Lista de Coordenadas Polares e Derivadas Parciais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN-DEPARTAMENTO DEMATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
ÁREA II
2a Lista de Exercícios 2015.2
1. Escreva as relações entre as coordenadas polares (r θ) eas coordenas cartesianas (x, y).
Verifique que (r, θ) e (−r, θ + pi) representam o mesmo ponto (x, y).
2. Quais as possíveis representações em coordenadas polares do ponto (1, 0)?
3. Encontre as coordenas retangulares do ponto com coordenadas polares (2, pi/6).
4. Descreva o gráfico da equação polar r = 2
5. Descreva o gráfico da equação polar r = 2 sinθ.
6. Descreva o gráfico da equação polar r = tanθ secθ.
7. Descreva o gráfico da equação polar r = 6/
√
9 − 5 sin2 θ.
8. Verifique que o ponto em coordenadas polares (3, 3pi/4) está sobre a curva r = 3 sin 2θ.
9. Esboce o gráfico da equação r = 1 + cosθ.
10. Seja f (x, y) = arctan(x + 2y). Encontre as derivadas parciais fx e fy.
11. Seja f (x, y) = cos(xy). Encontre as derivadas parciais fx e fy.
12. Encontre as primeiras derivadas parciais da função f (x, y, z) = xy2z3.
13. Encontre as primeiras derivadas parciais da função f (u, v, t) = euv sinut.
14. Encontre as primeiras derivadas parciais da função f (x, y,u, v) = ln(x/y) − veuv.
15. Encontre a inclinação da reta tangente a curva que é a interseção da superfície x2 +
y2 + z2 = 1 com o plano y = 2 no ponto (1/2, 1/2,
√
2/2).
16. Encontre as reta tangentes as curva interseção da superfície z = 2x2−3y2 com os plano
x = 5 e y = 1 no ponto (−2, 1, 5). Verifique que estas retas tangentes estão no plano
8x + 3y + z + 5 = 0. O que podemos concluir?
17. Seja f (x, y) = exyy2 + x/y.Encontre, fxx, fxy, fyx, fyy.
18. A igualdade fxy = fyx é sempre verdadeira? Se sim, justifique sua resposta. Se não,
dê um contraexemplo.
19. Existe uma função f (x, y) tal que fx = ex cos y e fy = ex sin y?
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