lista 8 calculo vetorial

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Cálculo Vetorial 2015.1 Eng. Civil Plácido Andrade
Integral dupla
1. Calcule a integral ∬
R
f(x, y)dA,
onde a função f(x, y) e a região compacta R são as indicadas.
(a) { f(x, y) = e2x−3y
R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2} .
(b) { f(x, y) = xy2
R = {(x, y) ∈ R2; 2x ≤ y ≤ 3x ≤ 6} .
(c) { f(x, y) = x2 − y2
R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1 ex2 − y2 ≥ 0} .
(d) { f(x, y) = x2
R = {(x, y) ∈ R2; x ≤ y ≤ 2 + 2x − x2} .
(e) { f(x, y) = xlny
R = [1, e] × [1, e] .
(f) { f(x, y) = √1 + y3
R = {(x, y) ∈ R2; √x ≤ y ≤ 1} .
2. Faça a mudança para coordenadas polares para calcular a integral
∬
R
f(x, y)dA,
onde a função f(x, y) e a região R são as indicadas.
(a) { f(x, y) = cos(x2 + y2)
R = {(x, y) ∈ R2; 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 2 0 ≤ y.} .
(b) { f(x, y) = 7(x2 + y2)5
R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y ≤ √1 − x2} .
(c)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
f(x, y) = 1(x2+y2+1) 23
R = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1} .
(d) { f(x, y) = 1x2+y2
R = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4} .
(e) { f(x, y) = x2
R = {(x, y) ∈ R2; 4x2 + y2 ≤ 1} .
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3. Calcule utilizando integral o volume do sólido V . (Esboçar o sólido ajuda muito).
(a) V = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 ≤ z ≤ 2y}.
(b) V = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 5 − x2 − y2}.
(c) V = {(x, y, z) ∈ R3;x + y + z ≤ 1, 0 ≤ x, 0 ≤ y e 0 ≤ z}.
(d) V é limitado pelo z = x2, y = x2, y = 0 e x = 0 e z = 4.
(e) Calota de uma esfera de raio r com altura h.
r
h
4. Troque os limites de integração.
(a)
∫ 1
0
∫ y
0
f(x, y)dxdy.
(b)
∫ 8
0
∫ 2
3
√
y
f(x, y)dxdy.
(c)
∫ pi4
0
∫ cosx
senx
f(x, y)dy dx.
(d) ∫ 1
0
∫ ey
ey−1 f(x, y)dxdy.
(e)
∫ 1
0
∫ √2x√
x−x2 f(x, y)dy dx.
(f)
∫ 3
0
∫ √3x√
x2−2x f(x, y)dy dx.
5. O valor médio de uma função f(x, y) na região compacta R é o número fm
definido por
fm = 1
área(R)∬R f(x, y)dxdy.
(a) Determine o valor médio das funções descritas no item 1, subitens (a), (b)
e (c), nas regiões indicadas.