Calculo I - Integrais definidas

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SALA: 214 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
9a Aula Integrais definidas 
 
 Definição e interpretação das 
 Integrais definidas 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
Integral Definida (Integral de Riemann) 
 
A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos, para isso 
introduzimos o conceito de somatório ( ∑ ). 
Exemplos: 
2
)1(4321
1
+
==+++++ ∑
=
nnkn
n
k
L ~ soma de inteiros sucessivos 
6
)12)(1(4321
1
222222 ++
==+++++ ∑
=
nnnkn
n
k
L ~ soma de quadrados 
sucessivos 
 
A integral de Riemann de uma função ( )xf num intervalo [ ]ba, , é equivalente à soma 
de todos os elementos de área sob a curva ( )xf , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
kc coordenada entre 1−kx e kx 
( )kcf ordenada de kc (altura do retângulo) 
1−−=∆ kkk xxx (base do retângulo) 
 
A área do ésimok − retângulo é dada por ( ) xkk xcfA ∆⋅= Somando todas as 
áreas dos retângulos sob a curva ( )xf , tem-se uma aproximação (devido às quinas dos 
retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for kx∆ , melhor é a aproximação. 
 
 
Fig.1.1- Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total 
sob a curva. 
 ............................. 
...................... 
Y 
X 
( )[ ]kk cfc ,
( )[ ]nn cfc ,
kc 
nc
kA 1−
− nn xx 1−− kk xx 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 9a Aula Definição e interpretação das integrais definidas 
 2 
Assim: 
∑
=
→∆
∆
n
k
kk
x
xcf
k 10||||
)(lim = área sob a curva ( )xf = A . 
 
Definição: Integral definida de Riemann: Seja ( )xf uma função contínua num intervalo 
[ ]ba, , então se o limite 
 ∑
=
→∆
∆
n
k
kk
x
xcf
k 10||||
)(lim 
existe, a função ( )xf é integrável em [ ]ba, no sentido de Riemann, e é definida por 
 ∫∑ =∆
=
→∆
b
a
n
k
kk
x
dxxfxcf
k
)()(lim
10||||
, 
onde a integral definida de ( )xf , no intervalo [ ]ba, , dará uma nova função ( )xg 
calculada no intervalo [ ]ba, , o que é escrito na forma ( ) baxg , ou seja, 
)()()( agbgxg ba −= , assim: 
 
 )()()( agbgdxxf
b
a
−=∫ 
 
Exemplo: Encontre a área limitada pela equação da elipse 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Resolvendo a elipse para y , tem-se que 
 
 
22
2
22
2
2
2
2
1 xa
a
by
a
xa
a
x
b
y
−±=⇒−=−= 
 
e como a elipse é simétrica em relação a ambos os eixos a sua área A será igual a 
quatro vezes a área da parte da elipse contida no primeiro quadrante, isto é, 
 
 axparaxa
a
by ≤≤





−= 022 
 
Y 
X 
( )b,0 
( )0,a 
 
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 3 
Ou seja, 
 
 ∫ −=
b
a
dxxa
a
bA 22
4
. 
 
Para avaliar essa integral substitui-se ( )θsenax = . Então, ( ) θθ dadx cos= . Para mudar 
os limites de integração, note-se que quando ( ) 00sen0 =⇒=⇒= θθx e 
quando ( ) 21sen piθθ =⇒=⇒= ax . Também, 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )θθθθ coscoscossen 2222222 aaaaaxa ===−=− , 
 
já que 
2
0 pi≤≤ x . Por tanto 
 
 ( ) ( ) ( )∫∫∫ =⋅=−= 20 2
2
0
22 cos4coscos44
pipi
θθθθθ dabdaa
a
bdxxa
a
bA
b
a
 
 
 
( ) baababA pipiθθ
pi
=



−+=





+= 00
2
2sen
4
1
2
4
2
0
. 
 
Exemplo: Calcule a área compreendida entre o eixo X e a curva ( ) ( )82
8
1 2 +−= xxxf 
entre [ ]4,2− . 
 
O gráfico da curva é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )





−+
−
−
−
−+−=





+−=−−
−
−
∫ 282
22
3
248
2
42
3
4
8
18
2
2
38
18
8
1 23234
2
234
2
2 x
xxdxxx 
 
Y 
X 2− 1− 0 1 2 3 4 
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 4 
( ) ( ) ( ) ( ) 



−−++−=





−+
−
−
−
−+− 16
2
42
3
832
2
162
3
64
8
128
2
22
3
248
2
42
3
4
8
1 2323
 
 
6
15
6
3216
6
3
6
2
6
162
6
3
6
242
6
16
=
−+
=−+=



−−++− . 
 
 
Observação: Seja ( )xf uma função integrável em [ ]ba, no sentido de Riemann, então 
a integral definida de Riemann é numericamente igual à área "com sinal" sob o gráfico 
de ( )xf , entre ax = e bx = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a integral definida corresponde à soma algébrica das áreas, onde aquelas 
acima do eixo das abcissas são positivas e aquelas abaixo dos eixo das abcissas serão 
precedidas de sinal negativo, ou seja: 
21)( AAdxxf
b
a
−=∫ 
Exemplo: Resolver a Integral definida da função ( ) 3
3
1
xxf = entre [ ]2,1− . 
 
 
 
 
 
 
 
( )
4
5
4
15
3
1
4
1
4
16
3
1
4
1
4
2
3
1
43
1
3
1 442
1
42
1
3
=



=



−=





−
−=





=
−
−
∫
xdxx 
y A1 
x = a 
f(x) 
A2 
x = b 
x 
(A1 e A2) é a soma algébrica de todas as áreas (positivas e negativas) 
 
1−
 
( )xf
 
1
 
0
 
2
 
Y
 
X
 
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 5 
Definições: 
a) Se ( )xf é uma função contínua no intervalo fechado [ ]ba, , então ( )xf é Riemann - 
integrável em [ ]ba, . 
b) Se ( )xf é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado 
[ ]ba, , então ( )xf é Riemann – integrável em [ ]ba, . 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da Integral Definida 
1) Integral de uma função constante 
 
Se ( ) kxf = , k constante, então 
)()( abkkxkdxdxxf ba
b
a
b
a
−=== ∫∫ , 
 como mostra a Figura 4.4 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.4.4 - Área sob uma função constante. 
Y 
X 
a b 
ab−
0 
( ) kxf = 
A 
Fig. b - Função ilimitada seccionalmente 
em [ ]ba, , não é R - integrável 
 
X 
1 
( )xf 
( )xf 
( )



>
≤
=
01
01
xparax
xpara
xf 
Y 
b 0 a 
 
x 
Y 
1 
2 
( )xf 
Fig. a -Função limitada seccionalmente e 
Contínua em [ ]ba, , é R - integrável 
( )xf 
X b 0 a 
( )



>+
≤
=
02
01
2 xparax
xpara
xf 
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 6 
 
 
2) Homogeneidade 
∫=∫
b
a
b
a
dx)x(fkdx)x(kf , onde k é uma constante 
 
3) Aditividade 
=∫ +
b
a
dx)]x(g)x(f[ +∫
b
a
dx)x(f ∫
b
a
dx)x(g 
 
4) Linearidade 
=∫ +
b
a
dx)]x(Bg)x(Af[ +∫
b
a
dx)x(fA B ∫
b
a
dx)x(g , com A e B constantes. 
 
5) Comparatividade 
Se ( )xf e ( )xg são Riemann - integráveis em [ ]ba, e se ( )xf ≤ ( )xg para todo x no 
intervalo [ ]ba, , então 
∫
b
a
dx)x(f ≤ ∫
b
a
dx)x(g 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Aditividade de Intervalos 
Se ( )xf é Riemann - integráveis no intervalo [ ]ba, , bem como no intervalo [ ]cb, , então 
( )xf é também Riemann - integráveis no intervalo [ ]ca, , ou seja: 
∫
c
a
dx)x(f = ∫
b
a
dx)x(f + ∫
c
b
dx)x(f 
a b 
( )xgdemáx ( )xgy = 
Y 
ab − 
( )xgdemín ( )xfy = 
X 
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 7 
 
7) Valor Absoluto 
∫
b
a
dx)x(f ≤ ∫
b
a
dx|)x(f| 
Prova: Assumindo que ( )xf e ( )xf são Riemann - integráveis no intervalo [ ]ba, . 
Temos que - | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) | ( -|x| ≤ x ≤ |x| ) 
Então ∫∫ ∫ ≤≤−
b
a
b
a
b
a
dx|)x(f|dx)x(fdx|)x(f| ; isto é: ∫∫ ∫ ≤≤−
b
a
b
a
b
a
dx|)x(f|dx)x(fdx|)x(f| 
Logo ∫≤∫
b
a
b
a
dx|)x(f|dx)x(f 
Definições: 
(i) Se ( )xf é uma função qualquer e a é um número no domínio de ( )xf , 
definimos: 
0dx)x(f
a
a
=∫ 
 
(ii) Se ba > e ( )xf é Riemann - integráveis em [ ]ab, , então definimos: 
∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( 
 
Teorema do Valor Médio para Integrais 
 
Se ( )xf é contínua em [ ]ba, , então existe um número c em [ ]ba, tal que 
( ) ( ) ( )∫=−⋅ba dxxfabcf 
ou 
( ) ( )∫
−
=
b
a
dxxf
ab
cf 1 
 
( ) ( )xfmáxcxfmín ≤≤ 
 
 
( )cf 
Y 
Ponto c do teorema do valor médio 
X a b c 
( )xf 
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 8 
obs: A área sob a curva ( )xfy = entre ax = e bx = é igual a área do retângulo cuja base é 
( )ab − e altura ( )cf . 
Ex: Seja ( ) 2xxf = , achar c no intervalo [ ]4,1 
( ) 7)21(
3
1
3
164
3
1
3
1
3
4
3
1
33
1
14
1 334
1
34
1
2
==




 −
=





−=





=
−
= ∫
xdxxcf 
Logo ( )cf = c2 = 7 → c = 7 = 2,65 (1 ≤ 2,65 ≤ 4) 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) 
 
A primeira parte deste teorema afirma que as operações de diferenciação (derivação) e 
integração são inversas uma da outra, isto é, diferenciação desfaz a integração e vice-
versa. 
O enunciado do TFC é composto de duas partes. Assim, se ( )xf é contínua num 
intervalo I tal que Ia ∈ e Ib ∈ , e seja Ix ∈ , então: 
1a parte: )()( xfdttf
dx
d
dx
dy x
a
== ∫ "a derivada da integral é o integrando" 
onde ∫=
x
a
dttfy )( 
2a parte: Se ( )xg é uma primitiva (anti-derivada) de ( )xf , de tal forma que 
( ) ( )xfxg =′ , então 
)a(g)b(gdx)x(f
b
a
−=∫ , para todo x em [ ]ba, 
Exemplos: (1a parte) Calcular 
a) Se ∫ +−=
x
dttty
0
2 )12( , calcular 
dx
dy
. 
 12)12( 2
0
2 +−=+−= ∫ xxdtttdx
d
dx
dy x
 
 
b) Se ∫ +=
x
dt
t
y
0
3 1
1
, calcular 
dx
dy
. 
1
1
1
1
3
0
3 +
=
+
= ∫ x
dt
tdx
d
dx
dy x
 
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 9 
 
c) Se ∫ +=
2
0
25)75(x dtty , calcular 
dx
dy
. 
Fazendo x
dx
du
xdxduxu 222 =⇒=⇒= 
Por tanto, pode-se calcular 
du
dy
 
25225
0
25 )75()75()75( +=+=+= ∫ xudttdu
d
du
dy u
 (voltando o valor u = x2) 
logo: 252 )75( += x
du
dy
 
 
Aplicando a Regra da Cadeia, temos: 
[ ] ( ) ( )xx
dx
dy
xx
dx
du
du
dy
dx
dy 2)75(2)75(. 252252 +=→⋅+== 
 
Exemplos de Integrais Definidas (2a parte do TFC) 
 
a) ∫ +
1
0
2 dx)1x( = 








+−








+=








+ 0
3
)0(1
3
1
0
1
x
3
x
333
 = 
3
4
- 0 = 
3
4
 
 
b) ∫ −
4
1
dx
x
x1
 = ∫ 





−
4
1
dx
x
x
x
1
= ∫ 





−
−
4
1
2
1
2
1
dxxx 
= 
1
4
x
3
2
x2
1
4
2
3
x
2
1
x 2
3
2
12
3
2
1






−=










− 
= 





−−





−
2
3
2
1
2
3
2
1
1.
3
21.24.
3
24.2 
= 
3
8
3
4
3
4
3
22
3
164 −=−−=





−−





− 
Observações: 
 
• 
2/12/10
2/1 xx
x
1
x
1
−−
=== (1 = x0) 
 
•
 
2/12/11
2/1 xx
x
x
x
x +−
===
 
 
• 4 1/2 = (22 (1/2) ) = 2 
 
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 10 
 
• 4 3/2 = (22 (3/2) ) = 23 = 8 
 
 
4.3 - A integral definida para cálculo de área 
 
 A integral definida de uma função f(x), num intervalo [ ]ba, é igual à área 
entre a curva de ( )xf e o eixo dos x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LL ++=++= ∫∫∫∫∫
∆+
∆+
∆+
dxfdxfdxfdxfdxxf
xa
xa
xa
a
b
a
21
2
21)( 
 
pois, ( )xf i para um dado retângulo é constante, isto é, 
 
 
 = ( ) ( ) ( ) AAAAxxfxxfxxf nn =+++=∆++∆+∆ LL 2121 
 
Adxxf
b
a
=∫ )( e a área sob a curva. 
 
 
Exemplo: Dada a função xy = calcular a área sob o gráfico de 0=x a 3=x . 
 
 
 
2
9
2
0
2
3
2
)(
223
0
23
0
3
0
=−==== ∫∫
xdxxdxxfA 
 
 
Por geometria 
 
2
93
2
1
2
1
××=×= alturabaseA 
 
que é o mesmo resultado obtido por integração. 
x∆ 
Y 
( )xf i 
X 
( )xf 
( )xf i 
x∆ 
3
Y
 
X 0 
5,4 
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 11 
Exemplo: Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva 232 +−= xxy e 
o eixo x que é 0=y . 
 
Nos dois pontos 0230 2 =+−⇒= xxy fornece 11 =x e 22 =x . 
 
 
Adxxf
b
a
=∫ )( , 
 
então 
 
 
( ) ( ) 2
1
232
1
2
2 22
3
3
23 





+−=+−== ∫∫ x
xxdxxxdxxfA b
a
 
 
..
6
1
6
5
3
22
2
3
3
14
2
43
3
8
2 auA =−=



+−+−





+
×
−= 
 
 
4.4 - A integral definida para cálculo de área de funções pares e impares 
 
 Quando uma função é par ou impar o cálculo de sua área é feito dobrando a área 
calculada no primeiro quadrante, isto é, quando se possui uma curva gerada por funções 
pares ou ímpares, existe uma simetria da função que permite que a área 
∫
−
=
a
a
dxxfA )( seja e dada por ∫=
a
dxxfA
0
)(2 . 
 
 
Exemplo: Se tivermos uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existirão 
simetrias do tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
−
2
2
2 dxx
 = 
2
2
3
3
−
x
 = 
3
8
 + 
3
8
 = 
3
16
 
 
Y 
( )xf 
X 0 1 2
∫∫ =
−
aa
a
dxxfdxxf
0
)(2)(
 
a− a 0 
( ) 3xxf = 
X 
Y 
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 12 
 
3
16
3
82
3
22
2
0
32
0
2
=×=×=∫
xdxx
 
 
Observação: Note que a curva é simétrica em relação a y. 
 
 
No entanto, a função a seguir é ímpar e gera um gráfico assimétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral 0)(
2
2
=∫
−
dxxf
 porque a curva é assimétrica, e portanto, de sinal contrário 
em relação à origem. 
 
 ∫ =−====
2
0
2
0
42
0
4
3
..808
24
22 auxxdxxA
 
ou 044
4
2
2
42
2
3
=−==
−
−
∫
xdxx
 (integral nula) 
 
“A área deve ser considerada sempre positiva.” 
 
A área total ∫=
2
0
32 dxxA
 
Y 
( ) 3xxf = 
X 
-2 
2