Lista 1 + Gabarito/resolução comentada

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Engenharia Econômica 
Lista de exercícios # 1 
Gabarito 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
A resolução desta lista deve ser escrita à mão e entregue ao professor, na sala de 
aula, até no máximo dia 7 de Outubro. Ela deve conter, no máximo, quatro 
páginas. Caso haja páginas além deste limite, elas serão desconsideradas. 
Apenas será dada nota não-nula aos exercícios cuja resolução estiver detalhada. A 
mera indicação da alternativa correta em questões de múltipla escolha receberá 
nota nula. 
Todos os exercícios têm o mesmo valor, 0,833 ponto. 
(Q.1) Escolha a alternativa que responde corretamente à questão a seguir, apresentando 
a dedução do montante no regime de capitalização composta como justificativa para sua 
escolha. 
(BOVESPA, 2008, Q23) Em um investimento que está sob o regime de capitalização 
composta: 
a) A taxa de juro em cada período de capitalização incide sobre o capital inicial 
investido 
b) Os juros em cada período de capitalização tendem a ser constantes 
c) O valor dos juros gerados a cada período de capitalização decresce em função do 
tempo 
d) A taxa de juro incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o 
período de capitalização anterior. 
R: A dedução pedida no enunciado está apresenta na nota de aula 1 e não será aqui 
reproduzida para economizar espaço. Ela é a base para a obtenção dos apresentados 
no item b e é recomendado, pois, que aos alunos que retomem a nota de aula 1. 
(Item a) A determinação de que este item é falso não depende de uma demonstração, 
uma vez que ele está em desacordo com a definição de juro composto, a qual estabelece 
que, sob tal regime de capitalização, a taxa de juro incide sobre o capital inicial e 
sobre o juro acumulado até o período antecedente. 
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(Item b) Esta afirmação pode ser expressa de maneira mais clara da seguinte forma “o 
juro (absoluto) é constante ao longo do tempo em que o capital é deixado para 
acumular”. O que é equivocado, pois, com a taxa de juros incidindo sobre o juro, a 
cada período, o último tem obrigatoriamente de crescer ao longo do tempo. Basta 
considerar o que segue. 
Seja o montante em um dado período T denotado por CT e a taxa de juro denotada por 
i, então: CT/CT-1 – 1 = i, de modo, pois que CT = CT-1 (1+ i) (i). 
O montante sempre, em todos instantes de tempo, pode ser expresso como a soma de 
duas parcelas, o capital inicial, C0, e o juro gerado ao final no instante em questão, Jt. 
Desta maneira, CT = C0 + JT (ii.a) e CT-1 = C0 + JT-1 (ii.b). 
Incorporando (ii.a) e (ii.b) em (i): 
C0 + JT = (C0 + JT-1)(1+ i) ↔ JT = C0 + iC0 + JT-1 +iJT-1 - C0 ↔ JT - JT-1 = iC0 + iJT-1 > 
0 
E, portanto, o juro cresce entre dois períodos em uma magnitude positiva, não nula, 
não sendo, portanto, constante no tempo. 
(Item c) Esta afirmação está equivocada. Como demonstrado no item anterior, a 
magnitude em que o juro varia entre dois períodos de tempo quaisquer é positiva e, 
portanto, o valor do juro cresce (aumenta) com o tempo. 
(Item d) A afirmação é correta. Por definição, o regime de capitalização composta 
compreende a incidência de juro sobre a soma do capital inicial e do juro acumulado 
até o período anterior. Considerando os resultados (i) e (ii.b) obtidos no item b, tem-se 
que CT = (C0 + JT-1)(1+ i) = CT-1 + i(C0 + JT-1), o que indica que o montante obtido no 
T-ésimo período é equivalente ao montante obtido no período anterior, T-1, acrescido 
de um valor, i(C0 + JT-1), que corresponde ao gerado pela incidência da taxa de juro 
sobre o capital inicial e o juro gerado no período anterior. 
 
(Q.2) (BOVESPA, 2008, Q13) Uma empresa toma empréstimo de R$150.000,00 à taxa 
de 1,8% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será 
feita seis meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no 
final deste período. 
a) R$166.946,73 
b) R$312.000,00 
c) R$151.620,00 
d) R$166.200,00 
 
3 
 
R: do ponto de vista da organização credora, i.e., do concessor do empréstimo, tal 
operação consiste em aplicar um capital de R$150.000,00 a juro simples de 1,8% ao 
mês durante seis meses. O valor final desta aplicação é o valor da dívida a ser paga 
pelo tomador. Trata-se de: 
CT = C0(1+Ti)  C6 = 15.000(1+6 x 0.018) = R$166.200. A resposta correta é o item 
d. 
(Q.3) (BOVESPA, 2008, Q26) Um banco emitiu um CDB de 126 dias úteis no valor de 
R$1.000.000,00, taxa de 10% ao ano (base 252 dias úteis). O valor dos juros, de acordo 
com o regime composto de capitalização, ao final do período é: 
a) R$100.000,00 
b) R$50.000,00 
c) R$48.809,00 
d) R$47.320,00 
R: A taxa de juro informada é a que seria obtida caso o CDB tivesse duração e um ano, 
i.e., de 252 dias úteis. Mas, porém, a duração efetiva é corresponde a meio ano, 126 
dias úteis. Isso dá a entender que o enunciado se refere a uma taxa nominal, dado que o 
período de referência da aplicação, 126 dias úteis, não corresponde ao período de 
capitalização, 252 dias úteis. Porém, o enunciado não é claro o bastante para garantir 
que esta conclusão esteja correta, a qual estaria de acordo com o item b. De fato, o 
gabarito oficial aponta para o item c, o qual apenas é correto caso seja considerado 
que a taxa de 10% é efetiva. Desta maneira, as duas respostas serão consideradas 
como corretas, b e c e serão apresentadas duas soluções alternativas para o exercício. 
(Solução 1, assumindo que a taxa de 10% ao ano é nominal) 
A taxa efetiva corresponde a 0,1/2 = 0,05, uma vez que o período de referência é a 
metade do período de capitalização. Uma vez que o capital inicial investido é de 
R$1.000.000,00, uma taxa de juro de 5% aplicada a ele rende um juro de R$50.000,00. 
A resposta correta é o item b. 
(Solução 2, assumindo que a taxa de 10% ao ano é efetiva) 
Neste caso, para obter o juro pago após seis meses ou 126 dias, é preciso, em primeiro 
lugar, encontrar a taxa diária equivalente que, em 252 dias pagaria um rendimento de 
10%. E, em segundo lugar, calcular o rendimento percentual que esta taxa proporciona 
em 126 dias, ou seja, trata-se de obter a seguinte taxa: 
(1+0,1)252/126 – 1 = 0,048808848 e então aplicar tal taxa ao capital inicial, o que dá um 
valor de 48.808,84817 ~ 48.809. 
 
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(Q.4) (BOVESPA, 2008, Q30) Um banco emitiu um CDB de 63 dias úteis com valor de 
resgate de R$100.000,00, taxa de 11% ao ano, de acordo com o regime composto de 
capitalização. O valor de aplicação do CDB no início é mais perto de: 
a) R$96.392,00 
b) R$97.425,00 
c) R$111.000,00 
d) R$102.643,00 
R: Os dois últimos itens devem ser ignorados, uma vez que o valor inicial aplicado 
(capital inicial) não pode ser superior ao valor resgatado (montante), a menos que a 
taxa de juro seja negativa, o que não é o caso. 
Assim como no exercício passado, não é possível saber se a taxa de juro informada é 
nominal ou efetiva, então serão apresentadas as duas soluções. 
(solução 1, taxa nominal) 
Uma vez que o período de vigência do CBD é diferente do período de capitalização da 
taxa de juro informada, deve-se considerar que tal taxa é nominal. De fato, 63 dias 
úteis representam um quarto do ano de 252 dias úteis e, portanto, três meses. Desta 
maneira, a taxa efetiva para o período de 63 dias seria de 0,11/4 = 0,0275. 
Considerando esta taxa de juro, o valor inicial do CBD é equivalente ao capital inicial 
de uma aplicação a juro composto e pode ser obtido como segue. 
C63 = C0(1+ief)  C0 = C63/(1+ief) = $100.000/(1+0,0275) = 97.323,60. 
Nenhum dos itens aponta para este valor. Porém, dada a ambiguidade do enunciado, 
essa resposta será considerada como correta. 
(solução 2, taxa efetiva) 
Se a taxa de 11% ao ano é efetiva, a taxa efetiva para o período de 63 dias é 
equivalente a (1+0,11)63/252– 1 = 0.026433327. O valor do capital inicial é 
$100.000/(1 + 0.026433327) = 97.424,73997 ~ $97.425. E, portanto, a resposta 
correta é a b. 
(Q.5) (BOVESPA, 2008, Q42) Um determinado título de renda fixa tem valor nominal 
de R$1.000,00 no vencimento e pode ser adquirido, a 221 dias úteis do vencimento, por 
R$904,21. Por sua vez, um determinado banco oferece um CDB com valor de face 
equivalente a R$100.000,00 na data de emissão, a ser resgatado por R$118.450,30 em 
18 meses. Com base nestas informações assinale a alternativa correta: 
a) O título de renda fixa oferece uma taxa de juro menor, 12,17% ao ano ante 12,95% ao 
ano do CDB 
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b) O CDB oferece uma taxa de juro menor, 0,95% ao mês ante 0,96% ao mês do título 
público 
c) O CDB e o título de renda fixa possuem a mesma taxa de rentabilidade 
d) O título de renda fixa oferece uma taxa de juro maior, 12,17% ao ano ante 10,95% ao 
ano do CDB 
R: Para resolver este exercício, é preciso conhecer a taxa de juro paga pelas duas 
oportunidades de aplicação em dois períodos de capitalização, mensal e anual. 
(Investimento 1, renda fixa) 
Um determinado título de renda fixa tem valor nominal de R$1.000,00 no vencimento e 
pode ser adquirido, a 221 dias úteis do vencimento, por R$904,21. Por sua vez, um 
determinado banco oferece um CDB com valor de face equivalente a R$100.000,00 na 
data de emissão, a ser resgatado por R$118.450,30 em 18 meses. 
A taxa gerada, após 221 dias, pelo título, é de it,221 = 1000/9004,21 – 1 = 0.10593778. 
Para encontrar as taxas efetivas nas bases mensal e anual, it,m, it,a, respectivamente, 
basta fazer os cálculos abaixo. 
Taxa anual: it,a = (1+i)252/221 = 0.121669379 
Taxa mensal: it,m = (1+i)21/221 = 0.009614096 
(Investimento 2, CDB) 
A taxa gerada, após 18 meses, pelo CDB é de 118.450,3/100.000 – 1 = . 
As taxas efetivas nas bases mensal e anual, iCDB,m, iCDB,a, respectivamente, são 
encontradas abaixo. 
Taxa anual: it,a = (1+i)12/18 = 0.119500031 
Taxa mensal: it,m = (1+i)1/18 = 0.009451232 
Fica nítido, pois, que o título é a melhor aplicação. Mas é preciso avaliar item a item. 
Item a: equivocado pois não bate com as taxas calculadas. 
Item b: correto, as taxas informadas equivalem às obtidas, e o título é realmente a 
melhor aplicação. 
Item c: equivocado 
Item d: a taxa informada para o CDB está equivocada. 
(Q.6) [Bueno et al., 2011] Um imóvel foi colocado à venda pelo preço de $ 120 mil. 
São oferecidas duas alternativas de pagamento: (a) $ 10 mil de entrada + 1 prestação de 
$ 60 mil e outra de $ 50 mil; (b) $ 35 mil de entrada + 1 prestação de $ 55 mil, e outra 
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de $ 30 mil. Qual é a melhor alternativa de pagamento sabendo-se que um fundo de 
renda fixa paga uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? 
R: O exercício não é claro quanto à perspectiva que de ser tomada em conta para 
avaliar as alternativas, do comprador ou do proprietário. Serão consideradas as duas 
e, no que segue, cada proposta será avaliada em separado. 
(Proposta 1) 
O fluxo de caixa do proprietário é como segue: 
 
O proprietário vende o imóvel no período presente, t = 0, e, portanto, abre mão de algo 
que vale $120,000 em troca de três pagamentos parcelados. O proprietário, portanto, 
atua como credor e o comprador como tomador. O fluxo de caixa do tomador é tal 
como segue. 
 
Ou seja, trata-se da inversão do fluxo de caixa do credor, uma vez que os fluxos 
monetários que aparecem como despesa no primeiro, se tornam receitas no segundo. 
Então basta considerar apenas um dos dois fluxos de caixa e consideraremos o do 
tomador. A alternativa que se mostrar a melhor para o tomador será, automaticamente, 
a pior para o credor. 
Do ponto de vista do tomador, há três pagamentos a serem realizados. Vamos supor 
que ele tem um capital inicial, que está destinado ao pagamento do imóvel. Para 
realizar este pagamento ele pode aplicar o capital no título de renda fixa que rende 
1,5% ao mês de maneira a poder resgatar, nos períodos t = 1 e t = 2 os valores exatos 
aos pagamentos previstos. 
A questão a responder, do ponto de vista do tomador, é: qual é o valor do capital 
inicial necessário para realizar os três pagamentos, utilizando, para isso, o título de 
renda fixa como meio de capitalização? Para responder, basta calcular quanto tem de 
10,000.00$ 60,000.00$ 50,000.00$ 
↑ ↑ ↑
0 1 2 3
↓
120,000.00$ 
120,000.00$ 
↑
0 1 2 3
↓ ↓ ↓
10,000.00$ 60,000.00$ 50,000.00$ 
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ser depositado neste fundo de maneira a ter montantes equivalentes aos valores a serem 
pagos em cada um dos períodos. O que será calculado passo a passo a seguir. 
(a, primeiro pagamento em t = 0) 
No período inicial, t = 0, é preciso pagar a entrada e isso tem de ser feito 
imediatamente, de modo que não é possível utilizar a aplicação a juro para a primeira 
prestação. A primeira porção do capital inicial é, portanto, de R$10.000,00. 
(b, segundo pagamento em t = 1) 
Para obter R$60.000 em t = 1, é preciso aplicar um capital inicial, C1, que gere este 
montante após um período de capitalização. I.e., C1 =60.000 = C0(1+0,015)  C0 = 
60.000/(1+0,015) = R$59.113,3. 
(c, terceiro pagamento em t = 2) 
Para obter R$50.000 após dois períodos, é preciso aplicar 50.000/(1+0,015)2 = 
R$48.533,1. 
(d, capital inicial total) 
Considerando a soma dos capitais iniciais exigidos por cada prestação, tem-se o valor 
total que o tomador precisa ter em sua posse em t = 0 para honrar a dívida, 10.000 + 
59.113,3 + 48.533,1 = R$117.646,4. 
(2, segunda alternativa) 
O fluxo de caixa do ponto de vista do tomador segue abaixo. 
 
A análise é equivalente a empreendida para a primeira alternativa e os cálculos estão 
detalhados abaixo. 
Primeiro pagamento = R$35.000,00 
Segundo pagamento = 55.000/(1+0,015) = R$ 54187.2 
Terceiro pagamento = 30.000(1+0,015)2 = R$ 29119.9 
Capital inicial total = 118307.0 
120,000.00$ 
↑
0 1 2 3
↓ ↓ ↓
35,000.00$ 55,000.00$ 30,000.00$ 
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Fica claro, portanto, que, da perspectiva do comprador/tomador a primeira alternativa 
é a melhor, pois requer um menor investimento inicial. Do ponto de vista do 
proprietário/credor, a segunda alternativa é a melhor. 
(Q.7) [Bueno et al., 2011] Um empréstimo no valor de $25.000,00 para liquidação 
daqui a 3 meses foi concedido a uma taxa de juros de 4,5% ao mês. Ao final deste 
período, o tomador de empréstimo, dispondo de recursos para liquidar apenas a metade 
da dívida (principal + juro), faz um novo empréstimo (refinanciamento) pelo prazo de 3 
meses, a uma taxa de juros de 5% ao mês. Qual o montante pago pelo tomador ao final 
de 6 meses e a taxa de juros efetiva mensal, considerando as duas operações, 
financiamento e refinanciamento? 
R: O valor total da dívida após 3 meses é 25.000(1+0,045)3 = $28.529,15. O tomador 
pagou apenas metade deste valor, refinanciado o restante, de modo que, ao final de seis 
meses, ele desembolsou um total de C6 = 0,5[25.000(1+0,045)3]+ 
0,5[25.000(1+0,045)3](1+0,05)3 = $30.777,61. A taxa de juro efetiva referente ao 
período completo de seis meses, considerando as duas operações como um todo, é dada 
por ief = (C6 – C0)/C0 = 30.777,61 /25.000 – 1 = 0,231104. Para obter a taxa efetiva 
mensal, basta encontrar a taxa de juro mensal que rende 0,231104 dentro de seis 
meses, ou seja, (1 + im)6 = (1+ 0,231104)  im = (1+ 0,231104)1/6 – 1 = 0.035259299. 
Interessante perceber que esta taxa é inferior às duas taxas mensais cobradas pelo 
credor, e isso ocorre pois a primeira parte do empréstimo foi paga após 3 meses, mas, 
para calcular a taxa mensal, considera-se um horizonte de tempo de 6 meses, o que, a 
rigor, é equivocado, uma vez que o valor de $30.777,61 não foi recebido, pelocredor, 
em apenas uma parcela após dois meses, mas sim, em duas parcelas, cada uma paga 
após 3 meses. O cálculo correto consiste em considerar que ocorreram duas operações 
de crédito, uma de R$12500 para pagar em apenas uma prestação com taxa de juro de 
4,5% após 3 meses. E outra no mesmo valor para pagar em apenas uma prestação com 
taxa de juro de 4,5% nos primeiros três meses e de 5% nos três meses subsequentes. 
Com isso, tem-se duas taxas efetivas mensais, a primeira de 4,5% e a segunda de 
4,749%. 
(Q.8) (BOVESPA, 2008, Q208) Um investidor aplica R$40.000,00 à taxa de juro de 
18% ao ano. Considerando que este montante fica aplicado por um prazo de três anos e 
que a capitalização é contínua, calcule o valor de resgate do investimento. 
a) R$65.721,28 
b) R$61.600,00 
c) R$47.888,69 
d) R$68.640,27 
 
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R: Aplicando a fórmula do montante de uma capitalização contínua, tem-se que o valor 
resgatado é de Ct = 40.000etr, considerando t = 3, tem-se Ct = 40.000e3 x 0.18 = 
68640.27449. A resposta correta é o item d. 
(Q.9) (BOVESPA, 2008, Q211, adaptado) Considere que você tenha aplicado um valor 
de R$120.000,00 à taxa de juro instantânea (contínua) de 1,85% ao mês. Sabendo que o 
valor de resgate foi de R$330.000,00, determine o tempo de aplicação deste capital. 
a) 1 mês 
b) 25 meses 
c) 53 meses 
d) 55 meses 
R: Basta manipular a fórmula do montante para que ela reporte o tempo de aplicação. 
Sabemos que Ct = C0etr, aplicando o logaritmo natural na equação resulta que lnCt = 
lnC0+tr, e, pois, t = ln(Ct/C0)/r. Incorporando os dados do problema: 
t = ln(330.000/120.000)/0,0185 = 54.68113036 ~ 55 meses. O item d é a resposta 
correta. 
(Q.10) (BOVESPA, 2008, Q41) Qual taxa mais perto da rentabilidade obtida no período 
total com aplicação em uma LTN com 528 dias úteis a uma taxa de 11,9% ao ano 
(considere um ano com 252 dias úteis)? 
a) 26,56% no período 
b) 26,96% no período 
c) 26,46% no período 
d) 26,26% no período 
R: Trata-se de um problema de obtenção da taxa equivalente à informada com 
capitalização em 528 dias, o que é alcançado ao calcular (1+0,119)528/252 = 
0.265641356 ~ 26,56%, e a resposta correta é a “a”. 
(Q.11) (BOVESPA, 2008, Q73) Considere uma empresa que precisa de recursos por 12 
meses e encontra diversas alternativas: (i) 24% ao ano de taxa de juro efetiva; (ii) 24% 
ao ano de taxa de juro nominal com capitalização semestral; e (iii) 24% ao ano de taxa 
de juro nominal com capitalização mensal. Classifique as alternativas da melhor para a 
pior: 
a) (i); (ii) e (iii) 
b) (i); (iii) e (ii) 
c) (iii); (ii) e (i) 
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d) (ii); (iii) e (i) 
R: a resposta a esta questão não exige, obrigatoriamente, a conversão das três taxas de 
juro em um período comum de capitalização. É preciso recordar que a taxa nominal de 
i% ao ano corresponde a uma taxa anual efetiva de (1+i/N)N – 1, em que N é o número 
de vezes que o período de capitalização efetiva da taxa nominal cabe dentro do período 
de um ano. 
Além disso, há um detalhe no enunciado que está pouco claro: o objetivo da empresa é 
tomar crédito às taxas apresentadas e não aplicar seu capital a tais taxas. A incidência 
do juro para a empresa, é, portanto, um custo e não um benefício. Desta maneira, a 
melhor aplicação para ela é a que requer a menor taxa. 
Tendo isso em mente, a resolução pode ser apresentada como segue. 
(1) Uma taxa nominal de 24% ao ano (alternativa iii) corresponde a uma taxa efetiva 
de 2% ao mês. Se a capitalização ocorresse a juro simples a taxa anual correspondente 
seria de 24% a.a., e, no semestre, de 12% a.s. Porém, como a capitalização é composta, 
as taxas correspondentes ao ano e ao semestre são, respectivamente, superiores a 24% 
a.a., esta a taxa paga pela alternativa (i) e a 12% a.s, esta a taxa efetiva paga pela 
alternativa (ii). Desta maneira, portanto, a taxa nominal de 24% representa o maior 
rendimento para o credor e, consequentemente, o maior custo para a empresa, sendo a 
prior alternativa da perspectiva da última. 
(2) Quanto às taxas (i) e (ii), a taxa nominal de 24% ao ano com capitalização 
semestral corresponde a uma taxa semestral efetiva de 12% e a uma taxa anual efetiva 
superior a 24%, sendo, pois, superior à taxa anual. Para a empresa, a alternativa (ii) é 
pior pois representa um maior custo. 
(3) Com base em (1) e (2), as alternativas podem ser ordenadas de maneira crescente 
de acordo com o custo que representam a empresa da seguinte maneira: (i), (ii) e (iii). 
A resposta correta é a “a”. 
(Q.12) (BOVESPA, 2008, Q114) Um banco tomou R$1.000.000,00 por seis meses a 
uma taxa equivalente a 24% ao ano e aplicou, também por seis meses, a uma taxa 
equivalente a 2% ao mês. O lucro desta operação foi próximo a: 
a) R$12.610,00 
b) R$11.580,00 
c) R$13.920,00 
d) R$11.950,00 
R: O lucro da operação é dado pelo montante total transacionado multiplicado pela 
diferença entre a taxa pela qual o banco repassou o recurso, ir, e a taxa pela qual o 
banco tomou o recurso, ic. I.e., lucro = 1.000.000(ir – ic). Porém, ocorre que nenhuma 
11 
 
das duas taxas ir e ic está definida em um período de capitalização equivalente ao 
período de referência da operação que é de seis meses. Os dois passos a seguir 
calculam as taxas equivalentes às informadas para este período. 
(a, ir) ir = (1+0,02)6 = 0.126162419 
(b, ir) ic = (1+0,24)6/12 = 0.113552873 
Consequentemente, lucro = 1.000.000(ir – ic) = R$12.609,5467 ~ R$12.610, resposta 
“a”.