Aula 1 Medida e Vetores

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Profª. Ms Wangner Barbosa da Costa
wangner@bol.com.br
https://sites.google.com/site/wangnercostaprofadefisica
Física (Mecânica Oscilatória)
Faculdade de Tecnologia de Bauru
Automação Industrial
2
Albert Einstein
INTRODUÇÃO
é o fato de ser compreensível”
“O que a natureza tem de mais incompreensível
 Objetivos da Física
 Definição de grandeza
 Grandezas Fundamentais da Mecânica
 Grandezas Derivadas
 Padrões de comprimento, massa e tempo
 Sistema Internacional de Unidades (SI)
 Ordem de grandeza
 Grandezas derivadas do SI
 Múltiplos e submúltiplos do SI
 Regras de notação
 Conversão de unidades
 Análise dimensional
 Algarismos significativos
 Sistemas de coordenadas
 Grandezas escalares e vetoriais
 Vetores
3
A palavra física tem origem grega (physike) e
significa ciência da natureza
A Física é uma
das ciências que estuda a natureza
e suas propriedades
4
O objetivo da Física é fornecer uma compreensão
quantitativa de certos fenômenos básicos que ocorrem
no nosso Universo.
5
As leis físicas são formuladas como equações
matemáticas.
amF


Exemplo: 
Os fenômenos físicos são descritos
matematicamente.
6
A Física é a ciência mais fundamental e por isso os
fenômenos químicos, biológicos… em princípio,
podem ser explicados pelas leis da física.
 mas na prática isso é difícil de acontecer uma vez
que envolve equações muito complexas.
Aplicações de avanços básicos da física têm grande
impacto em outras atividades como:
TECNOLOGIA
COMPUTAÇÃO 
ENGENHARIA
MEDICINA
MATEMÁTICA
7
DEFINIÇÃO DE GRANDEZA:
Propriedade de um corpo que é suscetível de ser
caracterizado qualitativamente e determinado
quantitativamente.
Tudo aquilo que pode ser medido chama-se
"grandeza", assim, o peso, o comprimento, o
tempo, o volume, a área, a temperatura, são
"grandezas".
8
Exemplo:
Esta esfera tem várias propriedades
VELOCIDADE MASSA VOLUME
9
 este número é o resultado da comparação entre
quantidades semelhantes, sendo que uma delas é
padronizada e considerada unidade.
A observação de um fenômeno físico não é 
completa se não pudermos quantificá-lo 
para é isso é necessário medir uma propriedade física.
O processo de medida:
 consiste em atribuir um número a uma propriedade
física;
Exemplos:
Massa: 5 kg (quilograma)
Comprimento: 5 m (metro)
10
GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
COMPRIMENTO
MASSA
TEMPO
São admitidas como independentes entre si
11
GRANDEZAS DERIVADAS
Exemplos de grandezas derivadas:
amF


Força 
As unidades derivadas são obtidas por
multiplicação e divisão das unidades
fundamentais
2m/s kg 1N 1 
Aceleração 
2t
x
a 
2m/s 
12
EXPRESSÃO DE UMA GRANDEZA
UNIDADE - grandeza da mesma espécie que a grandeza que se pretende exprimir,
tomada como padrão de referência.
VALOR NUMÉRICO - número de vezes que o padrão está contido na
grandeza considerada.
Exemplo: o metro para o comprimento
Assim, para expressar uma grandeza é necessário: 
• Definir um sistema de unidades;
• Usar um método de medição (para obter o valor numérico).
m 6L
13
PADRÕES DE COMPRIMENTO, MASSA E TEMPO
1/299 792 458 de segundo
COMPRIMENTO
Hoje, define-se o metro como a distância linear percorrida pela luz no
vácuo, durante um intervalo de
Em 1983, chegou-se a atual definição
do metro, baseada no comprimento
de onda da luz gerada por um laser
de Hélio-Neon no vácuo.
Velocidade da luz no vácuo:
km/s 000 300m/s 458 792 299 c
A barra de platina-irídio
utilizada como protótipo do
metro de 1889 a 1960.
14
MASSA
Em 1889, na Primeira Conferência
Geral sobre Pesos e Medidas o
quilograma (kg) foi definido como
a massa equivalente
a massa de um cilindro de liga
de platina-irídio
A massa padrão está guardada no
Bureau Internacional de Pesos e
Medidas em Sèvres, França
15
TEMPO
Os átomos de Césio absorvem energia na
cavidade de microondas e ficam em
ressonância.
RELÓGIO ATÔMICO
Átomos de Césio sempre emitem nesta mesma frequência: bom padrão de medida de
tempo
Em 1967 o segundo foi redefinido como o tempo necessário para completar
9 192 631 770 vibrações de um átomo de césio
NBS-4
3
F
4
F
E
hfE 
Átomos de Césio 133 têm uma transição
entre níveis energéticos hiperfinos numa
frequência (f ) de 9 192 631 770 ciclos/s ( Hz)
16
Padrão mundial de tempo (1999) NIST-F1
1967: NBS- 4  precisão de 1 segundo em 30 000 anos
2011: NPL- CsF2  precisão de 1 segundo a cada 138 milhões de anos
 do relógio atómico do Laboratório de Física Nacional da Grã-Bretanha que é o
mais preciso do mundo.
17
SISTEMA INTERNACIONAL (SI) DE UNIDADES
As unidades METRO, QUILOGRAMA e SEGUNDO para o
COMPRIMENTO, MASSA e TEMPO, respetivamente, são unidades do SI
Um comitê internacional estabeleceu um sistema de definições e padrões
para descrever grandezas físicas fundamentais chamado sistema SI
(sistema internacional).
SÃO AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
18
Distância (em metros) Tempo (em segundos) Massa (em quilogramas)
Raio do próton: 10-15 Tempo para a luz percorrer 1 m: 10-9 Elétron: 10-30 
Raio de um átomo: 10-10 Batida do coração humano: 100 Próton: 10-27 
Raio de um vírus: 10-7 Hora: 103 Hemoglobina: 10-22
Altura de um homem: 100 Dia: 104 Gota de chuva: 10-6 
Montanha mais alta: 104 Ano: 107 Formiga: 10-2 
Raio da Terra: 107 Vida humana: 109 Ser humano: 102 
Distância da Terra ao Sol: 1011 Idade da Terra: 1016 Terra: 1024 
Distância à estrela mais próxima: 1016 Idade do Universo: 1016 Sol: 1030 
Distância (em metros) Tempo (em segundos) Massa (em quilogramas)
Raio do próton: 10-15 Tempo para a luz percorrer 1 m: 10-9 Elétron: 10-30 
Raio de um átomo: 10-10 Batida do coração humano: 100 Próton: 10-27 
Raio de um vírus: 10-7 Hora: 103 Hemoglobina: 10-22
Altura de um homem: 100 Dia: 104 Gota de chuva: 10-6 
Montanha mais alta: 104 Ano: 107 Formiga: 10-2 
Raio da Terra: 107 Vida humana: 109 Ser humano: 102 
Distância da Terra ao Sol: 1011 Idade da Terra: 1016 Terra: 1024 
Distância à estrela mais próxima: 1016 Idade do Universo: 1016 Sol: 1030 
A ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima desse número
ORDEM DE GRANDEZA
A ordem de grandeza de 82 é 102, pois 8.2 x 10 está próximo de 100
Exemplo
ALGUMAS ORDENS DE GRANDEZA DE DISTÂNCIA, TEMPO E MASSA
A ordem de grandeza de 0.00022 = 2.2 x 10-4 é 10-4
19
EXEMPLOS DE GRANDEZAS DERIVADAS NO SI
UNIDADES DERIVADAS COM NOMES ESPECIAIS NO SI
20
COMPARAÇÃO DOSI COM OUTROS SISTEMAS
UNIDADES FORA DO SI
21
NOMES DOS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO SI
22
REGRAS DE NOTAÇÃO
• Nomes dos prefixos para submúltiplos com minúsculas e para múltiplos com 
maiúsculas 
• Símbolos dos prefixos em caracteres romanos direitos sem espaço que os
separe da unidade
• Símbolos não têm plural
• As unidades com nomes próprios 
• Expoentes de símbolo de unidade com prefixo afectam o múltiplo ou submúltiplo 
dessa unidade 
• A barra lê-se: por e não se utiliza mais do que uma na mesma sequência 
• Usar ponto ou espaço entre unidades, sobretudo se houver ambiguidade
Com exceção de k, h e da
Exemplos: mm, MJ, kg, kPa
Exemplo: Pa – pascal
Exemplo: 1 km2= 106m2
Exemplo: m/s
Exemplo: m s-1 ou m  s-1 e não ms-1 que é o milissegundo
23
REGRAS DE NOTAÇÃO (cont.)
• Deixar um espaço entre o valor numérico e o símbolo da unidade
• Escrever as grandezas vectoriais em itálico negrito ou itálico normal com seta 
por cima (sobretudo quando manuscrito)
• Escrever símbolos das grandezas em caracteres itálicos
• Recomenda-se o uso de espaço entre grupos de três algarismos
Exemplos: m, T, t, V, v
Exemplos: v ou
v

• Note que min, h e d são símbolos e não abreviaturas (não usar ponto)
• Usar notação científica para ajustar o valor em função do nº de algarismos
significativos
Exemplo: 3.2 x 106 e não 3 200 000, para dois algarismos
significativos
24
CONVERSÃO DE UNIDADES
Multiplicação da unidade original por fatores de conversão
Exemplo de fator de conversão: 1 min = 60 s
A razão entre 1 min e 60 s será
1
s 60
min 1
 1
s 60
s 60
s 60
min 1

Converter 145 s em minutos
min 42.2min..4166.2
s 60
min 1
s 145s 145 
25
ANÁLISE DIMENSIONAL
Dimensão de uma grandeza V no SI
As dimensões escrevem-se em caracteres direito !
L, M, T dimensões das grandezas de base da Mecânica
Expoentes dimensionais
 γβ, α,
A palavra DIMENSÃO tem um significado especial em física
denota a natureza física de uma grandeza
Não importa se uma distância é medida em metros ou em pés, ela é uma
distância e dizemos que a sua dimensão é o COMPRIMENTO
  1TML 000 V Grandeza adimensional
Se os expoentes forem nulos a grandeza é adimensional
26
DETERMINAÇÃO DA DIMENSÃO DE UMA GRANDEZA DERIVADA
As dimensões de uma grandeza derivada determinam-se a partir da sua equação de
definição através das substituições :
T s
M kg
L m



Exemplos
grandeza símbolo Equação de 
definição
dimensão
Área A A = l1 x l2 L x L = L
2
Velocidade v v = l / t L / T = L T-1
Aceleração a a = v / t L T-1 / T = L T-2
Força F F = m a M L T -2
27
GRANDEZAS DE MESMA DIMENSÃO
HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL DAS EQUAÇÕES FÍSICAS
Os dois membros de uma equação física devem ter as mesmas unidades
Exemplo
Momento de uma força
  -22 TMLM

  -22 TMLW
Trabalho
O método de análise dimensional é útil para verificar as equações 
e para auxiliar na derivação de expressões !
vtxx  0
  Lx
     LTTLL 1111
0
 tvx
28
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS (AI)
Os algarismos significativos de um número são os dígitos diferentes de zero, 
contados a partir da esquerda até o último dígito diferente de zero à direita,  caso não
haja ponto decimal, ou até o último dígito (zero ou não) caso haja ponto decimal
0.03200 ou 3.200 x 10-2 4 AI
Exemplos
3200 ou 3.2 x 103 2 AI
3200. ou 3.200 x 103 4 AI
3200.0 ou 3.2000 x 103 5 AI
32.050 ou 3.205 x 104 4 AI
0.032 ou 3.2 x 10-2 2 AI
29
O número de algarismos significativos de uma grandeza medida ou de
um valor calculado, é uma indicação da incerteza
No processo de medida existe sempre uma margem de erro 
Portanto as medidas sempre têm uma certa dose de imprecisão
Os instrumentos que utilizamos na medida de grandezas físicas nunca nos
permitem obter o valor exato dessas mesmas grandezas
Embora o valor exato não seja conhecido, podemos estimar os limites do
intervalo em que ele se encontra
O cálculo da incerteza associada a uma medição permite avaliar o grau de
confiança nos resultados obtidos
30
1,23 x 4.321 = 5,31483 => 5,31 tem 3 AS
OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
(AS)
1,2 x 10-3 x 0,1234 x 107 / 5,31 = 278,870056497 =>
280 tem 2 AS
Regras de multiplicação e divisão: 
Regras de adição e subtração: 
5,21 - 5,1=0,1
31
SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistema cartesiano de coordenadas ou sistema de coordenadas retangulares
O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si: 
A localização de um ponto no plano cartesiano é feita pelas coordenadas do plano: 
abcissa (x) e ordenada (y)
32
SISTEMAS DE COORDENADAS
Exemplo: Coordenadas cartesianas de alguns pontos no plano.
A
B
C
D
C( –1.5 ; -2.5) → x = –1.5 e y =-2.5 
A(2 ; 3) → x = 2 e y = 3 
B(-3 ; 1) → x = -3 e y = 1 
D(0 ; 0) → x = 0 e y =0
33
As grandezas físicas podem ser escalares ou vetoriais
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
GRANDEZAS ESCALARES
Ficam completamente definidas pelo seu valor numérico e por uma unidade
Exemplos MASSA COMPRIMENTO TEMPO
GRANDEZAS VETORIAIS
Ficam completamente definidas pelo seu valor numérico, por uma unidade e pela
sua direção
Exemplos FORÇA VELOCIDADE
34
R

R

R

SOMA DE VETORES
A

B

A

B

BAR


B

A

Regra do paralelogramo
A

B

OPERAÇÕES COM VETORES
35
Soma de três ou mais vetores
36
SUBTRAÇÃO DE VETORES
 BABA


A

B

B


C
=
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
B

B

2
B

5,0
A

C

B


37
COMPONENTES DE UM VETOR
A

Decomposição de um vetor
A

são os vetores unitários das direções x e y, respectivamente
onde e são as componentes vetoriais de 
x
y
Ax e Ay são as componentes escalares do vetor
e
yx
AAA

 xA

y
A
 A

𝐴𝑦 𝑗
𝐴𝑥 𝑖
 𝑗
 𝑖
 𝑖 𝑗
 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗
38
Pode-se definir um outro conjunto de coordenadas para descrever um vetor no plano 






 
x
y
A
A
tg 1

22
yx
AAA 
Ay
Ax
e pelo seu ângulo polar:
A

A

x
y
REPRESENTAÇÃO POLAR DE UM VETOR
As componentes Ax e Ay são as chamadas componentes cartesianas do vetor
São as coordenadas polares, dadas pela norma do vetor:
î
j
cosAAx 
sinAAy 
39
SOMA DE VETORES USANDO SUAS COMPONENTES CARTESIANAS
Se
o vetor será dado em
componentes cartesianas por:
BAC


onde:
xxx BAC 
B

C

A

xA xB
yA
yB
x
y
yyy BAC 
 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗
 𝐶 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 =
= 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗 =
= 𝐶𝑥 𝑖 + 𝐶𝑦 𝑗
40
PRODUTO ESCALAR DE DOIS VETORES (PRODUTO INTERNO) 
Geometricamente, projeta-se na direção de e multiplica-se por
cosBABA  
é o ângulo formado entre as direcções de e 
ABBA )cos(  
ABBA


A

B


O resultado do produto escalar de dois vetores é um ESCALAR
A

B

cosB

BABA )cos(  
A

B

A
ou vice-versa
41
PRODUTO ESCALAR UTILIZANDO AS COMPONENTES CARTESIANAS 
Podemos escrever o produto escalar de dois vetores em termos das
suas componentes cartesianas:
mas como
Zzyyxx BABABABA 

teremos:
kkBAjkBAikBA
kjBAjjBAijBA
kiBAjiBAiiBA
kBjBiBkAjAiABA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(




,0ˆˆˆˆˆˆe1ˆˆˆˆˆˆ  jkkijikkjjii
4242
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES (PRODUTO EXTERNO)
O produto vetorial dos vetores
CBA


senBAC 
ABBA


B


A

C



C

B

A

A

B
e C
BA


é o vetor
o sentido de obedece à
regra da mão direita
C

CAB


Produto vetorial usando componentes
O produto vetorial também é distributivo. Podemos 
escrevê-lo em termos das suas componentes cartesianas 
como:
kkBAjkBAikBA
kjBAjjBAijBA
kiBAjiBAiiBA
kBjBiBkAjAiABA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(





0ˆˆˆˆˆˆ  kkjjii ikjjikkji ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ 
Mas como
e , teremos:
kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzy
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 

ijkjkikij ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ 
,
Outra forma de se escrever o produto vetorial de dois
vetores e é através do determinante da matriz formada
pelos versores e pelas componentes cartesianas dos
vetores e ao longo das suas linhas:

zyx
zyx
BBB
AAA
kji ˆˆˆ
kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzy
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 
O produto vetorial e o determinante
B

A

B

A

kji ˆeˆ,ˆ
Exemplos
1. Viajando a serviço, você se encontra em um país onde os sinais de trânsito
fornecem as distâncias em quilômetros e os velocímetros dos automóveis
são calibrados em quilômetros por hora. Se você está dirigindo a 90 km/h,
quão rápido você está viajando em metros por segundo e em milhas por
hora?
2. A pressão P em um fluido em movimento depende de sua massa
específica ρ e de sua velocidade v. Encontre uma combinação simples de
massa específica e a velocidade que tenha as dimensões corretas de
pressão.
3. Subtraia 1,040 de 1,21342.
4. Aplique a regra apropriada de algarismos significativos para calcular
2,34x102 + 4,93.
45
5. Um litro (L) é o volume de um cubo de 10 cm por 10 cm por 10 cm. Se
você bebe (exatamente) 1 L de água, qual o volume ocupado em seu
estômago, em centímetros cúbicos e em metros cúbicos?
6. Em 12,0 g de carbono há NA = 6,02x10
23 átomos de carbono (número de
Avogadro). Se você pudesse contar um átomo por segundo, quanto tempo
levaria para contar os átomos em 1,0 g de carbono? Expresse sua resposta
em anos.
7. Que espessura de borracha da banda de rodagem do pneu de seu
automóvel é gasta quando você viaja 1 km? Sabe-se que há um desgaste
de 1 cm por 60000 km rodado.
8. Você caminha 3,0 km para o leste e depois 4,0 km para o norte.
Determine seu deslocamento resultante somando graficamente estes dois
vetores deslocamento.
46
9. Você está trabalhando em um resort tropical, e está preparando uma
atividade de caça ao tesouro para os hóspedes. Você recebeu um mapa e
instruções para seguir suas indicações e enterrar um “tesouro” em dado
local. Você não quer perder tempo caminhando pela ilha, porque precisa
concluir logo a tarefa para ir surfar. As indicações são as de caminhar 3,0
km apontando para 60° a norte do leste, e depois 4,0 km a norte do oeste.
Para onde você deve apontar e quanto deve caminhar para concluir
rapidamente a tarefa? Encontre a resposta:
a) graficamente;
b) usando componentes.
10. Dados os vetores 𝐴 = 4,0 𝑚 𝑖 + 3,0 𝑚 𝑗 e 𝐵 = 2,0 𝑚 𝑖 − 3,0𝑚 𝑗,
encontre:
a) 𝐴 ;
b) 𝐵 ;
c) 𝐴 + 𝐵 e direção (no sentido anti-horário) desse vetor soma com o eixo +x;
d) 𝐴 − 𝐵 e direção (no sentido anti-horário) desse vetor soma com o eixo +x.
47
11. Três vetores são dados por: 𝑎 = 3 𝑖 + 3 𝑗 − 2 𝑘, 𝑏 = − 𝑖 − 4 𝑗 + 2 𝑘 e 𝑐 = 2 𝑖 +
2 𝑗 − 𝑘. Determine:
a) 𝑎 . 𝑏;
b) 𝑎𝑥𝑏;
c) 𝑐𝑥𝑏;
d) 𝑎 . (𝑏𝑥 𝑐);
e) 𝑎 . (𝑏 + 𝑐);
f) 𝑎 𝑥(𝑏 + 𝑐).