lista 9 calculo vetorial

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Lista 9 Cálculo Vetorial 2015.1 Plácido
1. Para cada transformação linear, A ∶ rR2 → R2, esboce e calcule a área do para-
lelogramo A(R), onde R = [1,2] × [1,2].
(a) A(x, y) = (2x + y, x + y).
(b) A∣(x, y) = (3x − 2,4y − x)
(c) A(x, y) = (2x − y,4x − y). (Explique porque a área é zero!)
2. Para cada uma das funções F ∶ R2 → R2, é esboçada a imagem F (R), onde
R = [1,2] × [1,2]. Calcule a área de F (R).
(1,2)
(2,6)
(4,3)
(8,8)
F (x, y) = (x2y, y2 + xy)
(-4,0) (3,0)
(22,14)
(-6,7)
F (x, y) = (y2x3 − 5y, y3x − x).
3. Qual o volume da imagem do cubo R = [0,1]×[0,1]×[0,1]. pela função F ∶ R3 →
R3, F (u, v,w) = (u ,uv, uvw),
4. Seja S = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 ≤ 3}. Descreva o segmento deste sólido
indicado seguir em coordenadas esféricas, constura integral que calcula o volume
do sólido.
(a) O segmento de S no primeiro octante.
(b) O segmento de S limitado pelos planos y = √3x e y = x e x ≥ 0.
5. Esboce e parametrize por coordenadas cilíndricas o sólido S em R3.
(a) S = {(x, y, z) ∈ R3; (x − 4)2 + y2 ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2}.
(b) S = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − Y 2}.
6. Considere a região plana do R3 indicada na figura (ela está contida no plano yx).
(a) Escolha uma mudança de coordenadas (cilíndrica ou esférica) para descrever
o sólido de revolução obtido pela rotação da região em torno do eixo oz.
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(b) Construa a integral de volume no sistema de coordenadas escolhido que
calcula o volume do sólido.
(c) Descreva o sólido em coordenadas cartesianas.
(d) Construa a integral de volume no sistema de coordenadas cartesianas.
O 1
z=y
y
z
O
z
y
z=y
2
arco
d
e
círcu
lo
O
z
yz=3y
z=4-y2