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Ondas Progressivas
Prof. Karl Marx
9 de Dezembro de 2012
Ondas
As ondas são um fenômeno bastante conhecido em nosso cotidiano. Temos as ondas de rádio, ondas sonoras,
ondas no mar. Como pode-se perceber, as ondas se propagam através de diversos meios, inclusive o vácuo. As
ondas transportam energia e quantidade de movimento, mas sem realizar o transporte de matéria.
Movimento Ondulatório Simples
Uma onda mecânica é causada por uma pertubação do meio. Por exemplo, quando uma corda esticada é
tocada, a pertubação (a alteração no formato) produzida se propaga ao longo da corda como uma onda.
A propagação é o resultado da interação dos segmentos da cordas. Os segmentos da corda se movem no sentido
transversal (perpendicular) da corda, enquanto os pulsos se propagam ao longo da corda.
Classifição das ondas quanto a direção de propagação
Ondas transversais: O movimento do meio é perpendicular a direção de propagação. Por exemplo, ondas em
uma corda, ondas eletromagnéticas.
Ondas longitudinais: O movimento do meio é paralelo a direção de propagação. Por exemplo, as ondas sono-
ras, quando se propagam, as moléculas do ar oscilam, alternadamente comprimindo ou expandindo (rarefazendo) o
ar.
Figura 1: (a) Pulso de onda transversal em uma mola. (b) Onda transversal se propagando para a direita em uma
corda
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Figura 2: Pulso de onda longitudinal em uma mola
Pulsos de onda
Seja um pulso propagando em uma corda, com velocidade v.
No instante t = 0, a forma da corda pode ser representada por uma função y = f(x). Em um instante de tempo
posterior, o pulso está deslocado por vt na corda. Assim a forma da corda é dada por
y = f(x− vt)
Caso o pulso esteja se movendo para esquerda, temos
y = f(x+ vt)
A função y = f(x− vt) é chamada função de onda.
As funções de onda são soluções da chamada “equação de onda”, deduzida através das leis de Newton. Para
uma onda em uma corda, a função de onda representa o deslocamento transversal desta corda. Para ondas sonoras,
a função pode ser o deslocamento longitudinal das moléculas de ar ou a variação de pressão do ar.
Velocidade de propagação das ondas
A velocidade de uma onda depende do meio de propagação. Para pulsos em uma corda, a velocidade depende
da tração (tensão) aplicada na corda. Se FT é a tração e µ a massa específica linear da corda, a velocidade da onda
é
v =
√
FT
µ
Para ondas sonoras em um fluido, a velocidade é dada por:
v =
√
B
ρ
,
onde ρ é a massa específica do meio e B é o chamado módulo volumétrico.
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Exemplo 1
Uma lagarta percorre a corda de um varal, que possui 25m de comprimento e massa de 1,0 kg. A corda é mantida
esticada por um bloco pendurado de 10 kg. Vivian está pendurando uma roupa a 5,0 m de uma das extremidades,
quando vê a lagarta a 2,5 cm da outra extremidade. Ela dá um puxão na corda, enviando um pulso de 3,0 cm de
altura ao encontro da lagarta. Se a lagarta rasteja a 2,54 cm/s, ela conseguirá chegar na extremidade esquerda do
varal antes que o pulso a atinja ?
Ondas Periódicas
Para gerar uma onda periódica, basta sacudir a extremidade de uma corda é sacudida em movimento periódico.
Assim a onda se propaga, e todos os pontos da corda oscilam com o mesmo período.
Ondas harmônicas : São o tipo de onda periódica mais simples, onde cada ponto do meio oscila em movimento
harmônico simples. Todas as ondas periódicas podem ser modeladas como a superposição de ondas harmônicas.
Figura 3: Onda harmônica em determinado instante de tempo.
onde A é a amplitude, λ é o comprimento de onda e v a velocidade de propagação.
Função de onda harmônica unidimensional
Enquanto a onda se propaga, cada ponto oscila em MHS com uma frequência f . Durante um período T , a onda
percorre uma distância λ. Então a velocidade,
v = λ
T
= fλ
A função de onda correspondente a uma onda harmônica viajando com velocidade v no sentido x+
y(x, t) = A sen (kx− ωt)
o argumento (kx− ωt) é a fase da onda, onde k é o número de onda k = 2pi/λ e ω a frequência angular.
A frequencia angular relaciona-se com a frequência e o período T por
ω = 2pif = 2pi
T
Também podemos obter outra expressão para a velocidade:
v = λf = 2pi
k
ω
2pi ,
v = ω
k
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Ondas Sonoras Harmônicas
Estas ondas podem ser geradas por um diapasão ou alto-falante vibrando em MHS. A fonte vibratória faz com
que as moléculas de ar próximas oscilem em MHS em torno de suas posições de equilíbrio. Estas moléculas colidem
com as moléculas vizinhas, e estas também entram em oscilação. Desta forma propagando a onda sonora. A
função de onda que representa os deslocamentos das moléculas em relação às suas posições de equilíbrio:
s(x, t) = s0 sen (kx− ωt)
Estes deslocamentos causam variações na densidade e pressão do ar. Quando a onda se propaga, a pressão do
ar em qualquer posição x varia com a onda de pressão dada por
p = −p0 cos (kx− ωt)
onde p é a pressão menos a pressão de equilíbrio local, e p0 é amplitude de pressão. A amplitude de pressão está
relacionada com a amplitude de deslocamento por
p0 = ρωvs0
onde ρ é a densidade do ar.
Figura 4: (a) Uma onda sonora propagando em um tubo cheio de ar é composta por uma séria de expansões e
compressões periódicas do ar que se deslocam ao longo do tubo. (b) Uma vista horizonral ampliada de uma pequena
parte do tubo. No instante mostrado, o elemento de ar se encontra deslocado de uma distância s para a direita da
posição de equilíbrio. O deslocamento máximo é sm.
Exemplo 2
Sons com frequências entre 20 Hz e 20 kHz são audíveis aos humanos. Se a velocidade do som no ar é 343 m/s,
quais os comprimentos de onda que correspondem às frequências audíveis mais alta e mais baixa?
Exemplo 3
A função de onda y(x, t) = (0, 030m) · sen[2, 2m−1x− (3, 5s−1)t] descreve uma onda harmônica em uma corda.
(a) Em que sentido viaja esta onda e qual é a sua velocidade? (b) Determine o comprimento de onda, a frequência
e o período desta onda. (c) Qual é o deslocamento máximo de qualquer ponto da corda? (d) Qual é a velocidade
máxima em qualquer ponto da corda?
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Ondas Eletromagnéticas
Ondas Eletromagnéticas (EM) incluem luz, ondas de rádio, raios X, microondas, entre outras. Os vários tipos
de onda EM diferem no comprimento de onda e na frequência. Algumas características:
• Estas ondas não requerem um meio de propagação.
• Velocidade de propagação no vácuo c = 3× 108 m/s.
• O comprimento de onda e frequência satisfazem a relação c = λf
As ondas EM são produzidas quando cargas elétricas livres aceleram ou quando elétrons ligados a átomos sofrem
uma transição para estados de energia mais baixos.
Figura 5: O espectro eletromagnético e algumas propriedades.
Transferência de Energia
A potência de uma onda harmônica pode ser obtida considerando o trabalho realizado pela força que um
segmento da corda exerce sobre o segmento vizinho. A expressão obtida é função do tempo:
P = µvω2A2 cos2 (kx− ωt)
Mas se tomarmos uma média no tempo sobre o período T , temos que o valor médio de cos2 (kx− ωt) é 12 . Assim a
potência média em qualquer ponto x da corda é
Pmed =
1
2µvω
2A2
A energia se propaga ao longo da corda esticada com uma velocidade média igual a velocidade da onda v. Assim
a energia média que flui por um ponto da corda é
Emed = Pmed∆t =
1
2µvω
2A2∆t
5
Esta energia se distribui em um comprimento ∆x = v∆t, logo a energia média
Emed =
1
2µω
2A2∆x
Ondas tridimensionais
Ondas geradas por gotas d’água caindo na superfície de um lago, são circulares e bidimensionais. As cristas de
onda formam círculos concêntricos chamados frentes de onda.
Para uma fonte sonora pontual, as ondas se afastem em três dimensões, e as frentes de onda são superfícies
esféricas concêntricas.
O movimento de qualquer conjunto de frentes de onda pode ser indicado por raios, que são linhas orientadas
perpendiculares às frentes deonda.
A uma grande distância da fonte, uma pequena seção da frente de onda pode ser aproximada por uma superfície
plana e os raios são aproximados por linhas paralelas, formando uma onda plana
Intensidade de Onda
A intensidade é a potência média por unidade de área que incide perpendicularmente na direção da propagação.
I = Pmed
A
, unidade SI: W/m2
Uma fonte pontual produz uma frente de onda em forma de superfície esférica. Sua intensidade é dada por
I = Pmed4pir2
Ou seja, a intensidade deste tipo de onda diminui com o quadrado da distância.
Figura 6: Uma fonte pontual S emite ondas sonoras com a mesma intensidade em todas as direções
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Nível de intensidade e sonoridade
A percepção humana da sonoridade varia em boa aproximação com o logaritmo da intensidade. Por isso, usamos
uma escala logarítimica para descrever o nível de intensidade β, que é medido e decibéis (dB), definido por
β = (10 dB) log10
I
I0
O decibel é um número adimensional. Onde, I é a intensidade do som e I0 é o nível de referência, usualmente o
limiar da audição humana:
I0 = 10−12 W/m2
Nesta escala, o limiar da audição corresponde a β = 0 dB e o limiar da dor β = 120 dB.
Limiar da audição 0 db
Murmúrio 20 db
Música Suave 40 db
Conversa comum 65 db
Rua barulhenta 90 db
Avião próximo 100 db
Limiar de dor 120 db
Tabela 1: Exemplos típicos de nível de intensidade (ordens de grandeza)
Exemplo 3
Um isolante acústico atenua o nível de intensidade sonora em 30 dB. Por qual fator a intensidade varia?
Exemplo 4
Um cachorro latindo emite cerca de 1,0 mW de potência acústica. (a) Se a potência é uniformemente em todas
as direções, qual é o nível de intensidade sonora a uma distância de 5,0m? (b) Qual seria o nível de intensidade de
dois cachorros latindo ao mesmo tempo?
Reflexão e Transmissão
Quando uma onda incide sobre uma interface que separa dois meios distintos, parte da onda é refletida e parte
da onda é transmitida.
Figura 7: (a) Um pulso de onda percorrendo uma corda presa a outra corda mais massiva, onde a velocidade é
reduzida. (b) Um pulso de onda percorrendo uma corda presa a outra menos massiva, onde a velocidade da onda
é maior.
As razões entre as alturas dos pulsos definem os coeficientes de reflexão e transmissão :
r = hr
hin
; τ = ht
hin
,
onde hr é a altura do pulso refletido, ht é a altura do pulso transmitido e hin é altura do pulso incidente.
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Dado que a velocidade de propagação da onda depende do meio de propagação. Assim, conhecendo o meio
podemos relacionar as velocidades com os coeficientes r e τ :
r = v2 − v1
v2 + v1
τ = 2v2
v2 + v1
As expressões são conhecidas como relações de Fresnel. Estas são válidas tanto para luz quanto para ondas
sonoras.
Exemplo 4
Dois fios de diferentes massas específicas lineares, que estão soldados um no outro, são submetidos a uma tração
FT . A velocidade da onda no primeiro fio é o dobro daquela no segundo fio. Uma onda harmônica, viajando no
primeiro fio, incide sobre a emenda dos fios. (a) Se a amplitude da onda incidente é A, quais são as amplitudes das
ondas refletida e transmitida? (b) Qual o valor da razão µ2/µ1?
Difração
A difração ocorre quando as ondas passam por um obstáculo (fenda ou objeto) cuja dimensão é da mesma ordem
de grandeza que o seu comprimento de onda (d ∼ λ).
Figura 8: Ondas planas, em um tanque de ondas, encontrando uma barreira com fenda. Depois da fenda, formam-se
ondas concêntricas ao seu redor, como se existisse uma fonte pontual na fenda.
Ultrassom
As ondas ultrasônicas possuem frequências acima de 20 kHz. Devido a seus comprimentos de onda muito
pequenos, feixes estreitos de ondas podem ser emitidos e refletidos por objetos pequenos. Algumas aplicações:
• Morcegos podem emitir e detectar frequências de até 120 kHz (λ = 2,8 mm), que eles usam para localizar
pequenas presas.
• Na medicina, ondas de ultra-som atravessam o corpo humano e informações sobre frequência e intensidade
das ondas transmitidas e refletidas são processadas para construir uma imagem tridimensional do interior do
corpo (sonograma).
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Figura 9: Ondas planas em um tanque de ondas encontrando uma barreira com uma fenda cujo tamanho é grande
comparado a λ. A onda continua, com um leve espalhamento nas regiões próximas as extremidades da fenda.
Efeito Doppler
Quando uma fonte sonora e um receptor estão em movimento relativo, a frequência recebida fr é maior do que
a frequência da fonte sonora ff se a distância entre fonte e receptor está diminuindo, e menor se esta distância está
aumentando.
fr =
(
v ± ur
v ± uf
)
ff
onde v é a velocidade do som no meio, ur é velocidade do receptor e uf é a velocidade da fonte sonora. No ar, a
velocidade do som é 343 m/s.
Figura 10: Ilustração das ondas sonoras emitidas por uma fonte em movimento.
Exemplo 5
A frequência da buzina de um carro é 400 Hz. Se a buzina é tocada quando o carro se move com velocidade uf
= 34 m/s em ar parado, ao encontro de um receptor estacionário. (a) Determine o comprimento de onda do som
que chega ao receptor e (b) a frequência recebida. (c) Determine o comprimento de onda e frequência, quando o
receptor move-se com velocidade ur = 34 m/s ao encontro do carro.
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