Limites indeterminados

Prévia do material em texto

UNIFACS - Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo I Semestre: 2013.2 
 
AULA 3: Cálculo de Limites Indeterminados 0/0 
OBJETIVO : Calcular limites indeterminados pelo método de fatoração ou racionalização 
 
A) Limites indeterminados pelo método de fatoração: 
Exemplo 1: 
0
0
561
341
 
5x6x
3x4 x
lim
2
2
1x







que é uma indeterminação! 
Fatorações (Bhaskara): x2-4x+3=(x-1)(x-3) ; x2-6x+5=(x-1)(x-5) 
Logo, 
2
1
4
2
)5x(
 )3x( 
lim
)5x)(1x(
 )3x( ) 1- x( 
lim 
5x6x
 3x4 x 
lim
1x1x2
2
1x













 
 
Exemplo 2: 
0
0
4-4
8-8
 
4x
8 x
lim
2
3
2x




 que é uma indeterminação! 
Numerador (Ruffini) x3-8=(x-2)(x2+2x+4) ; Denominador: x2-4=(x-2)(x+2) 
Logo, 
3
4
12
)2x
 )4x2x 
lim 
)2x)(2x(
 )4x2x( 2)- x( 
lim 
4x
8 x
lim
2
2x
2
2x2
3
2x










 
Exercício 1: Usando fatoração (método de Bhaskara ou Ruffini) calcule os seguintes limites: 
a) 
..........
)(
)(
lim 
))((
))((
lim 
6x5x
3x4 x
lim
3x3x2
2
3x




 
b) 
..........
)(
)(
lim 
))((
))((
lim 
1x
3x4 x
lim
1x1x3
2
1x




 
c) 
..........
)(
)(
lim 
))((
))((
lim 
4x
4x6 x
lim
1x1x2
3
2x




 
 
B) Limites indeterminados pelo método de racionalização e/ou fatoração: 
Exemplo 3: 
0
0
1212
24
 
12x3
2x
lim
4x







, indeterminação! 
Solução: 
12
1
)2x(3
1
lim
)2x)(4x(3
4x
lim 
2x
2x
 
12x3
2x
lim 
12x3
2x
lim
4x
cancelando
4x4x4x














 
Exemplo 4: 
0
0
44
39
 
4x
31x4
lim
22x







, indeterminação! 
Solução: 
6
1
64
4
)31x4)(2x)(2x(
)2x(4
lim
)31x4)(4x(
9)1x4(
lim 
31x4
31x4
 
4x
31x4
lim 
4x
31x4
lim
2x22x22x22x


















 
Exercício 2: Use o conjugado e/ou fatoração para calcular os limites abaixo: 
a) 
.......... lim 
4)1x(
)21x)(3x(2
lim 
21x
21x
 
21x
6x2
lim 
21x
6x2
lim
3x3x3x3x













 
b) 
...............lim
)31x2)(4x(2
)(
lim 
31x2
31x2
 
8x2
31x2
lim 
8x2
31x2
lim
4x4x4x4x













 
Respostas: a) 8 b) 
6
1
 
1 0 0 -1 
1 0 -6 4 
Ruffini´s