LISTA1 I Mecânica

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a Clássi
a e Quânti
a
Primeiro semestre de 2014
Professor: Wellington
Lista I: Movimento em uma dimensão
1. Um 
orpo de massa m é submetido a ação de uma
força F = F0 − kt, onde F0 e k são 
onstantes
positivas e t é o tempo. Determine as equações
para x(t) e v(t).
2. Uma partí
ula de massa m, ini
ialmente em re-
pouso, está sujeita a ação da força
F = F0
[
1−
(t− T )2
T 2
]
,
durante o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 2T . Prove
que a velo
idade da partí
ula ao �nal do intervalo
é 4F0T/3m.
3. O vapor de água 
ondensa-se sobre uma gota de
huva à razão de m unidades de massa por unidade
de tempo. A gota tem uma massa ini
ial igual a M
e parte do repouso. Mostre que a distân
ia que ela
ai durante um intervalo de tempo t é
1
2
g
(
1
2
t2 +
m
M
t−
m2
M2
)
ln[1 + (m/M)t].
Despreze a resistên
ia do ar.
4. Um 
orpo move-se sujeito a uma força 
onstante F ,
através de um �uido que resiste ao movimento 
om
uma força propor
ional ao quadrado da velo
idade,
isto é Fv = −kv
2
. Mostre que a velo
idade limite é
vL =
√
F/k. Prove que a relação entre a velo
idade
e a distân
ia é
v2 = (F/k) + [v20 − (F/k)] exp(−2(k/m)x).
5. Prove que, quando um 
orpo se move sob a ação
de uma força que se opõe ao movimento, e pro-
por
ional ao quadrado da velo
idade, a velo
idade
deste 
orpo no instante t será dada pela relação
v = vL
(v0 + vL)e
(kvL/m)t + (v0 − vL)e
−(kvL/m)t
(v0 + vL)e(kvL/m)t − (v0 − vL)e−(kvL/m)t
,
onde vL é a velo
idade limite.
6. Uma partí
ula de massa m e velo
idade ini
ial v0
está sujeita a uma força F (t) que 
omporta-se 
omo
mostra a �gura abaixo.
F
t
F0
t1
Determine as equações para x(t) e v(t) no intervalo
de tempo 0 ≤ t ≤ t1.
7. Um bar
o, 
uja velo
idade ini
ial é v0, é desa
eler-
ado por uma força de atrito F = −beαv, onde α e b
são 
onstantes positivas. (a) Determine x(t) e v(t).
(b) Cal
ule o tempo ne
essário para que este bar
o
pare.
8. Uma partí
ula de massa m a
ha-se sob a ação de
uma força 
uja energia poten
ial é V = ax2 − bx3,
sendo a e b 
onstantes positivas. (a) Determine
a força; (b) A partí
ula parte da origem, x = 0,
om velo
idade v0. Mostre que, se |v0| < vc, onde
vc é uma 
erta velo
idade 
ríti
a, a partí
ula per-
mane
erá 
on�nada à região próxima da origem.
Determine vc.
9. Uma partí
ula de massa m está sujeita à ação de
uma força F = −kx + kx3/a2, onde a e k são
onstantes. (a) Determine V (x) e dis
uta os pos-
síveis tipos de movimento que possam o
orrer. (b)
Mostre que se E = 1/4ka2 é possível determinar a
2
primeira integral analiti
amente e usando isso, de-
termine x(t), es
olhendo x0 e v0 
onvenientemente.
Mostre que estes resultados 
on
ordam 
om a dis-
ussão qualitativa do item (a).
10. Uma força F0e
−αt
age sobre um os
ilador har-
m�ni
o amorte
ido de massa m, 
onstante elás-
ti
a k e 
onstante de amorte
imento b. Determine
uma solução parti
ular da equação de movimento
partindo da suposição de que existe uma solução
om a mesma dependên
ia.
11. Um 
orpo, ini
ialmente em repouso, na posição
x0, move-se ao longo de uma reta sob a ação da
força F = −k/x2, onde k é uma 
onstante positiva.
Mostre que a velo
idade em x é dada por
v2 =
2k
m
(
1
x
−
1
x0
)
.