhantes) Sa˜o aqueles que tem a mesma parte literal semelhantes.
Exemplo 20 (a) 7x3y2 e −5x3y2
(b) −6x e x
FAZENDO VOCEˆ APRENDE!
(1) Escreva estas sentenc¸as, utilizando varia´veis.
(a) Todo nu´mero real multiplicado por um resulta no pro´prio nu´mero real.
(b) Todo valor real somado com ele mesmo resulta em duas vezes o seu valor.
(c) Numa multiplicac¸a˜o de dois nu´meros reais quaisquer, a ordem dos fatores na˜o altera o produto.
(d) Todo nu´mero real somado com seu oposto da´ zero.
(2) Tenho 35,00 e minha irma˜ tem x (ela nunca me diz quanto tem!).
(a) Responda com uma expressa˜o alge´brica: ganhando 16,00, com quanto minha irma˜ ficara´?
25
26
(b) Qual e´ o valor nume´rico dessa expressa˜o quando e´ igual a 59?
(3) Houve um tempo em que os ta´xis cobravam 4,00 pela bandeirada, mais 1,40 por km rodado.
(a) Responda com uma expressa˜o alge´brica: quantos reais eram pagos num percurso de quiloˆmetros?
(b) Qual e´ o valor dessa expressa˜o quando vale 10?
(4) Escreva estas sentenc¸as, utilizando varia´veis:
(a) Todo nu´mero real multiplicado por ele mesmo resulta no quadrado desse nu´mero.
(b) Numa adic¸a˜o de dois nu´meros reais quaisquer, a ordem das parcelas na˜o altera a soma.
(5) Considere estas adic¸o˜es:
1+1
2+2+2
3+3+3+3
4+4+4+4+4
...
Observe: na 1a adic¸a˜o as parcelas valem 1 e o nu´mero de parcelas e´ 2. Na 2a adic¸a˜o as parcelas
valem dois e nu´mero de parcela e´ 3, e assim por diante.
(a) A terceira adic¸a˜o da´ 12. Quanto da´ a 30a adic¸a˜o?
(b) Qual e´ o resultado da ene´sima adic¸a˜o? Para responder, use a varia´vel .
(6) Escreva a parte literal de cada monoˆmio.
(a) 5x5y5
(b) −2x3
(c) x4y2
(d) 4, 2y3
(7) Escreva os coeficientes dos monoˆmios:
(a) 7ax6
(b) −ax4
(c) − 12x2y
(d) 31ay2
5.1.1 Operac¸o˜es com Monoˆmios
(1) Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o:
Considerando 7x3y2 +5x3y2, para soma´-los, pode-se pensar assim: temos 7 monoˆmios x3y2 mais 5
desses monoˆmios, logo, temos 7+5, ou seja, 12 monoˆmios x3y2. Portanto: 7x3y2 +5x3y2 = 12x3y2.
Quando falamos em adic¸a˜o alge´brica de monoˆmios, podemos estar nos referindo tanto a uma adic¸a˜o
de monoˆmios, quanto a uma subtrac¸a˜o.
27
(2) Multiplicac¸a˜o:
Acompanhe a multiplicac¸a˜o do monoˆmio x4 pelo monoˆmio x3:
Exemplo 21
(6x2y3).(5x4y4z) = 6.5.x2.x4.y3.y4.z = 30x6y7z
Observac¸a˜o 9 Essa propriedade e´ a base qualquer da multiplicac¸a˜o de monoˆmios.
(3) Divisa˜o:
Acompanhe a divisa˜o do monoˆmio x5 pelo monoˆmio x3 :
Exemplo 22
x5
x3
=
x.x.x.x.x
x.x.x
= x2
Exemplo 23
12x5y3z4
3x3y2z
=
12
3
.
x5
x3
.
y3
y2
.
z4
z
= 4x2yz3
(4) Potenciac¸a˜o:
Exemplo 24
(2x3y4)3 = (2x3y4).(2x3y4).(2x3y4) = 2.2.2.x3.x3.x3.y4.y4.y4 = 8x9y12
Exemplo 25
(−2x3y)4 = (−2x3y).(−2x3y).(−2x3y).(−2x3y) = (−2).(−2).(−2).(−2).x3.x3.x3.x3.y.y.y.y = 16x12y4
FAZENDO VOCEˆ APRENDE!
1)Efetue as adic¸o˜es e subtrac¸o˜es:
(a) 5x2 + 12x2
(b) 8xy2 − 8xy2
(c) −2xy5z − 2xy5z
(d) 2x3 − 12x3
(e) 12x2y − 8x2y − x2y + x2
(f) −y − 12y + 3x2 − 18y + x2
(g) 5x2y2 − 72x2y2 − 52x2y2
(h) 2y2 − 34y2 + y2 − 310y2
(i) −7x3y + 8x3y − 15x3y
2) Efetue as multiplicac¸o˜es e diviso˜es:
(a) 2y2.y3
(b) −5y.(−8y2)
(c) x2.(xy)
(d) (3x2z2).(−2xy).(6z2)
(e) (−2x2).(−4y2).(−5x3y4)
(f) ( 25x
2y2).( 37x
3y3)
28
(g) (4a2b3)2
(h) (xy2z3)8
(i) x
3y3
x2y2
(j) 63a
4x5
−9a3x2
(l) −8a
5y6
−40ay
(m)
25a3x2y4
5x2
(n)
− 25a5b5
− 415a2b
(o) (2x3y)4 − (5x6y2)2
(p) (
2
3
x2y2)3.(
3
4
xy3)2
(q) x2.x4 + x.x5 + x3.x3 − 2x5.x
(r) 3x
2y−7x2y+3x2y
x2
3) Indique com um monoˆmio:
(a) A a´rea do retaˆngulo I
(b) A a´rea do retaˆngulo II
(c) A a´rea do quadrado III
(d) A a´rea total da figura.
4) Escreva o monoˆmio que:
(a) Subtra´ıdo 3x5y da´ −2x5y
(b) Subtra´ıdo de −6y da´ −10y
(c) Somado com 12x3y8 resulta zero
(d) Somado com 4xy da´ 4xy.
5) Calcule o valor nume´rico das expresso˜es alge´bricas a seguir, para x = −2 e y = 13. Mas, antes,
efetue as adic¸o˜es dos monoˆmios semelhantes.
(a) 23xy − 18xy + 17xy − 216xy
(b) 2x5y + 3x5y + 5x5y
(c) x
2y
4 +
x2y
2 +
x2y
4
(d) 7x− 9y − 9x + 8y
6) Na figura a seguir, a parte hachurada e´ formada por quatro retaˆngulos. As medidas esta˜o em
cent´ımetros. Determine:
29
(a) A a´rea da figura hachurada pode ser obtida como uma adic¸a˜o de monoˆmios. Efetue essa adic¸a˜o.
(b) Calcule a a´rea da figura hachurada nestes dois casos: quando x = 0, 5 e quando x = 2.
(c) Para que valor dex a figura hachurada tem uma a´rea de 82cm2.
5.2 Polinoˆmios
Definic¸a˜o 13 Um polinoˆmio na varia´vel x e´ toda expressa˜o P(x) que pode ser reduzida a forma
P (x) = anx
n + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...a1x1 + a0
Em que ai ∈ C e n ∈ N
Sendo:
(1) anx
n, an−1xn−1, an−2xn−2, a1x1, a0, sa˜o os termos ou monoˆmios do polinoˆmio, sendo a0, denominado
termo independente da varia´vel x;
(2) an, an−1, an−2, a1, a0, sa˜o os coeficientes do polinoˆmio.
(3) O grau de um Polinoˆmio na˜o nulo e´ o maior expoente da varia´vel, dentre os termos de coeficientes
na˜o nulos.
(4) Ao atribuir um valor complexo a varia´vel x, o resultado da expressa˜o obtida e´ chamado de valor
nume´rico do polinoˆmio para a x = α. Indica-se esse valor nume´rico como P (α)
(5) O grau de um polinoˆmio indica a o nu´mero de raizes que existem como soluc¸a˜o da expressa˜o.
Sendo que, chama-se de raiz do polinoˆmio P(x) todo nu´mero complexo tal que P (α) = 0
(6) Polinoˆmios Ideˆnticos: dizemos que os polinoˆmios p e q sa˜o ideˆnticos quando possuem os coefi-
cientes correspondentes iguais, ou seja, sejam
p(x) = anx
n + · · ·+ a2x2 + a1x + a0 e
q(x) = bnx
n + · · ·+ b2x2 + b1x1 + b0.
Assim, p = q ⇔ ai = bi, para todo i ∈ {0, 1, · · · , n}.
Exemplo 26 A expressa˜o 5x4 − 3x3 + 2x2 − 4x + 7 e´ um polinoˆmio de grau 4.
30
(1) 5,−3, 2,−4 e 7 sa˜o seus coeficientes;
(2) x e´ sua varia´vel;
(3) 5x4,−3x3, 2x2,−4x, 7 sa˜o seus termos ou monoˆmios.
(4) 7 e´ seu termo independente.
FAZENDO VOCEˆ APRENDE!
1) Quais das expresso˜es representam um polinoˆmio na varia´vel x?
(a) x5 + x3 + 2 (b) 0x4 + 0x2
(c) 3 (d) x
5
2 + 3x2
(e) (
√
x)4 + x + 2 (f) x
√
x + x2
(g) x15 (h) x + 2
(i) x2 + 2x + 3 (j)
1
x4
+ x
(k) x + x3 + x6 + x4 (l) (3x2 − 5x + 3)(7x3 + 2)
2) Determine a, b, c de modo que a func¸a˜o f(x) = (a+b−5)x2+(b+c−7)x+(a+c) seja identicamente
nula.
5.2.1 Operac¸o˜es com Polinoˆmios
(1) Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o : Ambas consistem no agrupamento de monoˆmios semelhantes, usando a
propriedade distributiva. Veja:
Exemplo 27 (a) (2x3 − 3x2 + 4x− 1) + (x3 + 2x2 − 5x + 3)
(b) (4x2 + 3x− 4)− (2x3 + x2 − x + 2)
Soluc¸a˜o:
(a) (2x3 + x3) + (−3x2 + 2x2) + (4x + (−)5x) + (−1 + 3)= 3x3 − x2 − x + 2
(b) (0− 22x3) + (4x2 + x2) + (3x− (−x)) + (−4− 2)= −2x3 + 3x2 + 4x− 6
(2) Multiplicac¸a˜o: Usando-se a propriedade distributiva, expandimos o produto de dois ou mais
polinoˆmios ou monoˆmios. Veja:
(3x + 2)(4x + 5) = 3x(4x − 5) + 2(4x − 5) = (3x)(4x) − (3x)(5) + (2)(4x) − (2)(5) = 12x2
−15x + 8x −10 = 12x2 − 7x− 10
31
FAZENDO VOCEˆ APRENDE!
1) Dados os polinoˆmios:
f(x) = 7− 2x + 4x2
g(x) = 5 + x + x2 + 5x3
h(x) = 2− 3x + x4
Calcule (f + g)(x), (g − h)(x) e (h− f)(x).
2) Sendo dados os polinoˆmios: f = 2x2, g = 2x2 + 3x4, h = 3x2 + 2x4 − x6 e
k = 3x6 − 2x4 + 4x2, obtenha os nu´meros reais a, b, c de modo que se tenha k = af + bg + ch.
3) Determine a, b c de modo que se verifique cada identidade:
1. a(x2 − 1) + bx + c = 0
2. a(x2 + x) + (b + c)x + c = x2 + 4x + 2
5.2.2 Operac¸o˜es com polinoˆmios II
Divisa˜o: Pode-se efetuar a divisa˜o de polinoˆmios se utilizando de 2 diferentes me´todos:
BRIOT-RUFFINI (Dispositivo Pra´tico):Utilizado quando o divisor for um polinoˆmio do 1
grau da forma x-a ou x+a. Este processo opera apenas com os coeficientes e a raiz dada pelo polinoˆmio
de grau 1.
Escrevemos os coeficientes do polinoˆmio em questa˜o na parte superior de uma linha trac¸ada, sem
esquecer os termos nulos(grau zero) apartir do grau do polinoˆmio e tambe´m o termo independente da
equac¸a˜o.
Exemplo 28 P (x) = 3x5 − 2x4 + 3x2 + 1 dividido por D(x)=x-2
32
Obtendo-se enta˜o: Q(x) = 3x4 + 4x3 + 8x2 + 19x + 38 e R(x) = 77.
ME´TODO DAS CHAVES: Se o divisor na˜o for um polinoˆmio de grau 1, pode-se utilizar esse
me´todo. Ao efetuar a divisa˜o de dois polinoˆmios, P (x) e D(x)(6= 0) encontraremos Q(x) e R(x), visto
que:
P (x) = D(x).Q(x) + R(x).
Exemplo 29 Vejamos como obter o quociente e resto da divisa˜o pelo me´todo das chaves do polinoˆmio
P (x) = 2x5 + 4x4 + 4x3 + 9x2 + 3x + 1 por D(x) = x2 + 2.
1 - Dividir o monoˆmio de mais alto grau de P(x) pelo monoˆmio de mais alto grau de D(x)
2 - Subtrair do dividendo o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo, obtendo
o primeiro resto parcial.
3 - Dividimos o monoˆmio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monoˆmio de mais alto
grau do D(x).
4 - Subtraimos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) o resultado obtido no terceiro
passo, obtendo o segundo resto parcial.
E assim sucessivamente, ate´ obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma das condic¸o˜es:
∂R < ∂D ou R(x) ≡ 0
33
Temos enta˜o:
Q(x) = 2x3 + 4x2 + 1 e
R(x) = 3x− 14
Ha´ casos em que se deseja saber apenas o resto da divisa˜o de um polinoˆmio por outro do primeiro
grau. Enta˜o utiliza-se o TEOREMA DO RESTO:
Teorema 1 (Resto) O resto da divisa˜o de um polinoˆmio P (z) pelo polinoˆmio ax+ b (a 6= 0) e´ o valor
nume´rico de P (x) para x = − b
a
(raiz de ax + b)
R = P (− ba )
Observac¸a˜o 10 Existe uma consequeˆncia imediata do Teorema do Resto conhecida como:
Teorema 2 (D’Alembert) Um polinoˆmio P(x) e´ divis´ıvel por ax + b (a 6= 0), se, e somente se,
P (− b
a
) = 0
Exemplo 30 2x3 + 2x2 − 2x + 4 e´ divis´ıvel por 2x + 4?
P (−42 ) = P (−2)
P (−2) = 2.(−2)3 + 2.(−2)2 − 2.(−2) + 4 = 0
Ou seja, O polinoˆmio em questa˜o e´ divis´ıvel por 2x + 4
Observac¸a˜o 11 Divisibilidade pelo produto: Se um polinoˆmio e´ divis´ıvel separadamente pelos binoˆmios
x− a e x− b, enta˜o P (x) e´ divis´ıvel pelo produto (x− a).(x− b).
FAZENDO VOCEˆ APRENDE!
1) Dados os polinoˆmios: P(x)= 3x4 + 2x3 + x − 1, Q(x) = 5x4 + 3x + 7, A(x) = 6x3 + 2x2 − 3x,
B(x) = 4x2 + 5x− 1 e C(x) = 9x− 2, calcule:
34
(a) P (x) + Q(x)
(b) P (x)−Q(x)
(c) A(x) + B(x)
(d) A(x)−B(x)
(e) 4A(x)
(f) B(x).C(x)
(g) C(x)
2
(h) 2A(x)− 3B(x)
(i) A(x).C(x) + B(x)
2) Efetue as operac¸o˜es, sendo P (x) = 5x2 − 3x + 2 e Q(x) = 4x− 6
(a) 3P (x)= 15x2 − 9x + 6 (b) P (x).Q(x) = 20x3 − 42x2 + 26x− 12
3)Utilize os dois me´todos citados para encontrar o quociente e confira o resultado do resto pelo
teorema do resto.
P (x)÷D(x)
P (x) = x2 + 6x− 1; D(x) = x− 1
4) Dividindo o polinoˆmio P (x) = 6x3 + 4x2 + 2x − 1 pelo polinoˆmio D(x), obteˆm-se o quociente
Q(x) = 3x + 2 e o resto R(x) = 11x + 5. Determine D(x).
5) Treˆs polinoˆmios, P (x), Q(x) e T (x), sa˜o tais que,∂P = 7, ∂Q = 5, ∂T = 5. Qual das afirmac¸o˜es
seguintes pode ser falsa?
(a) O grau do polinoˆmio P (x) + Q(x) e´ 7.
(b) O grau do polinoˆmio P (x)−Q(x) e´ 7.
(c) O grau do polinoˆmio P (x).Q(x) e´ 12.
(d) O grau do polinoˆmio Q(x) + T (x) e´ 5.
6) Sendo x3 + 1 = (x + 1)(x2 + ax + b), para todo x, com x ∈ C, quais sa˜o os valores de a e b?
7) Sejam os polinoˆmios f = (x + 1)2, g(x) = x2− 1 e h = x4− 2x3 + x2− 2x− 1.O polinoˆmio f.g−h
e´ igual a?
5.3 Decomposic¸a˜o de Polinoˆmios
Teorema 3 Todo polinoˆmio de grau n, com n ≥ 1, P (x) ≡ anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...+ a0 pode
ser fatorado sob a forma P (x) ≡ an(x − r1).(x − r2).(x − r3)...(x − rn), em que r1, r2, r3, rn, sa˜o todas
as ra´ızes de P(x).
Exemplo 31 Para fatorar um polinoˆmio, P (x) = 3x3−20x2 +23x+10, sabendo que uma de suas raizes
e´ 5, ou seja, este polinoˆmio e´ divis´ıvel por x− 5 e P (x) ≡ (x− 5)Q(x).
Obtem-se o polinoˆmio Q(x) por Briot-Ruffini. Desta forma reduzimos o grau da equac¸a˜o e podemos
encontrar as outras 2 raizes.
P (x) = (x− 5)(3x2 − 5x− 2)
Fazendo, x− 5 = 0 e 3x2− 5x− 2 = 0, encontramos: x1 = 5, x2 = 2 , x3 = −1
3
, e pelo teorema da
decomposic¸a˜o temos que:
P (x) = 3(x− 5)(x− 2)(x + 13 ).
Observac¸a˜o 12 (Multiplicidade de raiz:) Se uma raiz comparecer k vezes(com k > 1), esta e´ chamada
de raizde multiplicidade k da equac¸a˜o.
35
5.3.1 Frac¸o˜es Polinomiais
Definic¸a˜o 14 Chama-se frac¸a˜o polinomial toda expressa˜o do tipo
P (x)
Q(x)
, em que P (x) e Q(x) sa˜o
polinoˆmios complexos de varia´vel complexa, com Q(x) 6= 0.
Exemplo 32 Dado a identidade:
a
x− 1 +
b
x + 1
≡ 5x + 1
x2 − 1 .
Encontre as constantes a e b
Soluc¸a˜o:
a(x + 1) + b(x− 1)
(x− 1)(x + 1) ≡
5x + 1
x2 − 1
(a + b)x + a− b ≡ 5x + 1
e, portanto:
{
(I) a + b = 5
(II) a− b = 1
Somando o membro (I) e (II), obtemos
2a = 6 → a = 3.
Substituindo a = 3 em (I), obtemos:
3 + b = 5 → b = 2.
Exemplo 33 (Voceˆ vai utilizar em Ca´lculo I!!) Decomponha a frac¸a˜o abaixo em uma soma:
x− 3
x2 + 3x + 2
= Frac¸a˜o 1 + Frac¸a˜o 2
1 Passo) Decompor o denominador! Para isso encontra-se as raizes desse polinoˆmio utilizan
do-se de baskhara ou soma e produto (como preferir). Neste caso, as raizes sa˜o -1 e -2. Ou seja,
x2 + 3x + 2=(x+1)(x+2) .
2 Passo) Igualar a frac¸a˜o polinomial a uma soma de frac¸o˜es, cujos numeradores a princ´ıpio sa˜o
desconhecidos, e por isso representa-se por uma inco´gnita qualquer:
x− 3
x2 + 3x + 2
=
A
x + 2
+
B
x + 1
3 Passo) Encontrar o MMC dessa soma, de tal modo que torne poss´ıvel anular os denominadores
da igualdade em questa˜o. Obtemos assim a seguinte igualdade:
x− 3
x2 + 3x + 2
=
A(x + 1) + B(x + 2)
(x + 1)(x + 2)
(...)
A(x + 1) + B(x + 2)= x− 3
4 Passo) Igualar os termos semelhantes da igualdade e montar um sistema para poder descobrir o
valor dos numeradores, ou seja, A e B.{
Ax + Bx = 1
A + 2B = −3
36
Sabendo que A = 5 e B = −4, substituimos esses valores na igualdade montada inicialmente no passo
3:
x− 3
x2 + 3x + 2
=
5
x + 2
− 4
x + 1
.
FAZENDO VOCEˆ APRENDE!
(1) Quais sa˜o as raizes da equac¸a˜o (x− 2)3(x− 5)(x− 4)2 = 0 e que multiplicidade apresentam?
(2) Determine as constantes a e b na identidade:
a
x− 3 +
b
x + 3
≡ 3x
x2 − 9
(3) Escreva as frac¸o˜es na forma de uma soma:
(a)
2x− 1
x2 + 5x + 6
(b)
5x + 3
x2 − 3x + 2
(4) Decomponha P (x) como o produto de uma constante por polinoˆmios de 1 grau, em cada um
dos seguintes casos:
(a) P (x) ≡ 4x2 − x− 3
(b) P (x) ≡ x3 − 8x2 + 12x
(5) Sabendo que o polinoˆmio P(x)≡ 3x4− 25x3 + 59x2− 47x + 10 satisfaz a condic¸a˜o P(1)=P(2)=0,
represente P(x) como o produto de uma constante por polinoˆmios do primeiro grau.
IMPORTANTE:
Produtos Nota´veis Exemplos
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + 3)2 = x2 + 6x + 9
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2 (x− 3)2 = x2 − 6x + 9
(a + b)(a− b) = a2 − b2 (x + 3)(x− 3) = x2 − 9
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6
∗(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
∗a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2) x3 − 8 = (x− 2)(x2 + 2x + 4)
Observac¸a˜o 13 *Veja como o uso do pareˆntese muda totalmente o resultado!!
→ Fatore os polinoˆmios a seguir:
(a) x3 + 2x2 − x− 2 =
(b) x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 =
(c) x3 + 2x2 − 3x =
(d) x3 + 3x2 − 4x− 12 =
37
(e) x3 + 6x2 + 11x + 6 =
Respostas:
(a) (x− 1)(x2 + 3x + 2)
(b) (x− 1)2(x2 − x− 2) ou (x− 1)2(x− 2)(x + 1)
(c) (x− 1)(x + 3)x
(d) (x + 3)(x2 − 4) ou (x + 3)(x + 2)(x− 2)
(e) (x + 2)(x2 + 4x + 3) ou (x + 2)(x + 3)(x + 1)
Observac¸a˜o 14 Seja P (x) = anx
n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 um polinoˆmio com coeficientes inteiros.
Se α for um nu´mero inteiro e uma ra´ız de P (x), enta˜o α sera´ um divisor do termo independente a0.
Cap´ıtulo 6
Exponencial e Logaritmo
6.1 Equac¸o˜es exponenciais
Definic¸a˜o 15 Chama-se equac¸a˜o exponencial toda equac¸a˜o que conte´m inco´gnita no expoente.
Exemplo 34 1. 2x = 16
2. 3x−1 = 27
3. 3x+1 + 3x−2 = 9
4. 4x − 2x = 8
Me´todo da reduc¸a˜o a uma base comum
Este me´todo, como o pro´prio nome ja´ diz, sera´ aplicado quando ambos os membros da equac¸a˜o, com
as transformac¸o˜es convenientes baseadas nas propriedades de poteˆncias, forem redut´ıveis a poteˆncias de
mesma base a (0 < a 6= 1). O me´todo da reduc¸a˜o a uma base comum e´ baseado no seguinte resultado:
Teorema 4 Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. Enta˜o: ax = ay ⇐⇒ x = y.
Demonstrac¸a˜o:
ax = ay ⇔ a
x
ay
= 1⇔ ax−y = 1⇔ x− y = 0⇔ x = y
�
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
Exemplo 35 1. 2x = 16
2. 3x−1 = 27
3. 8x =
1
32
4. 100x = 0, 001
5. 73x+4 = 492x−3
6. 52x
2−32 = 1
7. 4x − 2x = 56
8. 9x + 3x = 90
9. 4x+1 − 9 . 2x + 2 = 0
38
39
10.
3x + 3−x
3x − 3−x = 2
6.2 Inequac¸o˜es exponenciais
Definic¸a˜o 16 Inequac¸o˜es exponenciais sa˜o as inequac¸o˜es com inco´gnita no expoente.
Seguem alguns exemplos de inequac¸o˜es exponenciais:
1. 2x > 32
2.
(
1
3
)x
<
1
81
3. 4x − 2 > 2x
Me´todo da reduc¸a˜o a uma base comum
Este me´todo sera´ aplicado quando ambos os membros da inequac¸a˜o puderem ser representados como
poteˆncias da mesma base a (0 < a 6= 1). Faz-se uso do seguinte resultado:
Teorema 5 Sejam x e y nu´meros reais. Enta˜o:
se a > 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x > y;
se 0 < a < 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x < y.
Demonstrac¸a˜o:
Faremos a demonstrac¸a˜o para o caso a > 1. O outro caso e´ ana´logo.
ax > ay ⇔ a
x
ay
> 1⇔ ax−y > 1⇔ x−y > 0⇔ x > y. �
Exemplo 36 Classifique em Verdadeiro ou Falso:
1. 32,7 > 1
2. (0, 3)0,2 > 1
3. pi
√
2 > 1
4.
(
4
5
)−1,5
> 1
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
Exemplo 37 Resolva:
1. 2x > 128
2. 32x+3 > 243
3.
(
1
3
)x
>
1
81
4. 3x <
1
27
40
Observac¸a˜o 15 Na˜o aprofundaremos o assunto, para func¸a˜o exponencial, mas deixamos aqui alguns
lembretes sobre:
Func¸a˜o exponencial e´ func¸a˜o R → R definida por f(x) = ax, onde a ∈ R e 0 < a 6= 1. Ou seja, a
base dessa func¸a˜o sempre devera´ ser positiva, e diferente de um.
O domı´nio da func¸a˜o exponencial sempre abragera´ todos os nu´meros reais. Ja´ a imagem, todos os
nu´meros reais positivos, exceto zero.
Quando a base for maior que 1, sabemos que a func¸a˜o e´ crescente. Quando a base estiver entre 0 e
1, a func¸a˜o sera´ decrescente.
6.3 Logaritmos
Lembremos que no estudo de equac¸o˜es e inequac¸o˜es exponenciais, feito anteriormente, so´ tratamos
dos casos em que pod´ıamos reduzir as poteˆncias a` mesma base.
Se queremos resolver a equac¸a˜o
2x = 3,
por exemplo, sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 21 < 2x = 3 < 22, mas na˜o sabemos qual
e´ esse valor nem o processo para determina´-lo.
A fim de que possamos resolver este e outros problemas, iniciamos o estudo de logaritmos.
Definic¸a˜o 17 Sejam a e b dois nu´meros reais positivos, com a 6= 1, chama-se logaritmo de b na base
a o expoente que se deve dar a` base a de modo que a poteˆncia obtida seja igual a b, isto e´,
loga b = x⇐⇒ ax = b
Em loga b = x, dizemos:
a e´ a base do logaritmo
b e´ o logaritmando
x e´ o logaritmo
Exemplo 38 1. log2 8 = 3, pois 2
3 = 8
2. log3
1
9
= −2, pois 3−2 = 1
9
3. log5 5 = 1, pois 5
1 = 5
4. log7 1 = 0, pois 7
0 = 1
Exemplo 39 Resolva:
1. log81 3
2. log0,25 32
3. log0,5 8
4. log2
√
2
41
Teorema 6 Sejam 0 < a 6= 1 e b > 0. Enta˜o:
1. loga 1 = 0
2. loga a = 1
3. aloga b = b
4. loga b = loga c⇐⇒ b = c
Demonstrac¸a˜o: Aplicac¸a˜o imediata da definic¸a˜o de logaritmo. �
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
Exemplo 40 1. Se A = 5log5 2, determine o valor de A3.
2. Determine o nu´mero cujo logaritmo na base a e´ 4 e na base
a
3
e´ 8.
Notac¸o˜es:
log10 x e´ denotado simplesmente por log x (logaritmo decimal).
loge x e´ denotado por ln x (logaritmo neperiano ou natural).
6.3.1 Propriedades dos logaritmos
Teorema 7 (Logaritmo do produto) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, enta˜o
loga b.c = loga b + loga c
Demonstrac¸a˜o: Fazendologa b = x, loga c = y e loga b.c = z, provemos que z = x + y.
De fato:
loga b = x⇒ ax = b; loga c = y ⇒ ay = c; loga b.c = z ⇒ az = bc.
Assim, az = bc⇒ az = axay = ax+y ⇒ z = x + y
�
Teorema 8 (Logaritmo do quociente) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, enta˜o
loga
(
b
c
)
= loga b− loga c
Teorema 9 (Logaritmo da poteˆncia) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e α ∈ R, enta˜o
loga (b
α) = α(loga b)
Corola´rio 1 Se 0 < a 6= 1, b > 0 e n ∈ N∗, enta˜o
loga
n
√
b = loga b
1
n =
1
n
loga b
42
CUIDADO! loga (x± y) 6= loga x± loga y
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
Exemplo 41 1. Se m =
bc
d2
, determine log m.
2. Seja x =
√
a
bc
, determine log x.
3. Se log 2 = 0, 301, calcule o valor da expressa˜o log 20 + log 40 + log 400.
4. Determine a raza˜o entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer.
5. Se log2 (a− b) = m e a + b = 8, determine log2 (a2 − b2).
Teorema 10 (Mudanc¸a de base) Se a, b e c sa˜o nu´meros reais positivos e a e c sa˜o diferentes de 1,
enta˜o
loga b =
logc b
logc a
Demonstrac¸a˜o:
Consideremos loga b = x, logc b = y e logc a = z e notemos que z 6= 0, pois a 6= 1.
Provemos que x =
y
z
.
De fato:
loga b = x⇒ ax = b; logc b = y ⇒ cy = b; logc a = z ⇒ cz = a.
Assim,
(cz)
x
= ax = b = cy ⇒ zx = y.
�
Corola´rio 2 Se a e b sa˜o reais positivos e diferentes de 1, enta˜o
loga b =
1
logb a
Demonstrac¸a˜o:
Usando o teorema da mudanc¸a de base e observando que, por hipo´tese, b 6= 1, temos:
loga b =
logb b
logb a
=
1
logb a
.
�
43
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
Exemplo 42 1. Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b, determine log6 5.
2. Calcule o valor de log0,04 125.
3. Determine o valor de:
log3 2 . log4 3 . log5 4 . log6 5 . log7 6 . log8 7 . log9 8 . log 9
Exemplo 43 Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es exponenciais via logaritmos
1. 2x = 3.
2. 52x−3 = 3.
3. 7
√
x = 2.
4. 32x+1 = 2.
5. 4x + 6x = 2.9x.
6. log2 (3x− 5) = log2 7.
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
Exemplo 44 (Resoluc¸a˜o de equac¸o˜es logar´ıtmicas)
Nos exemplos seguintes, sempre observar as condic¸o˜es de existeˆncia do logaritmo.
1. log3 (2x− 3) = log3 (4x− 5).
2. log2 (3x− 1) = 4.
3. log3 (x
2 + 3x− 1) = 2.
4. log22 x− log2 x = 2.
5.
2 + log3 x
log3 x
+
log3 x
1 + log3 x
= 2.
Cap´ıtulo 7
Trigonometria
7.1 Introduc¸a˜o a` trigonometria
A Trigonometria, que e´ uma palavra de origem grega: trigono (triangular) e metria (medida),
tem por objetivo estabelecer relac¸o˜es entre os elementos ba´sicos (lados e aˆngulos) de um triaˆngulo.
7.1.1 Razo˜es trigonome´tricas no triaˆngulo retaˆngulo
Um triaˆngulo e´ retaˆngulo quando um de seus aˆngulos internos e´ reto. Observando o triaˆngulo
retaˆngulo ABC, (Aˆ = 900), temos:
BC = hipotenusa = a;
AC = cateto = b;
AB = cateto = c;
Bˆ + Cˆ = ˆ900;
AC = cateto oposto ao aˆngulo Bˆ;
AB = cateto adjacente ao aˆngulo Bˆ;
AC = cateto adjacente ao aˆngulo Cˆ;
AB = cateto oposto ao aˆngulo Cˆ;
Considerando o que vimos no triaˆngulo retaˆngulo da figura anterior, temos:
senBˆ =
AC
BC
⇒ senBˆ = cateto oposto a Bˆ
hipotenusa
⇒ senBˆ = b
a
.
44
45
cos Bˆ =
AB
BC
⇒ cos Bˆ = cateto adjacente a Bˆ
hipotenusa
⇒ cos Bˆ = c
a
.
tgBˆ =
AC
BA
⇒ tgBˆ = cateto oposto a Bˆ
cateto adjacente a Bˆ
⇒ tgBˆ = b
c
.
Teorema 11 ( Teorema de Pita´goras) O quadrado da hipotenusa e´ igual a soma dos quadrados dos
catetos:
a2 = b2 + c2
7.1.2 Aˆngulos Nota´veis: 30o, 45o e 60o
Alguns aˆngulos, devido ao seu contante uso, merecem um estudo especial. E´ o caso daqueles que
medem 30o, 45o e 60o.
Vamos considerar que num triaˆngulo equila´tero a mediana, a altura e a bissetriz relativas a um mesmo
aˆngulo interno coincidem.
Observe o triaˆngulo equila´tero ABC, cujos lados medem l e alturas medem h.
Aplicando o teorema de Pita´goras no triaˆngulo AMC, podemos calcular a altura h:
h2 + (
l
2
)2 = l2
h2 = l2 − l
2
4
h2 = 3
l2
4
h =
l
√
3
2
.
46
7.1.3 Ca´lculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o
Observe o triaˆngulo AMC:
Temos:
sen 30o =
l
2
l
=
1
2
cos 30o =
l
√
3
2
l
=
√
3
2
tg 30o =
l
2
l
√
3
2
=
√
3
3
sen 60o =
l
√
3
2
l
=
√
3
2
cos 60o =
l
2
l
=
1
2
tg 60o =
l
√
3
2
2
=
√
3
7.1.4 Ca´lculo do seno, cosseno e tangente de 45o
Vamos considerar um triaˆngulo retaˆngulo e iso´sceles ABC cujos catetos medem l e a hipotenusa mede
x.
Aplicando o teorema de Pita´goras no triaˆngulo ABC:
x2 = l2 + l2 ⇒ x2 = 2l2 ⇒ x =
√
2l2 ⇒ x = l√2.
Vamos agora calcular o seno, cosseno e tangente de 45o:
sen 45o = l
l
√
2
= 1√
2
=
√
2
2
cos 45o = l
l
√
2
=
√
2
2
tg 45o = ll = 1.
Organizando os resultados, constru´ımos a tabela:
47
α 300 450 600
sen α
1
2
√
2
2
√
3
2
cos α
√
3
2
√
2
2
1
2
tg α
√
3
3
1
√
3
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
Exemplo 45 1. Uma pessoa com 1, 80m de altura esta´ distante 80m da base de um pre´dio e veˆ o ponto
mais alto do pre´dio sob um aˆngulo de 160 em relac¸a˜o a` horizontal. Sabendo-se que tg 160 ∼= 0, 28,
determine a altura do pre´dio.
2. Um avia˜o levanta voˆo num ponto B, e sobe fazendo um aˆngulo constante de 150 com a horizontal.
Sabendo-se que sen 150 ∼= 0, 26 e que tg 150 ∼= 0, 27, determine a que altura estara´ e qual a
distaˆncia percorrida quando passar em linha vertical sobre uma igreja situada a 2km do ponto de
partida B.
3. Calcular a medida z na figura:
7.2 Exerc´ıcios
1. Calcule os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, sabendo que a altura relativa a` hipotenusa e´ h = 4 e
um aˆngulo agudo e´ Bˆ = 300.
2. Calcule os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, sendo que a altura relativa a` hipotenusa mede 4 e
forma um aˆngulo de 150 com o cateto b.
Dados: sen 750 =
√
2 +
√
6
4
e cos 750 =
√
6−√2
4
.
3. Uma escada de bombeiro pode ser estendida ate´ um comprimento ma´ximo de 25 m, formando um
aˆngulo de 700 com a base, que esta´ apoiada sobre um caminha˜o, a 2 m do solo. Qual e´ a altura
ma´xima que a escada atinge?
48
4. Um observador veˆ um pre´dio, constru´ıdo em terreno plano, sob um aˆngulo de 600. Afastando-se
do edif´ıcio mais 30 m, passa a ver o edif´ıcio sob aˆngulo de 450. Qual e´ a altura do pre´dio?
5. Calcule a distaˆncia entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-ce´u, conhecendo os aˆngulos
(α e β) sob os quais sa˜o observados de um ponto O do solo, a` distaˆncia d do pre´dio.
6. Um topo´grafo foi chamado para obter a altura de um edif´ıcio. Para fazer isto, ele colocou um
teodolito a 200 metros do edif´ıcio e mediu um aˆngulo de 30o. Sabendo que a luneta do teodolito
esta´ a 1,5 m do solo, qual o valor aproximado, da altura do edif´ıcio?
7.3 Arcos, aˆngulos e o c´ırculo trigonome´trico
7.3.1 Arcos e aˆngulos
Se dois pontos encontram-se sobre uma circunfereˆncia esta fica dividida em duas partes denominadas,
arcos de circunfereˆncia, ou arcos. Se dois pontos A e B forem coincidentes, um dos arcos fica reduzido a
um ponto, e outro a pro´pria circunfereˆncia.
A medida do comprimento de uma circunfereˆncia (2pi = 360) e´ dado por c = 2pir. Para os diversos
arcos que podem ser formados numa circunfereˆncia, tambe´m e´ possivel calcular seu comprimento, visto
que eles sa˜o proporcionais a essa medida. Veja no exemplo abaixo:
Exemplo 46
A orientac¸a˜o de uma circunfereˆncia pode ser no sentido hora´rio (-) ou anti-hora´rio (+). Sendo
poss´ıvel, portanto, obter equivalaˆncia de um arco de sentidos opostos.
Exemplo 47 −90 = 270.
−315 = 45.
−180 = 180.
−225 = 135.
49
7.3.2 Estudo do C´ırculo Trigonome´trico
Definic¸a˜o 18 Dado um arco AM, de medidaα, chama-se de cosα e sinα, a abcissa e a ordenada do
ponto M, respectivamente.
A circunfereˆncia trigonome´trica e´ dividida em 4 quadrantes de 90 cada, seguindo sentido anti-
hora´rio.Esses quadrantes sa˜o formados na origem do eixo cartesiano, onde se intersepta o eixo da abcissa
(cosseno), com o eixo das coordenas (seno).
Os sinais dos arcos variam conforme o eixo, ou seja, conforme a func¸a˜o. Por exemplo, a func¸a˜o seno
apresenta o 1 e o 2 quadrantes positivos, ja´ o cosseno, tem o 2 e o 3 quadrante positivo, os outros
sa˜o negativos. Quanto a tangente, nos quadrantes ı´mpares e´ positiva, nos pares negativa. Veja, abaixo:
O c´ırculo trigonome´trico e´ sime´trico e portanto, um arco pode ser trazido (reduzido), ao primeiro
quadrante. No caso do arco 330 , contido no quarto quadrante, ele pode ser reduzido ao primeiro,
obtendo-se assim um arco de 30 . Isso por que, se andassemos no sentido hora´rio da circunfereˆncia
trigonome´trica, pode-se verificiar que 330 =-30 . Logo, tem-se que o arco sime´trico primeiro quadrante
e´ 30 .
No caso da medida do arco ser maior que 360 , isto e´, ele possui mais de uma volta. Sabemos que
uma volta completa equivale a 360 ou 2pi rad, com base nessa informac¸a˜o podemos reduzi-lo a` primeira
50
volta, realizando o seguinte ca´lculo:
1- Dividir a medida do arco em graus por 360 (volta completa),
2- O resto da divisa˜o sera´ a menor determinac¸a˜o positiva do arco.
Exemplo 48 (a) Fac¸a a reduc¸a˜o do arco 4380 e diga onde o mesmo se localiza.
4380÷ 360 = 4320 + 60
Logo, tem-se que o resto da divisa˜o e´ 60 , o que indica que a determinac¸a˜o principal do arco,pertence
ao 1 quadrante.
Observac¸a˜o 16 No caso de se desejar as infinitas soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o ou inequac¸a˜o trigonome´trica,
deve-se observar com atenc¸a˜o o intervalo dado para soluc¸a˜o, bem como a divergeˆncia de sinais em cada
quadrante! Veja o exemplo que segue...
Exemplo 49 Dado a figura e as afirmac¸o˜es abaixo, identifique quais sa˜o verdadeiras e falsas.
(A) sin(180− α) = sinα
(B) sin(180− α) = − sin α
(C) sin(180 + α) = sinα
(D) sin(180 + α) = − sin α
(E) sin(360− α) = sinα
(F) cos(360− α) = − sin α
51
(G) cos(180− α) = cosα
(H) cos(180− α) = − cos α
(I) cos(180 + α) = cosα
(J) cos(180 + α) = − cos α
(M) cos(360− α) = cosα
(N) cos(360− α) = − cos α
Observac¸a˜o 17 (Arco Coˆngruo): Dois arcos sa˜o coˆngruos quando possuem a mesma origem e a
mesma extremidade. Uma regra pra´tica eficiente para determinar se dois arcos sa˜o coˆngruos consiste em
verificar se a diferenc¸a entre eles e´ um nu´mero divis´ıvel ou mu´ltiplo de 360 , isto e´, a diferenc¸a entre as
medidas dos arcos dividida por 360 precisa ter resto igual a zero.
Menor determinac¸a˜o α: e´ o menor arco na˜o negativo dentre todos os congruos, assim, podemos
afirmar 0 ≤ x < 360.
7.3.3 Expressa˜o Geral
A partir de um arco de midade α, pode se obter outros infinitos arcos de mesmas extremidades, quando
consideramos que podemos dar infinitas voltas. Dado isso, torna-se necessa´rio criar uma expressa˜o para
representar todos esses infinitos arcos.
A expressa˜o geral se apresenta da seguinte forma:
AM = 360k + α, k ∈ Z,
ou
AM = 2kpi + α, k ∈ Z.
Portanto fica estabelecida uma correspondencia biun´ıvoca entre os nu´meros reais e os pontos da
circunfereˆncia trigonome´trica.
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1- Determine a medida de x do arco da primeira volta positiva (0 ≤ x < 360) que possui a mesma
extremidade do arco de:
(a) 7850 (b) 1853 (c) −50 (d) 1190
2- Verifique o sinal de cada um desses produtos:
(a) y= cos 110. sin 130
(b) y= sin 200. cos 190
(c) y= sin 300. cos 330
(d) y= cos pi4 . sin
pi
4
(e) y= sin 2pi3 . cos
2pi
3
(f) y= sin 7pi6 . cos
7pi
6
3- Como poderiamos escrever a expressa˜o geral para os arcos formados na questa˜o 1, anterior? (qual
intervalo de k?)
52
4- Dois arcos de medidas opostas quaisquer, α e −α, teˆm extremidades sime´tricas em relac¸a˜o ao eixo
dos cossenos. Identifique quais das afirmativas abaixo sa˜o verdadeiras:
(a) cos(−α) = cos α
(b) − cos(α) = cosα
(c) sin(−α) = sin α
(d) sin(−α) = − sin α
5- Se F: R → R e´ uma func¸a˜o definida por F (x) = sin x + cosx, o valor de
f(pi) + f( 3pi2 )
f(pi2 )
e´?
6- Determine o valor da expressa˜o:
sin 330 + cos2 300
sin 200 + cos 70 + sin2 240
7- Simplifique a expressa˜o:
A=
cos(pi + x) + cos(−x) + cos(pi − x)
sin(−x) + sen(pi − x) + cos(x)
7.3.4 Circulo Trigonome´trico
Como estudado nas sec¸o˜es anteriores, eis que se apresenta o circulo trigonome´trico, com suas sime-
trias e equivaleˆncias:
53
7.4 Identidades Trigonome´tricas
Para iniciar o conteu´do, de identidades trigonome´tricas, vamos primeiramente entender o significado
das novas relac¸o˜es que ira˜o surgir:
(a) COTANGENTE:
Seja a reta s tangente a` circunfereˆncia trigonome´trica no ponto B=(0,1). Esta reta e´ perpendicular
ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunfereˆncia intersecta a reta
tangente s no ponto S=(s’,1). A abscissa s’ deste ponto, e´ definida como a cotangente do arco AM
correspondente ao aˆngulo a.
Observac¸a˜o 18 Possui os mesmos sinais da tangente no c´ırculo trigonome´trico.
54
(b) SECANTE:
Seja a reta r tangente a` circunfereˆncia trigonome´trica no ponto M=(x’,y’). Esta reta e´ perpendicular
a` reta que conte´m o segmento OM. A intersec¸a˜o da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0).
A abscissa do ponto V, e´ definida como a secante do arco AM correspondente ao aˆngulo a.
Observac¸a˜o 19 Possui os mesmos sinais do cosseno no c´ırculo trigonome´trico.
(c) COSSECANTE:
A intersec¸a˜o da reta r com o eixo OY e´ o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, e´ definida como a
cossecante do arco AM corres
pondente ao aˆngulo a. Enta˜o a cossecante do aˆngulo a e´ dada pelas suas va´rias determinac¸o˜es.
Observac¸a˜o 20 Possui os mesmos sinais do seno no c´ırculo trigonome´trico.
7.4.1 Identidades Trigonome´tricas
Abaixo, tem-se as principais indentidades trigonome´tricas. Os exercicios seguintes sera˜o baseadas
nas mesmas. Na segueˆncia, pode-se verificar a demostrac¸a˜o de algumas identidades.
(1) sin2 x + cos2 x = 1
55
Demonstrac¸a˜o:
Aplicando o teorema de Pita´goras:
a2 = b2 + c2,
12 = cos2 x + sin2 x,
cos2 x + sin2 x = 1. 2
(2) sec =
1
cos x
(3) csc =
1
sin x
(4) cot =
1
tan x
=
cos x
sin x
(5) sec2 x = 1 + tan2 x
Demonstrac¸a˜o:
Dividindo ambos os membros da relac¸a˜o fundamental trigonome´trica (cos2 x + sin2 x = 1) por
cos2 x, temos:
sin2
cos2
+
cos2
cos2
=
1
cos2
↓
tan2 x + 1 = sec2 x.
2
Observac¸a˜o 21 Podemos obter a relac¸a˜o trigonome´trica (6), adotando o passo a passo acima,
entretanto, ao inve´s de dividir a relac¸a˜o fudamental trigonome´trica por cos2 x, divide-se por sin2 x.
(6) csc2 x = 1 + cot2 x
(7) sin 2x = 2 sin x. cos x
56
Demonstrac¸a˜o:
Atrave´s da relac¸a˜o (12), que faz a soma do seno de dois arcos diferentes:
sin(a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b, podemos fazer a soma de dois arcos iguais, procedendo
da seguinte forma:
sin(a + a) = sin a. cos a± cos a. sin a
↓
sin 2a = 2 sin a. cos a.
2
O mesmo procedimento pode ser adotado para obter as relac¸o˜es (8) e (9), entratanto, muda-se a
relac¸a˜o inicial para cada func¸a˜o.
Ou seja, para obter a relac¸ao (8) cos 2x = cos2 x− sin2 x, utiliza-se a relac¸a˜o (13), que faz a soma
do cosseno de dois arcos.
Para obter a relac¸a˜o (9) tan 2x =
2 tan x
1− tan2x , utiliza-se a relac¸a˜o (14), que faz a soma da tangente
de dois arcos.
(8) cos 2x = cos2 x− sin2 x = 1− 2 sin2 x = 2 cos2−1
(9) tan 2x =
2 tan x
1− tan2x
(10) sin2 x =
1
2
+ (1− cos 2x)
(11) cos2 x =
1
2
+ (1 + cos 2x)(12) sin(a ± b) = sin a. cos b∓ cos a. sin b
(13) cos(a ± b) = cos a. cos b ∓ sin a. sin b
(14) tan(a + b)=
tan a + tan b
1− tan a. tan b
(15) tan(a− b)= tan a− tan b
1 + tan a. tan b
Que tal lembrar das LEI DOS SENOS (16) COSSENOS (17) e a LEI DA A´REA(18) de um
triaˆngulo ?
57
(16)
(17)
(18)
58
FAZENDO VOCEˆ APRENDE !
1 - Encontre o valor da expressa˜o:
(a) y =
cos 1305− sin 1305
sec 1740 + tan 855
(b) y =
tan 315× csc 1200
sin 1560− cos 1650
2- Determine cos α, sabendo que sin α =
1
3
e que α corresponde a uma arco do 2 quadrante.
3- Simplifique as expresso˜es abaixo sob as condic¸o˜es de existeˆncia.
(a) E=(sec x− cosx)(csc x− sin x)(tan x + cot x)
(b) E=
2 tan(180 + α)− tan(180− α)
5 tan(360− α) (tan α 6= 0)
4- Para escorar um muro vertical localizado em um terreno plano e horizontal, foi usada uma barra
de ferro de 2,6 m. de comprimento, reta, apoiada em um ponto P do terreno e em um ponto Q do muro.
A medida α do aˆngulo obtuso que a barra forma com o terreno e´ tal que secα =
−2√3
3
. Calcule a
distaˆncia entre o ponto Q e o solo.
5- Deˆ o conjunto soluc¸a˜o de acordo com o intervalo dado para as equac¸o˜es abaixo:
(a) tan2 x−√3 tan x = 0 [0, pi]
(b) (tan2 x− 3)(sin x + 1) = 0 [0, 2pi]
6- Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 5cm e 10,cm e formam entre si um aˆngulo
de 120 . Calcule as medidas das diagonais desse pol´ıgono.
7- Determine o valor de x nas figuras a seguir:
Cap´ıtulo 8
Respostas dos Exerc´ıcios
8.1 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1
SEC¸A˜O 1.1
1. (a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...} (b) B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}
(c) C = {1, 3, 5, 7, 9, 11} (d) D = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
2.
(a) A = {0} (b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
(c) C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(e) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (f) F = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
3.
(a) A = {n ∈ N∗|n 5 5} (b) B = {n ∈ N∗|n e´ par e n ≤ 8}
(c) C = {n ∈ N |2 ≤ n ≤ 10} (d) D = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10}
(e) E = {n ∈ N|n ≥ 5} (f) F = {n ∈ N|n ≥ 1} ou N∗
4.
(a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...} (b) B = {2, 4, 6, 8}
(c) C= {2,4,6,8} (d) D = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
5.
(a)
(b)
59
60
(c)
(d)
(e)
(f)
SEC¸A˜O 1.2
1.
(a) R (b) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...} (c) {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...}
(d) {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60...} (e) {0, 12, 24, 36, 48, 60...} (f) {0, 50, 100, 150, 200, 250...}
2. (V)= a, c, d, e (F)= b
3. {0, 12, 24, 36, 48} 4. {26, 39}
5. {o} 6. nu´meros pares
7. {6} 8. {0, 6, 12, 18, 24, 30...}
9. 0,20,40,60.. 10. {0, 30, 60, 90...}
SEC¸A˜O 1.3
1. (a) 42 (b) 48 (c) 60 (d) 180 (e) 210
2. 15 : 00 3. 80 dias 4. 72 minutos 5. 1 dia 6.{2008, 2028, 2048}
SEC¸A˜O 1.4
1.
(a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} (b) {1, 3, 5, 610, 15, 30} (c) {4, 12}
(d) {5, 10, 15} (e) {1, 2, 3, 6}
2. 1 e ele mesmo.
3.
61
(a) {1, 2, 5, 10} (b) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
(c) {1, 2} (d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24}
4. duas maneiras 5. 3 maneiras 6. 5 maneiras 7. 4 maneiras 8. 1,18;2,9;3,6.
SEC¸A˜O 1.5
1. (a) 9 (b) 15 (c) 2 (d) 1
2. 6 3. O menor e´ o m.d.c 4. Sempre 1
5. (a) 39 (b) a = 6, b = 7
6. 20 7. 60 8. Em 5,6,8 pec¸as; Comprimento= 36 m
8.2 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2
SEC¸A˜O 2.1
1. (a)
17
6
(b)
8
3
(c)
17
24
(d)
11
4
2. (a)
91
72
(b)
13
72
(c)
67
84
(d)
17
21
3. (a)
33
20
(b)
33
20
(c)
91
45
(d)
116
75
(e)
65
42
(f)
157
30
4. (b)
77
10
(c)
73
8
(d)
43
4
5. (a)
1
21
(b)
11
24
(c)
61
84
(d)
10
18
(e)
89
360
(f)
−5
8
6. (a)
75
20
(b)
55
20
(c) (1) O agrupamento diferente gera resultados diferentes. (2) A operac¸a˜o na˜o e´ associativa
(Operac¸a˜o que independe da ordem).
7. (b)
23
8
(c)
59
24
(d)
15
6
(e)
1
5
(f)
5
4
(g)
11
3
8.
5
12
9.
8
15
10.
5
12
11. 300.000 L 12. 14 caixas
SEC¸A˜O 2.2
1.
(a)
5
8
(b)
1
4
(c)
8
5
(d)
35
6
(e)
21
10
(f)
11
132
(g)
3
45
(h)
57
5
(i)
33
8
2. (a) 5u (b) 4u (c)
1
4
u (d)
1
5
u (e)
1
8
u (f) 6u
3.
62
(a)
5
4
(b)
7
5
(c) 5 (d)
5
4
(e)
11
9
(f)
15
8
(g)
21
16
(h)
4
3
4. (a) 16 (b)
28
13
(c)
1
16
(d)
37
13
5. duas questo˜es 6. 4m2 7. 1920 ladrilhos
8. (a) 64m2 (b) 40m 9. 800 oˆnibus
10. Adulto : 70 Kg,Crianc¸a: 40 Kg
11. (a) 1.080 reais (b)3.000 reais
12. 87 Km
SEC¸A˜O 2.3
1. (a) 0, 66... (b) 0, 08 (c) 0, 05 (d) 0, 234
2. =: a),(b),(c),(d),(e) 6=: (b) e (f).
3.
(a) 0, 3 (b) 0, 01 (c) 0, 007 (d) 0, 21
(e) 0, 043 (f) 123, 5 (g) 57, 802 (h) 6, 104
4.
(a)
1
2
(b)
13
10
(c)
8
100
(d)
212
1000
(e)
871
100
(f)
485
1000
(g)
5278
1000
(h)
93, 164
10
5.
(a)
3
5
(b)
9
40
(c)
23
200
(d)
9
20
(e)
3
500
(f)
211
500
(g)
17
40
(h)
626
125
SEC¸A˜O ??
1. V= a, c, e F= b, d, f
2. (a) 500dcm2 (b) 11.400cm2 (c) 0, 055km2 (d) 735mm2 (e) 6, 47m2
3. (a) 61, 17 (b) 5.000.047, 51 (c) 90, 5 (d) 14.735 (e) 58.684
4. (a) 10min 45seg (b) 42min 17seg (c) 5h. 10min 49seg
5. (a) 13h 16min 52seg (b) 5h 8min (c) 18h 46min
7. 11 : 53 8. 108dl
9. (a) 100min 10seg (b) 1h 1min 1seg (c) 2h 30min (d) 1h 7min 30s
63
8.3 Respostas dos Exerc´ıcios do Capitulo 3
SEC¸A˜O 3.1
1)
(a) 610 (b) 71 (c) 710 (d) 109
2)
(a) 121 (b) 25 (c) 3−2 (d) 82
3)
(a) 38
(b) 415
(c) 74
(d) 67
(e) 100
(f) 74
4)
(a) 9a2 (b) 10245 (c) x3y3 (d) 128x7y7
5)
(a) (
−13
21
)2
(b) (
8
33
−1
)
(c) (
17
5
)−5
(d) (
−7
9
)3
(e) (
−21
4
)3
(f) (
11
12
)6
(g) (
5
4
)−6
(h) (0, 03)−3
(i) (0, 03)−10
6)
(a) 3
(b) 1
(c) 0, 5
(d) 1
(e)
1
2
(f) 1
(g)
√
2
(h) 1
7) a)2−3 b) ( 12 )
−2
SEC¸A˜O 3.1.1
1)
(a) 4
(b)
1
2
(c) 256
(d) 4
(e) 6561
(f) 900
(g) −27
(h) (
1
1, 2
)2
(i) 4
√
(5)3
(j) 4
√
pi
(l) 107
2)
64
(a)
−1
5
(b) 3
(c) 2, 5
(d) 0, 01
(e) 10.000
(f) 100
(g)
−2
3
(h)
64
9
(i)
1
3
(j)
4
81
(l)
81
4096
3)
(a) 7
1
2
(b) 2
3
4
(c) 3
2
5
(d) 4
−1
3
(e) (−2)−3
(f) (
3
2
)−5
4)
(a) 5
√
2
(b)
1√
8
(c)
4
√
a3b
(d)
1
5
√
m2n
(e)
1
4
√
m3
5)
(a) 2
5
3
(b) 5
2
3
(c) 3
3
4
(d) 2
3
7
(e) 2
9
8
(f) 5
1
2
SEC¸A˜O 3.2
1)
(a) 4 (b)
26
5
(c)
12
25
2)
(a) x
17
7
(b) 3
(c) 4b2
(d) 4xy2
(e) 5a2
√
x
(f)
√
5
(g) a6x8
(h) 3 3
√
3
(i) 2 9
√
2
(j) 2
√
13
(l)
12
√
2a
5
√
3b2
(m)
x2y 3
√
y2
a2
√
a
(n) x + 3
(o) x + 5
3)
(a) 2
√
5
(b) 0
(c) 4b
√
a− 4a√a
(d)
3
3
√
3
(e)
√
30
20
(f) 5b 12
√
(5b)
(g) 4
(h) 27a9 × b
3
2
(i) 1
(j) 4
√
x 3
√
y
65
4)
(a)
a
√
b
2b
(b)
a
√
b
ab
(c)
5
√
a4b4c
c
(d) 8− 2√5
(e)
√
2a + 1
(f) 2 +
√
3
8.4 Respostas dos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4
SEC¸A˜O 4.1
1)
(a)
9
8
(b)
−17
8
(c)
−57
20
(d)
1
3
(e) 94, 57
(f)
−4
7
(g) −11, 59
(h)
−7
2
2)
(a)
17
140
(b)
−17
12
(c)
−125
8
(d)
25
9
(e)
1
2
(f)
3
2
3)
(a) 90
(b) −6
(c)
3267
448
(d)
−10
3
(e)
−3
10
(f)
−4
7
SEC¸A˜O 4.2
1)
(a) 8
(b) 8
(c)
9
8
(d)
−
1
70
(e) x = 4
(f) x =
−64
3
(g) x

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