Exercicios Calculo 4 USP

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MAT2456 - Ca´lculo Diferencial e Integral para Engenharia IV
2o. Semestre de 2013 - 1a. Lista de exerc´ıcios: Sequeˆncias e Se´ries Nume´ricas
(I) Uma demonstrac¸a˜o de que o limite lim
n→∞
(
1 + 1n
)n
existe. Para cada n ∈ N, seja an =
(
1 + 1n
)n
.
a) Mostre que se a, b ∈ R e 0 ≤ a < b, enta˜o
bn+1 − an+1
b− a < (n+ 1)b
n.
b) Deduza que bn[(n+ 1)a− nb] < an+1, para todos n ∈ N e a, b ∈ R com 0 ≤ a < b.
c) Use a = 1 + 1/(n+ 1) e b = 1 + 1/n na parte b) para demonstrar que {an} e´ crescente.
d) Use a = 1 e b = 1 + 1/(2n) na parte b) para demonstrar que a2n < 4, para todo n ∈ N.
e) Use as partes c) e d) para concluir que an < 4 para todo n ∈ N.
(II) Decida se cada uma das sequeˆncias abaixo e´ convergente ou divergente, calculando o limite no caso
convergente.
1) 0,
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
,
5
6
,
6
7
, ... 2) 1,
1
2
, 1,
1
4
, 1,
1
8
, 1,
1
16
, ...
3)
1
2
,−1
2
,
1
4
,−3
4
,
1
8
,−7
8
, ... 4) an =
(
4 +
1
n
) 1
2
5) ck =
√
k + 1
k − 1 , k ≥ 2 6) an =
n3 + 3n+ 1
4n3 + 2
7) an =
√
n+ 1−√n 8) an = n+ (−1)
n
n− (−1)n
9) an =
2n
n+ 1
− n+ 1
2n
10) an = n(
√
n2 + 1− n)
11) an =
sinn
n
12) an = sinn; bn = sin(npi); cn = sin
(
npi
2
)
13) an =
2n+ sinn
5n+ 1
14) an =
(n+ 3)!− n!
(n+ 4)!
15) an =
n
√
n2 + n 16) an =
n sin(n!)
n2 + 1
17) an =
3n
2n + 10n
18) an =
(
n+ 2
n+ 1
)n
19) an =
(n+1)n
nn+1
20) an = na
n, a ∈ R
21) an =
n!
nn
22) an = n− n2 sin 1
n
23) an = (−1)n + (−1)
n
n
24) an =
n
√
an + bn onde 0 < a < b
25) an =
(
1− 12
) (
1− 13
)
...
(
1− 1n
)
26) an =
(
1− 1
22
) (
1− 1
32
)
...
(
1− 1
n2
)
27) an =
1
n
· 1.3.5...(2n− 1)
2.4.6...(2n)
28) an =
n
√
n
29) an =
nα
en
, α ∈ R 30) an = ln(n)
na
, a > 0
31) an =
n
√
n! 32) an =
n
√
a, a > 0
33) an =
(
n− 1
n
)n
34) an =
(
n+ 1
n
)n2
35) an =
(
n+ 1
n
)√n
36) an =
(
3n+ 5
5n+ 11
)n
37) an =
(
3n+ 5
5n+ 1
)n(5
3
)n
38) an =
(
1 +
1
n2
)n
(III) Verifique que existe lim
n→∞ an se:
1) an =
1.3.5...(2n− 1)
2.4.6...(2n)
2) an =
1
n
· 2.4.6...(2n)
1.3.5...(2n− 1) .
(IV) 1) Sejam A ⊂ R, f : A→ A uma func¸a˜o cont´ınua em A e a ∈ A. Seja {an}n∈N uma sequeˆncia definida
por: a0 ∈ A e an+1 = f(an), para todo n ≥ 0. Suponha que {an} converge para a. Prove que f(a) = a.
1
2) Considere a sequeˆncia a1 =
√
2, a2 =
√
2
√
2, a3 =
√
2
√
2
√
2, .... Verifique que a sequeˆncia e´ crescente
e limitada superiormente por 2 e calcule seu limite.
3) Mostre que a sequeˆncia
√
2,
√
2 +
√
2,
√
2 +
√
2 +
√
2, ... converge para 2.
(V) Verifique a convergeˆncia ou divergeˆncia das seguintes sequeˆncias:
1) sn =
n∑
r=1
1
r3
2) sn =
n∑
r=1
1
er
3) sn =
n∑
r=3
1
ln r
4) an =
2.4.6....(2n)
1.3.5....(2n− 1) 5) an =
1.3.5...(2n− 1)
2.4.6...(2n)
.
Calcule o limite nos casos 2) e 5).
(VI) Decida se cada uma das se´ries abaixo e´ convergente. Se poss´ıvel, calcule sua soma.
1)
∞∑
n=0
(
1
10n
+ 2n
)
2)
∞∑
k=0
(−1)k t k2 para 0 < t < 1 3)
∞∑
n=0
un(1 + un) para |u| < 1
4)
∞∑
n=0
xn cos
(npi
2
)
para |x| < 1 5)
∞∑
n=0
sin2n x para |x| < pi2 6)
∞∑
n=1
( n∑
j=1
n
j
)
7)
∞∑
n=1
cos
(npi
2
)
8)
∞∑
n=1
1√
n+ 1 +
√
n
9)
∞∑
k=1
k
sin k
10)
∞∑
s=1
cos
(
1
s
)
11)
∞∑
k=1
2 + cos k
k
(VII) E´ convergente ou divergente? Justifique.
1)
∞∑
n=3
1√
n2 − 4 2)
∞∑
n=2
arctg n
n2
3)
∞∑
n=1
e
1
n
n2
4)
∞∑
n=1
2n
(n!)λ
, λ > 0
5)
∞∑
n=1
(2n)!
(n!)2
6)
∞∑
n=2
lnn
n
7)
∞∑
n=2
1
nlnn
8)
∞∑
n=1
3
√
n+ 2
4
√
n3 + 3 5
√
n3 + 5
9)
∞∑
n=1
(
1− cos 1
n
)
10)
∞∑
n=2
1
(lnn)n
11)
∞∑
n=2
lnn
n2
12)
∞∑
n=2
lnn
np
, p > 0
13)
∞∑
n=2
ln
(
1 +
1
np
)
, p > 0 14)
∞∑
n=2
√
n ln
(
n+ 1
n
)
15)
∞∑
n=1
n!3n
nn
16)
∞∑
n=1
n!en
nn
17)
∞∑
k=1
e
1
k
kk
18)
∞∑
n=1
3n
(
n
n+ 1
)n2
19)
∞∑
n=1
n3
(ln 2)n
(VIII) Decidir se a se´rie converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
1)
∞∑
n=1
(−1)n 1√
n
2)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
3
2
3)
∞∑
n=1
(−1)n 2n
2 + 1
n3 + 3
4)
∞∑
n=2
(−1)n 1
lnn
5)
∞∑
n=2
(−1)n lnn
n
6)
∞∑
n=2
(−1)n
n(lnn)2
7)
∞∑
n=2
(−1)n
√
n
lnn
8)
∞∑
n=1
(−1)2n+1 1√
n
9)
∞∑
n=1
(−1)n sin 1
np
, p > 0 10)
∞∑
n=2
lnn
n2
11)
∞∑
n=1
(−1)n lnn√
n
(IX) Expresse as seguintes representac¸o˜es decimais como quociente de 2 inteiros
1) 1, 29 2) 0, 3117.
(X) Para cada n, seja an um dos d´ıgitos 0,1,2,...,9. Mostre que a se´rie
a1
10
+
a2
100
+ ...+
an
10n
+ ...
e´ convergente.
(XI) Seja {an} uma sequeˆncia de nu´meros positivos tal que
∑
an diverge. Mostre que
∑ an
1+an
tambe´m
diverge.
2
(XII) Se
∞∑
n=1
an = s, calcule
∞∑
n=1
(an + an+1).
(XIII) Verifique as relac¸o˜es 1) e 2) abaixo e use-as para calcular as somas 3) - 7):
1)
∞∑
n=1
[f(n+ 1)− f(n)] = lim
n→∞ f(n)− f(1), se o limite existir.
2)
∞∑
n=1
[f(n+ 1)− f(n− 1)] = lim
n→∞[f(n) + f(n+ 1)]− f(0)− f(1), se o limite existir.
3)
∞∑
n=1
(
1
n − 1n+1
)
4)
∞∑
n=1
(−1)n ln
(
n
n+2
)
5)
∞∑
n=1
[
sin
(
1
n
)− sin( 1n+1)]
6)
∞∑
n=1
n
(n+1)! 7)
∞∑
n=1
1
(n+1) ... (n+k) , (k ≥ 2)
(XIV) Determine os valores de x ∈ R para os quais as se´ries convergem.
1)
∞∑
n=1
xn(1 + xn) 2)
∞∑
n=1
xn cos
(
npi
2
)
3)
∞∑
n=2
(−1)n+1 1
nln x
4)
∞∑
n=1
n!xn
5)
∞∑
n=1
(
xn + 12nxn
)
6)
∞∑
n=0
(−1)n+1e−n sinx 7)
∞∑
n=0
2n+1
(n+1)5
x2n
RESPOSTAS
(II) Respostas
1) converge para 1 2) diverge 3) diverge
4) converge para 2 5) converge para 0 6) converge para 14
7) converge para 0 8) converge para 1 9) converge para 32
10) converge para 12 11) converge para 0 12) an e cn divergem ; bn → 0
13) converge para 25 14) converge para 0 15) converge para 1
16) converge para 0 17) converge para 0 18) converge para e
19) converge para 0 20) converge para 0 se |a| < 1 21) converge para 0
22) converge para 0 23) diverge 24) converge para b
25) converge para 0 26) converge para 12 27) converge para 0
28) converge para 1 29) converge para 0, α ∈ R 30) converge para 0
31) diverge 32) converge para 1 33) 1/e
34) diverge 35) 1 36) 0
37) exp(22/15) 38) 1
(IV) 1) 2 3) 2.
(V) 1) converge, 2) converge para 1e−1 , 3) diverge, 4) diverge (Dica: calcular ln an), 5) converge para 0
(Dica: calcular ln an).
(VI) 1) diverge, 2) 1
1+
√
t
, 3) 2+u
1−u2 , 4)
1
1+x2
, 5) 1
1−sin2 x , 6) diverge, 7) diverge, 8) diverge, 9) diverge,
10) diverge, 11) diverge.
(VII) 1) diverge, 2) converge, 3) converge, 4) converge, 5) diverge, 6) diverge, 7) converge, 8) converge,
9) converge, 10) converge, 11) converge, 12) converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1, 13) converge se p > 1
e diverge se p ≤ 1, 14) diverge, 15) diverge, 16) diverge, 17) converge, 18) diverge, 19) diverge.
(VIII) 1) converge condicionalmente, 2) converge absolutamente, 3) converge condicionalmente, 4) converge
condicionalmente, 5) converge condicionalmente, 6) converge absolutamente, 7) diverge, 8) diverge, 9)
converge absolutamente se p > 1 e converge condicionalmente se p ≤ 1, 10) converge absolutamente, 11)
converge condicionamente.
(XII) 2s− a1.
(XIII) 3) 1; 4) ln 2; 5) sin(1) 6) converge para 1; 7) converge para 1k!(k−1)
(XIV) 1) {x ∈ R : |x| < 1}, 2) {x ∈ R :|x| < 1}, 3) {x ∈ R : x > 1}, 4) {x = 0},
5) {x ∈ R : 1/2 < |x| < 1}, 6) {x ∈ R : 2kpi < x < (2k + 1)pi, k ∈ Z}, 7) {x ∈ R : |x| ≤ 1}.
3