Limites Aula 01

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08/08/2010
1
Introdução ao conceito 
de Limites
Adalberto Santos
f(x) = x + 1
2)( xxf = f(x) = x + 1
( )
( 
 
 )
f(x) = x + 1
x x + 1 
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
0,9999 1,9999
0,99999 1,99999
..... .....
À ESQUERDA
( )
( 
 
 )
f(x) = x + 1
( )
( 
 
 )
x x + 1
1,1 2,1
1,01 2,01 
1,001 2,001
1,0001 2,0001
1,00001 2,00001
..... ......
À DIREITA
08/08/2010
2
f(x) = x + 1
x x + 1 
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
0,9999 1,9999
0,99999 1,99999
..... .....
x x + 1
1,1 2,1
1,01 2,01 
1,001 2,001
1,0001 2,0001
1,00001 2,00001
..... ......
À ESQUERDA À DIREITA
O conceito de limite é a ideia
fundamental do Cálculo. Dele depende
todos os outros conceitos que serão
apresentados durante a disciplina.
O que está por trás do conceito de limite
é a ideia de proximidade, vizinhança.
Conclusão:
Quando x se aproxima de 1, tanto pela direita
como pela esquerda, f(x) se aproxima de 2.
Usamos a seguinte simbologia:
x se aproxima de 1 ⇔⇔⇔⇔ x →→→→ 1
f(x) se aproxima de 2 ⇔⇔⇔⇔ f(x) →→→→ 2
ou
2)1x(lim
1x
====++++
→→→→
)22(lim
1
+−
−→
x
x
Exemplos sobre limites de 
funções polinomiais 
Exemplo 01
4)2x2(lim
1x
=+−
−→
2
0x
xlim
→→→→
0x 2
0x
lim ====
→→→→
A partir dos exemplos anteriores podemos
concluir que se f(x) é uma função
polinomial, o limite da função para x →→→→ a
corresponde a f(a).
n1n
1n
1
n
0 axa....xaxa)x(fSe
:eformalmentMais
++++++++++++++++====
−−−−
−−−−
)))) )a(faaa....aaaa()axa....xaxa(então n1n1n1n0n1n1n1n0
ax
lim ====++++++++++++++++====++++++++++++++++ −−−−−−−−−−−−−−−−
→→→→
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3
1x2x)a 2
1x
lim ++++−−−−
→→→→
xx)b 2
2x
lim ++++
−−−−→→→→
9x)c 2
0x
lim −−−−
→→→→
1x
1x2
1x
lim
−−−−
−−−−
→→→→
Qual o ? 
Será que a função se aproxima de algum 
valor quando x →→→→ 1?
x x
0,9 1,9 1,1 2,1
0,99 1,99 1,01 2,01
0,999 1,999 1,001 2,001
0,9999 1,9999 1,0001 2,0001
0,99999 1,99999 1,00001 2,0000
1
..... ..... ..... ......
1
12
−
−
x
x
1
12
−
−
x
x
Para todos os valores de x diferentes
de 1 temos que as funções
são iguais.
1 x ;1x
1x
)1x)(1x(
1x
1x2
≠≠≠≠++++====
−−−−
++++−−−−
====
−−−−
−−−−
1x)x(ge
1x
1x)x(f
2
++++====
−−−−
−−−−
====
Isso por que: Quando calculamos o limite de uma
função quando x →→→→ a, não estamos
preocupados com o valor da função no ponto a,
mas com o valor para o qual ela se aproxima,
quando x se aproxima de a.
2)1x(
1x
1x limlim
1x
2
1x
====++++====
−−−−
−−−−
→→→→→→→→



<<<<−−−−
≥≥≥≥
====
0x se ;1
0x se ;1)x(f
Função definida por várias sentenças.
a) Qual o valor de f(0) ?
b) Para que valor a função se aproxima se x 
se aproxima de 0 pela esquerda?
c) Para que valor a função se aproxima se x 
se aproxima de 0 pela direita?



<<<<−−−−
≥≥≥≥
====
0x se ;1
0x se ;1)x(f
O que você conclui sobre ?)x(flim
0x→→→→
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O exemplo nos mostra que apesar da
função estar definida no ponto 0 não existe
limite da função quando x →→→→ 0. Isto porque
quando x →→→→ 0 pela direita f(x) se aproxima
de 1 e quando x se aproxima de 0 pela
esquerda a função se aproxima de – 1.
• x →→→→ a+ para indicar que x se aproxima de a por
valores maiores que a ( ou pela direita )
• x →→→→ a– para indicar que x se aproxima de a por
valores menores que a ( ou pela esquerda
• Para indicar o limite de f(x) quando x se
aproxima de a pela direita – limite lateral à direita
• Para indicar o limite de f(x) quando x se
aproxima de a pela esquerda – limite lateral à
esquerda.
)x(flim
ax ++++→→→→
)x(flim
ax −−−−→→→→
1)x(flim
0x
====
++++→→→→
1)x(flim
0x
−−−−====
−−−−→→→→
Neste caso dizemos que não
existe pois os limites laterais são
distintos.
L)x(f)x(fL)x(f limlimlim
axaxax
========⇔⇔⇔⇔====
−
−−
−++++ →→→→→→→→→→→→
CONCLUSÃO!!!