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*
Capítulo 16 Ondas I
Tipos de ondas
Transversais 
Longitudinais	
Amplitude, Fase, Frequência, Período e Velocidade de uma onda progressiva
Ondas Mecânicas 
Propagação ao longo de uma corda esticada 
Equação de Onda 
Princípio de Superposição de Ondas 
Interferência de Ondas 
Ondas Estacionárias, Ressonância
(16 – 1)
*
Uma onda é definida como uma perturbação que se auto-sustenta e se propaga no espaço com velocidade constante
Ondas podem ser classificadas nas três seguintes categorias:
Ondas Mecânicas. Estas involvem movimentos que são governados pelas leis de Newton e somente podem existir dentro de meios materias tais como ar, água, rocha, etc. Exemplos comuns são: ondas sonoras, ondas sísmicas, etc.				
Ondas Eletromagnéticas. Estas ondas involvem propagação de perturbações no campo elétrico e magnético governados pelas equações de Maxwell. Eles não necessitam de um meio material para se propagarem mas elas podem se propagar no vácuo. Exemplos comuns são: ondas de radio, visível, infravermelho, ultravioleta, raios-x, raios gama. Todas as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade c = 300.000 km/s
Ondas de Matéria. Todas as partículas tais como elétrons, prótons, neutrôns, átomos têm uma onda associada com elsa governadas pela equação de Schroedinger.
(16 – 2)
*
(16 – 3)
Ondas Transversais e Longitudinais
Uma onda na qual a perturbação é perpendicular com a velocidade de propagação da onda ela é chamada “onda transversal”. Como exemplo tem-se uma onda mecânica que se propaga ao longo de uma corda. O movimento de cada parte da corda é ao longo do eixo y; a onda se propaga ao longo do eixo x. 
Uma onda na qual a perturbação é paralela a velocidade de propagação da onda é chamada de “onda longitudinal”. Ela é produzida pela oscilação de um pistão em um tubo cheio de ar. A onda resultante involve o movimento das moléculas de ar ao longo do tubo paralela a direção da velocidade de propagação da onda.
*
(16 – 5)
*
(16 – 6)
Considere dois perfis de uma onda harmônica nos tempos e . Durante o intervalo de tempo
a onda terá viajado uma distância . Um método de achar a velocidade é imaginar que nos movemos
 com mesma velocidade ao longo do eixo x. Neste caso a onda parece-rá que não muda.
Derivando com relação ao tempo, temos:
Se a onda viajar no sentido do x negativo, temos:
*
(16 – 7)
Velocidade de uma onda em uma corda esticada
 
 velocidade da onda na corda ?
 - densidade linear; - tensão na corda
 - pequena secção da corda
Observação: A velocidade depende da tensão e da densidade linear, 
 mas não da frequência da onda
Força resultante (equação I)
para pequenos ângulos
2a lei de Newton (equação II)
Comparando I com II
*
(16 – 8)
ponto a: 
y e u são iguais a zero
ponto b: 
y e u têm um máximo
Taxa de transmissão de energia
Taxa média 
Taxa que a energia cinética se propaga pela corda 
*
*
(16 – 9)
 Equação de Onda
Uma onda transversal se propaga ao longo da corda cuja resultante das forças em y é:
;
x
*
(16 – 10)
O princípio de superposição de ondas
A equação de onda
embora deduzida para uma onda transversal se propagando ao longo de uma corda tensionada, é verdadeira para todos os tipos de ondas. A equação é linear, o que significa se y1 e y2 são soluções da equação de onda, a função c1y1 + c2y2 também é solução. Onde c1 e c2 são constantes. O princípio da superposição é uma consequência direta da linearidade da equação de onda. 
Considere que as funções e descrevem os deslocamentos independentes. 
Considere as duas ondas se sobrepondo no mesmo ponto P. O deslocamento em P quando
 ambas as ondas estiverem presentes será dado por: 
Obs: A sobreposição das ondas não altera a viajem de cada uma delas
*
(16 – 11)
Interferência de Ondas
Considere duas ondas harmônicas de mesma amplitude e frequência que se propagam ao longo do eixo x. A diferença de fase é . 
 As ondas se combinam (interferência)
A onda resultante tem mesma frequência, nova amplitude e nova fase 
*
 
Identidade trigonométrica
sen α + sen β = 2 sen 1 (α + β) cos 1 (α - β)
 2 2
 
*
(16 – 12)
Interferência Construtiva
A amplitude de duas ondas interferindo é dada por:
O seu máximo ocorre se 
O deslocamento da onda resultante é:
Este fenômeno é conhecido como interferência 
totalmente construtiva
*
(16 – 13)
Interferência Destrutiva
A amplitude de duas ondas interferindo é dada por:
O seu mínimo ocorre se 
O deslocamento da onda resultante é:
Este fenômeno é conhecido como interferência 
totalmente destrutiva
*
(16 – 14)
Interferência Intermediária
A amplitude de duas ondas interferindo é dada por:
Quando a interferência não é nem totalmente construtiva e nem totalmente destrutiva ela é chamada de intermediária
Um exemplo é dado se
Neste caso
O deslocamento da onda resultante é:
Nota: Algumas vezes a diferença de fase é expressa como uma diferença no comprimento de onda.
Neste caso lembre-se que :
*
(16 – 15)
Fasores
Um fasor é um método para representar uma onda cujo 
deslocamento é:
A magnitude é igual a da amplitude da onda
A sua origem é em e ele gira no sentido horário ao 
	redor de um eixo que passa por com velocidade
A projeção do fasor no eixo y é igual a
O diagrama de fasores pode representar mais de uma
 onda. O deslocamento da segunda onda é:
O fasor da segunda onda forma um ângulo de com o
 fasor da primeira onda indicando lags behind onda 1 por
um ângulo de fase 
*
(16 – 16)
Adição de vetores usando fasores
Considere duas ondas com mesma frequência mas diferentes amplitudes. Elas também têm uma diferença de fase .
Superpondo as duas ondas teremos:
Onde é a amplitude da onda e o ângulo de fase
Para determinar nós somamos os dois fasores que representam as ondas.
Obs: O método do fasor pode ser usado para somar vetores que têm diferentes amplitudes
*
(16 – 17)
Ondas Estacionárias:
Considere a superposição de duas ondas que têm a mesma frequência e amplitude mas viajam em sentidos opostos. Os deslocamentos das duas ondas são:
O deslocamento da onda resultante é:
Ela é uma onda viajando mas uma oscilação que têm a posição dependente da amplitude. Ela é chamada de onda estacionária
*
(16 – 18)
O deslocamento de uma onda estacionária é dado por
O deslocamento que é dependente da amplitude que é dada por: 
Nós: São as posições cuja a amplitude da onda estacionária se anula.
Antinós: são as posições cuja a amplitude da onda estacionária é 
máxima.
Obs 1: A distância entre nós e antinós adjacente é 
Obs 2: A distãncia entre um nó e um antinós adjacente é 
*
(16 – 19)
Ondas Estacionárias e Ressonância
	Considere uma corda sob tensão a qual é presa nos pontos A e B separados por uma distãncia L. Enviamos uma onda harmônica para o lado direito. A onda é refletida no ponto B e passa a viajar para a esquerda. Novamente a onda reflete só que em A e cria uma terceira onda viajando para a direita. Logo temos um grande número de ondas se sobrepondo.
	Para certas frequências a interferência produz uma onda estacionária. Tal onda estacionária é dita estar em ressonância. As frequências as quais a onda estacionária ocorre são conhecidas como frequências ressonantes do sistema*
(16 – 20)
Ressonâncias ocorrem quando a onda estacionária resultante satisfaz as condições de contorno do problema.
Condições de contorno (amplitude igual a zero nos ponto A e B)
1a harmônico (fundamental) na fig a. Dois nós 
2a harmônico na fig b. Três nós 
 
3a harmônico na fig c. Quatro nós 
Neste caso 
comprimento de onda ressonante frequência de onda ressonante
 
 
*
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Ex1
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Ex 2
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Ex 3
CAIU
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Ex 4
CAIU
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Ex 5
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Ex 6
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Ex 7
CAIU
COMEÇAR DAQUI
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Ex 8
CAIU
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Ex 9
CAIU
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Ex 10
CAIU
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Ex 11
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Ex 12
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