Calculo I - Integrais por Frações Parciais

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SALA: 214 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
6a Aula Integrais indefinidas 
 
 Integração por frações parciais 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
Integração pelo método das frações parciais 
 
a) Considere a integral ( ) ( )( )( )∫∫ −−
+
=
++
+
=
10
2 xxxx
dxmnx
cbxax
dxmnxy , 
 
 
Assim, 
 
 ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
cbxax
xBxAxBA
xxxx
xxBxxA
xx
B
xx
A
xxxx
mnx
++
−−+
=
−−
−+−
=
−
+
−
=
−−
+
2
01
10
01
1010
 
 
 
donde 
 
( )






−
+
=
−
+
−=
⇒




−
+
=
−=
⇒



=−−−
−=
⇒



=−−
=+
01
1
01
0
01
1
0101
xx
xnm
B
xx
nxm
A
xx
xnm
B
BnA
mxBxBn
BnA
mxBxA
nBA
 
Portanto, 
 
( ) ( ) ( )10
10
2 xxlnBxxlnAxx
Bdx
xx
Adx
cbxax
dxmnxy −+−=
−
+
−
=
++
+
= ∫∫∫ 
 
 
Exemplo: : integrar ( ) ( )( )( )∫∫ −+
+
=
−−
+
=
21
2
2
2
2 xx
dxx
xx
dxxy , 
 
Assim, 
 
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
2
2
21
12
2121
2
2
−−
−++
=
−+
++−
=
−
+
+
=
−+
+
xx
BAxBA
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
dxx
 
 
 
donde 
 
( ) ( )( )
( )( )





−=
−
=
=
−
+
−=
⇒




−
+
=
−=
⇒



=−−
−=
⇒



=−
=+
3
1
3
3
1
112
21
112
1
212
1
22
1
1 B
A
B
BA
BB
BA
BxA
BA
 
 
Portanto, 
 
( ) ( ) ( ) ( )( )2
132313
2
3
1
3
2
2
2 +
−
=+−−=
+
−
−
=
−−
+
= ∫∫∫ x
xlnxlnxln
x
dx
x
dx
xx
dxxy 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 6a Aula Integração por frações parciais 
 2 
Exercício: integrar ( )( )dxxx
xy ∫
−−
−
=
21
12
 
 
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )∫∫ ∫∫ −−
−+−
=
−
+
−
=
−−
−
= dx
xx
xbxA
x
Bdx
x
Adxdx
xx
xy
21
12
2121
12
 
 
( )( )
( ) ( )
( )( )∫∫ −−
+−+
=
−−
−
= dx
xx
BAxBAdx
xx
xy
21
2
21
12
 
 
donde 
 
( ) ( )
12
2
212
=+
=+
⇒+−+=−
BA
BA
BAxBAx 
 
121
12
11
1
2
12
11
1
2
2
−=−==⇒=⇒





=





D
BA
BA
 
 
( ) ( ) 341
1
1
12
211112
1
1
11
121
=−
−
==−=−
−
==
D
Be
D
A 
 
Assim, 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ∫ −+−−=−+−
−
=
−
+
−
=
2
3
12
3
1
1
21 x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
Bdx
x
Adxy 
 
( ) ( ) ( ) ( )1232313 −−−=−+−−=+−= ∫ ∫ xnxnxnxnv
dv
u
duy llll 
 
( ) ( ) ( ) C
x
x
nxnxny +






−
−
=−−−=
1
212
3
3
lll 
 
 
 
Exercício: integrar ( ) ( )( )( )∫∫ −+ +=
−−
+
=
21
1
2
1 2
23
2
xxx
dxx
xxx
dxxy , 
 
Assim, 
 
( )
( )( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )21
1212
210210
2
−+
++−++−
=
−
+
+
+
−
=
−+−
+
xxx
xxCxxBxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
dxx
 
 
( )
( )( )( )
( ) ( )
xxx
AxCBAxCBA
xxx
dxx
2
22
210
2
23
2
−−
−+−−+++
=
−+−
+
 
donde 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 3 
 





−=
=
=
⇒





−=
−=
=
⇒





=−
=+−−
=++
21
65
32
21
212
32
12
02
1
A
C
B
A
BC
B
A
CBA
CBA
 
 
Portanto, 
 ( ) ( ) ( ) ( ) Cxxx
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
dxxy +−++−=
+
+
−
+−=
−−
+
= ∫∫∫∫ ln2
12ln
3
21ln
6
5
23
2
16
5
2
1
2
1
23
2
 
 
Exercício: integrar ( )( ) ( )∫ −+
+
=
21
2
2
2
xx
dxxy 
 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ −++++=−+
+
=
21121
2 2
2
2
3
2
x
Bdx
x
dxA
x
dxA
xx
dxxy 
 
Exercício: integrar ( )( )∫ −+= 112 xx
xdxy 
 
( )( )
( )
( ) ( )∫ ∫∫ −++
+
=
−+
=
1111 22 x
Cdx
x
dxBAx
xx
xdxy 
 
Exercício: integrar ( )( ) ( )∫ +−+
++++
=
132
812114
22
234
xxx
dxxxxxy 
 
 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )∫∫∫∫ ++−+
+
+
−+
+
=
+−+
++++
=
13232132
812114
22222
234
x
Fdx
xx
dxDCx
xx
dxBAx
xxx
dxxxxxy 
 
Exercício: integrar ( )( )( )
( )
( ) ( ) Cxx
xy
xxx
xdxy +





++
+
=⇒
+++
= ∫ 35
3ln
8
1
331 5
6
 
 
 
Exercício: integrar ( ) ( )( ) Cx
xx
x
xxy
xx
dxxxy +
+
−
+−+=⇒
−
−+
= ∫ 3
5223
3
45
2
2ln4
234
8
 
 
 
3a LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
Exercícios a serem entregues na 7a aula: em 27.03.2009, 
no momento em que entrar na sala de aula 
 
 
Integrar as seguintes funções pelo método das frações parciais 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 6a Aula Integração por frações parciais 
 4 
 
1o Exercício: ( ) ( )dxxx
xy ∫
−⋅−
−
=
21
12
 
 
2o Exercício: ( )∫ += 12xx
dxy