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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE FÍSICA EXPERIMENTAL
PROFESSOR MARCELO AZEVEDO NEVES
Grandezas Físicas e suas incertezas
1.1 Introdução
Grandezas são propriedades de um sistema (ou seja, do nosso “objeto de atenção”) às quais 
podemos atribuir um valor IMPESSOAL, ou seja, um valor numérico obtido por comparação com 
um VALOR-PADRÃO. Por exemplo, não podemos dizer que “medimos um livro”, pois o que é 
mensurável são algumas de suas PROPRIEDADES: sua ESPESSURA, sua TEMPERATURA, seu 
PESO, sua MASSA, a POSIÇÃO que ocupa, quanto TEMPO está parado ou se movendo, a 
VELOCIDADE com que se move, entre outras. Medir, por exemplo, a QUALIDADE do conteúdo 
intelectual de um livro dependerá do leitor em questão e portanto não pode receber um VALOR 
impessoal.
Estabelecendo uma ESCALA de medida, o valor de uma grandeza pode ser múltiplo ou sub-
múltiplo do VALOR-PADRÃO. Discutiremos os VALORES-PADRÃO empregados no estudo dos 
fenômenos físicos, bem como as UNIDADES DE MEDIDA, mais adiante nessa apostila (pode-se 
adiantar que ambos são definidos por Comitês Internacionais, e muito embora haja um sistema 
"oficial", chamado Sistema Internacional, ou "SI", ainda persistem outros padrões e sistemas de 
unidades).
As grandezas podem ser divididas em duas categorias, com relação a forma como seus valores 
são obtidos: as "GRANDEZAS DIRETAS" e as "GRANDEZAS INDIRETAS". Independente da 
"categoria", ambas são constituídas por valores MEDIDOS por algum processo. O ato de medir traz 
algumas implicações as quais não podemos nos eximir de estudar.
Em primeiro lugar, consideremos o caso das "grandezas diretas" e em seguida o das 
"indiretas".
1.2. Medidas Diretas.
As medidas "diretas" são aquelas cujo valor numérico é aferido por meio de um equipamento 
especialmente projetado para este fim; ou seja, sua medida é o resultado da LEITURA de um valor 
fornecido por um equipamento construído de tal forma que o ato da medida é possibilitado pela 
leitura direta de valores múltiplos ou sub-múltiplos de um padrão.
Uma importante propriedade do aparelho de medida é a sua "calibração" ou seja, sua 
capacidade de fornecer valores fidedignos ao padrão estabelecido para a grandeza em questão.
Temos como exemplo típico de medida direta a determinação das DIMENSÕES de um 
objeto, como um CUBO. Se desejarmos saber o comprimento de uma de suas arestas (dimensão 
longitudinal), empregamos, por exemplo, uma régua milimetrada (outros instrumentos seriam o 
paquímetro e o micrômetro). Desta forma O EQUIPAMENTO é a régua, capaz de fornecer valores 
que são sub-múltiplos (o milímetro) de um padrão, o METRO. Neste caso, DETERMINAR O 
VALOR DO COMPRIMENTO É UMA MEDIDA DIRETA.
Como qualquer instrumento de medida é produto da criação humana, empregando peças 
materiais, podemos estabelecer que qualquer instrumento apresenta algum grau de "imprecisão". 
Veja bem: qualquer instrumento de medida, quando é construído, necessariamente tem um LIMITE 
de sensibilidade, ou seja, um limite de QUAL É O MENOR VALOR e QUAL É O MAIOR 
VALOR que ele é capaz de avaliar. No nosso exemplo, a régua tem como limite inferior de medida 
1 mm e como superior 500 mm (usualmente).
Não é possível construir um equipamento de sensibilidade INFINITA.
Desta forma, uma grandeza direta tem seu valor obtido COM CERTA IMPRECISÃO. Alguns 
autores utilizam o termo "erro" para indicar esta imprecisão. "Erro" é um termo usualmente 
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INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE FÍSICA EXPERIMENTAL
PROFESSOR MARCELO AZEVEDO NEVES
pejorativo, e deve ser evitado. Como alternativa empregaremos o termo "incerteza"; ou seja, uma 
grandeza direta SEMPRE possui uma INCERTEZA.
Como obter esta incerteza da grandeza obtida por medida direta? Isto é simples. 
Inspecionando o próprio equipamento de medida podemos determinar a incerteza (isto se o 
fabricante do mesmo não a fornece explicitamente).
Consideremos novamente o caso da régua milimetrada. Se a régua é graduada com traços 
separados pela distância de 1 mm, então temos que valores que sejam frações do milímetro NÃO 
PODEM ser aferidos com este instrumento (para tanto seriam necessários ou o paquímetro ou o 
micrômetro). LOGO, a SENSIBILIDADE da régua é de ∆X = 1 mm (ou de ∆X = 10-3 m).
Logo, qualquer valor medido pela régua ó obtido com uma INCERTEZA ao seu redor 
valendo 1 mm. Agora vem um ponto importante: ASSUMIMOS O VALOR DA GRANDEZA X 
COMO SENDO QUALQUER VALOR DENTRO DA FAIXA DE INCERTEZA EM TORNO DO 
VALOR LIDO NO EQUIPAMENTO (no nosso exemplo, a régua).
Veja a figura 1, onde está representada a medição do comprimento de uma peça de alumínio 
(poderia ser até mesmo aresta do cubo citado antes). Observemos que se a leitura DIRETA na régua 
fornece o valor 18 mm, então em torno do valor 18 mm existe uma faixa de imprecisão com valor 
de 1 mm. Ou seja, 0,5 mm abaixo do valor 18 mm e 0,5 acima do valor mm. Logo, o correto é 
descrevermos o valor da grandeza medida como sendo : 18,0 ± 0,5 mm.
Figura 1: Medida do comprimento de uma das arestas de uma peça de alumínio
O "±" significa que o valor 18,0 mm é o valor lido, mas com uma incerteza de 0,5 mm para 
menos (18,0-0,5+17,5) e para mais (18,5+0,5=18,5). Assim sendo, o comprimento da haste está 
dentro do intervalo real [17,5 , 18,5] mm.
Em termos simbólicos, escrevemos que uma grandeza X, cujo valor LIDO no equipamento de 
medida foi XL, possui uma incerteza na leitura que vale δXL (letra grega "delta" minúsculo seguido 
do símbolo que representa o valor lido da grandeza: XL).
JAMAIS devemos dissociar o valor de uma MEDIDA direta do valor de sua incerteza!
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CURSO DE FÍSICA EXPERIMENTAL
PROFESSOR MARCELO AZEVEDO NEVES
De forma compacta, nos referimos à grandeza por X = XL ± δXL.
Portanto, no caso de uma grandeza obtida por medida direta, sua incerteza é numericamente 
igual à METADE da sensibilidade do equipamento (o que se traduz, na maioria dos casos, à metade 
da menor divisão do mostrador do equipamento!).
1.3. Medidas Indiretas.
As grandezas obtidas por "medidas indiretas" são aquelas cujo valor numérico advém da 
combinação de grandezas diretas. Em outras palavras: são obtidas por expressões matemáticas 
(“fórmulas”) que, em última instância, envolvem grandezas obtidas por medidas diretas.
Ora, uma vez que as medidas diretas possuem incerteza, então a medida indireta TAMBÉM 
possui uma incerteza. Esta advém da "propagação" da incerteza das grandezas indiretas nos cálculos 
utilizados.
Po exemplo, consideremos a determinação do volume de um paralelepípedo. Podemos 
empregar a expressão: 
V= a . b . c ,
onde V representa o volume e a, b & c os comprimentos de cada aresta.
Mas os valores das arestas TÊM que ter sido medidos de forma a que a fórmula acima seja 
útil. Logo os valores das arestas TÊM INCERTEZAS! Por conseguinte, V também terá uma 
incerteza!
A teoria matemática que permite a determinação da incerteza de uma grandeza indireta é 
conhecido como "Método da Propagação das Incertezas". Não o discutiremos aqui por envolver 
conhecimentos de Cálculo Diferencial, em especial o conceito de Derivadas Parciais de uma 
Função. Consideremos então um método mais imediato e simples, "montado" em função da 
operação matemática que permite a obtenção da grandeza indireta. Este procedimento envolve 
apenas a álgebra elementar.
Consideremos então a grandeza indireta representada por "c" e as diretas que a compõem por 
"a" e "b".
1o CASO: c = a + b.
Como todas as GrandezasTÊM incertezas, substitui-se:
c → (c ± δc)
a → (a ± δa)
b → (b ± δb)
Então: 
(c ± δc) = (a ± δa) + (b ± δb)
c ± δc = a ± δa + b ± δb
c ± δc = (a+b) ± ( δa + δb)
Como IDEALMENTE c = a + b, então pela última relação acima:
δc = δa + δb
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2o CASO: c = a - b.
Como todas as Grandezas TÊM incertezas, substitui-se
: c → (c ± δc)
a → (a ± δa)
b → (b ± δb)
Então: 
(c ± δc) = (a ± δa) - (b ± δb)
c ± δc = a ± δa - b ± δb → notemos que ± não é afetado 
 quando precedido por sinal negativo!
c ± δc = (a-b) ± (δa + δb)
Como IDEALMENTE c = a - b, então pela última relação acima:
δc = δa + δb → AS INCERTEZAS SE SOMAM!!!
3o CASO: c = a . b.
Como todas as Grandezas TÊM incertezas, substitui-se:
c → (c ± δc)
a → (a ± δa)
b → (b ± δb)
Então: 
(c ± δc) = (a ± δa) . (b ± δb) → pela propriedade distributiva, temos:
c ± δc = (a . b) ± (a . δb) ± (b . δa) ± (δa . δb)
Se os instrumentos de medida usados para determinar a e b são precisos o suficiente, então δa 
e δb são muito menores que a e b. Desta forma, podemos desprezar o resultado do produto entre as 
suas incertezas, ou seja: δa . δb ≅ 0 .
Neste caso, ficamos com:
c ± δc = (a . b) ± (a . δb) ± (b . δa)
c ± δc = (a . b) ± (a . δb + b . δa)
Como IDEALMENTE c = a . b, então pela última relação acima:
δc = (a . δb) + (b . δa)
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4o CASO: c = 
a
b
Como todas as Grandezas TÊM incertezas, substitui-se
: c → (c ± δc)
a → (a ± δa)
b → (b ± δb)
Então: 
(c ± δc) = 
(a a)
(b b)
±
±
δ
δ → multiplicando por: 
(b b)
(b b)
±
±
δ
δ :
c ± δc = (a ± δ a) (b ± δ b) 
 (b ± δb) (b ± δb)
Pela Propriedade distributiva, vem:
c ± δc = (a . b) ± (a . δ b) ± (b . δ a) 
 (b)2 ± 2 b . δb ± (δb)2
Novamente podemos assumir que, se os instrumentos de medida usados para determinar a e b 
são precisos o suficiente, então δa e δb são muito menores que a e b. Desta forma desprezamos o 
resultado do produto b . δb, bem como a parcela (δb)2, pois ambas comparadas a b2 são muito 
pequenas. Neste caso, ficamos com:
c ± δc = (a . b) ± (a . δ b) + (b . δ a) 
 (b)2 (b)2
c ± δc = a ± (a . δ b) + (b . δ a) 
 b (b)2
Como IDEALMENTE c = 
a
b
, então pela última relação acima:
δc = (a . δ b) + (b . δ a) 
 (b)2
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De forma resumida temos a seguinte tabela:
TABELA 1: CÁLCULO DAS INCERTEZAS RELATIVAS
PARA AS OPERAÇÕES SIMPLES
GRANDEZA INCERTEZA
c = a + b δc = δa + δb
c = a - b δc = δa + δb
c = a . b δc = (a . δb) + (b . δa)
c = 
a
b
 δc = (a . δ b) + (b . δ a) 
 (b)2
De forma compacta, nos referimos à grandeza cujo valor foi medido indiretamente por X = XI 
± δXI, onde XI é o valor obtido por uma expressão matemática e δXI é obtido pela propagação de 
incertezas. 
Em muitos casos, uma grandeza “w” é função algébrica do PRODUTO de grandezas “xi”, 
sendo cada uma elevada a um expoente “ni”, ou seja, w = f(x1n1, x2n2 , x2n2 , ... xNnN ). Caso seja este o 
caso, uma alternativa às expressões para multiplicação e divisão consiste na fórmula a seguir 
(consulte livros de cálculo numérico para maiores detalhes...):
i
i
N
i
i x
xn
w
w δδ
1
∑
=
=
Vale informar que, formalmente, a incerteza sempre poderá ser calculada pelas derivadas 
parciais da função que expressa a grandeza indireta, em relação às grandezas diretas; ou seja:
∑
=
∂
∂
=
N
i
i
i
x
x
ww
1
δδ
Uma derivada parcial , como por exemplo 
2x
w
∂
∂
, consiste, de forma simplificada, em obter a 
função derivada de w em relação à x2, assumindo as demais N-1 variáveis (as demais grandezas 
diretas) constantes (consulte livros de cálculo diferencial e integral, bem como de cálculo numérico 
para maiores detalhes).
Os termos do tipo 
ix
w
∂
∂
 são ditos fatores de sensibilidade da grandeza w em relação à 
grandeza xi.
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1.4 Observações
- Lembremos sempre que qualquer grandeza traz consigo uma incerteza. Conhecer apenas o 
valor lido num equipamento ou o obtido por uma fórmula NÃO BASTA para quantificarmos a 
grandeza. É necessário expressar também sua incerteza.
- Em geral usamos anotação X ± δX para expressar o valor da grandeza X.
- No caso de Grandezas Diretas a Incerteza equivale á metade da sensibilidade do 
equipamento usado em sua medida.
- No caso de Grandezas Indiretas, equivale ao número obtido por meio de fórmulas 
apropriadas à cada caso.
- INCERTEZAS SÓ TEM UM ALGARISMO SIGNIFICATIVO NÃO NULO : os valores 
0,33 mm e 0,37 s devem ser arredondados para 0,3 mm e 0,4 s, respectivamente.
- No caso de Grandezas Indiretas, TRUNCAMOS o número obtido pela fórmula usada para 
calculá-la na mesma casa decimal do algarismo não nulo da incerteza. Ex: se pela expressão 
matemática (“fórmula”) que define “c” obtêm-se c = 4,876321778 cm , e se a fórmula para 
propagação da incerteza forneceu δc = 0,6711987 cm, então o resultado CORRETO é: c = 4,9 ± 0,7 
cm.
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2. O Sistema Internacional de Unidades
2.1 Unidades Fundamentais
As unidades de medida consistem essencialmente na nomeação dos valores-padrão 
estabelecidas para medir uma dada grandeza.
O Sistema Internacional de Unidades estabelece as seguintes unidades-padrão:
( A ) Para COMPRIMENTO : o metro, simbolizado por “m”;
( B ) Para TEMPO : o segundo, simbolizado por “s”;
( C ) Para MASSA : o quilograma, simbolizado por “kg”;
( D ) Para TEMPERATURA : o kelvin, simbolizado por “K”;
( D ) Para CORRENTE ELÉTRICA : o ampère, simbolizado por “A”;
( E ) Para INTENSIDADE LUMINOSA : o candela, simbolizado por “cd”;
( D ) Para QUANTIDADE DE SUBSTÂNCIA: o mol, simbolizado por “mol”.
 
Dentre outros sistemas de unidades, temos o TÉCNICO e o BRITÂNICO, que ainda são 
empregados por razões de compatibilidade (principalmente por motivos comerciais).

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