FisXP1-Exp09

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE 
FÍSICA
CURSO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I
PROFESSOR MARCELO AZEVEDO NEVES
I. TÍTULO : MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
(LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS - II)
II. MOTIVAÇÃO E REFERENCIAL TEÓRICO:
Definimos um corpo rígido como aquele em que as posições relativas das partículas que o 
compõem NÃO podem se alterar sob quaisquer condições.
Esta é uma situação ideal. Todos os corpos são de fato, deformáveis, porém se estas 
deformações ocorrem abaixo dos limites de sensibilidade de detecção dos efeitos estudados, então 
podemos abstrair e modelar o objeto como sendo um corpo rígido.
Dentre as grandezas pertinentes a um corpo rígido, vale citar seu Momento de Inércia. O 
Momento de Inércia consiste em uma grandeza que caracteriza o efeito inercial (lembre-se da 1a Lei 
de Newton-Galileu) quando uma distribuição de massa encontra-se em movimento de rotação em 
torno de um eixo. Por este motivo, esta grandeza também é chamada “Inércia Rotacional” e 
representada pela letra “I”.
De forma geral, o momento de inércia I de uma distribuição discreta de N massas pontuais 
mi, localizadas cada uma por um vetor posição ri , é dado por:
I = 
i
N
=
∑
1
 ri2 mi [1]
Se a distribuição de massas for TÃO densa que se permita considerá-la uma distribuição 
CONTÍNUA de massa m = m(r), então seu momento de inércia é expresso por:
I = ∫ r2 dm [2]
Estabelecendo algum modelo para a relação entre a quantidade infinitesimal de massa e a 
posição, podemos realizar a integral acima e obter o valor do momento de inércia, CONFORME 
TAL MODELO. Para um objeto REAL, outros procedimentos devem ser usados.
Nesta experiência voltaremos a estudar o lançamento de projéteis sob os quais atuam apenas a 
força gravitacional, enfocando agora o Princípio de Conservação da Energia e o Momento de 
Inércia da esfera lançada. 
Consideremos então a Figura 1, onde esquematizamos um lançamento de uma esfera, de 
massa m, por uma canaleta. A esfera é liberada no repouso (Energia mecânica sem termo cinético), 
porém sob ação do campo gravitacional da terra.
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Uma vez livre, a esfera se desloca pela canaleta, girando sobre seu próprio eixo, e é lançada 
na horizontal. Neste processo, ela "ganha" energia cinética, ou melhor, sua energia potencial é 
convertida em cinética.
Após seu lançamento, ela realiza uma dada trajetória até se chocar com um anteparo (no 
nosso esquema, o anteparo é horizontal).
Figura 1: Lançamento de uma esfera numa canaleta na vertical.
Durante sua trajetória fora da canaleta, se desprezamos a resistência do ar (seja lá por que 
motivo!), temos que sobre a esfera atua apenas a força-peso, dada por:
p
→
= m g
→
[3]
Ao atingir o anteparo, a esfera terá se distanciado de um certo intervalo "A" com relação ao 
ponto de lançamento. Chamaremos a esta distância de "Alcance" da esfera.
Conforme discutimos no experimento anterior, podemos obter as seguintes equações de 
movimento para a esfera:
x(t) = v(2) t [4]
y(t) = 
g
2
 t2 [5]
que são as chamadas "Equações paramétricas" do problema, das quais obtemos a equação de 
trajetória y(x):
y(x) = x
v2
g 2
2
(2) 



 [6]
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A curva geométrica representada por esta equação é uma parábola (consulte um livro de 
Geometria Analítica).
Para que a trajetória fique bem definida, resta-nos determinar v(2), já que g é conhecido.
Empregaremos agora o Princípio da Conservação da Energia para estudar este fenômeno.
No ponto de liberação (1), a energia mecânica total da esfera é puramente potencial, e em 
relação ao nível horizontal que passa por (2) ela fica: 
EM(1) = E p(1) = m g h1 [7]
No ponto de lançamento (2), o qual supomos horizontal, a Energia mecânica total consta de 
um termo cinético (composto pela translação e pela rotação da esfera) e outro potencial (devido à 
gravidade). Mas como o nível zero da energia potencial é arbitrário, vamos escolher este como 
sendo nulo no ponto (2):
EM(2) = E c(2) = 
m
2
v(2)2 + 2
I
ω(2)2 [8]
Observemos que o termo cinético tem uma parcela de translação, com o elemento de inércia 
"massa" m, e uma de rotação, com o elemento de inércia "momento de inércia" I. 
Esta “decomposição” da Energia Cinética é aparente: se origina do fato que a energia cinética 
de um sistema de partículas pode ser calculada considerando a soma duas parcelas: como se toda 
sua massa estivesse concentrada NO centro de massa e este se movendo com velocidade vCM, 
acrescida de uma parcela que é a soma das energias cinéticas de cada partícula indivudualmente, 
porém com o movimento destas relativo ao centro de massa. No caso presente, 
m
2
v(2)2 é a “energia 
cinética do centro de massa” e 
2
I
ω(2)2 é a “energia cinética relativa ao centro de massa” (todos os 
pontos massivos da esfera giram com a mesma velocidade ω)1.
O Momento de Inércia é uma grandeza cujo valor depende de como se espera proceder com o 
movimento do corpo, e será tema de muitas experiências no Curso de Física Experimental II que 
futuramente você estará cursando.
 Se considerarmos no caso em questão, que a esfera seja homogênea, e esteja girando por um 
eixo que passa pelo seu centro de massa, o valor do seu momento de Inércia pode ser expresso por:
1 Para maiores detalhes, consulte ALLONSO, M., FINN, E., Física – V. 1, São Paulo: Ed. Edgar Blucher, 1981.
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I = 
2
5
m R2 . [9]
O módulo da velocidade angular se relaciona com o da velocidade tangencial por: 
v = R ω [10]
Logo:
EM(2) = E c(2) = 
m
2
v(2)2 + 
1
2
 
2
5
m R2 
v 
R 
(2)
2
2
EM(2) = E c(2) = 
m
2
v(2)2 + 
m
2
 
2
5
 v(2)2
EM(2) = E c(2) = 
m
2
v(2)2 + 
m
2
 
2
5
 v(2)2
EM(2) = E c(2) = 
7
5
 
m
2
 v(2)2
Pela Conservação da Energia:
EM(1) = E m(2)
m g h1 = 
7
5
 
m
2
 v(2)2
g h1 = 
7
5
  v (2)
2
2
v(2)2 = 
10
7
  g h1 [11]
Logo: 
 y(x) = 
7
 h
x 
1
2
20 [12]
Como ficaria esta expressão se desprezássemos o momento de inércia, I, da esfera (ou seja, se 
a tratássemos apenas como um ponto material)?
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III. EQUIPAMENTO: 
1. Uma canaleta.
2. Um fio de prumo.
3. Papel milimetrado;
4. Papel carbono;
5. Esferas metálicas;
6. Paquímetro;
7. Régua.
Figura 2: Esquema da montagem a ser utilizada
# DETALHES IMPORTANTES:
1- Verifique se o lançamento e o movimento estão planares,
2- Esteja atento para pegar a bola assim que ele atinja o papel UMA vez, para evitar que ela deixe 
mais de uma marcação.
 
IV- PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
No caso em questão, vamos permitir que o anteparo da esfera seja horizontal.
Logo, o alcance A está vinculado às alturas H e hi (vide Figura 1) pela equação [12], 
considerando nesta que x = A e y(x) = H:
H = 
7
 h
A 
1
2
20
hi= A H20
7 2
A = ihH 7
20 


Ou:
i
2 h H
720A 


= [13]
Linearizando a relação acima, temos:
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Y=a+bX
Sendo:
Y = A2
a = 0
b= 20 H / 7
X = hi.
Com base na discussão precedente, sugerem-se os seguintes procedimentos:
1) Escolha 04 (QUATRO) posições hi, i∈{1, 2, 3, 4}.
2) Meça a altura H e MANTENHA-A CONSTANTE para todas as medidas.
3) Fixe na horizontal uma folha de papel milimetrado e sobre ela uma folha de papel carbono, 
identificando o ponto de alcance zero (x = 0).
4) Faça pelo menos três lançamentos da esfera para cada posição hi. Obtenha o valor médio do 
Alcance “A” para cada altura de lançamento.
5) Construa a seguinte tabela:
Tabela 1: Alturas de lançamento e Alcance da Esfera
(não esqueça as unidades e as incertezas)
hi Ai 
(valor médio!)
h1 A1
h2 A2
h3 A3
h4 A4
6) Com base na Tabela 1, construa tabelas auxiliares e trace os gráficos:
6.a) GRÁFICO 1: A -vs- hi, em papel milimetrado e avalie sua forma. 
6.b) GRÁFICO 2: A2 -vs- hi em papel milimetrado e obtenha os coeficientes linear e 
angular e deles obtenha o valor de H:
H = 7 b / 20
δH = (7/20) δb .
7) Compare os valores de H obtidos pelos gráficos, e seus ajustes, com o valor medido diretamente 
(ver o procedimento 2).
8) Pelo que você observa a partir destes resultados, existe alguma força dissipativa no fenômeno? 
Em caso positivo, expresse a parcela de energia perdida, “Q”, em função do alcance MEDIDO.
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Seus resultados devem ser apresentados em um relatório com o seguinte formato:
1. TÍTULO
2. OBJETIVOS
3. DESCRIÇÃO DO EQUIPAMENTO (lista de material, identificado no desenho das montagens)
4. REFERENCIAL TEÓRICO (dedução das equações usadas, momento de inércia, etc).
5. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS (etapas das medidas, listadas de forma procedural lógica)
6. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS (tabelas, cálculo dos valores, etc...)
7. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS (interpretação dos resultados obtidos)
8. CONCLUSÃO (resposta aos objetivos declarados)
9. OBSERVAÇÕES FINAIS
10. BIBLIOGRAFIA.