FisXP1-Exp07

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I
PROFESSOR MARCELO AZEVEDO NEVES
I. TÍTULO: CONSERVAÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA
 (ESTUDO DE COLISÕES - II)
II. MOTIVAÇÃO E REFERENCIAL TEÓRICO:
Um dos sucessos da Física, em sua empreitada de descrever matematicamente alguns 
fenômenos naturais, foi a elaboração de um Princípio Fundamental: O Princípio de Conservação da 
Energia.
Qualquer modelo ou até mesmo teoria proposta não pode violar este princípio. Ele introduz 
uma grandeza, a ENERGIA TOTAL, a qual devemos identificar no sistema em estudo em todos os 
instantes de tempo que forem convenientes. Ela consiste em uma Grandeza ESCALAR cujo valor 
NÃO se altera com o decorrer do tempo. Obviamente, este é um conceito extremamente útil na 
resolução dos mais diversos problemas. Vale citar que o conceito de energia e a discussão sobre 
suas formas funcionais (que dependem de parâmetros característicos a cada sistema estudado) 
consistem em assuntos para muitas e muitas aulas.
O Princípio da Conservação da Energia nos permite declarar que:
"A Energia TOTAL de um sistema isolado e fechado 
mantém-se constante."
Entenda-se sistema isolado e fechado como o sistema que não interage com sua vizinhança, 
nem troca matéria com ela. No caso de sistemas que interagem com sua vizinhança, basta redefinir 
como "sistema" o conjunto "sistema-de-interesse + vizinhança".
Vamos discutir um pouco o caso particular dos fenômenos mecânicos.
A Mecânica nos permite descrever a evolução no tempo de um sistema se conhecemos a 
resultante das forças nele atuantes e as massas, suas coordenadas e velocidades em um dado instante 
de referência. EM geral, temos uma equação vetorial:
dt
pdR

=
Esta equação pode ser desdobrada em três, uma para cada componente (projeções) nas três 
direções ortogonais ( zyx ˆ,ˆ,ˆ ) do espaço:
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( )
( )
( )






=
=
=
∧∧
∧∧
∧∧
zmv
dt
dzR
ymv
dt
dyR
xmv
dt
dxR
ZZ
YY
XX
Se a massa é mantida constante, e subentendendo os eixos coordenados usados, temos:



=
=
=
ZZ
YY
XX
maR
maR
maR
O sistema de equações acima pode ser re-escrito de forma a evidenciar todas as componentes:



=++
=++
=++
ZZYX
YZYX
XZYX
Rmaaa
Ramaa
Raama
00
00
00
Este sistema pode ser escrito de forma matricial:








=
















Z
Y
X
Z
Y
X
R
R
R
a
a
a
m
m
m
 
00
00
00








=


















Z
Y
X
R
R
R
t
z
t
y
t
x
m
m
m
 
 d
d
 d
d
 d
d
 
00
00
00
2
2
2
2
2
2
Note que o caráter vetorial da modelagem exige a solução deste sistema.
Uma abordagem alternativa consiste em elaborar uma abordagem a partir de grandezas 
escalares. É neste contexto que discutiremos o “Teorema Trabalho-Energia”.
Vamos criar uma grandeza escalar que expresse o efeito da ação de uma força com relação à 
trajetória seguida por um móvel. Uma grandeza escalar que quantifica esta influência é o “trabalho 
da força”, definido para deslocamentos infinitesimais por:
rdFWd 

•=
O fato de utilizarmos um d e não um d deve-se ao fato de que o trabalho não é uma 
diferencial exata; ou seja, o trabalho não é uma função da posição, mas um escalar cujo valor 
depende do deslocamento pretendido. 
Logo o trabalho em uma trajetória (caminho), que representaremos pela letra “C”, pode ser 
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calculado por:
∫ •=
C
rdFW 

Se a força em questão é a RESULTANTE R

:
∫∫∫∫∫∫ •=•=•=•=•=•=
CCCCCC
vdvmvvmd
dt
rdvmdrd
dt
vdmrd
dt
pdrdRW 






No caso de um movimento unidimensional, em que o caminho está limitado pelos pontos “A” 
e “B”:
22
22
22
22
AB
ABv
v
CCCCCC
mvmvW
vvmvdvmW
vdvmmdvv
dt
dxmdvdx
dt
dvmdx
dt
dpRdxW
B
A
−=




−==
======
∫
∫∫∫∫∫∫
A quantidade 
2
2mv
EC = é dita “Energia Cinética” e está definida em cada ponto da trajetória 
(caminho C), com valor determinado desde que saibamos a velocidade e a massa naquele ponto. 
Note que a Energia Cinética também pode ser expressa através da quantidade de movimento, por:
m
pmvEC 22
22
==
O resultado W = ∆EC é o Teorema do Trabalho Energia: “O Trabalho da Força Resultante 
atuante de um ponto a outro da trajetória de um móvel é numericamente igual à variação da Energia 
Cinética deste móvel entre os mesmos pontos”.
Se o produto Rdx fornecer uma diferencial exata, função da posição, Rdx = df (x), então 
podemos escrever:
)()()(
)(
AB
x
x
CC
xfxfxdfW
xdfRdxW
B
A
−==
==
∫
∫∫
Como o Teorema do trabalho-energia continua válido:
)(
2
)(
2
)()(
22
22
22
A
A
B
B
AB
AB
xfmvxfmv
xfxfmvmvW
−=−
−=−=
Definindo – f (x)=EP(x), temos:
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)(
2
)(
2
22
AP
A
BP
B
P
xEmvxEmv
EW
==+
∆−=
A grandeza EP(x), que é adicionada à EC, é dita “energia potencial”, e ao valor:
)(
2
2
xE
mv
E PM += ,
denominamos “Energia Mecânica Total”.
Ou seja, a Energia Mecânica Total consiste essencialmente em um termo cinético (medida 
do movimento) e um termo de interação (energia potencial), sendo que cada termo pode ser 
constituído de diversas parcelas, conforme o caso estudado.
No caso de colisões, se a energia mecânica total é conservada, a colisão é dita elástica. Caso 
energia seja liberada do sistema, a colisão é dita inelástica. A diferença em energia pode ser 
expressa como Q = EM-final – EM-inicial.
A unidade de Energia (e de Trabalho) no SI é o “joule” (J), tal que 1 J = 1 N m = kg m2/s2. No 
antigo sistema CGS (cm-g-s), a energia é expressa em ergs, sendo 1 erg = 1 g cm2/s2. Facilmente 
observa-se que 1 erg = 1 x 10-7 J = 0,1 µJ1.
 
Neste experimento nossos OBJETIVOS são:
1) Verificar se a Energia Mecânica Total se conserva em uma dada colisão; e 
2) Caso contrário, identificar a quantidade “Q” de energia liberada.
III. EQUIPAMENTO:
Lista de Material:
● Trilho de ar PHYWE (perfil de alumínio 
perfurado, com o “soprador” 
eletromecânico acoplado).
● Disparador.
● Dois carros “flutuadores” com lâminas 
metálicas acopladas em seus topos na 
vertical.
● Dois sensores eletro-óticos de movimento.
● Cronômetro eletrônico PHYWE.
● Seis cabos elétricos com plugues-bananas 
nas extremidades (para conectar s sensores 
no cronômetro – ver a Figura 1).
● Aríete afinalado.
● Aríete com elástico.
● Peças cilíndricas de sobrecarga.
1 O erg também pode ser expresso por 1 erg = 1 dyn x cm, em que 1 dyn = 1 g cm/s2 (unidade de força no sistema CGS).
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Figura 1: Foto do aparato experimental a ser usado.
IV. PROCEDIMENTOS:
1- Coloque os cilindros de sobrecarga simetricamente em cada lado dos flutuadores.2- Meça a massa total de cada flutuador com sobrecarga e registre seus valores.
3- Verifique se o disparador está devidamente conectado à extremidade do trilho-de-ar em que 
também se conecta o tubo do soprador eletromecânico.
4- Posicione os sensores óticos tal que o afastamento entre ambos maior que a soma dos 
comprimentos dos flutuadores (veja a Figura 1).
5- Posicione um dos flutuadores em contato com o disparador e o outro entre os sensores óticos.
6- Ligue o “soprador” eletromecânico e verifique se os flutuadores repousam sobre colchão de ar. 
Caso se movam espontaneamente, promova o nivelamento do trilho-de-ar.
7- Conecte os sensores ao cronômetro, tal que o sensor próximo ao disparador liga-se pela 
conexão 1 e o outro pela 3. Veja as Figuras 1 e 2.
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 Figura 2: Esquema do Cronômetro Eletrônico PHYWE 1- botão de reset; 2- seletor de disparo (luz ou 
sombra); 3- conexão para o disparador; 4 e 5- conexões para sensores óticos; 6- seletor de condição de 
início da cronometragem (sombra luz ou sombra); 7- seletor da forma de operação do cronômetro; 8- 
mostradores do cronômetro. Baseado em esquema de Hermes U. Guimarães e Osvaldo Guimarães (PUC-
SP)
8- Programe o Cronômetro para a opção 3 (sentido horário) do seletor em seu painel frontal (o que 
apresenta dois pares de setas), indicado conforme a Figura 2.
9- Acione o disparador e observe a colisão entre os flutuadores. Atente para a operação do 
cronômetro: Os primeiro mostrador refere-se ao flutuador disparado e o terceiro ao flutuador 
alvejado. Note que:
9a - Quando um flutuador atinge um sensor, uma medida de tempo é disparada e que quando ele 
o ultrapassa a medida é interrompida.
9b - O acionamento de uma cronometragem é feito quando a lâmina metálica no topo do 
flutuador interrompe um feixe de luz infravermelha (invisível a olho nu) no sensor.
9c - A cronometragem é interrompida quando a lâmina não mais bloqueia tal sinal.
9d - Se o flutuador disparado muda de sentido após a colisão, o segundo mostrador é ativado; 
se ele permanece no mesmo sentido, o quarto mostrador é acionado. 
9e - Repita o fenômeno de colisão até pleno esclarecimento do princípio de operação do aparato, 
relacionando-o com o fenômeno observado.
10- Re-posicione os flutuadores e pressione o disparador.
11- Anote os valores de tempo lidos em cada mostrador. A incerteza é δt = 1 ms.
12- Modele o fenômeno como se ocorresse de fato em uma dimensão apenas. Determine a 
velocidade v (média) de cada flutuador. Como o tempo cronometrado refere-se de fato à passagem 
da lâmina metálica, cada velocidade pode ser obtida pela razão entre o comprimento da lâmina L e o 
seu tempo de passagem t pelo sensor: v = L / t. Devido a características de operação do sensor, o 
fornecedor (PHYWE) informa que a incerteza na percepção deste comprimento é δL = 1 mm.
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14- Determine a Energia Mecânica total antes da colisão (não esqueça da incerteza), representando-
a por EM-antes.
15- Determine a Energia Mecânica total após a colisão (não esqueça da incerteza), representando-a 
por EM -depois.
16- Altere as massas de sobrecarga e repita o experimento algumas vezes.
17- Determine o valor da diferença “Q” entre as Energias mecânicas antes e depois da colisão. O 
que você esperava como resultado, e o que o obtido significa, dentro do contexto estudado?
18- Caso o valor de Q seja superior à incerteza calculada, determine a fração de energia liberada 
por:
%100% ×=
− antesM
E E
Qf
OBS: Cálculo de Incertezas
Podemos expressar a energia cinética por:



=
m
p
mv
EC
2
2
2
2
Logo, sua incerteza será dada por:
( )







+
+
=
m
m
pp
m
p
mvvmv
EC
 δ δ2
2
1
 δ δ2
2
1
 δ
2
2
2






+



+
=
m
m
pp
m
p
mvvmv
EC
 δ
2
 δ
 δ
2
 δ
 δ
A velocidade usada será a velocidade média ao passar por um sensor: 
XNt
Lv
−
= ,
onde N = 1 ou 2 (identifica o flutuador) e X = A (de “antes da colisão”) ou D (de “depois da 
colisão”).
Logo:
XN
XN
t
t
L
L
v
v
−
−+=
 δ δ δ
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


+×



=
−
−
− XN
XN
XN t
t
L
L
t
Lv δ δ δ



+= mvvmvEC δ2
 δ δ







+



+×



=
−−
−
−
m
t
L
t
t
L
Lm
t
LEc
XNXN
XN
XN
 δ 
2
 δ δ δ
Visto que a lâmina tem dez centímetros de comprimento, que a balança fornece leituras de 
massa com incerteza de 1 g, e considerando as incertezas nos sensores de posição (1 mm = 1 x 10-1 
cm) e de medida de tempo (0,001 s), podemos substituir estes valores e obter (em “g cm/s”) e obter 
uma relação simplificada para uso com o equipamento fornecido pela PHYWE (basta fornecer os 
valores de massa e as leituras de tempo):







+



+×



=
−−−
m
tt
m
t
Ec
XNXNXN
 δ 50,00101,00,10 δ
Estes resultados estarão expressos em gcm2/s2, ou seja, em ergs. Visto que 1 erg = 10–7 J, para 
converter seus resultados para o SI basta multiplicar os valores obtidos para energia cinética média 
e sua incerteza por 10–7 e re-escrever as unidades.
Seus resultados devem ser apresentados em um relatório com o seguinte formato:
1. TÍTULO
2. OBJETIVO
3. DESCRIÇÃO DO EQUIPAMENTO (lista de material e desenho das montagens)
4. REFERENCIAL TEÓRICO (Trabalho, Energia e sua conservação)
5. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS (ETAPAS DE MEDIDA)
6. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS (tabelas, cálculo dos valores, etc...)
7. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
8. CONCLUSÃO
9. OBSERVAÇÕES FINAIS
10. BIBLIOGRAFIA