Cálculo das Reações de Apoio

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ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
Arcos:
 g = ge = 3 – 3 = 0			 g = ge = 4 – 3 = 1		 ge = 4 – (3 + 1) = 0
 Isostática				 Hiperestática		 Isostática
 g = ge = ((3 + 2) – 3)= 2		 ge = 3 – 3 = 0			 ge = 4 – 3 = 1
					 gi = 1				 gi = 1
 Hiperestática			 Hiperestática		
Quadros:
 Conhecidos N1, V1 e M1 obtem-se os esforços N2, V2 e M2 ou em qualquer seção.
 	 ge = 3 – 3 = 0					gi = 3 
 	Não é possível traçar os 			g = ge + gi = 0 + 3 = 3
 	diagramas, só conhecidas			Hiperestática internamente
 	as reações de apoio HA, VA, VB.
g = ge + gi = 0 + 6 = 6
Hiperestática internamente
1.4 – Reações de apoio em estruturas planas:
1)
Cos ( =4/5	
Sen ( =3/5
Decompor a força de 10kN nas direções x e y:
i) (FX = 0		HA + 6kN = 0	(HA = - 6kN
ii) (FY = 0		VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN
iii) (MA = 0		7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0
(7VB = 190		( VB = 27,14N
Logo, VA = 38kN – 27,14kN = 10,86kN
Outra maneira seria:
(MA = 0
7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0
(7VB = 165+25 = 190
(VB = 27,14kN
Verificação: (MB = 0
(10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) = 0
76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0
2)
i) (FX = 0		 -HA + 40 = 0	 (HA = 40kN
ii) (FY = 0		VA + VB = 60kN
iii) (MA = 0		8VB + 80 - (40x6) – (60x4) = 0
			(8VB = 400	( VB = 50kN	
			(VA = 60 – 50 = 10kN		
Verificação: (MB = 0			(10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0
120 + 120 – 240 = 0
3)
i) (FX = 0	 HB + 4 -12 = 0 (HB = 8kN
ii) (FY = 0	 VA + VB = 6 + 8 = 14kN
iii) (MB = 0	 (4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3VA = 0
		 (3VA = 16 + 12 – 24 = 4
		 (VA = (4/3) = 1,33kN
		 (VB = 12,67kN
Verificação: (MA = 0	
r=3; b=5; n=4.		r + b = 2n
			5 + 3= 2x4
4) Pórtico Tri-articulado 
i) (FX = 0		 HA + HB +20 -12 = 0	 (HA+ HB = -8kN
ii) (FY = 0		VA + VB = 10x4 = 40kN
iii) (MA = 0		4VB - (40x2) + (12x2) – (20x4) = 0
			(4VB = 80 – 24 + 80	( VB = 34kN	
			(VA = 40 – 34 = 6kN	
iv) Momento Fletor em C é nulo (Esq. Ou Dir.)
Verif. (MD = 0 	(6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) – (40x2) = 0
			48 + 24 +24 – 80 = 0
Determinar a reação de apoio
(FX = 0 ((+)		 RAX - RBX = 0				( RAX = RBX	(I)
(FY = 0 ((+)		 RAY - RBY - 20 - 112= 0		( RAY + RBY = 132
(MA = 0 		 (20x8) + (112x4) – (6xRBX) = 0
			RBX = 160 + 448 	( RBX=101,33kN
				 6
RAX = RBX	(I)	( RAX=101,33kN
RAX = RBY	(45º)	( RAY=101,33kN
RBY = 132 - RAY	( RBY=30,67kN				
RA = RAX/cos 45º	( RA= (RAX)x2 =143,30kN
				 
	
Conferindo
(MC = 0 		(20x2) - (112x2) + (6xRBY) – (6xRAX) + (6xRAY) = 0
			10 – 224 + (30,67x6) – (101,33x6) + (101,33x6) = 0
			-184 + 184 – 608 + 608 =0
			184 – 184 = 0
	
i) (FX = 0		RAX = RBX
ii) (FY = 0		RAY – 12(12) – 30	RAY = 174kN
iii) (MA = 0		12xRBX – 30x20 – 144x6 = 0
			RBX = 600 + 864 	RBX = 122kN		RAX = 122kN
				 12
Conferindo
(MB = 0		12xRAX – 144x6 – 30x20 = 0
			1464 – 864 – 600 = 0
(MC = 0		6xRBX – 144x14 + 6xRAX – 20xRAY = 0
			122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0
			732 + 2016 + 732 – 3480 = 0
Achar as reações de apoio para a viga abaixo :
								
							
		Balanço
	72 (
	( (144/2) = 72
	34 (
	( 10 + 24 = 34
	(8x3)/9 = 2,67 (
	( (8x6)/9 = 5,33
	108,67 (
	( 111,33
Determinar as reações de apoio para a viga:
	6 (
	( (12/2) = 6
	6 (
	( 6 + 8 = 14
	2,67 (
	( (20-12)/3=2,67
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1.5 – Reações de apoio no espaço:
6 Equações de Equilíbrio:
(FX = 0;	(FY = 0;	(FZ = 0;	(MX = 0;	(MY = 0;	(MZ = 0
1) Treliça 		Isostática	r + b = 2n
					Restringida
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Inicia-se pelo equilíbrio do nó D:
Em seguida passa-se aos nós com apoios: Conhecidos agora os esforços N1, N2 e N3, para cada nó A, B ou C existem 3 incógnitas (Reações) e 3 equações de equilíbrio.
2) Pórtico Espacial
Isostática	6 reações
		6 equações de equilíbrio
		Restringida
i) (FX = 0		RAX – 2tf = 0			(RAX = 2tf 
ii) (FY = 0		RAY – 4tf = 0			(RAY = 4tf
iii) (FZ = 0		RAZ – 1tf = 0			(RAZ = 1tf
iv) (MX = 0		MAX – (4x3) – (1x5) = 0	(MAX = 17tfm
v) (MY = 0		MAY + (2x3) + (1x4) = 0	(MAY = -10tfm
vi) (MZ = 0		MAZ + (2x5) – (4x4) = 0	(MAZ = 6tfm
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10kN
10x(4/5)=8kN
10x(3/5)=6kN
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X
Y
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Momento fletor é nulo
g = 2
g = 1
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4 Incógnitas (Reação)
3 Equações Estáticas
1 Equação interna
MCD = MCE = 0
Isostática
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MC – (6x2) + (20x1) + (HAx4) = 0
Ou MC	=(6x2) – (20x1) – (4HA) 
Mas MC=0 ( 4HA= 12 – 20 = -8
(HA = – 2kN
(HB = –8 + 2 = -6kN
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3 incógnitas
N1, N2, N3
3 equações: (FX = 0, (FY = 0, (FZ = 0
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r = 3x3 = 9
b = 3
h = 4
r + b = 3xh
9 + 3 = 3x4
12 = 12
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Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas-GRUPEX
Colaboração: Programa Especial de Treinamento-PET 
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