ENGEST 022 cee22

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São Carlos, v.7 n. 22 2005 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Reitor: 
Prof. Titular ADOLFO JOSÉ MELFI 
 
Vice-Reitor: 
Prof. Titular HÉLIO NOGUEIRA DA CRUZ 
 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
 
Diretor: 
Prof. Titular FRANCISCO ANTONIO ROCCO LAHR 
 
Vice-Diretor: 
Prof. Titular RUY ALBERTO CORREA ALTAFIM 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 
 
Chefe do Departamento: 
Prof. Titular CARLITO CALIL JÚNIOR 
 
Suplente do Chefe do Departamento: 
Prof. Titular SÉRGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA 
 
Coordenador de Pós-Graduação: 
Prof. Associado MÁRCIO ROBERTO SILVA CORRÊA 
 
Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico: 
MARIA NADIR MINATEL 
e-mail: minatel@sc.usp.br 
 
Editoração e Diagramação: 
FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO 
MASAKI KAWABATA NETO 
MELINA BENATTI OSTINI 
TATIANE MALVESTIO SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos, v.7 n. 22 2005 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas 
Escola de Engenharia de São Carlos – USP 
Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 – Centro 
CEP: 13566-590 – São Carlos – SP 
Fone: (16) 3373-9481 Fax: (16) 3373-9482 
site: http://www.set.eesc.usp.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO 
 
 
 
Análise de radies simples e estaqueados via combinação método dos 
elementos finitos com o método dos elementos de contorno 
Ângelo Vieira Mendonça & João Batista de Paiva 1 
 
O método dos elementos de contorno aplicado à análise não linear de placas 
Gabriela Rezende Fernandes & Wilson Sergio Venturini 29 
 
Uma formulação do método dos elementos de contorno com três parâmetros 
nodais em deslocamentos para placas delgadas e suas aplicações a 
problemas de engenharia estrutural 
Luttgardes de Oliveira Neto & João Batista de Paiva 61 
 
Uma formulação do método dos elementos finitos aplicada à análise 
elastoplástica de cascas 
Arthur Dias Mesquita & Humberto Breves Coda 89 
 
Estudo das estruturas de membrana: uma abordagem integrada do sistema 
construtivo, do processo de projetar e dos métodos de análise 
Maria Betânia de Oliveira & Roberto Luiz de Arruda Barbato 107 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 22, p. 1-28, 2005 
ANÁLISE DE RADIÊS SIMPLES E ESTAQUEADOS 
VIA COMBINAÇÃO MÉTODO DOS ELEMENTOS 
FINITOS COM O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE 
CONTORNO 
Ângelo Vieira Mendonça1 & João Batista de Paiva2 
 
Resumo 
Neste trabalho é apresentada uma formulação em que é analisado o comportamento da 
interação placa-estaca-solo via combinação do MEC com o MEF. A placa é 
representada pelo método dos elementos finitos utilizando os elementos de 9 
parâmetros DKT (Discrete Kirchhoff Theory) e HSM (Hybrid Stress Model). O solo é 
representado pelo método dos elementos de contorno. Cada estaca é representada por 
um único elemento de contorno, na qual estão discretizados 4 pontos nodais. A tensão 
cisalhante, que age no fuste, é assumida ter uma distribuição quadrática. A tensão 
normal, que age na base da estaca, é assumida ter distribuição uniforme na área da 
mesma. Ambos os métodos, MEC e MEF, promovem dois sistemas algébricos distintos, 
necessitando-se que haja uma transformação em um deles, a fim de que seja possível a 
representação algébrica, tanto da placa como do solo, em um único sistema global de 
equações lineares. 
 
Palavras-chave: Método dos elementos finitos; método dos elementos de contorno; 
fundações; estacas. 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 O solo tem sido alvo de inúmeras pesquisas, já que cumpre um papel importante 
na concepção e na definição final em projetos de engenharia civil e áreas correlatas. 
 Um dos parâmetros relevantes do solo a ser determinado é o recalque devido ao 
carregamento da estrutura. Parte deste recalque está associado à deformação elástica, 
portanto, podendo ser obtido a partir da teoria da elasticidade. Dentre os vários modelos 
existentes na literatura, podem-se aludir a três clássicos: modelo de Winkler, modelo de 
dois parâmetros e modelo do meio contínuo. Vários trabalhos foram publicados em que 
o modelo de Winkler foi usado para modelar a interação solo-estrutura: CHILTON & 
WEKEVER(1990), BOLTON(1972), CALDERÓN(1991), MANZOLI(1992), YUNG 
& WANG(1991). 
 
1 Prof. Adjunto do Departamento de Estruturas do CTU/UEL, a.v.mendonca@uel.br 
2 Prof. Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, paiva@sc.usp.br 
Ângelo Vieira Mendonça & João Batista de Paiva 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 22, p. 1-28, 2005 
2
 BADIE & SALMON(1996) apresentam um estudo em que o solo é representado 
pelo modelo de dois parâmetros, assim como é levado em conta a fricção entre a base da 
estrutura e o solo. 
 Com relação ao estudo da interação solo-estrutura, em que o solo é representado 
por um meio contínuo tridimensional utilizando métodos analíticos e diferenças finitas 
podem ser encontrados nos trabalhos de CHAKRATORTY & GOSH(1975), ZAMAN 
et al.(1988). 
 Já os trabalhos de CHEUNG & NAG (1968), HEMSLEY(1990-a,b) fazem um 
estudo utilizando o método dos elementos finitos para análise da interação placa-solo. 
MESSAFER & COATES(1990) desenvolveram uma formulação em que o método dos 
elementos finitos é associado ao método dos elementos de contorno para a análise deste 
problema. FATEMI-ARDAKANI(1987), PAIVA(1993), CALDERÓN(1996) 
desenvolveram formulações para a análise desse problema em que tanto o solo como a 
placa são analisados pelo método dos elementos de contorno. 
Em relação a interação estaca-solo alguns trabalhos podem ser mencionados 
como: POULOS & DAVIS (1968) é apresenta uma formulação onde são escritas as 
equações integrais para cada um desses elementos, considerando-se a influência do solo e 
das outras estacas do grupo, supondo-se que apenas a tensão de cisalhamento atua ao longo 
do fuste de cada estaca. 
 BUTTERFIELD & BANERJEE (1971) estenderam esta formulação incluindo 
também o efeito da tensão radial, o que permite a compatibilização de deslocamentos nesta 
direção. 
 O problema envolvendo a situação em que a placa-estaca-solo está trabalhando 
conjuntamente podem ser encontrados em DAVIS & POULOS (1972), BUTERFILED & 
BANERJEE (1971b), mas nessas formulações a placa é considerada rígida. Poucos 
trabalhos foram desenvolvidos onde a placa é considerada de rigidez finita, podendo-se 
citar o de BROWN & WIESNER(1975) para a análise de uma longa sapata flexível 
apoiada em estacas. Nessa formulação, entretanto, são utilizadas as simplificações da 
teoria de vigas e a reação do solo é suposta constante em toda largura da sapata. Em 
FATEMI-ARDAKAMI(1987) é apresentada também uma formulação do método dos 
elementos de contorno para o estudo deste problema. Nessa formulação, inicialmente, é 
estudada a interação das estacas com o solo com o objetivo de se determinarem as 
rigidezes das estacas que posteriormente são tratadas como vínculos elásticos concentrados 
sobre os quais a placa está apoiada. Em POULOS & DAVIS(1980) é apresentada uma 
formulação para a análise da interação entre uma placa rígida e um grupo de estacas em 
que são consideradas as interações entre o solo, a placa e as estacas, sendo que a 
contribuição das estacas é obtida de modo semelhante à formulação proposta POULOS & 
MATES(1971) para grupo de estacas isoladas; É feito um estudo paramétrico da interação 
do solo com um grupo de duas unidades placa-estaca, onde a placa é circular e 
considerada rígida. A partir dos resultados obtidos o método é aplicado ao estudo da 
interação de uma placa rígida apoiada sobre estacas, considerando-se a superposiçãoelástica da influência de todas as estacas tomadas duas a duas. Posteriormente HAIN & 
LEE(1978) estenderam essa formulação para a análise da interação entre placas flexíveis e 
estacas e a aplicaram à análise de problemas genéricos. 
 Pode-se destacar também o trabalho apresentado em POULOS(1994) à análise da 
interação placa-estaca solo, no qual, como no trabalho de FATEMI, as estacas são 
representadas por molas, obtidas a partir de um programa para a análise da interação 
estaca-solo. 
 PAIVA & TRONDI(1996) apresentaram uma formulação onde o conjunto 
placa-estaca-solo é modelado via MEC onde todas as interações envolvidas são 
Análise de radiês simples e estaqueados via combinação método dos elementos finitos ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v.7, n. 22, p. 1-28, 2005 
3
consideradas simultaneamente. A placa pode ser tanto rígida como flexível. As estacas 
são rígidas e representadas por um elemento de contorno . As reações do solo são 
admitidas variando linearmente no domínio dos elementos de contorno e as tensões na 
estaca são escritas como uma tensão equivalente no topo desta, possibilitando que o 
sistema final de equações seja escrito apenas em função dos nós que estão discretizados 
na superfície do solo. 
 
A formulação desenvolvida no presente trabalho incorpora todas as hipóteses 
admitidas em PAIVA & TRONDI(1996), só que as estacas são admitidas serem 
flexíveis. É apresentado a influência da flexibilidade axial das estacas na matriz obtida a 
partir das representações algébricas descritas para o conjunto estaca-solo. 
 Neste trabalho apresenta-se uma formulação à análise deste problema onde 
a placa é modelada pelo MEF e o solo pelo MEC, onde os elementos finitos utilizados são 
o DKT (Discrete Kirchhoff Theory) e o HSM (Hybrid Stress Model). Em relação a 
representação do solo e das estacas a formulação desenvolvida no presente trabalho 
incorpora todas as hipóteses admitidas em PAIVA & TRONDI(1996), só que as estacas 
são admitidas serem flexíveis. É apresentado a influência da flexibilidade axial das 
estacas na matriz obtida a partir das representações algébricas descritas para o conjunto 
estaca-solo. 
 
 
2 SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA O SOLO 
 A representação integral desse problema incorpora a solução fundamental de 
Boussinesq-Cerruti, e para o caso em que as forças de volume são desprezadas, pode ser 
escrita como: 
 u u p s p s d si ij j= ∗∫
Γ
Γ( , ) ( ) ( ) , (i,j=1,2,3) (1) 
 Onde: 
 u p sij
∗ ( , ) é a solução fundamental em deslocamento devida a uma carga unitária 
aplicada no ponto p na direção i e com reposta no ponto s na direção j. 
 pj é a força de superfície na direção j. 
 
 O problema analisado restringe-se a carregamentos aplicados normalmente à 
superfíce do semi-espaço, o que necessita que apenas o deslocamento vertical seja 
compatibilizado nesta formulação. Com isso, a representação integral do problema (1) 
pode ser simplificada para: 
 u u p s p s d s3 33 3= ∗∫
Γ
Γ( , ) ( ) ( ) (2) 
 Implementando-se a discretização da equação integral (2), obtém-se: 
 u u p s p s d s
el
el
n
3 33 3
1
= ∗∫∑
Ω
Ω( , ) ( ) ( ) (3) 
 Onde:Ωel é o domínio do elemento de contorno ; n: é o número de elementos 
de contorno que compõem o contorno Γ. 
 
É admitido que as forças de superfície sofrem variação linear no domínio dos 
elementos de contorno triangulares, de forma que podem ser escritas como: 
Ângelo Vieira Mendonça & João Batista de Paiva 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 22, p. 1-28, 2005 
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 [ ]p pp
p
i
j
k
3 1 2 3=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ε ε ε (4) 
Onde: 
ε ε ε1 2 3, , são coordenadas adimensionais otidas a partir de coordenadas 
retangulares conforme indicados em PAIVA(1993). 
pi j k, , p p são as forças de superficie nodais definidas nos nós do triângulo. 
 
 Após efetuar o cálculo das integrais indicadas em (3) para todos os elementos, 
obtém-se a representação algébrica do solo dada por: 
 H U G Ps s s s
~ ~ ~ ~
= (5) 
 Onde: 
 Ps
~
, Us
~
são os vetores que contêm as forças de superfície e os deslocamentos de 
todos os nós dos elementos de contorno discretizados na superfície do solo. 
 
 
3 SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA O CONJUNTO ESTACA-SOLO 
Existem diversos fatores que interferem no comportamento real do conjunto 
estaca-solo, dentre eles, podem-se citar: 
 a) Propriedades físicas do solo e da estaca. 
 b) Tipo de execução da estaca. 
 c) Espaçamento das estacas. 
 d) Ordem de cravação. 
e) Nível de carregamento aplicado. 
 
 A formulação apresentada, neste trabalho para análise numérica do problema, 
incorpora apenas a influência de alguns fatores através de hipóteses simplificadoras, a 
saber: 
 a) A estaca é admitida trabalhando no regime elástico linear. 
 b) É admitido que as estacas estão totalmente imersas em um semi-espaço, 
elástico linear, homogêneo e isótropo . 
 c) A perturbação devido à presença das estacas no espaço semi-infinito é 
desprezada. 
 d) O solo e as estacas estão livres de tensões iniciais decorrentes da instalação 
das mesmas. 
 e) A superfície das estacas são admitidas rugosas, de forma que inibe o 
deslizamento na região da superfície de contato estaca-solo. 
 f) As forças volumétricas são desprezadas. 
 g) As estacas estão sujeitas apenas a carregamentos verticais. 
 
O deslocamento vertical de um ponto p pertencente ao problema elástico aqui 
representado, isto é, superfície do semi-espaço interagindo com as estacas, pode ser 
escrito como: 
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u p u p d u d u di pi i bi
bipii
np
3 33 3 33 33
1
( ) = + +
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
∗ ∗ ∗
=
∫ ∫∫∑
Γ ΓΓ
Γ Γ Γτ σ (6) 
Onde: 
u33
∗ : é a solução fundamental em deslocamento para uma carga unitária aplicada 
no ponto-fonte na direção vertical e com resposta no ponto-campo na direção 
vertical. 
p3 : é a força de superfície externa aplicada na direção vertical. 
np: é o número de estacas 
Γ : é uma sub-região do contorno do semi-espaço onde p3 está definido. 
Γ Γpi bi e : são o contorno do fuste e da base da estaca i, respectivamente. 
 Como neste problema, as tensões das estacas estão aplicadas no interior 
do espaço semi-infinito, portanto, a solução fundamental utilizada é a de 
Mindlin. 
 A representação integral para o conjunto estaca-solo pode ser escrita 
matricialmente como: 
 u U Pd U d U dk pk k bk
k
np
bpk
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
= + +
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
∗ ∗ ∗
=
∫ ∫∫∑
Γ ΓΓ
Γ Γ Γ τ σ
1
 (7) 
 Onde: 
 U
~
: é o vetor que representa os deslocamentos no contorno Γ . 
 P
~
: é o vetor que representa as forças de superfíce no contorno Γ . 
 τ σk k
~ ~
, : são os vetores que representam as tensões cisalhantes do fuste e as 
tensões normais da base da estaca k, respectivamente. 
 
 Implementando-se a discretização da representação integral (7), obtém-se: 
 u U d U dT p k
np T
b k
np
k
np
p b
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
=
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ +
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
+∗ ∗
=
∫ ∫∑ θ τ λ σΓ Γ
Γ Γ1
U d PT
i
n
i
n∗
=
∫∑ ⎡⎣⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥~ ~ ~Γ
Φ Γ
1
 
(8) 
 Onde: 
 τ σ
~ ~
,
k
np
k
np : são os valores nodais das tensões cisalhantes e normais na estaca k, 
respectivamente. 
 Pn
~
: é o vetor das forças de superfície nodais dos elementos. 
 θ λT T T
~ ~ ~
, , Φ : são as funções interpoladoras para as tensões cisalhantes, tensões 
normais, forças de superfície, respectivamente. 
 
 Neste trabalho é admitido que um único elemento de contorno linear representa 
cada estaca eas tensões de cisalhamento são assumidas variarem quadraticamente ao 
longo do fuste, sendo definidos três nós funcionais para representá-las, de forma que 
funções interpoladoras podem ser escritas como: 
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6
 
( )
( )
θ
θ
θ
η η
η η
η η
p
p
p
1
2
3
2
2
2
1
2
9 9 2
9 6
1
2
9 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
− +
− +
−
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
 (9) 
 Onde: 
 η = z
L
 
 (10) 
 Onde : 
 z : representa a cota de um ponto genérico pertencente à estaca e o 
comprimento da estaca. 
 L: é o comprimento da estaca. 
 
As tensões normais na base das estacas são admitidas com distribuição uniforme 
na área da mesma, sendo representadas por um quarto nó. 
 
 
 Figura 1 - Representação das funções interpoladoras na estaca. 
 
 Os resultados do cálculo das integrais na estaca K e no elemento i do contorno 
do semi-espaço, podem ser representados por: 
 h U df
k T
pk
p~ ~ ~
= ∗∫
Γ
Γθ (11) 
 
 h U db
k T
bk
b~ ~ ~
= ∗∫
Γ
Γλ (12) 
 
 h U dcel
i T
~ ~ ~
= ∗∫
Γ
Φ Γ (13) 
 
 O sistema algébrico, que explicita a contribuição de cada elemento do conjunto 
solo-estaca, poder ser expresso por: 
 
Análise de radiês simples e estaqueados via combinação método dos elementos finitos ... 
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7
 U h h h Pf
k
k
np
b
k
k
np
k
np
cel
i
i
n
i
n
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
= +⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ +
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥= =∑ ∑τ σ1 1 (14) 
 
 Ou 
 
 U LT
~ ~ ~
= (15) 
 
 U
~
: é o vetor que contém os deslocamentos nodais discretizados na superfície do 
semi-espaço e nas estacas. 
 T
~
: é o vetor que contém as forças de superfície nodais referentes à superfície do 
semi-espaço e as tensões nodais discretizadas nas estacas. 
 L
~
 : é a matriz de correlação entre U
~
 e T
~
 
O sistema algébrico (15) pode ser dividido em duas partes: a primeira 
envolvendo os deslocamentos dos pontos discretizados na superfície do semi-espaço UΓ
~
 
e segunda parte contém os pontos discretizados sobre a estaca Up
~
,isto é: 
 
U
U
R Q
q r
P
p p
Γ Γ
~
~
~ ~
~ ~
~
~
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟τ (16) 
 
 O vetor Up
~
pode ser expandido de forma a explicitar a contribuição de cada 
estaca, isto é: 
 
 
U
U
U
R Q Q
q r r
r r r
P
p
k
p
p
k p
k kk kp
p pk pp
p
k
p
p
Γ Γ
~
~
~
~ ~ ~
~ ~ ~
~ ~ ~
~
~
~
M
M
L L
M M M
L L
M M M
L L
M
M
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1 1
τ
τ
 (17) 
 
 Explicitando apenas as linhas da matriz L
~
 referente à estaca k, no sistema 
dado por (17) tem-se que: 
 
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8
 
M
M
M
M M M
L L L
M M M
L L L
M M M
u
u
u
u
u
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
mi
p
p
p
p
mi mp m,p m,p m,p
qi qp q p q p q p
ri rp r p r p r p
si sp s p s p s p
ti tp t p t p t p
1
2
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
⎡
⎣
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
M
M
M
pmi
τ
τ
τ
σ
1
2
3
 (18) 
 
 Como é assumido que a estaca está sujeita a apenas carregamentos 
verticais, a deformação axial de um ponto genérico, situado numa altura z da estaca, é 
dada por: 
 
 u
F
A Ez
z
p p
3, = − (19) 
 
 Onde : 
 F R J d J dz b p p p p=
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ +
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ +
⎧
⎨⎪
⎩⎪
∫ ∫2 1
1
1 2
1
2π θ η τ θ η τη η
θ η τ σ
η p p b b
J d A3
1
3∫
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎫
⎬⎪
⎭⎪
+ (20) 
 
 Onde: 
 Fz: é a força de compressão que atua em uma altura z da estaca 
 Ap: é a área transversal da estaca 
 Ep: é o módulo de elasticidade longitudinal da estaca. 
 Rp: é o raio da estaca. 
 J: é o jacobiano 
 
 Os deslocamentos dos pontos discretizados sobre a estaca podem ser 
representados: 
 u
F
E A
dzz
p pz
3 = −∫ (21) 
 
 Integrando (21) e impondo-se a condição de contorno u up3 = quando z = 0 , 
obtém-se a expressão do deslocamento axial da estaca. Escrevendo então esta expressão 
para os quatro pontos nodais localizados na estaca obtém-se: 
 
 
u
u
u
u
f
f
f
f
u
u
u
u
p
p
p
p
p
p
p
p
1
2
3
1
2
3
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
 
 (22) 
 
 Onde: 
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9
 u up p, , , u up1 p32 : são os deslocamentos no topo, no fuste e na base da estaca. 
As funções fi são dadas por: 
 
 f Kf1
4 3 21
4
3
8
3
4
1
2
= − + −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟η η η η (23) 
 
 f Kf2
4 33
4
= −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟η η (24) 
 
 f Kf3
4 33
4
3
8
1
4
= − +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟η η η (25) 
 
 f Kb4 = η (26) 
 
 K
L
E Rf p b
= 2
2
 (27) 
 
 K
L
Eb p
= (28) 
 
 η assume os valores 0, 1/3, 2/3, 1 quando o ponto fonte estiver sobre os 3 nós do 
fuste e sobre o nó da base, respectivamente. 
 
 Ao incorporar-se o sistema dado em (22) ao sistema (18), tem-se um novo 
sistema algébrico, isto é: 
 
 
M
M
M
M M M
L L L
M M M
L L L
M M M
u
u
u
u
u
b b b b b
b b b b
b b b b
b b b b
b b b b
mi
p
p
p
p
mi mp m,p m,p m,p
qi q p q p q p
ri rp r p r p
si sp s p s p
ti tp t p t p
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
1 2 3
1 1 2 3
2 2 3
1 3 3
1 2 4
α
α
α
α
, , ,
, ,
, ,
, ,
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
M
M
M
p mi
τ
τ
τ
σ
1
2
3
 (29) 
 
 Onde: 
 
 α1 1= −b fq p, (29a) 
 
 α2 1 2= −b fr p, (29b) 
 
 α3 2 3= −b fs p, (29c) 
 
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10
 α4 3 4= −b ft p, (29 d) 
 Escrevendo-se (29) na forma inversa, as linhas da matriz L−1
~
, referentes à 
estaca k , pode ser expressa por: 
 
 
M
M
M
M M M
L L L
M M M
L L L
M M M
p a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
mi mi mp m p m p m p
qi qp q p q p q p
ri rp r p r p r p
si sp s p s p s p
ti tp t p t p t p
τ
τ
τ
σ
1
2
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
M
M
M
u
u
u
u
u
mi
p
p
p
p
 (30) 
 
 A representação integral da carga transmitida à estaca é dada por: 
 
 P u d u dE
p
p p
b
b b= +∫ ∫33 33* *
Γ Γ
Γ Γτ σ (31) 
 
 A tensão no topo da estaca pode ser obtida pela divisão de (31) pela área da baseda mesma: 
 
 σ τ τ τ σE I j k bC C C C= + + +1 2 3 4 (32) 
 
 Onde: 
 C R
A
J L
R
b
b
p
b
1 1
0
1
2
= =∫π θ η d (32a) 
 
 C R
A
Jb
b
p2 2
0
12 0= =∫π θ η d (32b) 
 
 C R
A
J L
R
b
b
p
b
3 3
0
1 3
2
= =∫π θ η d (32c) 
 
 C4 1= (32d) 
 
Análise de radiês simples e estaqueados via combinação método dos elementos finitos ... 
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11
 As linhas da matriz L−1
~
 , correspondentes à estaca k, podem ser multiplicadas 
respectivamente por constantes c1,c2,c3,c4 assim como as linhas do vetor τ
~
. Quando for 
feita a soma das linhas correspondentes à estaca k , e ainda substituindo a equação (30) 
no vetor τ
~
, obtém-se: 
 
M
M
M
L L
M
M
M
σE qp pa u
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
∗ (33) 
 
 Repetindo o processo para todas as estacas, o sistema de equações pode ser 
escrito como: 
 
 
p
p
p
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
n
E
k
E
p
n k p
n k k
n n nn nk pk
k k kn kk kp
p p pn pk pp
1
2
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
M
M
M
L L
M M M
L L
M M M
L L
σ
σ
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
⎥⎥⎥⎥
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
u
u
u
u
u
n
p
k
p
p
1
2
M
M
M
 (34) 
 
Com isso, as equações que eram escritas para os pontos nodais localizados ao 
longo da estaca foram transformadas em equações equivalentes escritas apenas em 
função do ponto nodal do topo das estacas. Após este rearranjo no sistema de equações, 
a representação algébrica do conjunto estaca-solo pode expressa num sistema de 
equações semelhante ao do solo dado em (5). 
 
 
4 SISTEMA DE EQUAÇÕES PARA A PLACA 
A placa é analisada pelo método dos elementos finitos utilizando os elementos 
DKT( Discrete Kirchhoff Theory) e o HSM( Hybrid Stress Model), cujas formulações 
podem ser encontradas em BATOZ et al. (1980). Os parâmetros nodais finais 
envolvidos na formulação de ambos elementos finitos são representados por duas 
rotações e uma translação em cada vértice do triângulo conforme indicados na figura 2. 
 
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12
 
Figura 2 - Parâmetros nodais finais do elementos finitos DKT e HSM 
 
 As forças presentes no sistema placa-solo são mostrados na figura 3 
 
 
 Figura 3 - Forças presentes na interação placa-solo. 
 
 O funcional da placa, com a contribuição do carregamento transversal externo e 
da reação do solo, pode ser escrito como: 
 π π= − +∫ ∫p g x y w x y d p x y w x y d( , ) ( , ) ( , ) ( , )
Ω Ω
Ω Ω 
 (35) 
 Ou na forma discretizada como: 
π π= − +∫∑p el
el
nel
g x y w x y d( , ) ( , ) Ω
Ω1
 p x y w x y d el
el
nel
( , ) ( , ) Ω
Ω
∫∑
1
 (36) 
 Onde nel é o numero de elementos de contorno e Ω el é o domínio de um 
elemento de contorno, respectivamente. 
 
 Convém ressaltar que tanto para a placa quanto para a superfície do solo, utiliza-
se a mesma discretização, de maneira que os elementos finitos e os elementos de 
contorno são idênticos em número e na geometria. 
 Computando a contribuição de um elemento finito, pode-se escrever (36), 
matricialmente, como: 
 Π1 12= − +U K U U F U Q Pc
T
c c c
T
c c
T
c
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
 (37) 
 Onde: 
 Uc
~
: é o vetor dos deslocamentos de um elemento finito contendo tanto os 
provenientes de rotação, quanto os de translação . 
 Kc
~
: é a matriz de rigidez de placa referida à um elemento finito 
 Fc
~
: é o vetor das forças nodais equivalentes em um elemento finito proveniente 
do carregamento transversal externo. 
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13
 Uc
~
: é o vetor dos deslocamentos de um elemento de contorno contendo apenas 
deslocamentos de translação. 
 Pc
~
: é o vetor das forças de superfície da interface placa-solo de um elemento de 
contorno. 
 Q
~
: é a matriz de transformação. 
 
 Devido à ausência dos deslocamentos de rotação em Uc
~
 e a inexistência 
qualquer força associada à rotação em Pc
~
, fazem com que esses vetores tenham ordem 
menor que Pc
~
e Fc
~
. Com a finalidade de compatibilizar a ordem dos vetores Uc
~
 e Pc
~
 
com Uc
~
e Fc
~
, respectivamente., inserem-se zeros em Q
~
, que passa a ser denominada 
Q
~
 . Com isso, pode-se escrever Uc
~
como um vetor igual a Uc
~
, e Pc
~
 como Pc
~
, isto é: 
 { }U W W WcT i x i x i j x j x j k x k x k
~
= φ φ φ φ φ φ1 2 1 2 1 2 (38) 
 { }P p p pcT i j k
~
= 0 0 0 0 0 0 (39) 
 Após as expansões, acima mencionadas, pode-se escrever (37) como: 
 π1 12= − +U K U U F U Q Pc
T
c c c
T
c c
T
c
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
 (40) 
 Fazendo-se a somatória da contribuição de todas as células, seguida da 
minimização do funcional de energia, obtém-se: 
 K U F Q P
~ ~ ~ ~ ~
= − (41) 
 Onde: 
 U
~
: é o vetor dos deslocamentos composto por todos os nós dos elementos 
finitos. 
 F
~
: é o vetor das cargas nodais equivalentes oriundo do carregamento externo e 
composto por todos os nós dos elementos finitos. 
 P
~
: é o vetor expandido das forças de superfície devido à reação do solo e 
composto por todos os nós dos elementos de contorno 
 K
~
: é a matriz de rigidez global da placa. 
 Q
~
: é a matriz de transformação expandida relativa à contribuição de todos os 
elementos de contorno. 
 
 
 
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14
5 DETERMINAÇÃO DE Q
~
 
• Conjunto placa-solo 
 O trabalho das cargas externas, para um único elemento finito, pode ser 
expresso em coordenadas adimensionais como: 
 T g w dAe
A
= ∫ ( , , ) ( , , )ε ε ε ε ε ε1 2 3 1 2 3 (42) 
 Onde: 
 ( ) ( )w ε ε ε ε ε ε1 3 1 3, g , 2 2, , , são as funções interpoladoras do 
deslocamento e do carregamento externo distribuído no domínio do elemento , 
respectivamente; e A é a área do elemento 
 
 Em ambos elementos, isto é, DKT e HSM, para efeito de cálculo do vetor 
de cargas nodais, a função interpoladora dos deslocamentos, assim como para as forças 
de superfície será admitida variando linearmente no domínio, conforme indicada na 
figura 4 e podendo ser expressa por: 
 w w w wi j k= + +ξ ξ ξ1 2 3 (43) 
 
Analogamente, as forças de superfície podem ser expressas por: 
 
 g g g gi j k= + +ξ ξ ξ1 2 3 (44) 
 
 
 
 Figura 4 - Variação linear do deslocamento transversal e da força de superfície 
no interior do elemento finito. 
 
 Substituindo-se (44) ,(43) em (42), obtém-se: 
 ( )( )T g g g w w w dAe i j k
A
i j k= + + + +∫ ξ ξ ξ ξ ξ ξ1 2 3 1 2 3 (45) 
 Ao minimizar-se a energia potencial devida às cargas externas, pode-se 
escrever: 
 
F
F
F
T
w
T
w
T
w
dA
g
g
g
i
j
k
e
i
e
j
e
k
A
i
j
k
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟∫
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
1
2
1 2 1 3
1 2 2
2
2 3
1 3 2 3 3
2
 (46) 
 A integral do tipo ( )f dA
A
ξ ξ ξ1 2 3, ,∫, pode ser calculada como: 
 ( )ξ ξ ξ
η η η
η η η
η η η
1
1
2
2
3
3 1 2 3
1 2 3
2
2A
dA A∫ = + + +
! ! !
!
 (47) 
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15
 Com isso, o vetor de cargas nodais pode ser dado por: 
 
 
F
F
F
Q
g
g
g
i
j
k
i
j
k
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟~ (48) 
 
 Onde: 
 Q
A
~
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥12
2 1 1
1 2 1
1 1 2
 (49) 
 
• Sistema placa-estaca-solo 
 
 No sistema placa-estaca-solo pode ser adotado o mesmo procedimento de 
combinação utilizado no sistema placa-solo, diferindo-se apenas nos valores dos 
elementos da matriz de transformação. Quando uma estaca está presente na célula 
algumas regiões da mesma deixa de desenvolver forças de superfície. 
Supondo que a estaca esteja locada no nó 1 da célula j, uma alternativa consiste 
em eliminar os elementos da matriz que contribuem com o nó 1. O setor de círculo do 
topo da estaca que está em contato com a célula j, mostrado na figura 5, contribui na 
matriz de transformação na diagonal principal na posição Q11 . 
Com isso, a matriz de transformação , quando há presença de estaca na célula, 
pode ser escrita como: 
 
Q A
R
A
b
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
2
6 1 1
0 2 1
0 1 2
2
φ
 (50) 
 
 
 
Figura 5 - Nó com presença de estaca. 
 
 Onde: 
 A: Área do elemento de contorno 
 Rb: Raio da estaca 
 φ: Ângulo central do setor de círculo 
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16
6 ACOPLAMENTO MEF-MEC 
 As representações algébricas obtidas , mediante a discretização da placa 
pelo MEF e da discretização do solo pelo MEC, requerem que sejam acopladas , de 
forma a eliminar as incógnitas devido as forças de superfície de contato placa-solo, 
permitindo que o sistema algébrico do conjunto seja resolvido, uma vez que as 
incógnitas remanescentes são apenas as referentes aos deslocamentos dos nós 
funcionais. 
A combinação entre o MEF e o MEC podem ser obtidas de algumas maneiras, 
dentre elas, podem-se citar: 
 a) Tratar a região discretizada em elementos de contorno como elemento finito 
equivalente. Esta técnica consiste em montar uma matriz de rigidez equivalente advinda 
da região discretizada em MEC. 
 b) Tratar a região discretizada em elementos finitos como elemento de contorno 
equivalente. 
 Como um dos objetivos deste trabalho é a influência do solo na matriz de rigidez 
da estrutura, a primeira técnica é a que será implementada na formulação. 
 Seja Ω1 a superfície de uma placa discretizada em elementos finitos e Ω2 a 
superfície do solo discretizada em elementos de contorno, figura 6. 
 
 
 Figura 6 - Regiões discretizadas em MEC e MEF 
 
O sistema algébrico (5) pode ser escrito como: 
 P M Us s=
~ ~
 (51) 
 Onde: 
 M G H
~ ~ ~
= −1 (52) 
 A matriz H
~
 é igual a matriz identidade, já que a superfície é suposta livre de 
forças de superfície, portanto, (52) pode ainda ser escrita como: 
 M G
~ ~
= −1 (53) 
 Adicionando-se linhas e colunas de zeros em G
~
−1 , Us
~
 pode ser escrito como 
U
~
. Com isso, a partir de (51) e (53), obtém-se: 
 
 P G U
~ ~ ~
= −1 (54) 
 Onde: 
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17
 G −1
~
: é a matriz G −1
~
 após a expansão. 
 Substituindo-se (21) em (17), obtém-se: 
 K U F Q G U
~ ~ ~ ~ ~ ~
= − −1 (55) 
Reagrupando-se a representação algébrica (55), tem-se que: 
 
 K U F2
~ ~ ~
= (56) 
 Com: 
 
 K K Q G2
1
~ ~ ~ ~
= + − (57) 
 Onde K2
~
é a matriz de rigidez do sistema placa-solo após combinação do MEC 
com o MEF. 
 
 
7 AVALIAÇÃO NUMÉRICA 
• Interação placa-solo 
 
 Neste problema admite-se uma placa apoiada sobre o meio semi-infinito 
elástico linear, contínuo, homogêneo e isótropo. 
A geometria da placa é quadrada, cujos lados medem L= 12m e com espessura 
t=0.1 m, está apoiada sobre o solo, que possui módulo de elasticidade Es=0,26∗106 
kN/m2 e módulo de Poisson νs=0,3. Um fator de rigidez relativa entre a placa e o solo é 
apresentado em CHEUNG & ZIENKIEWICZ(1965), a saber: 
 X
E
E
a
t
s
p
= ⎛⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟180
3
π ; a L= ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟6 (58) 
 A placa quadrada foi analisada assumindo três valores para o fator de rigidez 
relativa X , de forma que placas com diferentes rigidezes podem ser representadas. A 
malha utilizada para discretizar a placa e a superfície do solo contém 128 elementos 
triangulares, conforme ilustrado pela figura 7. 
 
 
 
 Figura 7 - Malha utilizada na modelagem e os tipos de carregamentos analisados. 
 
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18
 A análise envolvendo uma placa quadrada apoiada sobre o solo simula o 
problema de um carregamento uniformemente distribuído aplicado sobre uma placa 
com rigidez intermediária com módulo de elasticidade correspondente a 
Log X = 1.08 . As figuras 8 a 11 ilustram o desempenho obtido por esta formulação 
representando os momentos fletores, deslocamentos, reação do solo. 
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1,2 1,5 2,4 3 3,6 4,5 4,8 6
D (m)
[M
x/
g]
 (m
²)
DKT-MEC
HSM-MEC
Paiva (1993)
M. & C. (1990)
 
 Figura 8 - Momentos na direção x ao longo de A-B em uma placa com rigidez 
intermediária sujeita a um carregamento uniformemente distribuído. 
 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1,2 1,5 2,4 3 3,6 4,5 4,8 6
D (m)
[M
y/
g]
 (
m
²)
DKT-MEC
HSM-MEC
Paiva (1993)
M. & C. (1990)
 
 Figura 9 - Momentos na direção y ao longo de A-B em uma placa com rigidez 
intermediária sujeita ao carregamento uniformemente distribuído. 
Análise de radiês simples e estaqueados via combinação método dos elementos finitos ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v.7, n. 22, p. 1-28, 2005 
19
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1,2 1,5 2,4 3 3,6 4,5 4,8 6
D (m)
[w
/g
]*
 1
.0
E+
6 
(m
³/ 
kN
)
DKT-MEC
HSM-MEC
Paiva (1993)
M. & C. (1990)
 
 Figura 10 - Deslocamentos verticais ao longo de A-B em uma placa com rigidez 
intermediária sujeita a um carregamento uniformemente distribuído. 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1,2 1,5 2,4 3 3,6 4,5 4,8 6
D (m)
p/
g
DKT-MEC
HSM-MEC
Paiva (1993)
M. & C. (1990)
 
 Figura 11 - Reação do solo ao longo de A-B em uma placa flexível sujeita a um 
carregamento uniformemente distribuído. 
 
• Interação entre um grupo de estacas e o solo 
 
 A análise estaca-solo consiste em problemas que apenas as estacas estão em 
contato com o solo. Para simular os casos em que ocorrem tais problemas, é admitido 
que as estacas, pertencentes a um mesmo grupo de estacas, estão ligadas entre si por 
um bloco rígido, que por sua vez, não tem contato com a superfície do solo. As figuras 
12 e 14 ilustram a existência de uma altura livre entre bloco rígido e a superfície do 
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20
solo. Nas figuras 13 e 15 são indicados os resultados obtidos por esta formulação assim 
como os obtidos a BUTTERFIELD & BANERJEE(1971a) cuja formulação considera atensão de cisalhamento ao longo do fuste constante para cada 1 dos 16 elementos de 
contorno discretizados na estaca. Convém antes da apresentação das figuras, que 
ilustram o comportamento de 1 e 2 estacas isoladas, definir um fator Kp que relaciona a 
carga aplicada sobre as estacas e o deslocamentos de seus respectivos topos, isto é: 
 K P
G wDp s
= (60) 
 
 Onde: 
 P: é a carga aplicada sobre a estaca. 
 D: é o diâmetro da estaca. 
 Gs:é o módulo de elasticidade transversal do solo. 
 
 A relação entre o módulo de elasticidade longitudinal da estaca e o módulo de 
elasticidade transversal do solo 
E
G
p
s
 é assumida igual a 6000. 
 
 
Figura 12 - Esquema representativo de uma estaca isolada no semi-espaço. 
Ep/Gs=6000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
L/D
P/
(G
W
D
)
DKT-MEC
B. & B. (1971)
 
 Figura 13 - Relação carga-deslocamento de uma estaca flexível isolada em função de 
seu comprimento. 
Análise de radiês simples e estaqueados via combinação método dos elementos finitos ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v.7, n. 22, p. 1-28, 2005 
21
 
 
 Figura 14 - Esquema representativa de duas estacas isoladas no semi-espaço. 
Ep/Gs=6000
0
5
10
15
20
25
30
35
10 20 30 40
L/D
P/
(G
W
D
)
DKT-MEC
B. & B. (1971)
 
 Figura 15 - Relação carga-deslocamento de duas estacas flexíveis isoladas em função de 
seus comprimentos. 
 
 Este mesmo exemplo de duas estacas foi analisado considerando-se o contato 
entre a placa rígida e o solo. Com isso, o módulo da placa é admitido assumir um valor 
infinito. Nas figuras16 e 17 estão indicadas a malha e a relação carga-deslocamento. 
Nesta última figura Kp é dado pela expressão (60). Pode-se observar concordância dos 
resultados da formulação proposta com os fornecidos por BUTTERFIELD & 
BANERJEE(1971b). 
 
 
Figura 16 - Malha utilizada na placa rígida em contato com o solo e apoiada sobre 2 estacas. 
Ângelo Vieira Mendonça & João Batista de Paiva 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 22, p. 1-28, 2005 
22
.
Ep/Gs=6000
0
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100
L/D
P/
(G
W
D
)
DKT-MEC
B. & B. (1971 b)
 
 Figura 17 - Relação carga-deslocamento para um bloco rígido apoiado sobre estacas 
flexíveis. 
 
 
• Interação placa-estaca-solo 
 
 A análise da interação placa-estaca-solo engloba as demais interações discutidas 
até aqui. Dois tipos de problemas foram analisados: o primeiro considera um dos lados 
da placa muito maior que o outro. O caso que representa esta situação é uma sapata 
longa apoiada sobre 4 estacas.. O terceiro tipo envolve a análise de placa circulares com 
geometria aproximadas por segmentos de reta. O exemplo analisado foi uma placa 
circular apoiada sobre 4 estacas. 
A sapata longa tem dimensões 25X2.5X0.079 m, módulo de elasticidade 
longitudinal Ep=2X1010 N/m2, coeficiente de Poisson νp=0.3. O solo tem coeficiente de 
deformação longitudinal E=2X106 N/m2 e coeficiente de Poisson ν=0.5 . A malha 
utilizada na discretização do problema possui 96 elementos finitos modelando a sapata e 
outro igual número de elementos de contorno modelando a interface placa-solo e estão 
ilustrados na figura 18. Um carregamento unitário uniformemente distribuído está 
aplicado em toda superfície da sapata. Nas figuras 19 e 20 constam os resultados 
obtidos por esta formulação assim como os contidos em PAIVA (1993) que discretizou 
a interface sapata-solo em 96 elementos de contorno. Pode-se observar uma boa 
concordância entre os resultados obtidos. 
 
Análise de radiês simples e estaqueados via combinação método dos elementos finitos ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v.7, n. 22, p. 1-28, 2005 
23
 
 
Figura 18 - Esquema representativo da sapata longa apoiada sobre quatro estacas. 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 1,5625 3,125 4,6875 6,25 7,8125 9,375 10,9375 12,5
D (m)
[w
/g
]*
1.
0E
+6
 (
m
³/k
N
)
DKT-MEC
HSM-MEC
Paiva (1993)
 
Figura 19 - Desloc. ao longo da linha A-B em uma sapata longa sobre 4 estacas rígidas. 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 1,5625 3,125 4,6875 6,25 7,8125 9,375 10,9375 12,5
D(m)
[w
/g
]*
1.
0E
+0
6 
(m
³/k
N
)
DKT-MEC
HSM-MEC
Paiva(1993)
e 
Figura 20 - Deslocamentos ao longo da linha C-D em uma sapata longa sobre quatro estacas 
rígidas. 
Ângelo Vieira Mendonça & João Batista de Paiva 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 22, p. 1-28, 2005 
24
 
 Nas figuras 21 e 22 são indicados resultados obtidos considerando-se as estacas 
flexíveis. 
Ep/Gs=6000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 1,5625 3,125 4,6875 6,25 7,8125 9,375 10,9375 12,5
D(m)
[w
/g
]*
10
E+
6 
(m
³/k
N
)
DKT-MEC
HSM-MEC
 
Figura 21 - Deslocamentos ao longo da linha A-B, em uma sapata longa sobre quatro estacas 
flexíveis. 
Ep/Gs=6000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
0 1,5625 3,125 4,6875 6,25 7,8125 9,375 10,9375 12,5
D(m)
[w
/g
]*
1.
0E
+6
 (m
³/k
N
)
DKT-MEC
HSM-MEC
 
Figura 22 - Deslocamentos ao longo da linha C-D, em uma sapata longa sobre quatro estacas 
flexíveis. 
 
 
 A placa circular com diâmetro 16.0 m e espessura (0.10 m). Suas 
propriedades consistem de um módulo de elasticidade E=2.0 1010 kN/ m2 e de um 
coeficiente de Poisson υ =0.2. As propriedades físicas do solo apresenta um módulo de 
elasticidade Es=2.0 106 kN/m2 e um coeficiente de Poisson υs=0.5. As estacas possuem 
Análise de radiês simples e estaqueados via combinação método dos elementos finitos ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v.7, n. 22, p. 1-28, 2005 
25
comprimentos iguais a 15.0 m e diâmetros iguais a 0.30 m. Quando analisadas como 
flexíveis, as estacas foram admitidas terem um módulo de elasticidade Ep=4.0 109 
kN/m2. A malha utilizada possui 184 elementos finitos triangulares modelando a placa e 
outro igual número de elementos de contorno triangulares modelando a interface placa-
solo mostrada na figura 23 e 24.Os resultados da análise estão indicados na figura 25. 
 
 
Figura 23 - Dimensões e esquema representativo da placa circular apoiada sobre 4 
estacas. 
 
 
 
 
 
Figura 24 - Malha de elementos finitos e de contorno utilizada na modelagem placa 
circular apoiada sobre quatro estacas. 
 
Ângelo Vieira Mendonça & João Batista de Paiva 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 22, p. 1-28, 2005 
26
3
3,5
4
4,5
5
5,5
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0
D (m)
w
* 1
.0
E+
6 
(m
)
DKT-MEC
HSM-MEC
DKT-MEC (flex.)
HSM_MEC (flex.)
 
Figura 25 - Deslocamentos ao longo da linha A-B em uma placa circular apoiada sobre 4 estacas 
rígidas e flexíveis. 
 
 
8 CONCLUSÕES 
 Neste trabalho foi apresentada uma formulação híbrida utilizando o método dos 
elementos de contorno/método dos elementos finitos para análise da interação placa-
estaca-solo. A placa é modelada pelo MEF utilizando os elementos finitos DKT( 
Discrete Kirchhoff Theory) e HSM( Hybrid Stress Model) e o solo é modelado pelo 
MEC como um meio elástico semi-infinito. A interface placa-solo é dividida em 
elementos de contorno triangulares coincidentes com a malha de elementos finitos e 
admite-se que a tensão de contato desenvolvidas na interface placa-solo varie 
linearmente no domínio de cada elemento. Cada estaca é representada por um único 
elemento de contorno, no qual estão discretizados 4 pontos nodais. A tensão cisalhante 
que ageno fuste é assumida ter uma distribuição quadrática. A tensão normal que age 
na base da estaca é assumida ter distribuição uniforme na área da mesma. 
As tensões de contato são eliminadas nos dois sistemas de equações, obtidos 
com o MEC e o MEF, com o objetivo de escrever um sistema final de equações 
governantes do problema. Após a resolução deste sistema são obtidos os deslocamentos 
nos nós , a partir dos quais, as tensões de contato placa-solo e a carga absorvida por 
cada estaca são determinados. A simulação numérica da interação placa-solo, estaca-
solo, placa-estaca-solo. Os resultados obtidos pela formulação proposta são mais 
concordante com PAIVA(1993), que analisou o conjunto unicamente pelo MEC. 
Quanto à a maior dispersão obtida em relação aos resultados encontrados em 
MESSAFER & COATES(1990), que utilizaram uma combinação MEF/MEC pode ser 
atribuído os resultados menos precisos fornecidos pelo elemento ACM quando 
comparados ao DKT e HSM. 
 No caso da interação estaca-solo, a flexibilidade axial das estacas afeta apenas 
os termos da matriz L
~
 associados aos nós discretizados ao longo do fuste e da base da 
estacas. Uma das vantagens dessa formulação é que ela utiliza um único elemento para 
representar satisfatoriamente a influência da flexibilidade axial das estacas no 
Análise de radiês simples e estaqueados via combinação método dos elementos finitos ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v.7, n. 22, p. 1-28, 2005 
27
comportamento estaca-solo. Os exemplos numéricos apresentados indicam uma boa 
coerência com os resultados publicados por BUTTERFIELD & BUNERJEE (1971). 
 
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 22, p. 29-60, 2005 
O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 
APLICADO À ANÁLISE NÃO-LINEAR DE PLACAS 
Gabriela Rezende Fernandes 1 & Wilson Sergio Venturini 2 
 
Resumo 
Neste trabalho, desenvolve-se uma formulação linear de placas através do Método dos 
Elementos de Contorno, baseada na teoria clássica de Kirchhoff, onde a integração 
numérica, sobre os elementos do contorno, é feita considerando-se a técnica de sub-
elementos. Estende-se essa formulação à análise não-linear de placas de concreto 
armado, através da inclusão de um campo de momentos iniciais, onde as integrais de 
domínio são calculadas aproximando-se o campo de momentos iniciais em células 
internas. Consideram-se dois modelos constitutivos para o concreto: um elasto-
plástico, onde o critério utilizado é o de Von Mises, sem considerar resistência à 
tração, enquanto que o outro é o modelo de dano de Mazars. A distribuição das tensões 
é aproximada, em uma seção qualquer da placa, por pontos discretos, que seguindo um 
esquema gaussiano, permite a integração numérica para o cálculo dos esforços. Em 
cada ponto, considerado ao longo da espessura, verifica-se o modelo constitutivo 
adotado. Numa primeira aproximação, considera-se que a linha neutra é definida pela 
superfície média da placa e, numa aproximação seguinte, a posição da mesma é 
calculada de tal forma que a força normal resultante seja nula. 
 
Palavras-chave: Método dos elementos de contorno; análise não-linear; flexão de 
placas. 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
Grande parte dos problemas em engenharia apresenta complexidade na 
geometria do sólido ou é constituído de materiais cujas leis constitutivas são bastantes 
complexas. Assim sendo, as soluções analíticas dos mesmos, que correspondem às 
soluções exatas, são praticamente impossíveis de serem obtidas, sendo então necessário 
a obtenção de soluções aproximadas através de métodos numéricos, onde faz-se também 
simplificações nas leis constitutivas dos materiais e na geometria do sólido. 
O objetivo do trabalho proposto é apresentar modelos, quer seja elastoplástico 
ou de dano, que representem bem o comportamento do concreto armado, para a análise 
não-linear de flexão simples de placasdelgadas de concreto armado, através do Método 
dos Elementos de Contorno (MEC). 
 
1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, gabrf1@bol.com.br 
2 Prof. Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, venturin@sc.usp.br 
Gabriela Rezende Fernandes & Wilson Sérgio Venturini 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,v. 7, n. 22, p. 29-60, 2005 
30
A formulação de placas utilizada é baseada na teoria de Kirchoff, onde a solução 
não-linear do problema é obtida considerando-se um modelo baseado no processo dos 
momentos iniciais, utilizando-se o Método de Newton-Raphson Modificado. 
A distribuição não-linear das tensões ao longo da espessura da placa, é obtida 
através de um modelo estratificado, onde se impõe que a força normal resultante no 
concreto armado deve ser nula. Para o concreto, serão considerados dois modelos bi-
dimensionais: o modelo de dano de MAZARS (1984) e o modelo elastoplástico com 
encruamento isótropo negativo, usando o critério de Von-Mises, onde será considerado 
que o concreto tem resistência somente à compressão. Para a armadura será considerado 
um modelo elastoplástico unidimensional com encruamento isótropo positivo. 
A integração numérica será feita através da fórmula da quadratura de Gauss, 
onde será usada a técnica de sub-elementos, a fim de se obter uma melhor precisão nos 
resultados. 
 Os elementos do contorno serão lineares, sendo que os deslocamentos e esforços 
nos mesmos serão aproximados por uma função polinomial do segundo grau. Os 
momentos iniciais no contorno e no domínio da placa serão aproximados por funções 
lineares definidas em células internas. 
Este trabalho representa o início de um programa mais completo para a análise 
de pavimento de edifícios, tabuleiro de pontes e outros, sendo suficiente para tal a 
imposição de condições internas ao elemento de placa e a associação do mesmo a outros 
elementos estruturais através do acoplamento com o Método dos Elementos Finitos. 
 
2 TEORIA DE PLACAS DEGADAS 
2.1 Relações básicas da Teoria de Kirchhoff 
Placa é um elemento estrutural caracterizado por apresentar duas das três 
dimensões muito grandes em comparação com a terceira e cujo carregamento é 
transversal à sua superfície. Assim, a representação geométrica adotada para a placa é 
bidimensional, sendo os eixos cartesianos x1 x2 definidos em sua superfície média. A 
placa é considerada sujeita à flexão simples, isto é, ela não suporta forças normais, 
sendo submetida apenas à cargas transversais, ou seja, paralelas à x3. 
As hipóteses de Kirchhoff permitem desprezar as deformações de cisalhamento 
transversal, γ 23 e γ 13 , e a tensão normal σ3. Portanto, conclui-se que as componentes 
de tensão τ23 e τ13 são nulas e a deformação ε 3 não será considerada na formulação do 
problema, pois como a componente de tensão σ3 é desprezada, o produto σ3. ε 3 , que 
aparece na equação (24) será sempre nulo. 
Quando o ponto pertence à superfície média da placa, tem-se que u u1 2 0= = 
u 3 = ≠w 0 , sendo que o deslocamento u3 é denominado de flecha w. Os deslocamentos 
u1 e u2, de um ponto de cota x3, e o tensor de deformações são dados por: 
 
 
u x wi i= − 3 , (i = 1,2) (1) 
ε ij ijx w= − 3 , (i, j = 1,2) (2) 
 
 
O método dos elementos de contorno aplicado à análise não-linear de placas 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 22, p. 29-60, 2005 
31
Tem-se um caso de estado plano de tensão o qual, considerando-se a lei de 
Hooke, é dado por: 
 
( ) ( )[ ]σ ν ν δ νij kk ij ijEx w w= − − + −3 21 1, , (i, j, k = 1,2) (3) 
 
onde ν é o coeficiente de Poisson do material, E é o módulo de elasticidade 
longitudinal do material e δij o delta de kronecker. 
 Integrando-se as tensões ao longo da espessura x3, obtêm-se os momentos por 
unidade de comprimento: 
 
( )[ ]M D w wij kk ij ij= − + −ν δ ν, ,1 (i, j, k = 1,2) (4) 
 
onde ( )D
Et= −
3
212 1 ν , representa a rigidez à flexão da placa, sendo t a espessura da 
placa. As curvaturas são dadas por: 
 
( )
−
−
−
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=
−
−
+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
w
w
w
t E
M
M
M
,
,
,
11
22
12
3
11
22
122
12
1 0
1 0
0 0 2 1
ν
ν
ν
 (5) 
 
Considerando-se um carregamento distribuído g e fazendo-se o equilíbrio das 
forças verticais e dos momentos em torno de x1 e x2, obtêm-se duas relações de 
equilíbrio: 
 
Q gi i, + = 0 (i = 1,2) (6) 
M Qij i j, − = 0 (i, j = 1, 2) (7) 
 
Derivando-se a equação (4), obtém-se o esforço cortante e considerando-se as 
equações (6) e (7), obtém-se a equação diferencial de placas em função dos momentos: 
 
Q M Dwj ij i kkj= = −, , (i, j, k = 1,2) (8) 
 M gij ij, + = 0 (i, j = 1,2) (9) 
 
Derivando-se a equação (8) e considerando-se a equação (9), obtém-se a 
equação diferencial de placas em função dos deslocamentos transversais: 
 
w
g
Dkkll
, = (10) 
 
Nos problemas de placas, as incógnitas do contorno são calculadas segundo o 
sistema de coordenadas (n,s), sendo n a direção normal ao contorno e s a direção 
tangencial ao mesmo. Assim, o momento fletor Mnn, o momento volvente Mns e o 
esforço cortante Qn são dados por: 
 
Gabriela Rezende Fernandes & Wilson Sérgio Venturini 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,v. 7, n. 22, p. 29-60, 2005 
32
M M n nnn ij i j= (i, j = 1, 2) (11) 
M M n sns ij i j= (12) 
Q Q nn i i= (13) 
 
Nos problemas usuais de placas, têm-se cinco variáveis: o deslocamento 
transversal w da superfície média, a sua derivada ∂ ∂w n/ e aos esforços Mn, Mns, e Qn 
dos pontos do contorno da placa. Como a equação diferencial é de quarta ordem, pode-
se ter apenas quatro variáveis, das quais duas devem ser dadas como condição de 
contorno, isto é, devem ter seus valores prescritos. Assim, a fim de eliminar uma 
variável, KIRCHHOFF (1850) demonstrou que as condições de contorno relativas à 
força cortante Qn e ao momento Mns podem ser agrupadas em uma única condição, 
relativa a um esforço Vn, que é denominado força cortante equivalente e é dado por: 
V Q
M
sn n
ns= + ∂ ∂ (14) 
 
Nos cantos da placa aparece uma resultante não nula devido às reações de apoio 
correspondentes a cada lado, denominada reação de canto e é dada por: 
 
R M Mci nsi nsi= −+ − (15) 
 
onde M nsi
+ e M nsi
− são, respectivamente, os momentos volventes posterior e anterior ao 
canto i. 
 
2.2 Equação diferencial e esforços em coordenadas polares 
 Esse será o sistema de coordenadas usado na formulação do problema, pois é o 
mais conveniente para se obter respostas devido a cargas pontuais,que corresponde ao 
caso do carregamento fundamental. Assim, um ponto P de coordenadas ( x1, x2 ) pode 
ser definido em função de r e θ, que são respectivamente, a distância deste ponto à 
origem do sistema de coordenadas ( x1, x2 ) e o ângulo entre o segmento OP e o eixo 
Ox1 (ver figura 1). 
 r
t
r
α
β
r
n
r
r
Contorno
da placa
r
s
R
X1
X2
θ
P
r
t
 
Figura 1 - Vetores n e s no Ponto P do Contorno da Placa 
 
O método dos elementos de contorno aplicado à análise não-linear de placas 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 22, p. 29-60, 2005 
33
onde n1=cosα, n2=senα; s1= -senα, s2= cosα; R é o raio da curvatura do contorno no 
ponto P e t é o versor perpendicular à direção de r, cujos cossenos diretores são dados 
por: 
t r1 2= − = −, senθ (16.a) 
t r2 1= =, cosθ (16.b) 
 
A equação diferencial em coordenadas polares é dada por: 
 
∇ ∇ = + − + =2 2
4
4
3
3 2
2
2 3
2 1 1
w
d w
dr r
d w
dr r
d w
dr r
dw
dr
g
D
 (17) 
 
Os esforços nas direções x1 e x2 são dados por: 
 
( )( )[ ] ( )( )[ ]M D d wdr r r r dwdr t tij ij i j ij i j= − + − + + −⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭2 2 1 1 1δ ν ν δ ν ν, , (18) 
Q Dr
d w
dr r
d w
dr r
dw
drj j
= − + −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟,
3
3
2
2 2
1 1
 (19) 
 
Os esforços em relação ao sistema de coordenadas (n, s) são: 
 
( )( )[ ] ( )( )[ ]M D d wdr r n r dwdr r snn i i i i= − + − + + −⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭2 2 2 21 1 1ν ν ν ν, , (20) 
( )( )( )M D r n r s d wdr r dwdrns i i j j= − − −⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟1 1
2
2ν , , (21) 
 ( )Q D r n d w
dr r
d w
dr r
dw
drn i i
= − + −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟,
3
3
2
2 2
1 1
 (22) 
( )( ) ( )V D n r s r d wdr r d wdr r dwdrn i i j j= − − + −⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ + −⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟⎧⎨⎩ +1 11 1 1
2 3
3
2
2 2ν ν, , 
 
( )+ − −⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1 4 1
2
2
2
s r
r
d w
dr r
dw
dr
j j, 
( ) ( )[ ]+ − − −⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟D R s r d wdr r dwdri i1 1 2 12 2 2ν , (23) 
 
3 EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA FLEXÃO DE PLACAS SUJEITAS À 
CARREGAMENTOS TRANSVERSAIS 
As equações integrais que definem o problema serão obtidas a partir do primeiro 
Teorema de BETTI (1872), que relaciona dois estados distintos de tensão e deformação 
existentes num sólido (placa) de domínio finito, causados por dois carregamentos não 
simultâneos. O mesmo é dado pela seguinte expressão: 
 
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 σ ε σ εij ij ij ij
vv
dv dv1 2 2 1= ∫∫ (i, j, = 1, 2, 3) (24) 
 
Assim, escolhendo-se como estado 1 aquele relacionado ao problema 
fundamental, ainda a ser obtido, e como estado 2 aquele relacionado ao problema real e 
fazendo-se a integração das tensões ao longo da espessura, o teorema pode ser escrito 
em função de integrais sobre o domínio da seguinte forma: 
 
M w d M w dij ij ij ij
* *, ,Ω Ω
Ω Ω
=∫ ∫ (25) 
 
Desse modo, considere uma placa isótropa qualquer de contorno Γ e domínio Ω, 
a qual está contida em outra, de domínio infinito Ω∞ e contorno Γ∞ conforme a figura 
(2). 
Define-se como problema fundamental, o caso de uma carga transversal unitária 
g* aplicada em um ponto genérico q do domínio infinito Ω∞, denominado domínio 
fundamental, que provocará, em um ponto p qualquer da mesma, um deslocamento 
transversal w*, um estado de tensão σ ij∗ e um estado de deformação ε ij∗ . O ponto q é 
denominado ponto de carregamento ou ponto fonte e o ponto p ponto de deslocamento 
ou ponto campo. O centro do sistema de coordenadas polares (ver figura 2) coincide 
com o ponto q. Assim, a distância entre os pontos q e p é dada por: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]r x p x q x p x q= − + −1 1 2 2 2 2 (26) 
 
Ω g Ω
Γ
Γ∞
Ω∞
x1
x3
x2
 
Figura 2 - Placa de Dimensões Finitas, Contida em uma Placa Infinita 
 
A carga g* é definida através da distribuição delta de Dirac, denotada por ( )δ q p, , cujas propriedades são: 
 
( )g q p para p q
para p q
∗ = = ≠∞ ≡
⎧⎨⎩δ ,
0
 (27) 
 
( ) ( ) ( )φ δ φp q p d q, Ω
Ω
∞
∞
∫ = (28) 
 
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35
sendo Φ uma função contínua qualquer. Observando-se as propriedades, dadas pelas 
equações (27) e (28), conclui-se que a resultante do carregamento definido por ( )δ q p, 
sobre o domínio fundamental é uma força unitária aplicada no ponto q, ou seja: 
 
( )δ q p d, Ω
Ω
∞
∞
∫ = 1 (29) 
 
O problema real é aquele relativo a um carregamento g qualquer distribuído em 
uma área de domínio Ωg, contida no domínio Ω da placa finita. Do mesmo modo, o 
carregamento g provocará em p um deslocamento transversal w, um estado de tensão 
σ ij e um estado de deformação ε ij . 
Integrando-se por partes duas vezes a equação (25) e considerando-se a equação 
( 28), obtém-se a equação integral do deslocamento transversal de um ponto do domínio 
da placa: 
( ) ( ) ( ) ( )w q V q P w P M q P w
n
P d Pn nn+ −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟∫ * *, ( ) , ( )∂∂ ΓΓ ( ) ( )+ =∑R q P w Pci cii
Nc
* ,
1
=
 ( ) ( ) ( )= −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
∗
∗∫ V P w q P M P wn q P d Pn nn, ( ) , ( )∂∂ ΓΓ ( ) ( )R P w q Pci cii
Nc
* ,
=
∑ +
1
 ( )( ) ( )+ ∗∫ g p w q p d pg
g
( ) , Ω
Ω
 (30) 
 
Os deslocamentos e esforços relativos ao problema fundamental são funções do 
ponto q de aplicação da carga e do ponto p de deslocamento do domínio; se esse último 
estiver no contorno da placa, é representado por P. Já aqueles relativos ao problema real 
são funções apenas do ponto p, pois a posição deste carregamento é fixa. 
A solução fundamental corresponde ao deslocamento w* de um ponto p, que é 
causado por uma carga unitária transversal aplicada em q. É obtida, substituindo-se g 
pela distribuição delta de Dirac em (17). Nesse trabalho adota-se a mesma solução 
fundamental utilizada por CHUEIRI (1994), que é dada pela seguinte espressão: 
 
w
D
r r* ln= −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
8
1
2
2
π (31) 
 
Para obter-se a expressão da rotação fundamental para um ponto p, basta derivar 
a expressão (31) em relação a n. Derivando-se (3.25), e a partir de (20), (21) e (23), 
pode-se obter as expressões dos esforços fundamentais, segundo um sistema de 
coordenadas (n, s) qualquer (Figura 1). Assim, a rotação e os esforços fundamentais 
são: 
 
( )∂∂ πwn rD r r ni i* ln ,= 4 (32) 
 ( ) ( )( )[ ]M r r nn i i* ln ,= − + + − +14 1 1 2π ν ν ν (33) 
( )( )( )M r n r sns i i j j* , ,= − −14 1π ν (34) 
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( )( ) ( )[ ]V r nr r s R r sn i i j j i i* , , ,= − − +⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ + − −4 2 1 3 14 1 22 2π ν ν νπ (35) 
 
 
onde ( )
( ) ( )
r
r
x p
x p x q
ri i
i i, = = −∂∂ r, r é dado por (29) e ni, si estão definidos na figura 
(2). Para o caso em que o contorno da placa é aproximado por elementos retos, a 
curvatura R em qualquer ponto do contorno tende ao infinito. Nesse caso, a expressão 
de Vn
* passa a ser: 
 
 
 ( )( )V r nr r sn i i j j* , ,= − − +⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥4 2 1 32π ν ν (36) 
 
A reação de canto, referente ao problema fundamental, é dada por: 
 
 
R M Mci nsi nsi
* *( ) *( )= −+ − (37) 
 
 
No caso do ponto pertencer ao contorno, o mesmo será denotado por Q. Assim, 
a fim de escrever-se a equação (30) para o ponto Q, torna-se o mesmo interior ao 
domínio pelo acréscimo de um contorno circular Γξ , centrado em Q, com raio ξ, e pela 
retirada da parcela Γ do contorno, como é indicado na figura (3). O novo contorno será 
dado por Γ Γ Γ− + ξ e o ponto Q será do contorno quando o raio ξ e o contorno 
Γ tenderem à zero. Portanto, o deslocamento w(Q) do ponto Q será calculado a partir 
da equação (30), fazendo-se Γ Γ Γ Γ= − + ξ e os limites de ξ e Γ tenderem à zero. 
 
Q
Q
Ω
ns
βC
x1
x2
Γ
Γ
Γ
rs
r rn r=
r = ξ
Γ
φdφ
dΓξ = ξdφ
Γξ
 
Figura 3 - Contorno Circular Acrescido a um ponto Q de um Canto da Placa 
 
Desse modo, obtém-se a equação integral de um ponto do contorno, dada a 
seguir: 
 
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( ) ( ) ( ) ( )K Q w Q V Q P w P M Q P w
n
P d Pn nn( ) , ( ) , ( )
* *+ −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +∫ ∂∂ ΓΓ
 ( ) ( )+
=
∑R Q P w Pci ci
i
Nc
* ,
1
( ) ( ) ( )= −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
∗
∗∫ V P w Q P M P wn Q P d Pn nn, ( ) , ( )∂∂ ΓΓ 
 ( ) ( )+ +
=
∑R P w Q Pci ci
i
Nc
* ,
1
( )( ) ( )g p w Q p d pg
g
( ) ,∗∫ Ω
Ω
 (38) 
 
onde: K Q c( ) = βπ2 
se o ponto Q coincide com um canto, 
 K Q( ) = =ππ2
1
2
 se o ponto Q não coincide com um canto. 
 
Para a aplicação do Método dos Elementos de Contorno é conveniente 
transformar as integrais de domínio que aparecem nas equações (30) e (38), 
correspondentes às influências do carregamento distribuído na área Ωg , em integrais 
sobre o contorno Γg , onde a mesma está distribuída. Assim, utilizando-se a relação de 
transformação de coordenadas dada por d rdr
r n
R
dg
i i
gΩ Γ=
,
, admitindo-se que a 
carga g(p) varie linearmente na região Ωg e fazendo-se a integração em relação a r, 
obtém-se: 
 
 ( ) ( )g p w Q p d p g q
D
R R r n dg i i g
g g
( ) ,
( )
ln ,∗∫ ∫= −⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ +Ω ΓΩ Γ32
3
4
3
π 
 ( )+ −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +∫140 7104π θ θD R R A B r n di i g
g
ln cos sen , Γ
Γ
 (39) 
 
onde R é o valor de r para um ponto qualquer do contorno Γg e 
g q Ax q Bx q C( ) ( ) ( )= + +1 2 , correspondente ao valor de g no ponto q. 
 
4 MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO A 
PROBLEMAS DE PLACAS SUJEITAS A CARGAS TRANSVERSAIS 
O Método dos Elementos de Contorno consiste na divisão do contorno da placa 
em segmentos, denominados elementos de contorno, sobre os quais as variáveis w, 
∂w/∂n, Vn e Mn são aproximadas por funções interpoladoras, definidas em função de 
pontos previamente escolhidos em cada elemento, ditos nós ou pontos nodais. Assim, as 
equações integrais transformam-se em equações algébricas, que são escritas em função 
dos valores das variáveis nos nós do contorno, e portanto, são denominados de valores 
nodais. 
Nesse trabalho, a geometria dos elementos será representada por uma função 
linear, isto é os elementos serão retos, como está indicado na figura (4): 
 
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1
2
ξ=0
ξ=-1
ξ=+1
X1
X2
P
n
Γj
l
 
Figura 4 - Geometria do Elemento 
 
onde 1 é o nó inicial do elemento ao qual P pertence, 2 é o nó final do elemento, l é o 
comprimento do elemento, − ≤ ≤1 1ξ , − ≤ ≤l l
2 2
Γ . 
Γ = ξ l
2
 (40.a) 
d
l
dΓ =
2
ξ (40.b) 
 
Da figura (4), têm-se que as coordenadas do ponto P são dadas por: 
 
X P
X P
P P
P P
X
X
X
X
g g
g g
1
2
1 2
1 2
1
1
1
2
2
1
2
2
0 0
0 0
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭ =
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
φ φ
φ φ (41) 
 
onde
: 
φgi são as funções interpoladoras que são dadas por: 
 ( )φ ξg P1 12 1( ) = − , (42.a) 
 ( )φ ξg p2 12 1( ) = + , (42.b) 
 Xi
N é a coordenada na direção i do nó N, 
 ξ é a coordenada homogênea do ponto P, 
 { }X X X X XNT
~
= 11 12 21 22 é o vetor dos valores nodais das coordenadas. 
As variáveis são aproximadas por funções polinomiais quadráticas, portanto são 
necessários três pontos nodais em cada elemento, que são definidos como está indicado 
na figura (5). 
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39
 
 
 
 
Figura 5 - Funções de Forma em Aproximação Quadrática das Variáveis 
 
Desse modo, pode-se expressar os vetores de deslocamentos u
~
 e de esforços p
~
 
de um ponto P qualquer do elemento, da seguinte forma: 
 
 u P P UT N
~ ~ ~
( ) ( )= φ (43) 
 p P P PT N
~ ~ ~
( ) ( )= φ (44) 
 
 ou, explicitamente: 
u P
u P
u P
P P P
P P P
U
U
U
U
U
U
~
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭ =
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
1
2
1 2 3
1 2 3
1
1
2
1
1
2
2
2
1
3
2
3
0 0 0
0 0 0
φ φ φ
φ φ φ (45) 
p P
p P
p P
P P P
P P P
P
P
P
P
P
P
~
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭ =
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
1
2
1 2 3
1 2 3
1
1
2
1
1
2
2
2
1
3
2
3
0 0 0
0 0 0
φ φ φ
φ φ φ (46) 
 
onde: Ui
N e Pi
N são os deslocamentos e esforços na direção i do nó N, 
u w1 = = flecha, u wn2 = =
∂
∂ rotação, p Vn1 = = cortante equivalente, 
p M n2 = = momento na direção normal ao contorno, φ i são as funções 
interpoladoras quadráticas, dadas por: 
x1 
x2 x2
x1
l 2
l 2
φ1
φ 2
φ 3 
1 
1 
1
ξ 1 1= −ξ 2 0= 
ξ 3 1= 
U 3 3ou P U
2 2 ou P 
U1 1 ou P
ξ P 
P 
U P P ou PΓ Γ
1 
2
3
Função quadrática 
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40
 ( )φ ξ ξ1 12 1( )P =− − , (47.a) 
 φ ξ2 21( )P = − , (47.b) 
 ( )φ ξ ξ3 12 1( )P = + ,