2015 1 AP2 C2 Gabarito

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ág
in
a1
 
 
 
AP2- CÁLCULO II-2015/1 Gabarito 
Solução da 1a Questão (2,5 pontos). 
 
(a) (1,0 ponto) 
 
Figura 1 
 
Do triângulo associado tem-se: 
2
3tg
tg
3sec3
xx
dx d
  







 . Também temos 2
29 sec 9 3sec
3
x
x     
 
Assim, 
2
2
3sec 1 sec 1 1
cossec ln | cossec cot |
(3tg )(3sec ) 3 tg 3 39
1 d
dx d g C
x
d
x
                
Logo
 
2
2
1 9 3
ln | |
39
1 x
dx C
x xxx

   


. 
 
(b) (1,5 ponto) 
 
Observe que a função racional dada é própria. No denominador, o fator quadrático irredutível 
2 4x 
 ocorre duas vezes então a decomposição em frações parciais é 
 
 
2
2 2 2 22
4
( 4) 4 ( 4)
x x
x x
Ax B Cx D
x
 

 
 


 (*) 
Para determinar os valores de 
,A B
,
C
e 
D
multiplicamos ambos os lados da expressão (*) 
pelo denominador 
2 2( 4)x 
, obtendo 
 
2 24 ( 4)( )x x x Cx DAx B     
 
2 3 24 4 4x x Ax x B Cx DAx B      
 
2 3 24 4 4( )x x x A BC x DAx B     
 
Logo 
0
1
4 1
4 4
A
B
A C
B D

 

  
  
 Logo 
0, 1, 1 e 0B C DA    
 
 
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Substituindo em (*) os valores de 
, ,A B C
 e
D
 achados, dá: 
 
2
2 2 2 22
4
( 4) 4
1
( 4)
x x
x x
x
x
 

 



, logo 
 
2
2 2 2 22
4
( 4) 4 ( 4)
x x
dx dx
x x
dx x
x
 

 


  
 
Por outro lado 
12
1
4 2 2
arctg
dx x
C
x
 
 
  

. 
2 4
2
2 22 2 2 2
1 1 1
( 4) 2 2 2( 4)
u x
du xdx
x du
C C
x u u x
dx
 


    
 
 
 
Portanto 2
2 2
4
( 4)
dx
x x
x
 
 2
1 1
2 2 2( 4)
arctg
x
C
x
 
   
 
. 
 
Solução da 2a Questão (2,0 pontos). 
 
(a) (1,0 ponto) 
 
3
4
1
ln
dx
x x


 
     
ln
1
ln
3 3 3 2
4 ln 4 ln 4
ln
ln
4 4 ln 4
1 1 1
( )
2ln ln
lim lim lim
u x
du dx
x u t
x u u
x t u t
t t
t t t
du
dx dx
ux x x x u



   
  

  

  

  
 
2 2 2 2
1 1 1 1
( )
2(ln ) 2(ln 4) 2(2ln 2) 8(ln 2)
lim
t t
   
, 
pois 
2
1
2(ln )
lim 0
t t

. 
 
(b) (1,0 ponto) 
3
2
( 1)
1
x x
dx


 
Observe que a integral dada é uma integral imprópria sobre um intervalo não limitado. 
Note que 
3 2
0
1
( )
x
f x 
 e 
3
1
( ) 0
( 1)
g x
x x
 

 em 
[2, )
 
Usaremos o critério de comparação no limite com 
( )f x
 e
( )g x
 acima definidas. 
23 2
3
2
3
3
3 2
1
( )
lim lim lim lim 1 (0, )
1( )
( 1)
( 1)
x x x x
f x x xx
g x x
x x
x x
x   

     


. Então as 
integrais impróprias 
3
2
1
( 1)
dx
x x


 e 
3 2
2
1
x
dx


 comportam-se da mesma maneira, ou 
seja, ambas convergem ou ambas divergem. Por outro lado, do primeiro exemplo referencial, 
sabemos que“ 1
r
a
dx
x


 com 
0a 
 converge se 
1r 
 e diverge se 
1r 
”. Assim neste 
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caso 
2 0a  
 e
2
1
3
r 
, logo 
3 2
2
1
x
dx


 diverge. Portanto 
3
2
1
( 1)
dx
x x


 também 
diverge. 
 
Solução da 3a Questão (3,0 pontos). 
 
(a) (1,5 ponto) Volume em torno do eixo Ox. 
 
 Figura 2 
Na Figura 2, identificamos a função raio do retângulo típico vertical 
( ) xR x e
para 
[0,1]x
. Note que 
0( )R x 
 nesse intervalo. O volume 
V
 é dado pela fórmula 
 
2
( )
b
a
R x dxV  
. Assim, o volume neste caso é 
1
2 2
0
1 1
2
0 0
1
2
x x xe dx e dx eV            
  
   
 
 
2 0 2
2 2
1 1 1
1 [ 1]
2 2 2 2
e
e e
e e
                    
      

 unidades de volume. 
 
(b) (1,5 ponto) Volume em torno do eixo Oy. 
 
 Figura 3 
Na Figura 3, identificamos a função altura da casca típica 
( )h x
 e o raio médio da casca típica 
( )r x
 onde 
( ) xh x e
 e 
( )x xr 
 para 
0 1x 
. Note-se que 
0( )h x 
e 
( ) 0xr 
 
nesse intervalo. 
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O volume é dado pela fórmula 
( ) ( )2
b
a
xr h x dxV  
. Assim, o volume neste caso é 
 0
1
1
1 1
0
0
1
0
] 222
x x
x x x x
u x du dx
dv e dx v e
xe e dx e edx xeV 
 
    
  
  
            
  
 1 1 0 1
2
2 2 [1 2 ] 2e e e e e
e
           
 unidades de volume. 
 
Solução da 4ª Questão (2,5 pontos) 
(a) (1,0ponto) Dada a equação diferencial 
2sen
dy
x y x
dx

, então 
2sen
dy
x x dx
y


2sen
dy
x x dx
y
 
 
Logo 
2
1
1
ln cos
2
y x C   
2 2
1
1 1
cos cos
2 2
x C x
y e y Ce
  
  
, é a solução geral. 
Como 21 1 1cos0
2 2 21 (0)y Ce Ce C e
 
    
 21 1 cos
2 2
x
y e e

  .
 
Portanto a solução particular é 21(1 cos )
2
x
y e


. 
(b) (1,5 ponto ) Dada 
4 4 41 14 4
4 4
x x xy e y y y e y y e         
 
é a equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão, onde 
1
( )
4
p x  
 e 
4
1
( )
4
x
q x e
 sendo 
p
e 
q
 funções contínuas em . Podemos utilizar a fórmula para a 
solução geral ou podemos trabalhar por etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. 
Note que 
1 1
( )
4 4
p x dx dx x x     
. Assim, o fator integrante é 
1
4( ) , .( )
xp x dx
xx e e   Logo, multiplicando a equação diferencial pelo fator 
( )x
, resulta: 
 4
4 4 4 4
1
1 1
4 4
x
x x x x
d
e y
dx
y e e y e e

    
 4 41 1
4 4
x xd e y e y dx
dx
     
 
4 1
4
xe y x C   
Logo
 
4
4
x xy e C
 
  
 
 , onde 
C
 é uma constante arbitrária, é a solução geral da equação 
diferencial linear dada.