1GEO ANALITICA 1ª LISTA COORD DIST PONTOS VETORES 2012

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Escola Politécnica de Pernambuco – POLI / UPE Prof. Cláudio Maciel
Geometria Analítica 
1ª Lista de exercícios: Coordenadas retangulares, Distância entre dois pontos, 
 Vetores em R2 e R3. 
Coordenadas na Reta ( Reta Numérica) 
 Coordenadas sobre uma reta: representar os pontos da reta por meio de números reais, toma-se um desses pontos como origem e associar a ele o número 0 e em seguida escolhe-se uma unidade de comprimento e faz-se corresponder um ponto P à direita e um ponto Q à esquerda deste 0. à direita faz-se corresponder um número real positivo x = d (O,P) e a esquerda um número real negativo x1 = d (O,Q) e assim temos uma reta orientada ao escolhermos um sentido de percurso, chamado positivo e o sentido inverso negativo..
 A esta reta orientada, de origem 0 e uma correspondência biunívoca com o conjunto dos números reais R, chamamos de eixo e o número real x , que corresponde ao ponto P do eixo chama-se coordenada desse ponto. Num eixo, como os números ( x ) são representados por pontos, é costume designá-los por “ ponto x”. 
 Q P
 
 
 x1 0 x 
 Figura 1: x = d(O,P) e x1 = – d(0,Q).
 
Coordenadas no Plano: 
 Aos pontos de um plano também podemos associar coordenadas, tomando-se dois eixos no plano, com a mesma origem e mutuamente perpendiculares → Sistema Cartesiano Ortogonal ou de Eixos ( Cartesiano: De Renatus Cartesius forma latinizada de René Descartes)
 P2 P (x,y)
 y
 
 O x P1 
 Existe uma correspondência, 
, e a cada par (x,y) corresponde um, e somente um, ponto P e a pares distintos correspondem pontos distintos → “ ponto (x,y) “ .
Aplicação: Plotar dispersões e dados tabulares
Tabela: Velocidade classificatória nas 500 milhas de Indianápolis.
 Ano t → Velocidade S (mi/h)
�
193,976
188.975
198,884
202,156
193,736
192,256
200,546
207,004
2007,395
210,029
212,583
216,828
215,390
219,198
223,885
225,301
224,113
232,482
223,967
228,001.�
Plotagem de dispersão de S versus t
 S
235
225
215
205
195
185
 t
 1975 1980 1985 1990 1995 
Gráfico de linhas
 S
235
225
215
205
195
185
 t
 1975 1980 1985 1990 1995 
Gráfico de barras
 S
235
225
215
205
195
185 t 
 1975 1980 1985 1990 1995 
Distância entre dois Pontos
 I ) Sejam P( x1, y1 ) e Q( x2 , y2 ) pontos do R2. 
 
 
II) Sejam P( x1, y1, z1 ) e Q( x2 , y2 , z2 ) pontos do R3. 
 
 
 
Ponto de divisão de um segmento numa razão dada
 Y 
 y2 P2
 y2 – y1
 
 y P N
 x2 – x 
 
 y – y1
 y1 P1 M
 x – x1
 0 x1 x x2 X
 Considere a segmento orientado P1P2 e o ponto P (x,y) um ponto que divide o segmento na razão 
 e dos triângulos semelhantes, temos:
 
 
Exercícios
Um cubo de lado 4 tem seu centro geométrico na origem e suas faces paralelas aos planos coordenados. Esboce o cubo e dê as coordenadas dos cantos.
Mostre que A(4,5,2), B(1,7,3) e C(2,4,5) são vértices de um triângulo eqüilátero.
Mostre que A(2,1,6), B(4,7,9) e C(8,5,-6) são vértices de um triângulo retângulo. Que vértice está no ângulo reto? Determine a área do triângulo.
Calcule a medida da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC. Dados A(0,1), 
 B (2,9) e C (5, -1).
Determine um ponto que dista 20 unidades do ponto A(0,0) e 15 do ponto B(25,0).
Determine o ponto do eixo das abscissas que é eqüidistante dos pontos A(1,-1) e 
 B(5,7).
Obtenha o ponto da bissetriz do 1º quadrante que eqüidista de P(0,1) e A(7,0).
Obter o vértice C de um triângulo retângulo, sabendo que C pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares e que a hipotenusa tem extremidades A(2,1) e B(5,2).
 Determinar o ponto eqüidistante de A(0,1) e B(4,-1) e cuja ordenada é o triplo da abscissa.
Mostrar que o ponto P(2,2,3) é eqüidistante dos pontos Q(1,4,-2) e R(3,7,5).
Determinar, no eixo das ordenadas, um ponto eqüidistante de A(1,1,4) e B(-6,6,4).
Determinar o ponto eqüidistante de A ( 1,7 ), B ( 8, 6 ) e C ( 7, – 1 ).
Calcular o perímetro do triângulo cujos vértices são: A ( – 2 , 5 ), B ( 4, 3 ) e C ( 7, – 2 ).
Obtenha os vértices de um triângulo sendo dados os pontos médios dos lados: M ( a, 0 ), N ( 3a, 0 ) e P ( 2a, a ). 
Para que valores de x o triângulo de vértices A ( - 6, 0 ) , B(0, 6 ) e C( x, - x ) é eqüilátero.
Determinar a equação da circunferência C (x0, y0 ) que passa pelo ponto A (x1, y1 ).
Determinar a equação da circunferência C ( 2, 5 ) que passa pelo ponto A ( 4, 1 ).
Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos, cujas distâncias a A( 2, – 3 , 4 ) são duas vezes maiores que as distâncias a B( – 1 , 2 , – 2 ).
Determine a equação da mediatriz do segmento que une os pontos A( 2, – 1 ) e B( – 4 , 2 ).
Determinar a equação do lugar geométrico, sabendo-se que as somas das distâncias de seus pontos a A( 0, 3, 0 ) e B(0, – 3, 0 ) são iguais a 10.
Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de A( 1, 3, 8 ) , B( – 6 ,– 4,2 ) e C( 3, 2, 1 ). 
Deduzir a equação da esfera de centro C ( x0, y0, z0 ) que passa pelo ponto A( x1, y1, z1 ).
Instituir a equação da esfera de centro em C( 2 , – 2 , 3 ), que passa por A( 7, – 3 , 5 ). 
24) Um ponto móvel P(x,y) se desloca de tal forma que sua distância a C( 2, -1) é sempre igual a 5. 
 Determinar a equação do lugar geométrico descrito.
25) Um ponto P(x,y) que se move de modo que a soma dos quadrados de suas distâncias a A(0,0) 
 e B(2, -4) é sempre igual a 20. Deduzir a equação do lugar geométrico descrito.
26) Um ponto P( x,y) que se move de modo que a soma de suas distâncias aos eixos de 
 coordenadas é igual ao quadradode sua distância à origem. Determinar a equação do lugar 
 gerado pelo ponto.
27) Deduzir a equação do lugar geométrico de um ponto móvel P(x,y), cuja distância ao ponto 
 A( 3 , 2 ) é sempre igual a sua distância ao eixo dos y.
28) Determine a equação da esfera de centro em C( 2, -2, 3 ) tangente ao plano XY.
29) Determinar as coordenadas do centro e o raio da esfera x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 8z = 7.
30) Escreva as equações na forma reduzida
 
 
c) 16x2 –9y2 + 36z2 = 144 d) 16x2 +4y2 + z2 = 16 
e) 36y = 9x2 + 4z2 f) 4z2 –x2 –4y2 = 4
g) 4x2 + 9y2 –9z2 = 0 h) x2 + y2 + z2 = 1 
 i) –4z = x2 + y2 j) y2 + z2 – x2 = 1
l) x2 +4y2 –z2 – 6x + 8y +4z = 0 m) x2 + y2 + z2 + 6x – 4y + 12z = 0
n) x2 + y2 – z2 – 2x + 4y + 5 = 0 o) 9x2 + y2 + 4z2 – 18x + 2y + 16z = 0 
p) z2 = 4x2 + y2 + 8x – 2y + 4z q) 9x2 – 4y2 –54x + 8y + 113 = 0
31) Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto móvel, sabendo que sua distância ao 
 eixo dos z é igual a três vezes sua distância ao ponto ( -1, 2, - 3 ).
32) Determinar as coordenadas do ponto P(x,y), que divide o segmento de extremidades A(1,7) e B (6, - 3) na razão r = 2/3.
 
33) Determinar as coordenadas do ponto P(x,y), que divide externamente o segmento que une A( - 2, 1 ) e B (3, - 4) na razão r = – 8/3 .
34) Seja o triângulo ABC de vértice A(-3,1,4), B(-4,-1,0) e C(-4,3,5). Calcular a medida da altura 
 relativa ao lado BC e calcular sua área.
VETORES
1) Sejam os pontos P(x1 , y2 , z3 ) e Q (x2 , y2 , z2 ). Mostre que 
2) Sejam u = <1,3> , v = <2,1> e w = <4,-1>. Determine o vetor x tal que 
 2u – v + x =7x + w.
3) Determine u e v se u + 2v = 3i – k e 3u – v = i + j + k.
4) Use vetores para determinar o comprimento das diagonais do paralelogramo que tem lados 
 adjacentes i + j e i – 2j.
5) a) Dado que 
, determine todos os valores de k tal que 
 
Dado k = -2 e 
, determine 
.
6) Determine o ângulo entre o vetor u = i –2j + 2k e: a) v = – 3i + 6j + 2k b) w = 2i + 7j + 6k c) z = – 3i + 6j – 6k 
7) Determine o produto escalar dos vetores e o co-seno do ângulo entre eles.
u = i + 2j, v = 6i – 8j
u = -7i – 3j e v = j
u = i –3j + 7k e v = 8i –2j –2k
u = -3i + j + 2k e v = 4i + 2j –5k
8) Determinar um vetor unitário na direção do vetor:
a = 2i –3j +2k
b = i +5j –k 
9) Verificar se os vetores são ortogonais.
u = 7i + 3j + 5k e v = -8i + 4j + 2k
u = 6i + j + 3k e v = 4i – 6k
u = i + j + k e v = - i
u = 4i + j + 6k e v= -3i + 2k
10) Determine k tal que o vetor que parte do ponto A ( 1, -1, 3) a B (3,0,5) é ortogonal ao vetor que parte de A ao ponto P(k,k,k).
11) Prove que 
 
12) Determine u x v , e verifique que é ortogonal a u e v.
u = i + 2j – 3k ; v = -4i + j + 2k
u = 3i = 2j – k ; v = -i –3j + k
u = j –2k; v = 3i – 4k
u = 4i + k ; v = 2i – j
13) Determine dois vetores unitários que são ortogonais aos vetores u = -7i + 3j + k e v = 2i + 4k, simultaneamente.
14) Determine a área do paralelogramo definido por u e v adjacentes.
 a) u = i –j + 2k e v = 3j + k
 b) u = 2i + 3j e v = -i + 2j –2k 
15) Determine a área do triângulo com vértices P, Q e R.
P (1, 5, -2) , Q ( 0, 0, 0) e R ( 3, 5, 1).
P (2, 0, -3) , Q ( 1, 4, 5) e R ( 7, 2, 9)
16) Determine u . ( v x w ) 
u = 2i –3j + k , v = 4i + j –3k, w = j + 5k
u = i –2j + 2k, v = 3j + 2k, w = -4i + j –3k
u = 2i + j, v = i –3j + k, w = 4i + k
u = i, v = i + j , w = i + j + k
17) Calcule o volume do paralelepípedo definido por u, v e w adjacentes.
u = 2i –6j + 2k, v = 4j –2k, w = 2i +2j –4k 
u = 3i + j + 2k, v = 4i + 5j + k, w = i + 2j + 4k
18) Verificar se os vetores situam-se no mesmo plano.
u = i –2j + k, v = 3i –2k , w = 5i – 3j
u = 5i –2j + k, v = 4i –j + k, w = i – j 
u = 4i –8j + k, v = 2i + j –2k, w = 3i –4j 12k
19) Sejam a = <2, 5, -3> e b = < -4, 1, 7> , determine:
 a) a + b b) 2a –3b c) 
 d) 
20) Dados os vetores a = ( 3, -4, 2) e b = ( -2, 3, 4), encontre vetores unitários, sendo um com a mesma direção de a e o outro de b.
21) Esboce os vetores a, b, 2 a , -3b , a + b e a – b, para:
 a) a = 2i + 3j + 4k b = i –2j +2k 
 b) a = -i + 2j + 3k b = -2j + k
22) Determine os valores de c para que os vetores a e b sejam ortogonais.
 a) a = ci –2j + 3k b = ci + cj –5k 
 b) a = 4i + 2j + ck b = i + 22j – 3ck
23) Dados os pontos P ( 3, -2, -1) , Q (1, 5, 4) , R ( 2, 0 ,-6) e S ( -4, 1, 5), calcule.
 
24) Mostre que os vetores são paralelos.
 a) a= – 6i – 10j + 4k b = 3i + 5j – 2k
 b) a = 2i – j + 4k b = – 6i +3j – 12k 
25) a) Determine um vetor normal ao plano definido por P, Q e R.
 b) Calcule a área do triângulo PQR. 
I ) P ( 4,0,0) , Q ( 0, 5, 0) e R ( 0, 0, 2)
II ) P ( -1, 2, 0) ,Q ( 0,2,-3) e R ( 5, 0, 1)
III ) P ( 3, 1, -2) , Q ( 2,5,1) e R ( -1, 4, 2)
26) Calcule o volume da caixa de lados adjacentes AB AC e AD
 a) A (2, 1, -1) , B (3, 0, 2) , C( 4, -2, 1) e D ( 5, -3, 0)
 b) A ( 0,1,3) , B ( -1, 3, 4) , C ( 0, 4,0) e D ( 2,-3, 1)
27) Resolver o sistema 
, sendo 
 
28) Dados os vetores u = < 1, 2, 0 >, v = < 3, -2, 4 >, w = < -1, -2, 3 > e os escalares a = 3 e b = 2 
 Verificar as propriedades:
 Soma: Produto 
 1a) u + v = v + u 1 b) ( ab) u = a (bu)
 2 a) ( u + v) + w = u + ( v + w ) 2 b) ( a + b ) u = au + bu
 3 a) u + 0 = u 3 b) a ( u + v ) = au + av
 4 a) u + ( - u) = 0 4 b) 1. u = u 
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