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HERON BUSSOLIM BARBOSA Modelos cosmo´logicos alternativos de energia escura HERON BUSSOLIM BARBOSA Modelos cosmo´logicos alternativos de energia escura Orientador: Prof. Dr. Saulo Henrique Pereira Relato´rio de iniciac¸a˜o cient´ıfica. Guaratingueta´ 2014 BUSSOLIM, H.B. Estudo expansa˜o do universo, modelos cosmolo´gicos, cosmologia neo-newtoniana - Faculdade de Engenharia do Campus de Gua- ratingueta´, Universidade Estadual Paulista, Guaratingueta´. 3 Resumo A humanidade vem desde seu berc¸o procurando entender a natureza em sua volta e seu lugar nela, com este esp´ırito comec¸amos a criar modelos e os testamos sempre aprendendo algo novo e evoluindo para um entendimento da verdade. Se´culos atra´s pensa´vamos que hav´ıamos achado nosso lugar com o modelo de Newton no sec. XVII, que havia elaborado um conceito de gravitac¸a˜o onde, por atrac¸a˜o entre massas, gerava uma forc¸a e com ela o movimento, podendo este ser o lanc¸ar de uma pedra ou o movimento dos planetas que orbitam o sol. Anos mais tarde pod´ıamos ver que era um bom modelo para o sistema solar e planetas pro´ximos de no´s, mas na˜o para todo o universo. Seu modelo foi substitu´ıdo por um que usava a resoluc¸a˜o das equac¸o˜es de Einstein para a cosmologia, este modelo vem da relatividade geral e tem como resultado as equac¸o˜es de Friedmann que sa˜o usadas para o desenvolvimento deste projeto. Tendo que a matema´tica usada no modelo de Relatividade e´ complexa, podemos, como alternativa, buscar dentro da mecaˆnica newtoniana um modo para chegar nestas equac¸o˜es. Para usarmos esta formulac¸a˜o proposta em 1934 por Milne & McCrea usamos a gravitac¸a˜o de Newton e as equac¸o˜es da hidrodinaˆmica ba´sica, com a ideia de o universo se comportar como um fluido onde as gala´xias e astros em geral esta˜o uniformemente distribu´ıdos, o que na˜o e´ uma aproximac¸a˜o ruim tendo em vista que a distaˆncia entre eles sa˜o ta˜o grandes que as interac¸o˜es sa˜o pequenas o suficiente para serem desconsideradas. Para iniciar as deduc¸o˜es vamos tomar que a pressa˜o dentro do universo e´ zero depois para uma abordagem mais realista com a natureza usaremos o modelo FRW que considera uma pressa˜o diferente de zero. Usando as equac¸o˜es de Friedmann e os dados obtidos analisando o redshift de gala´xias observadas, estudaremos modelos contenso mate´ria barioˆnica, mate´ria escura, energia escura e constante cosmolo´gica Λ, atrave´s de v´ınculos com os dados observacionais. Suma´rio 1 Uma abordagem neo-newtoniana! 3 1.1 Abordagem de Milne & McCrea com modelo FRW sem pressa˜o, p = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Modelo com pressa˜o p 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Modelos Cosmolo´gicos 7 2.1 Como vemos o universo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Observac¸a˜o atrave´s do redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Vı´nculos observacionais para diferentes modelos . . . . . . . . 12 2.3.1 Universo em sua maioria composta de mate´ria . . . . . 12 2.3.2 Universo em sua maioria composto de radiac¸a˜o . . . . 13 2.3.3 Universo em sua maioria composta de uma energia des- conhecida (constante cosmolo´gica ou energia escura) . . 13 2.3.4 Chen- Wu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Conclusa˜o 19 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Cap´ıtulo 1 Uma abordagem neo-newtoniana! Iremos utilizar neste cap´ıtulo uma abordagem mais simples matematicamente para entendermos as equac¸o˜es de Friedmann e a deduzirmos. Iremos tambe´m olhar esta parte da f´ısica, a cosmologia, com uma visa˜o semi-cla´ssica atrave´s da mecaˆnica cla´ssica newtoniana. Para deduc¸a˜o das equac¸o˜es de Friedmann na cosmologia neo- newtoni- ana tomamos o universo com base nas leis da Hidrodinaˆmica cla´ssica, como no modelo de Milne e McCrea de 1934 tem pressa˜o igual a zero justamente porque a pressa˜o uniforme na hidrodinaˆmica cla´ssica na˜o desempenha qual- quer caracter´ıstica dinaˆmica. Para resolver este problema McCrea e Harri- son (1965) consideraram em suas formulac¸o˜es algumas caracter´ısticas rela- tiv´ısticas, como o sistema massa e energia, tornando a mecaˆnica usada com propriedades neocla´ssicas ou neo- newtoniana. Para esta formulac¸a˜o consideramos o universo como uma nuvem de ga´s homogeˆneo e pensando num fluido em expansa˜o onde as galaxias sa˜o part´ıculas deste ga´s, esta nuvem e´ considerada muito grande, assim a nuvem garante na˜o ter um fim e nem um centro, sendo uma nuvem homogeˆnea e isotro´pica podemos fazer os ca´lculos com uma precisa˜o consideravelmente alta. 3 1.1 Abordagem de Milne & McCrea com mo- delo FRW sem pressa˜o, p = 0. Para um modelo com pressa˜o p = 0 temos que considerar a cinema´tica nuvem do ga´s cosmolo´gico e o movimento das part´ıculas do ga´s e´ estritamente radial. Vamos considerar que |~v| = v e |~r| = r com um observador em um tempo t. Temos a Equac¸a˜o do movimento: dv(r, t) dt = −GM(r) r2 (1.1) Com a densidade ρ = M V e o volume do universo considerando como esfera, V = 4pir 3 3 , isolamos a massa na equac¸a˜o de densidade e substitu´ımos o vo- lume. Usando, dv dt = ∂v ∂t +v ∂v ∂r podemos reescrever a equac¸a˜o (1.1) da seguinte maneira; ∂v ∂t + v ∂v ∂r = −4 3 piGρr (1.2) A equac¸a˜o da continuidade em coordenadas esfe´ricas onde ρ depende apenas do tempo, e´ dada por: 1 ρ dρ dt + 1 r2 ∂(r2v) ∂r = 0 (1.3) Como 1 ρ dρ dt na˜o depende de r podemos supor uma func¸a˜o do tempo como: 1 ρ dρ dt = −3H(t) (1.4) Assim fica fa´cil de ver: 1 r2 ∂(r2v) ∂r = 3H(t) (1.5) Se integrarmos a (1.5) em dr teremos: v = rH(t) + G(t) r2 (1.6) Substituindo a (1.6) na (1.3) e fazendo G(t) = 0 teremos: H˙(t) +H(t)2 = −4 3 piGρ (1.7) 4 Usando 1 r dr dt = H(t) integrando e definindo H(t) = 1 a da dt , temos r ∼ a(t) (1.8) o a(t) seria uma func¸a˜o do tempo universal podemos mostrar pela (1.4): H(t) = 1 ρ dρ dt = a˙ a (1.9) Uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o e´: ρ(t) = ρ0a0 3 a3 (1.10) substituindo em em H(t) de (1.9) e com o resultado substitui em (1.7) tere- mos: 2a¨ = − 8 3 piGa0 3ρ0 a3 (1.11) integrando em dt: a˙ 2 = 4 3 piGa0 3ρ0 a2 + C (1.12) Se na equac¸a˜o 1.11 dividirmos por a e a 1.12 por a2 e somarmos ambas teremos; 2 a¨ a + a˙2 a2 − 2E a2 = 0 (1.13) Esta equac¸a˜o e´ analoga a equac¸a˜o de Friedmann para um universo com P = 0, se E = −k/2 e Λ = 0 1.2 Modelo com pressa˜o p 6= 0 Nesta parte iremos ver a abordagem de McCrea para p 6= 0, enta˜o faremos duas considerac¸o˜es relativ´ısticas. Sendo elas: a-) Teremos que considerar a equivaleˆncia entre massa e energia, o fluido expandindo com p uniforme, vai realizar o trabalho com uma taxa 4pir2pdr dt perdendo energia interna, o fluido perde massa com a mesma taxa. Assim: d dt (4/3piρr3) = −4pir2pdr dt (1.14) 5 com a relac¸a˜o de velocidade onde v = rH(t) e tendo a relac¸a˜o de (1.9) escrevemos: ρ˙+ 3 a˙ a (p+ ρ) = 0 (1.15) b-) Distinc¸a˜o entre massa gravitacional e massa inercial (lei de Tolman), onde a densidade σ de massa gravitacional efetiva de um sistema e´ dado: σ = ρ+ 3p (1.16) onde p e´ a pressa˜o e ρ e´ densidade de massa inercial. Utilizando estes preceitos relativ´ısticos e a equac¸a˜o v = rH(t) obteremos a analogia com as equac¸o˜es de Friedmann restantes. Substitu´ımos ρ por σ na equac¸a˜o (1.7) usando a relac¸a˜o de (1.9) e sabendo que H˙(t) = a¨a−1 − a˙2a−2 podemos enta˜o usar a relac¸a˜o de densidade massa gravitacional da (1.16) e reescrever a (1.7) a¨ a = −4 3 piG(ρ+ 3p) (1.17) Juntando esta equac¸a˜o a equac¸a˜o 1.16 e a 1.13 obtemos o analogo as equac¸o˜es de Friedmann,que sa˜o: a˙2 a2 + k a2 = 8 3 piGρ (1.18) a¨ a = −4 3 piG(ρ+ 3p) ρ˙+ 3 a˙ a (p+ ρ) = 0 k e´ a curvatura espacial, onde k = 0 (plano), k = +1 (fechado), k = −1 (aberto). 6 Cap´ıtulo 2 Modelos Cosmolo´gicos Com o avanc¸o dos me´todos observacionais podemos ver diversos tipos de comportamento do universo, e um deles talvez o mais intrigante e´ a expansa˜o do universo que acontece de maneira acelerada ou desafio e´ encontrar um modelo teo´rico que comporte esta acelerac¸a˜o, e veremos neste capitulo dois modelos que fazem isso. 2.1 Como vemos o universo? Para conseguirmos obter informac¸a˜o tomaremos algumas hipo´teses do que e´ feito o universo para isso usaremos uma equivaleˆncia entre massa e densidade de energia (ρ). fazendo a analise dimensional vemos que a densidade de energia e a pressa˜o esta˜o relacionados, e afim de de demostra- la escrevemos a equac¸a˜o de estado: p = ωρ (2.1) onde ω e´ contante. Tomando a equac¸a˜o (1.15) escrevemos: ρ˙ ρ = −3 a˙ a (1 + ω) (2.2) para resolvermos tomamos uma soluc¸a˜o da forma: ρ(a(t)) = ρ0a b(t) ρ˙ = ρ0ba b−1a˙ 7 Com b constante, substituindo na equac¸a˜o (2.2) vemos que b = −3(ω + 1) com isso temos ρ ∝ a−3(ω+1) (2.3) Poderemos analisar treˆs hipo´teses de formac¸a˜o do universo: • Universo formado apenas por mate´ria, onde sua pressa˜o seria igual a zero: (ω = 0) ρ ∝ a−3 (2.4) • Universo formado em grande parte por mate´ria quente ou radiac¸a˜o, onde p = ρ/3:(ω = 1/3) ρ ∝ a−4 (2.5) • Universo formado em grande parte por energia de va´cuo quaˆntico, onde p = −ρ:(ω = −1) ρ = constante (2.6) Usando a equac¸o˜es (1.15) e o resultado da soma de (1.17) e (1.19) podemos chegar na seguinte relac¸a˜o: a˙+ k = 8piGρa2 3 (2.7) Esta e´ a equac¸a˜o fundamental de Friedmann que governa a expansa˜o do Universo. Resolvermos a equac¸a˜o (1.15) para encontrarmos uma func¸a˜o de a(t), independente da relac¸a˜o de a e ρ e podemos com isso usar a (2.7) e acharmos importantes concluso˜es sobre caracter´ısticas da expansa˜o. Como tendo p sempre positivo e k = 0, que se refere a geometria plana que viemos trabalhando, achamos uma densidade critica atual para qualquer valor da constante de Hubble H0 ≡ a˙(to)/a(to): ρ0 = 3H0 2 8piG = 1, 878× 10−29h2g/cm3 (2.8) Onde h e´ a constante de Hubble em unidades de 100 km s−1 Mpc−1. Para qualquer curvatura espacial podemos ter uma mistura com partes de mate´ria na˜o relativ´ıstica (Ωm0), radiac¸a˜o(Ωr0) e energia de va´cuo(ΩΛ0) enta˜o, da (2.7) com k = 0 e das eqs. (2.4), (2.5), (2.6) : ρ = 3H0 2 8piG [ ΩΛ0 + Ωm0 ( a0 a )3 + Ωr0 ( a0 a )4] (2.9) 8 Onde; Ωi = ρ0,i ρ0,crit (2.10) usando a (2.7) vemos: ΩΛ0 + Ωm0 + Ωr0 + Ωk0 = 1 (2.11) onde Ωk0 ≡ ka20H20 Segundo a 2.7 usando a 2.9 e a 2.11 escrevemos este modelo como: H2 = H0 2 [ ΩΛ0 + Ωm0 ( a0 a )3 + Ωr0 ( a0 a )4 + (1− ΩΛ0 − Ωm0 + Ωr0) ( a0 a )2] (2.12) Onde H ≡ a˙ a e´ o parametro de Hubble. Este e´ o modelo padra˜o da cosmologia atual. Com isso podemos analisar o que observamos do nosso Universo. 2.2 Observac¸a˜o atrave´s do redshift Quando observamos gala´xias podemos detectar sua frequeˆncia e atrave´s do efeito Doppler determinar sua velocidade e a direc¸a˜o da mesma. Com esta relac¸a˜o podemos ver a frequeˆncia diminuir e como estamos falando da luz que recebemos de gala´xias ela desvia para o vermelho (redshift), isso significa um afastamento entre estas gala´xias, e se ela desvia para o azul (blueshift) uma aproximac¸a˜o. Atrave´s das observac¸o˜es feitas em laborato´rios terrestres vemos um desvio que indica o redshift, enta˜o temos que obter uma maneira de med´ı-lo. Temos o paraˆmetro: dt = ±a(t) dr√ 1− kr2 (2.13) para k = 0 temos r(t) = ∫ t0 t1 dt a(t) (2.14) se consideramos um universo esfe´rico podemos tirar uma relac¸a˜o geome´trica: ∆t1 a(t1) = ∆t0 a(t0) (2.15) como νi = 1/ti enta˜o: ν0/ν1 = a(t1)/a(t0) (2.16) 9 Com o redshit o fator a(t1)/a(t0) vem aumentando isso significa um aumento no comprimento de onda enta˜o temos um paraˆmetro 1 + z e logo vemos: a(t1) a(t0) = 1 + z (2.17) Voltando enta˜o para a (2.14) e multiplicando o numerador e o denominador do integrando por a0, onde a0 ≡ a(t0) chegamos na seguinte relac¸a˜o: r(t) = ∫ t0 t1 dt a0 (1 + z) (2.18) Procuraremos uma forma de substituir (1+z)dt. Podemos partir da definic¸a˜o de 1 + z = a0/a derivando em dt os dois lados ontemos: dz dt = −a0 a2 da dt (2.19) Lembrando que a˙ a = H(t) podemos escrever: dz H(t) = (1 + z)dt (2.20) Continuando a (2.18) temos: r(t) = ∫ t0 t1 1 a0 (−dz) H(t) = ∫ z 0 dz a0H(z) (2.21) enta˜o; H(z) = H0E(z) (2.22) Usando a (2.12), H2 = H0 2 [ ΩΛ0 + Ωm0 (1 + z) 3 + Ωr0 (1 + z) 4 + (1− ΩΛ0 − Ωm0 + Ωr0) (1 + z)2 ] (2.23) Agora temos uma func¸a˜o em paraˆmetro do redshift e poderemos usar os dados observacionais. Os dados recentes de H(z)× z obtidos de observac¸o˜es de gala´xias e aglomerado de gala´xias esta˜o apresentados na Figura 2.1: 10 Figura 2.1: Valores recentes de H(z) × z para diferentes observac¸o˜es de gala´xias e aglomerado de gala´xias.(Dados de 2014, obtidos de [5]) 11 Figura 2.2: Pontos observados e func¸a˜o H(z) para um universo composto basicamente de mate´ria 2.3 Vı´nculos observacionais para diferentes mo- delos 2.3.1 Universo em sua maioria composta de mate´ria Quando observamos e tentamos ver do que e´ constitu´ıdo o universo pode- mos analisar atrave´s da (2.23) a relac¸a˜o de energia existente no universo e sua composic¸a˜o. Supondo um universo composto basicamente de mate´ria (99,5%)e radiac¸a˜o (0,5%) temos: ΩΛ0 = 0, 000,Ωm0 = 0, 995,Ωr0 = 0, 005 constitu´ımos enta˜o o gra´fico (Figura 2.2) com estes ajustes na func¸a˜o (2.23). Vemos no gra´fico que o ajuste realmente na˜o satisfaz os dados observacionais o que indica que o modelo de um universo composto basicamente de mate´ria na˜o seria o mais apropriado. 12 Figura 2.3: Pontos observados e func¸a˜o H(z) para um universo composto basicamente de radiac¸a˜o 2.3.2 Universo em sua maioria composto de radiac¸a˜o Qundo ajustamos a func¸a˜o para um universo onde a maioria e´ feita de ra- diac¸a˜o (95%) com um pouco de mate´ria (5%) temos: ΩΛ0 = 0, 000,Ωm0 = 0, 050,Ωr0 = 0, 950. Temos enta˜o o gra´fico (Figura 2.3) que mostra a func¸a˜o em comparac¸a˜o aos pontos observados. Vemos novamente que o modelo na˜o tem acordo com os dados observados. 2.3.3 Universo em sua maioria composta de uma ener- gia desconhecida (constante cosmolo´gica ou ener- gia escura) Neste ajuste usamos uma quantidade de energia desconhecida para enten- dermos o universo sendo 70% de energia escura ou constante cosmolo´gica, 29,5% de mate´ria e 0,5% de radiac¸a˜o. Ajustamos para comparar com os dados observados onde ΩΛ0 = 0, 700,Ωm0 = 0, 295,Ωr0 = 0, 005. O resultado 13 Figura 2.4: Pontos observados e func¸a˜o H(z) para um universo composto de 70% de energia escura ou constante cosmolo´gica e 30% de radiac¸a˜o e mate´ria. que podemos ver na Figura 2.4. E´ um resultado que concorda muito bem com o que observamos. Apesar de agora o modelo que temos ser compat´ıvel com o que observamos ainda vemos que este e´ composto por uma energia desconhecida e esta ocupa 70% da energia existente no universo. 2.3.4 Chen- Wu Em 1990 temos o modelo de Chen- Wu que nos mostra atravez de analises dimensionais uma nova concepc¸a˜o para a constante cosmologica: Λ = α an (2.24) O n tendo variac¸o˜es conseguimos resgatar modelos como o que viemos traba- lhando. Para cada ajuste n temos quantidades de energia que varia tambe´m. Supondo uma geometria plana, ou seja k = 0 teremos as equac¸o˜es de Fried- mann da seguinte maneira: 8piGρm +α an = 3H2 14 Figura 2.5: Modelo de Chen- Wu para H(z) com n = 0. d da (ρa3) = nα 8piGan−2 Onde ρm seria a densidade de energia de mate´ria. Usando estes equac¸o˜es para determinar em paraˆmetros de redshift e sabendo que a0/a = 1 + z temos: H2 = H20 [( n− 3Ωm0 n− 3 ) (z + 1)3 + ( 3ΩΛ0 n− 3 ) (z + 1)n ] (2.25) Comparamos as func¸o˜es com ajustes de densidade de energia de mate´ria, de energia escura e n com os dados observados constru´ımos os seguintes gra´ficos: i. Com n = 0 teremos ΩΛ0 = 0, 700 e Ωm0 = 0, 300 (Figura 2.5). ii. Com n = 1 teremos ΩΛ0 = 0, 550 e Ωm0 = 0, 450 (Figura 2.6). iii. Com n = 2 teremos ΩΛ0 = 0, 360 e Ωm0 = 0, 640 (Figura 2.7). iv. Com n ∼ 3 teremos ΩΛ0 = 0, 225 e Ωm0 = 0, 775 (Figura 2.8). 15 Figura 2.6: Modelo de Chen- Wu para H(z) com n = 1. 16 Figura 2.7: Modelo de Chen- Wu para H(z) com n = 2. 17 Figura 2.8: Modelo de Chen- Wu para H(z) com n ∼ 3. 18 Cap´ıtulo 3 Conclusa˜o A principio usamos um modelo de geometria plana, k = 0, para formular equac¸o˜es que nos ajudam a entender caracter´ısticas do universo. Que sa˜o as equac¸o˜es de Friedmann, usamos uma abordagem neo-newtoniana que na˜o tem a necessidade da a´lgebra tensorial complicada abordada pela relativi- dade geral.tendo enta˜o uma concepc¸a˜o da cosmologia a partir da mecaˆnica cla´ssica e muito pouco da relatividade, essencial para o desenvolvimento de um primeiro modelo. Usando as equac¸o˜es analisamos quantidades de energia para diferentes configurac¸o˜es do universo, dentre elas a mate´ria na˜o relativ´ıstica, a radiac¸a˜o ou mate´ria quente e um modelo de energia desconhecida ou energia escura, que se mostrou um melhor candidato quando comparamos os modelos com os dados observados, o que levou a uma questa˜o; O que poderia ser esta energia desconhecida? Neste modelo vimos que temos 70% de energia escura compondo a com- posic¸a˜o do universo, atrave´s de observac¸o˜es sabemos que o universo esta em expansa˜o e acelerada, se sua composic¸a˜o for basicamente com Mate´ria ou radiac¸a˜o na˜o faz sentido f´ısico estar expandindo de maneira acelerada, ja que a gravidade tem caracter´ıstica atrativa, mas com 70% de energia escura podemos associar a expansa˜o acelerada a` ela, por isso e´ atribu´ıdo a ela a caracter´ıstica de ter uma pressa˜o negativa. 19 20 Refereˆncias [1] A. G. Riess et al., Astrophys. J. 607, 665 (2004). P. Astier et al., Astron. 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