ATPS matematica aplicada 2

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Atividades práticas
Supervisionadas
Ciências da computação – 
Matemática Aplicada 2
Prof. Luciano Rossi
 Nome: Edmar Kuroiva. Magalhães RA: 8486216939
 Nome: Eduardo Hudson Ribeiro de Jesus RA:8641282372
 Nome: Pedro Luiz Gonçalves da Silva RA:8097844980
 Nome: Lucas Francis Silva Pompeu RA:8406132633
 
Introdução
Nesta atividade que iremos realizar vamos resolver alguns problemas sobre um robô que realiza três operações de soldagens consecutivas na fabricação de um determinado produto, em três posições diferentes.
Para essa atividade ser realizada vamos usar operações com vetores, sistemas de coordenadas, estudo da reta e de curvas planas, estudo do plano e lugares geométricos.
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
Ciências da computação - Matemática aplicada dois
Etapa 1- passo 1
Ler o texto e fazer as atividades a seguir: 
A Situação Problema descrita a seguir deverá ser considerada em todos os Passos da Etapa 1, 2 e 4. Um robô realiza três operações de soldagem consecutivas na fabricação de um determinado produto, em três posições diferentes. Os pontos A, B e C definem essas posições. 
No plano cartesiano, Figura 1, é mostrada a trajetória realizada pelo braço do robô, desde o ponto O passando pelos pontos A, B e C, nos quais a tocha é posicionada para realizar as operações de soldagem.
Figura1. Posições em que o robô realiza as soldas.
Determinar analiticamente as coordenadas dos pontos A, B e C onde serão realizadas as operações de soldagem, sabendo-se que:
a distância da origem até o ponto A é de 4m em uma direção a 35° medido a partir do semi-eixo positivo x; 
a distância da origem até o ponto B é de 6m em uma direção a 115° medido a partir do semi-eixo positivo x; 
a distância da origem até o ponto C é de 7m em uma direção a 145° medido a partir do semi-eixo positivo x. 
cat. oposto/hipotenusa = sen 35º
sen35º = 0,57
 co = 4*0,57 = 2,28
Co²+Ca² = H²
2,28² +Ca²= 4²
Ca² = 16 – 5,19 = 10,8
√10,8 = 3,28
A = (3,28 ; 2,28)
cat.oposto/hipotenusa = sen 115º
sen115º - 90º = -(sen25º)
 co = 6*(-0,42)= -2,52
Co²+Ca² = H²
-2,52²+ Co²= 6²
Ca² = 36 – 6,3 = 29,7
√29,7 = 5,4
B= (-2,52 ; 5,4)
cat.oposto/hipotenusa = sen 145º
sen145º - 90º = -(sen55º)
 co = 7*(-0,81)= -5,67
Co²+Ca² = H²
-5,67² + Ca² = 7²
Ca² = 49 – 32,1 = 16.9
√16,9 = 4,1
C = (-5,67 ; 4,1)
As cordenadas ficaram assim:
A = (3,28 ; 2,28)
B = (-2,52 ; 5,4)
C = (-5,67 ; 4.1)
Etapa 1 - Passo 2
Representar os movimentos do robô por meio de vetores (fazer os desenhos).
Etapa 1 - Passo 3
Expressar cada um dos deslocamentos em forma de vetor cartesiano do tipo:
V1 = Vx1i + Vy1j (forma canônica).
V1=V*3,28i + V*2,28j
V2=V*(-2,52)i + V*5,4j
V3=V*(-5,67)i + V*4,1j
Etapa1 – Passo 4
Para achar as coordenadas dos pontos A,B e C através do Teorema de Pitágoras e do seno da seguinte forma, primeiro foi encontrado o cateto oposto pelo seno e depois o cateto adjacente através do Teorema de Pitágoras e em seguida foi criado os vetores através das coordenadas encontradas,e no passo 3 foi expresso na forma canônica.
Pode-se concluir que nesta etapa também que em tudo o que nós fazemos sempre existira uma grandeza matemática no meio por que tudo o que nós fazemos hoje quase sempre se exige cálculo matemático para saber quais os resultados corretos de tudo que nós calculamos.
Etapa 2 – passo 1
Para calcular a distância total percorrida pela tocha de soldagem será necessário calcular o teorema de Pitágoras dos dois triângulos retângulos OAB e OBC e fazer a soma dos lados do quadrilátero. 
Triângulo OAB
X² = 4² + 6²
X² = 16 + 36
X = √52
X = 7,21
Triângulo OBC
7² = X² + 6²
X² = 49 – 36
X= √13
X = 3.6  
Após descobrir os valores de X nos triângulos, basta somar todos os lados do quadrilátero OABC, para saber o total da distância percorrida.
D =OA + AB + BC + CO
D = 4 + 7.21 + 3.6 + 7
D = 21.81
A distância total percorrida pela tocha de soldagem foi de aproximadamente 21,81 metros.
Etapa 2 – passo 2
Para calcular a área do quadrilátero OABC será necessário dividi-lo em dois triângulos retângulos (ABC e OAC) e somar o resultado da área dos dois triângulos para obter o resultado da área do quadrilátero, para calcular a área de um triângulo é necessário utilizar a seguinte fórmula:
ABC = √p*(p - a)*(p - b)*(p - c)
ABC = (a + b + c)/2
Primeiramente precisa saber as coordenadas do vetor ponto A e do vetor ponto B subtraindo as coordenadas do ponto B com as do ponto A, e subtraindo as coordenadas do ponto C com as do ponto A.
Ponto B = (-2.52, 5.4, 0)
Ponto A = (3.28, 2.28, 0)
BA = (-2.52 – 3. 28, 5.4 – 2.28, 0 – 0)
BA = (-5.8, 3.12, 0)
Ponto C = (-5.67, 4.1, 0)
Ponto A = (3.28, 2.28, 0)
CA = (-5.67– 3.28, 4.1 – 2.28, 0 – 0)
CA = (-8.85, 1.8, 0)
Os vetores têm como forma canônica: Vba =V-5,67i + V3,12j + V0k + Vca =V-8,85i + V1,8j + V0k
Multiplica os valores das três primeiras colunas diagonalmente e soma com a multiplicação negativa das três últimas colunas diagonalmente.
i x 3,12x 0 = 0
j x 0 x -8,85= 0
k x -5,67 x 1,8 = -10,2k
-(k x 3,12 x -8,85) = 27,61k
-(i x 0 x 1.8) = 0
-(j x -5,67. x 0) = 0
-10,2k + 27.61k = 17,41k
(0, 0, 17.41)
Para calcular o módulo, eleva os valores ao quadrado, depois soma, tira a raiz, e dividi o valor do numerador por 2.
ABC=√0² + 0² +17.41² =√303,1
ABC = 17,4/2
ABC = 8.7
Agora, é preciso achar a área do outro triângulo retângulo.
OAC 
As coordenadas do vetor Ponto C e do vetor Ponto A
são:
Ponto C = (-5.67, 4.1, 0)
Ponto O = (0, 0, 0)
CO = (-5.67 – 0, 4.1 – 0, 0 – 0)
CO = (-5.67, 4.1, 0)
Ponto C = (-5.6, 4, 0)
Ponto A = (3.28, 2.28, 0)
CA = (-5.67 – 3.28, 4.1 – 2.28, 0 – 0)
CA = (-8.9, 1.8, 0)
i x 4.1 x 0 = 0
j x 0 x -8.9 = 0
k x- 5.6 x 1.8 =- 10,08k
-(k x 4.1 x-8.9) = 36.4k
-(i x 0 x 1.8) = 0
-(j x- 5.6 x 0) = 0
-10,08 + 36,4k = 26,32k
(0, 0, 26.32)
OAC=√0² + 0² + 26,32² =√ 692.74
OAC = 26.31/2
OAC = 13,15
Área do Quadrilátero
OABC = ABC + OAC
OABC = 8.7 + 13,15
OABC = 21.85 m²
Etapa 2 – passo 3
Considerar que cada trajetória pode ser definida por uma reta. Determinar a equação reduzida na variável x de cada uma destas retas. Para determinar a equação reduzida na variável x de cada reta formada na trajetória do braço do robô, utiliza as seguintes equações:
Y = Mx + N
Equação reduzida na reta OA
Ponto O = (0,0,0)
Ponto A = (3.28, 2.28, 0)
Reta OA = (3.28, 2.28, 0)
Determinar o coeficiente angular da reta.
M=y1/x1
M=2.28/3.28
M=0.69
Vamos utilizar o ponto A, para obter o x1, y1 e z1.
y – y1 =M*(x-x1)
y–2.28=0.69*(x–3.28)
y–2.28=0,69x–2.26
y=0.69x–2.26+2.28
y = 0.71x 
z = 0 
Equação reduzida na reta AB
Ponto A = (3.28, 2.28, 0)
Ponto B = (-2.52, 5.4, 0)
Reta AB= (-5.8, 3.1, 0)
Determinar o coeficiente angular da reta.
M=y1/x1
M=3.1/-5.8
M=-0.53
Vamos utilizar o ponto A, para obter o x1, y1 e z1.
y – y1=M*(x-x1)
y–2.28= -0.53*(x–3.28)
y–2.28=-0.53x+1.73
y=-0.53x+1.73+2.28
y = 4,54x
z = 0 
Equação reduzida na reta BC
Ponto B = (-2.52, 5.4, 0)
Ponto C = (-5.67, 4.1, 0)
Reta BC = (-8.1, -1.3, 0)
Determinar o coeficiente angular da reta.
M=y1/x1
M=-1.3/-8,1
M=0.16
Vamos utilizar o ponto B, para obter o x1, y1 e z1.
y – y1 =M*(x-x1)
y–5.4= 0.16*(x–(-2.52))
y–5.4=0.16x+0.40
y=0.16x+0.40+5.4
y = 5.96x 
z = 0
Equação reduzida na reta CO
Ponto C = (-5.67, 4,1, 0)
Ponto O = (0, 0, 0) 
Reta CO = (5.67, -4.1, 0)
Determinar o coeficiente angular da reta.
M=y1/x1
M=-4,1/5.67
M=-0.72
Vamos utilizar o ponto C, para obter o x1, y1 e z1.
y – y1 =M*(x-x1)
y–4,1=-0.72*(x–(-5.67))
y–4,1=-0.72x-4,08
y=-0.72x-4,08+4,1
y =-0.7x 
z = 0
Etapa 2 - Passo 4 
Documentar essa etapa de estudos apresentando quais os resultados alcançados em cada Passo, mostrando os recursos matemáticos utilizados para encontrar as soluções apresentadas. É importante que antes de apresentara solução matemática exista uma discussão do porque usaram tal recurso.
Em nosso primeiro passo foi pedido pra calcular a distancia total percorrida pela tocha de soldagem, mas para conseguir realizar esse cálculo precisaremos calcular o quadrilátero e como isso não é possível, pois precisaremos de mais informações vamos dividir esse quadrilátero em dois triângulos OAB e OBC, no primeiro triângulo OAB vamos calcular a hipotenusa com os dados já existentes no problema (X = 7,21), e no segundo triangulo vamos usar o valor que se foi achado da hipotenusa para calcular o ultimo lado( X = 3.6 ou Após descobrir os quadro lados do quadrilátero vamos soma los para achar o valor total desses quadrilátero, ou seja a distancia percorrida (D = 21.81).
Agora no segundo passo temos uma situação diferente precisamos calcular a área do quadrilátero OABC, e para isso vamos novamente dividir o quadrilátero em dois triângulos e achar a area desses triângulos (ABC e OAC) para no final achar a área total do quadrilátero. Primeiro vamos calcular a área do triangulo ABC usando essa formula [ABC = √p*(p - a)*(p - b)*(p - c)], mas para conseguirmos usar essa formulas antes precisamos subtrair as coordenadas do triangulo ABC ao final vamos achar dois vetores [BA = (-5.8, 3.12, 0) e CA = (-8.85, 1.8, 0)] e com esses vetores vamos multiplica os valores das três primeiras colunas diagonalmente e soma com a multiplicação negativa das três últimas colunas diagonalmente e com isso vamos achar um único vetor (0, 0, 17.41) e vamos fazer o módulo dele e com isso achamos a área do primeiro triangulo (ABC = 8.7). Agora vamos achar a área do segundo triangulo OAC  do mesmo jeito que achamos a área do primeiro triangulo usando a formula [ABC = √p*(p - a)*(p - b)*(p - c)] e ao final vamos achar o seguinte valor OAC = 13,15. E por ultimo vamos achar a área do quadrilátero que é formado pelos dois triângulos anteriores, então basta somar as duas áreas dos dois triângulos (ABC e OAC) e vamos achar a área do quadrilátero OABC = 21.85 m².
Chegamos ao terceiro e ultimo passo que precisamos determinar a equação reduzida na variável x de cada uma destas retas, e para isso utiliza as seguinte equação (Y = Mx + N). Primeiro vamos achar a equação reduzida na reta OA, e para isso temos que achar o vetor OA subtraindo as coordenadas (A-O) = OA = (3.28, 2.28, 0) e depois determinar o coeficiente angular da reta através da formula (M=y1/x1) que será igual a (M=0.69) e com o coeficiente angular vamos obter o x1, y1 e z1 e o ponto A e o ponto B e com esses pontos consigo descobrir a reta AB = BA= (-5.8, 3.1, 0). E da mesma maneira vamos descobrir a reta BC = (-8.1, -1.3, 0) e a reta CO = (5.67, -4.1, 0).
Aula tema: Matrizes. Sistemas de equações lineares. 
Etapa 3
Passo 1
Na matriz A esta marcado as distâncias dos pontos para a construção do silo, na matriz x esta localizado a produção de maçãs e na matriz b esta a localização das cidades para a construção dos silos
Passo 2
100 x 12 + 120 x 18 + 110 x 20 + 140 x 15 = 7.660
150 x 12 + 100 x 18 + 120 x 20 + 80 x 15 = 7.200
70 x 12 + 160 x 18 + 30 x 20 + 120 x 15 = 6.120
150 x 12 + 13 x 18 + 90 x 20 + 100 x 15 = 5.334
A = 7.660
B = 7.200
C = 6.120
D = 5.334
A resposta para o problema é D que é igual à 5.334 sendo assim a menor distancia possível dentre as opções.
Passo 4
100x + 120y + 110z + 140w = 7.760
150x + 100y + 120z + 80w = 7.020
70x + 160y + 30z + 120w = 6.480
150x + 13y + 90z + 100w = 7.420
No passo 1 foi montada a matriz Ax=b sendo A a matriz de distancia para a construção dos silos. O x é igual vetor de produço, b é o vetor de distancia vezes produção. Então multiplicamos a matriz A pela x para obter a menor distacia.
No passo 2 foi apresentado a solução do problema sobre a distancia dos silos d=5.334.
No passo 3 foi criado um algoritmo para determinar o melhor lugar para a construção do silo, e o fator que determinou a escolha do silo.
No passo 4 foi feita a matriz A multiplicada por x,y,z,w e substituindo valor da matriz b, por 7760, 7020, 6480, 7420.
Etapa 4
T: R3 → R3 , T (x, y, z) = ( 3x – y + z, -x + 5y – z, x – y +3z)
	3- ƛ
	-1
	1
	-1
	5- ƛ
	-1
	1
	-1
	3- ƛ
Det (A – ƛI) = 
	5- ƛ
	-1
	-1
	3- ƛ
Desenvolvendo o determinante pela 1º linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos.
	-1
	-1
	1
	3- ƛ
	-1 
	5- ƛ
	1
	-1
 
(3 – ƛ) 
(3- ƛ) (15-8 ƛ + ƛ²-1) + 1(-3 + ƛ + 1) + 1 (1-5 + ƛ) =0
45 - 24 ƛ + 3 ƛ² - 3 - 15 ƛ + 8 ƛ² - ƛ³ + ƛ – 3 + ƛ +1 + 1 – 5 + ƛ = 0
- ƛ³ + 11 ƛ² - 36 ƛ +36 =0
As soluções inteiras, caso existam, são divisoras do termo independente -36. Com as devidas substituições na equação acima, constata-se que ƛ = 2 é uma delas. Consequentemente, ƛ-2 é um fator do polinômio característico ƛ³ - 11 ƛ² + 36 ƛ – 36. Se dividirmos esse polinômio por ƛ – 2, a equação poderá ser apresentada como:
(ƛ-2) (ƛ² - 9 ƛ + 18) = 0
E portanto, as demais raízes são soluções da equação:
ƛ² - 9 ƛ +18 = 0
logo, os valores próprios do operador T são:
ƛ1 = 2
ƛ2 = 3
ƛ3 = 6
O sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos vetores próprios associados é:
( A – ƛI) v = 0
Considerando:
	X
	Y
	Z
V = 
 
O sistema fica:
	3- ƛ
	-1
	1
	 -1
	5- ƛ
	-1
	1
	-1
	3-ƛ
Substituindo ƛ por 2 no sistema, obtem-se os vetores próprios associados a ƛ1 = 2:
	1
	-1
	1
	-1
	3
	-1
	1
	-1
	1
Isto é: 
1x – 1y + 1z = 0
-1x + 3y – 1z = 0
1x – 1y + 1z = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
Z = -x
Y = 0 
Assim, os vetores do tipo V1 = (x, 0, -x) ou V1 = x (1, 0, -1), x ≠0, são vetores próprios associados ƛ1 = 2
Substituindo ƛ poe 3 no sistema obtem –se os vetores próprios associados a ƛ2 = 3:
	0
	-1
	1
	-1
	2
	-1
	1
	-1
	0
Isto é: 
-y + z = 0
-x + 2y – z = 0
X – y = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
Y = x
Z = x
Assim os vetores do tipo V2 = (x,x,x) ou v2 = x(1,1,1), x ≠ 0, são os vetores próprios associados a ƛ2 = 3.
Substituindo ƛ por 6 no sistema, obtem –se os vetores próprios associados a ƛ3 = 6:
	-3
	-1
	1
	-1
	-1
	-1
	1
	-1
	-3
Isto é:
-3x – y + z = 0
- x – y – z = 0
X – y – 3z = 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
Y = -2x
Z = x 
Assim os vetores do tipo v3 = (x, -2x, x) ou v3 = x(1,-2,1), x≠0, são os vetores próprios associados a ƛ3 = 6.
Bibliografia
http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes.phphttp://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/Vetores.php
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear e Geometria Analítica. 1ª ed. São Paulo: Pearson, 2006.