lista_de_exercicio_parte_1 feito

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
Prof. Fa´bio Freitas Ferreira - A´lgebra Linear II - 10 - 09 -2009
1. Verifique se e´ verdadeira ou falsa cada afirmac¸a˜o e justifique sua re-
sposta.
a) AB ∈ −→AB b) AB//CD =⇒ −→AB//−−→CD
2. Vale a igualdade ‖u + v‖ = ‖u‖ + ‖v‖ para quaisquer vetores u e v?
Justifique sua resposta. E quanto a ‖u− v‖ = ‖u‖ − ‖v‖?
3. Na figura representa-se um paralelep´ıpedo ABCDEFGH. Sendo =−→
AB, v =
−−→
AD e w =
−→
AE,
−→
AG e
−−→
EC em func¸a˜o de u, v e w.
4. No exerc´ıcio anterior, exprima
−−→
HB e
−−→
DF em func¸a˜o de u, v e w.
Obs.: No exerc´ıcio anterior a estrate´gia e´ ”caminhar” da origem ate´ a
extremidade.
5. Sendo u, v e w representados na figura, represente −→x = 2u− v + 5w/4
por uma flecha de origem 0.
6. Resolva, na inco´gnita −→x , a equac¸a˜o 2−→x − 3−→u = 10(−→x +−→v ).
7. Fac¸a o que se pede:
a) Desenhe os eixos que represente geometricamente o IR2.
1
b) Represente graficamente, nestes eixos, os seguintes pontos: A =
(1, 5), B = (4, 1), C = (−1, 3), D = (3,−1), E = (−1,−1), F =
(0,−3), G = (−1, 0) e O = (0, 0).
8. Fac¸a um esboc¸o do conjunto de todos os pares unita´rios do IR2. Que
conjunto e´ este?
9. Determine a equac¸a˜o das seguintes circunfereˆncias:
a) de centro da origem e raio 2.
b) de centro no ponto (1, 3) e raio 2.
10. Desenhe duas flechas em IR2 que representam o mesmo ponto A =
(2, 1).
11. Deˆ exemplos de:
a) um elemento do IR2.
b) uma equac¸a˜o cartesiana de uma reta em IR2.
c) equac¸o˜es parame´tricas de uma reta em IR2.
12. Determine as equac¸o˜es:
a) cartesiana e parame´tricas de uma reta em IR2 que conte´m os pontos
(1, 1) e (3,−1).
b) parame´trica e cartesiana da reta em IR2 que conte´m o ponto (4, 2)
e tem direc¸a˜o de u = (1, 2).
c) da reta paralela a` reta 2x + 3y = 1 e que conte´m o ponto (1, 1).
d) da reta perpendicular a` reta 2x + 3y = 5 contendo a origem.
13. E´ correto dizer que:
a) (x, y, 0) ∈ IR2? Justifique.
b) IR2 ⊂ IR3? Justifique.
14. Considere o IR3:
a) qual e´ o tipo do conjunto de todos os ternos unita´rios?
b) determine todos os unita´rios que tem a direc¸a˜o de u = (1,−2, 2).
15. Qual e´:
a) a relac¸a˜o geome´trica entre o terno ordenado (a, b, c) e o plano ax +
by + cz = d? Justifique.
b) o produto vetorial de (1, 1, 1) e (1, 2, 3)?
c) o produto vetorial de (1, 1, 1) e (2, 2, 2)?
d) a interpretac¸a˜o geome´trica do produto vetorial?
16. Determine as equac¸o˜es de:
a) uma reta que conte´m o ponto (1, 1, 1) e tem a direc¸a˜o do terno
2
u = (1, 2, 3).
b) uma reta que conte´m os pontos (1, 1, 1) e (1, 2, 3).
c) um plano contendo a origem e perpendicular a u = (1,−1, 1).
d) um plano paralelo ao do item anterior e contendo o ponto A =
(1, 1, 1).
e) um plano contendo os pontos A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3) e C =
(3, 2, 1).
3