Fluxo Bidimensional - Redes de Fluxo

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MOVIMENTO DE ÁGUA NOS 
SOLOS 
TRAÇADO DE REDES DE FLUXO
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Movimento de Água nos Solos
O estudo do fluxo de água em obras de engenharia é de grande 
importância: 
• visa quantificar a vazão que percola no maciço; 
• controlar o movimento da água através do solo e proporcionar 
uma proteção contra os efeitos nocivos deste movimento 
(liquefação em fundos de valas, erosão, piping, etc).
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FLUXO BIDIMENSIONAL
Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma direção, como no caso dos 
permeâmetros, diz-se que o fluxo é unidimensional. Sendo uniforme a 
areia, a direção do fluxo e o gradiente são constantes em qualquer ponto.
Nos fluxos unidirecionais (vertical ou horizontal), para calcular a vazão de 
percolação através de um solo aplica-se diretamente a lei de Darcy:
Q = v ×A = k × i × A
Quando as partículas de água se deslocam segundo qualquer direção, o fluxo é
tridimensional. A migração de água para um poço é um exemplo de fluxo 
tridimensional de interesse para a engenharia. 
Quando as partículas de água seguem caminhos curvos, mas contidos em 
planos paralelos, o fluxo é bidimensional (caso da percolação pelas 
fundações de uma barragem). 
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PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
Linha de fluxo (ou de corrente): linha que define a trajetória ao longo da qual 
se desloca uma partícula de água através do meio poroso.
Linha equipotencial: linha (perpendicular às linhas de fluxo) que une pontos 
com igual carga hidráulica (energia).
Teorema de Bernoulli:
H: carga hidráulica (m) relativa a um dado N.R.
Z: representa a cota geométrica (m) em relação a um plano horizontal de 
referência.
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2w
u vH Z
gγ= + +
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PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
altura piezométrica (m) (altura de água num tubo piezométeico)
altura cinética (m)
Como a velocidade do fluxo (percolação) nos solos é muito pequena 
Assim, a carga hidráulica total num determinado será:
(a carga hidráulica total é igual à cota piezométrica)
w
w
uh γ=
w
uH Z γ= +
2
2
v
g
2
0
2
v
g
�
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
(a) caminho real das partículas de água; (b) linhas de fluxo idealizadas.
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Perda de carga hidráulica ao longo de uma linha de fluxo
w
uH Z γ= +
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Perda de carga hidráulica ao longo de uma linha de fluxo
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PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
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PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
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PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
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PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
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FLUXO BIDIMENSIONAL
O estudo do fluxo bidimensional é facilitado pela representação 
gráfica dos caminhos percorridos pela água e da 
correspondente dissipação da carga. Esta representação é
conhecida como Rede de Fluxo.
O conceito de rede de fluxo baseia-se na Equação da 
Continuidade, que rege as condições de fluxo uniforme para 
um dado ponto do maciço terroso.
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Equação Diferencial de Fluxos Tridimensionais
Consideremos um elemento de solo 
submetido a um fluxo tridimensional. O 
fluxo tridimensional pode ser decomposto 
nas três, direções ortogonais e considerado 
como a somatória dos três. Numa situação
genérica, consideremos que o coeficiente 
de permeabilidade seja diferente para cada 
uma das direções. Seja h a carga total no 
centro do elemento de dimensões dx, dy e 
dz.
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Equação Diferencial de Fluxos Tridimensionais
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Redes de Fluxo
Uma rede de fluxo ou de percolação representa duas famílias de 
curvas ortogonais entre si, as linhas de fluxo e as linhas 
equipotenciais, que, respeitando as condições de fronteira, 
constitui a solução gráfica para um problema de percolação 
bidimensional.
As linhas de fluxo traduzem a trajetória das partículas de água no 
maciço terroso, quando estas se deslocam de montante (nível 
de energia mais alto) para jusante (nível de energia mais 
baixo).
As linhas equipotenciais são linhas ao longo das quais a carga 
hidráulica é constante. Se for colocado um piezômetro em 
qualquer ponto de uma dada linha equipotencial, a coluna de 
água no piezômetro sobe sempre até ao mesmo nível.
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Rede de Fluxo 
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
• A fundamentação teórica para resolução de problemas de fluxo 
de água foi desenvolvida pelo físico alemão Forchheimer e 
difundida por Casagrande (1937). 
• O fluxo de água através do meio poroso é descrito por uma 
equação diferencial (equação de Laplace), bastante conhecida 
e estudada, pois se aplica a outros fenômenos físicos, como 
exemplo, fluxo elétrico.
• O processo consiste em traçar, na região em que ocorre o 
fluxo, dois conjuntos de curvas conhecidas como Linhas de 
Fluxo e Linhas Equipotenciais. 
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
Seja o problema simples de 
uma amostra de areia em um 
permeâmetro. 
O corpo de prova representado 
tem 12cm de altura, 8cm de 
largura e l cm na direção 
perpendicular ao desenho. 
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
• na face inferior, a carga 
altimétrica é nula, a carga 
piezométrica é 20 cm e a carga 
total é de 20 cm;
• na face superior, a carga 
altimétrica é de 12 cm, a carga 
piezométrica é de 2 cm e a carga 
total é de 14 cm;
• a diferença de carga, de 6 cm, 
dissipa-se ao longo de 12 cm. O 
gradiente hidráulico, portanto, é
de 0,5,
• a vazão, dada pela Lei de Darcy, 
q = k . I . A, é igual a 0,2 cm3/s 
(0,05 . 0,5 . 8), sendo k = 0,05 
cm/s.
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
• Seja agora o mesmo problema, 
sob o prisma de redes de fluxo. 
Qualquer gota de água que 
penetra na face inferior da areia 
se dirige à face superior segundo 
uma linha reta.
• A esta linha chamamos Linha de 
Fluxo As próprias paredes 
verticais do permeâmetro são 
linhas de fluxo. Traçando 
algumas linhas de fluxo, por 
exemplo, a cada 2 cm de largura, 
formam-se 4 faixas limitadas por 
linhas de fluxo, que recebem o 
nome de Canais de Fluxo. 
• A vazão por cada canal de fluxo é
igual à demais, pois todos têm a 
mesma largura. 
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
• Em qualquer ponto da superfície 
inferior as cargas totais são iguais. 
Pode-se dizer, portanto, que a linha 
que a represesenta é uma Linha 
Equipotencial. 
• Da mesma forma, a linha superior é
uma linha equipotencial. A diferença 
de carga, de 6 cm dissipa-se 
linearmente ao longo da linha de 
percolação. Em todos os pontos, a 2 
cm face inferior, já ocorreu uma 
dissipação de l cm de carga, pois, 
sendo o gradiente igual a 0,5, a cada 
l cm de percurso corresponde uma 
perda potencial de 0,5 cm. 
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
• No caso deste permeâmetro com 
fluxo vertical, qualquer linha 
horizontal indica uma equipotencial. 
• Se traçarmos linhas equipotenciais a 
cada 3 cm a distância total de 
percolação fica dividida em 4 faixas 
de perda de potencial iguais, sendo 
que a perda de potencial em cada 
faixa é de 6/4 = 1,5 cm. 
• Estas linhas equipotenciais formam 
com as linhas de fluxo anteriormente 
traçadas retângulos com 2 x 3 cm. 
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
• A definição básica de que as linhas 
de fluxo devem, determinar canais 
de igual vazão e que as 
equipotenciais devem determinar 
faixas de perda potencial de igual 
valor leva ao fato que, no fluxo 
unidimensional, a rede resultante 
seja constituída de retângulos.
• Entretanto, tanto para o traçado da 
rede como para os cálculos, é
conveniente escolher espaçamentos 
iguais entre as linhas, formando 
quadrados. No exemplo, isto se 
obtém com o traçado de linhas 
equipotenciais a cada 2 cm. 
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
A Rede de Fluxo define portanto:
• Número de canais de fluxo: NF
• Número de faixas de perda de 
potencial:NEQ
• Dimensões de um quadrado 
genérico: b = largura do canal de 
fluxo e l = distância entre 
equipotenciais.
• No exemplo NF = 4, NEQ = 6 e b= l 
= 2 cm para todos quadrados. 
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
Traçada a rede de fluxo, as seguintes informações são obtidas:
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
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Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
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DETERMINAÇÃO GRÁFICA DAS REDES DE FLUXO
• O método consiste no traçado, à mão livre, de diversas 
possíveis linhas de escoamento e equipotenciais, respeitando-
se a condição de que elas se interceptem ortogonalmente e que 
formem figuras “quadradas”. 
• Há que se atender também às “condições limites”, isto é, às 
condições de carga e de fluxo que, em cada caso, limitam a 
rede de percolação. 
• O método exige experiência e prática de quem o utiliza. 
Geralmente, o traçado baseia-se em outras redes semelhantes 
obtidas por outros métodos.
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Sugestões de Casagrande para o traçado das Redes de Fluxo
• observar o aspecto das redes de fluxo bem desenhadas; 
quando a figura estiver bem gravada, tentar reproduzi-la de 
memória;
• para uma primeira tentativa, não traçar mais que 4 ou 5 
vias de fluxo, pois a preocupação com maior número 
poderá desviar a atenção de outros detalhes importantes;
• não tentar acertar detalhes antes que a rede, como um todo, 
se apresente aproximadamente correta;
• notar sempre que todas as transições, entre trechos retos e 
curvos das linhas, são suaves e de forma elíptica ou 
parabólica. os “quadrados”, em cada via de fluxo, mudam 
gradativamente de tamanho.
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Exemplo de Rede de Fluxo em Cortina de Estacas
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Exemplo de Rede de Fluxo sob Barragem de Concreto
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Exemplo de Rede de Fluxo em Barragem de Concreto
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Exemplo de Rede de Fluxo em Barragem de Concreto
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Exemplo de Rede de Fluxo em Barragem Solo
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EXEMPLOS DE REDES DE FLUXO: 
PERCOLAÇÃO EM FUNDAÇÕES PERMEÁVEIS
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Redes de Fluxo - Exercícios
Determinar a vazão diária de água que ocorre através da 
fundação da barragem abaixo considerando k = 10-4 m/s. 
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Redes de Fluxo - Exercícios
• Canais e linhas de fluxo
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Cálculo da Vazão
Q = k . h . Nf /Nd
Q = 10-4 x 15,4 x 5/14 = 5,5 x 10-4 m3/s (2 m3/hora) ou 
(48 m3/dia) por metro de barragem
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Instabilidade hidráulica
A instabilidade hidráulica pode assumir 2 formas distintas:
• erosão interna (“piping”);
• ruptura hidráulica (ou levantamento hidráulico).
Erosão interna (“piping”): afeta as partículas individuais do solo, 
as quais tendem a ser arrastadas em função da força de 
percolação, inicialmente, a partir da zona de saída da água.
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Instabilidade Hidráulica
Ruptura hidráulica (ou levantamento hidráulico): envolve uma 
massa de solo grande, na zona onde a percolação é ascendente. 
A sua ocorrência depende da relação entre o peso submerso da 
massa de solo (P`) e as forças de percolação (FP) que nela 
atuam.
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Análise de estabilidade à ruptura hidráulica para o fluxo 
bidimensional ascendente em torno de uma cortina
Obs.: o volume de solo a considerar é a largura igual a metade da respectiva 
altura enterrada.
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Exemplo
´ ´ ´ ´ 7,7 6,0 1,73 1,6 3 1,25 1,6 1,25 10
2 2
médiomédio w médio w
ww
D DFS H H Hi H
D
γ γ γ γ
γ γ γγ
⋅ ⋅ ×= = = = = =Δ Δ + Δ × + ×⋅ Δ ⋅ ⋅ ⋅⋅
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Utilização de filtros para aumentar os coeficientes de segurança à
instabilidade de origem hidráulica
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Critérios para a seleção de filtros
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Exemplo
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Exemplo de aplicação de filtro
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Exemplo de aplicação de filtro
	MOVIMENTO DE ÁGUA NOS SOLOS ��TRAÇADO DE REDES DE FLUXO
	Movimento de Água nos Solos
	FLUXO BIDIMENSIONAL
	PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
	PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Perda de carga hidráulica ao longo de uma linha de fluxo
	Perda de carga hidráulica ao longo de uma linha de fluxo
	PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
	PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
	PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
	PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO
	FLUXO BIDIMENSIONAL
	Equação Diferencial de Fluxos Tridimensionais
	Equação Diferencial de Fluxos Tridimensionais
	Redes de Fluxo
	Rede de Fluxo 
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	Movimento de Água nos Solos – Redes de Fluxo
	DETERMINAÇÃO GRÁFICA DAS REDES DE FLUXO
	Sugestões de Casagrande para o traçado das Redes de Fluxo
	Exemplo de Rede de Fluxo em Cortina de Estacas
	Exemplo de Rede de Fluxo sob Barragem de Concreto
	Exemplo de Rede de Fluxo em Barragem de Concreto
	Exemplo de Rede de Fluxo em Barragem de Concreto
	Exemplo de Rede de Fluxo em Barragem Solo
	EXEMPLOS DE REDES DE FLUXO: PERCOLAÇÃO EM FUNDAÇÕES PERMEÁVEIS
	Redes de Fluxo - Exercícios
	Redes de Fluxo - Exercícios
	Cálculo da Vazão
	Instabilidade hidráulica
	Instabilidade Hidráulica
	Análise de estabilidade à ruptura hidráulica para o fluxo bidimensional ascendente em torno de uma cortina
	Exemplo
	Utilização de filtros para aumentar os coeficientes de segurança à instabilidade de origem hidráulica
	Critérios para a seleção de filtros
	Exemplo
	Exemplo de aplicação de filtro
	Exemplo de aplicação de filtro