Caderno introducão ao cálculo

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Introdução ao 
Cálculo
Jorge Andrés Julca Avila
Maria Teresa Menezes Freitas
MATEMÁTICA
Graduação
Jorge Andrés Julca AvilaMaria Teresa Menezes Freitas
Introdução ao Cálculo
2011
A958i Avila, Jorge Andrés Julca Introdução ao Cálculo / Jorge Andrés Julca Avila ; Maria Teresa Menezes Freitas . – São João del-Rei, MG : UFSJ, 2011. 164p.
 Graduação em Matemática.
1. Cálculo I. Freitas, Maria Teresa Menezes II. Título.
CDU: 517
Reitor Helvécio Luiz Reis Coordenador UAB/NEAD/UFSJ Heitor Antônio GonçalvesComissão Editorial: Fábio Alexandre de Matos
 Flávia Cristina Figueiredo Coura
 Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva
 José do Carmo Toledo
 José Luiz de Oliveira
 Leonardo Cristian Rocha
 Maria Amélia Cesari Quaglia
 Maria do Carmo Santos Neta
 Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo
 Maria Rita Rocha do Carmo (Presidenta)
 Marise Maria Santana da Rocha
 Rosângela Branca do Carmo
 Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal
 Terezinha Lombello FerreiraEdição Núcleo de Educação a Distância
 Comissão Editorial - NEAD-UFSJCapa Eduardo Henrique de Oliveira GaioDiagramação
 Luciano Alexandre Pinto
SUMÁRIO
PRA COMEÇO DE CONVERSA.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05
UNIDADE 1 – NOÇÕES DE LÓGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
1.1. Lógica: Compreendendo o Significado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 091.2. Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Conectivos e Quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Operações Lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Construção de Tabelas Verdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. Tautologias, Contradições e Contingências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7. Implicação Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8. Equivalência Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9. Proposições Associadas a Uma Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10. A Negação Conjunta de Duas Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.11. A Negação Disjunta de Duas Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.12. Álgebra das Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.13. Compreendendo o Processo Lógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.14. Classificação das Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.15. Tipos de Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 
UNIDADE 2 – CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1. Conceitos Primitivos e Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2. Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3. Propriedades das Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4. Conjunto das Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
UNIDADE 3 – RELAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2. Par Ordenado e Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3. Relação Binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
UNIDADE 4 – CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS . . . . . . 714.1. História dos Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Conjunto dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3. Conjunto dos Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
UNIDADE 5 – CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS E 
NÚMEROS IRRACIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.1. Conjunto dos Números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2. Conjunto dos Números Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
UNIDADE 6 – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3. Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4. Conjunto dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
UNIDADE VII – FUNÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2. Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.3. Operações com Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4. Função Polinomial e Função Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.5. Função Valor Absoluto e Função Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.6. Propriedades das Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.7. Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8. Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.9. Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
PARA FINAL DE CONVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
REFERÊNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
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PARA COMEÇO DE CONVERSA 
 Sejam bem-vindos! Este material de Introdução ao Cálculo foi elaborado para estudantes de Matemática,seja sua participação presencial, em sala de aula, ou a distância, interagindo com o computador. O único requisito para a aprendizagem deste material é boa vontade de adquirir novos conhecimentos e persistência na solução dos exercícios. Sabemos que em todo livro de Matemática é imprescindível não colocar as demonstrações de teoremas importantes. Este material não seria diferente, por isso, não desanime ao encontrar-se com alguns deles. Muitas das vezes, as demonstrações seguem um caminho muito técnico, porém os autores têm pensado nisso e de alguma forma facilitarão o entendimento. Este material está divido em sete capítulos, que se iniciam com os conceitos de lógica, seguidos com a teoria de conjuntos, relações, sistema dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais e, finalmente, funções. Na maioria das vezes, ao finalizar uma seção, encontram-se as Atividades que consistem em exercícios propostos e é muito importante que o aluno os resolva. Os Autores 
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 Unidade I 
 
 Noções de Lógica 
 Objetivos 
 
 Explicitar conceitos relacionados à lógica. 
 Utilizar adequadamente a simbologia matemática para argumentação lógica. 
 
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1.1. Lógica: Compreendendo o Significado 
 Caro estudante! Ao iniciar este tema, penso que talvez esteja curioso para saber o que afinal significa Lógica. Poderíamos dizer que se trata de um conceito que se relaciona ao estudo do raciocínio, estudo da veracidade de uma demonstração, estudo da argumentação correta, estudo das regras para verificar se um pensamento é verdadeiro ou falso etc. Quantas vezes nos surpreendemos dizendo a expressão: É lógico! O que carrega esta expressão quando a expressamos? Vamos acompanhar um diálogo imaginário: A professora Maria pergunta à sua aluna Renata: 
– Você pensa que irá conseguir um bom conceito este semestre? Renata responde: 
– É lógico! Tenho estudado todos os dias, tenho realizado todas as tarefas, tenho 
ficado atenta às explicações e... Perceba que, quando atribuímos uma lógica a um determinado pensamento, normalmente, temos argumentos que o sustentam. Ou seja, temos razões que justificam a nossa afirmação. Assim, podemos de uma maneira simples, dizer que 
A Lógica trata das formas de argumentação, das maneiras de encadear nosso 
raciocínio para justificar, a partir de fatos básicos, nossas conclusões. A Lógica 
se preocupa com o que se pode ou não concluir a partir de certas informações. (MACHADO, 1994, p. 12-13) Vamos, então, compreender que a Lógica é a ciência que estuda as leis gerais do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos. 
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Importante saber que a Lógica fornece subsídios para melhorar a linguagem utilizada em Matemática, que formaliza e sintetiza claramente o pensamento. Para iniciar, vamos compreender alguns termos importantes para continuarmos nosso passeio pelo mundo da Lógica. 
1.2. Proposições 
Denominamos proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprime um pensamento de sentido completo. As proposições afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. 
Exemplo 1.1. 
(a) O triangulo é um polígono. 
(b) Vagner estuda e trabalha. Vale a pena saber que a lógica tem alguns princípios que foram convencionados. Esses princípios que apresentaremos, a seguir, são denominados Axiomas da Lógica. 
Princípio da Não Contradição – Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
Princípio do Terceiro Excluído – Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses casos, e nunca um terceiro. Em virtude do “princípio do terceiro excluído”, dizemos que a Lógica Matemática é uma 
Lógica Bivalente, ou seja, toda proposição apresenta um e apenas um dos valores lógicos – V(verdadeiro), F (falso). 
Observação. No estudo de Lógica, restringimo-nos a uma classe de proposições que são as declarativas e que admitem um único valor lógico. Assim, excluímos aquelas proposições interrogativas e imperativas. 
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Podemos distinguir dois tipos de proposições: simples e composta. Vejamos como reconhecer cada uma. Denominamos de proposição simples (ou atômica) aquela que não contém outra proposição como parte integrante de si mesma. Muitos autores convencionam designar as proposições por letras minúsculas: p , q , r , 
s , ... , que são denominadas por letras proposicionais. 
Exemplo 1.2. Exemplos de proposições simples. 
(a) p : Renato cortou o cabelo. 
(b) q : Todo triângulo tem 3 lados. 
(c) r : O Número 144 é divisível por 2. Denominamos de proposição composta (ou molecular) aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. As proposições compostas, comumente, são designadas por letras maiúsculas: P , Q , R , S , ... , que são também denominadas por letras proposicionais. 
Exemplo 1.3. Exemplos de proposições compostas. 
(a) P : Marcos é careca, e Pedro é estudante. 
(b) Q : Se João é campeão de natação, então, ele sabe nadar. 
Observação. Quando é interesse explicitar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples, p , q , r , s , ... , e escreve-se:  , , , ,...P p q r s . Percebam que, para obtermos proposições compostas, utilizamos expressões para unir, conectar, ou seja, ligar proposições. Tais expressões se denominam conectivos. 
1.3. Conectivos e Quantificadores Denominamos por Conectivos palavras que são utilizadas para formar novas proposições a partir de outras. Veja, a seguir, alguns conectivos: 
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 “não” : negação 
 “e” : conjunção 
 “ou” : disjunção 
 “se ... então ...” : condicional 
 “... se e somente se ...” : bicondicional É importante perceber que algumas expressões atribuem um senso de quantidade às proposições. A essas expressões, denominamos por Quantificadores. Conheçam, abaixo, alguns quantificadores: 
  : ‘para todo’, ‘qualquer que seja’ 
  : ‘existe’, ‘existe algum’ 
 ! : ‘existe um único’, ‘existe um só’ Importante saber que 
  é denominado quantificador universal. 
  é denominado quantificador existencial. 
Observação. Observe um detalhe importante: frases declarativas afirmativas, com variáveis, são denominadas sentenças abertas e não podemos atribuir um único valor lógico (isto é, não podemos afirmar serem verdadeiras ou falsas). 
Exemplo 1.4. A equação 4 7x  é uma sentença aberta. Entretanto, quando quantificamos uma sentença aberta (quando utilizamos um quantificador), a mesma se transforma em uma proposição. 
Exemplo 1.5. ! / 4 7x x    (é uma proposição verdadeira). 
1.4. Operações Lógicas Vamos, neste item, conhecer os operadores lógicos e compreender o valor lógico da proposição quando os utilizamos. 
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Assim, estaremos apresentando tabelas denominadas TABELA VERDADE. Nestas tabelas, figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (resultante), correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. 
1.4.1. Negação Para a negação, usamos o seguinte símbolo: ~ . Lê-se: não. Denominamos de negação de uma proposição p a proposição ~ p (lê-se: não p) que será falsa, quando p for verdadeira, e ~ p será verdadeira quando p for falsa. 
Observe a Tabela Verdade de ~ p : 
p ~ p V F F V 
 
Exemplo 1.6. 
(a) Seja p : "Maria é aluna do Curso de Matemática a distância da UFSJ". Teremos ~ p : "Maria não é aluna do Curso de Matemática a distância da UFSJ". 
(b) Seja p : 8 7 . Note que p é verdadeira (V). Teremos que ~ p : 8 7 . Note que ~ p é falsa (F). 
(c) Seja p : 2 / 0x x   . Teremos que ~ p : 2 / 0x x   . 
Tabela Verdade É uma tabela contendo todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (resultante), correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. 
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1.4.2. Conjunção Na conjunção, usamoso seguinte símbolo:  . Lê-se: e. Dadas duas proposições, p e q , denominamos conjunção de p e q a proposição composta, p q (lê-se: p e q), cujo valor lógico será verdadeiro apenas quando ambas as proposições p e q forem verdadeiras. Observe a Tabela Verdade de p q : 
p q p q V V V V F F F V F F F F 
1.4.3. Disjunção Na disjunção, usamos o seguinte símbolo:  . Lê-se: ou. Dadas duas proposições, p e q , podemos formar a proposição composta, p q (lê-se: p ou q), cujo valor lógico será verdadeiro sempre que uma das componentes o seja. Observe a Tabela Verdade de p q : 
p q p q V V V V F V F V V F F F 
1.4.4. Disjunção Exclusiva Na disjunção exclusiva, usamos o seguinte símbolo:  . Lê-se: ou, ou. 
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Denominamos disjunção exclusiva a proposição, p q , cujo valor lógico é apresentado na tabela abaixo: 
p q p q V V F V F V F V V F F F Note que a proposição composta com disjunção exclusiva é falsa, quando ambas as proposições envolvidas tiverem o mesmo valor lógico. 
Exemplo 1.7. Sejam 
p : Maria é filha de Carla (V) 
q : Maria é filha de Vânia (V) Então, p q é (F) (Não pode acontecer ao mesmo tempo). 
1.4.5. Condicional Usamos o seguinte símbolo:  . Lê-se: se ... então. Dadas duas proposições, p e q , podemos obter a proposição, p q (lê-se: se p então q), cujo valor lógico só não é verdadeiro, no caso em que a primeira componente for verdadeira, e a segunda for falsa. Observe a Tabela Verdade da Condicional: 
p q p q V V V V F F F V V F F V 
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Observação. No caso em que a composta p q for verdadeira, dizemos que p é condição suficiente para que ocorra q , e q é condição necessária para que ocorra p . 
1.4.6. Bicondicional Usamos o seguinte símbolo:  . Lê-se: ... se e somente se ... Dadas duas proposições, p e q , podemos obter a proposição, p q (lê-se: p se e 
somente se q), cujo valor lógico será verdadeiro, desde que as duas componentes tenham o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas). Observe a Tabela Verdade da Bicondicional: 
p q p q V V V V F F F V F F F V 
Observação. No caso em que a composta p q for verdadeira, dizemos que p é condição necessária e suficiente para que ocorra q , e q é condição necessária e suficiente para que ocorra p . 
A bicondicional também pode ser escrita como uma conjunção de duas condicionais. Ou seja, 
    p q p q q p     , 
onde o símbolo  denota equivalência. Observe a Tabela Verdade de    p q q p   : 
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p q p q q p    p q q p   V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Observem que podemos obter os valores lógicos de proposições compostas, encontrando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e atentando para o valor lógico, ao utilizar cada conectivo. 
1.5. Construção de Tabelas Verdades Penso que, depois de tudo que já foi visto até o momento, podemos perceber que, a partir de várias proposições simples, p , q , r , ... , poderemos combiná-las, por meio dos conectivos lógicos ~ ,  ,  ,  ,  , e construir proposições compostas. Observe um exemplo:    , ~P p q p p q   
      , , ~ ~ ( ~ )R p q r p q r q p r        Para conhecer o valor lógico da proposição resultante, utilizamos as Tabelas Verdades das operações lógicas, conforme realizado anteriormente. 
Importante 
 O número de linhas de uma Tabela Verdade se relaciona com o número n de proposições simples envolvidas e é dado por 2n . 
 Por meio de convenções, é possível diminuir o número de sinais de agrupamentos (parêntesis), assim como acontece em álgebra, quando 3 4 6  significa  3 4 6  . 
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Apresentamos, abaixo, a hierarquia estabelecida para os conectivos: 
1. ~ : negação 
2.  : (e) conjunção;  : (ou) disjunção 
3.  : condicional 
4.  : bicondicional 
 Essa é a ordem de prioridades convencionada. Dessa forma, podemos compreender que 
p q r  significa o mesmo que  p q r  , e não  p q r  , devido à convenção estabelecida. Isto é, os conectivos  (e) ;  (ou) têm precedência sobre  (condicional) e  (bicondicional). Vamos verificar se compreendemos o que foi exposto até este momento! Anime-se! Fique atento que tudo é bem tranquilo de ser compreendido. Elaboremos a Tabela Verdade da proposição abaixo:      , : ~P p q p p q p   
Note que a proposição  ,P p q tem duas proposições simples envolvidas, portanto a Tabela Verdade terá 22 4 linhas. 
p q ~ p ~p p q p    ~p p q p   V V F F V V V F F F V V F V V F V V F F V F F V 
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Uma vez preenchida a Tabela Verdade podemos concluir que a proposição 
     , : ~P p q p p q p   é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples p e q envolvidas. 
Atividade 1.1 
(1) Apresente a Tabela Verdade das seguintes proposições 
(a)      , : ~ P p q p q p q p      
(b)      , , : ~ ~P p q r p r q r   
(c)        , , : P p q r p q q r p r       
Fique atento! Antes de iniciar, pense quantas linhas serão necessárias na Tabela Verdade, observando o número de proposições simples envolvidas. 
1.6. Tautologias, Contradições e Contingências 
Definição 1.1. (Tautologia) Denominamos de Tautologia a toda proposição composta cuja última coluna de sua Tabela Verdade encerra somente com a letra V (verdade). As Tautologias são também denominadas por proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. As tautologias são, por vezes, indicadas pela letra t ou v. 
Exercício 1.1. Verifique se entre as Tabelas Verdades, obtidas anteriormente, existe alguma que apresente tautologia. O que isso significa? 
Definição 1.2. (Contradição) Denominamos por Contradição a toda proposição composta cuja última coluna da Tabela Verdade figura apenas com a letra F (Falso). As contradições são também denominadas por proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. As contradições são, por vezes, indicadas pela letra c ou f. 
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Definição 1.3. (Contingência) Denominamos por Contingência (ou indeterminada) a toda proposição composta cuja última coluna da Tabela Verdade figura apenas as letras V (Verdadeira) e F (Falsa), cada uma, pelo menos, uma vez. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas. 
1.7. Implicação Lógica Vamos compreender o significado da implicação lógica. Dizemos que uma proposição  , , , ,...P p q r s implica uma proposição  , , , ,...Q p q r s , se 
 , , , ,...Q p q r s é verdadeira, todas as vezes que  , , , ,...P p q r s for verdadeira. De uma maneira mais simples, podemos dizer que uma proposição P implica uma proposição Q , se e somente se, a condicional P Q é uma tautologia. 
Notação. P Q . 
Atenção! Observe que os símbolos  e  são distintos, pois o primeiro se relaciona a uma operação lógica, enquanto que o segundo refere-se a uma relação entre proposições. (Grosseiramente, podemos estabelecer uma associação com a aritmética, com os sinais  e  . Veja que ‘3 + 4’ representa um número, enquanto que ‘3 < 4’ não representa um número). 
1.7.1. Propriedades da implicação lógica 
(a)    , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s (Reflexiva) 
(b)    , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s e    , , , ,... , , , ,...Q p q r s R p q r s . Então, 
   , , , ,... , , , ,...P p q r s R p q r s (Transitiva) 
1.8. Equivalência Lógica Vamos compreender o significado da equivalência lógica. 
21
unidade 1
Dizemos que uma proposição  , , , ,...P p q r s é equivalente a uma proposição 
 , , , ,...Q p q r s , se as Tabelas Verdades dessas duas proposições são idênticas. De outra maneira, podemos dizer que a proposição  , , , ,...P p q r s é equivalente à proposição 
 , , , ,...Q p q r s , isto é, 
    , , , ,..., , , ,...P p q r s Q p q r s , 
se, e somente se, a bicondicional    , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s 
é tautológica. 
Atenção! Observe que os símbolos  e  são distintos, pois o primeiro se relaciona a uma operação lógica, enquanto que o segundo estabelece que a bicondicional é tautológica. 
1.8.1. Propriedades da equivalência lógica 
(a)    , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s (Reflexiva) 
(b)    , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s , se, e somente se,    , , , ,... , , , ,...Q p q r s R p q r s (Simétrica) 
(c)    , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s e    , , , ,... , , , ,...Q p q r s R p q r s . Então,    , , , ,... , , , ,...P p q r s R p q r s (Transitiva) 
1.9. Proposições Associadas a Uma Condicional Dada uma condicional p q , podemos associar as seguintes condicionais contendo p e q : 
22
 Proposição recíproca de p q expressa por q p 
 Proposição contrária de p q expressa por ~ ~p q 
 Proposição contrarrecíproca (ou contrapositiva) de p q expressa por 
~ ~q p Vejamos a Tabela Verdade dessas proposições: 
p q ~ p ~ q p q q p ~ ~p q ~ ~q p V V F F V V V V V F V V F V V F F V F F V F F V F F V V V V V V Observe que a Tabela Verdade da proposição recíproca e contrária bem como da proposição condicional e sua contrarrecíproca são idênticas. Isso nos mostra as seguintes propriedades: 
i. A condicional p q e sua contrarrecíproca ~ ~q p são equivalentes, isto é, ~ ~p q q p   
Observação. O método de demonstração, reconhecido por “redução ao absurdo”, se baseia na propriedade acima citada. 
ii. A recíproca q p e a contrária ~ ~p q da condicional p q são equivalentes, isto é: ~ ~p q q p   Verifique sua compreensão...! 
Atividade 1.2 
(1) Determine: 
(a) A contrarrecíproca de ~p q 
23
unidade 1
(b) A contrarrecíproca de ~ p q 
(c) A contrarrecíproca da recíproca de ~p q 
(d) A recíproca da contrarrecíproca de ~ ~p q 
Exemplo 1.8. Vejamos alguns exemplos que esclarecem os conceitos vistos acima: 
1. Seja a condicional relativa a dois ângulos, conforme expresso abaixo. 
Proposição 
p q : Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então, esses ângulos são congruentes. 
Recíproca desta proposição 
q p : Se dois ângulos são congruentes, então, esses ângulos são opostos pelo vértice. 
Observação. A condicional p q é verdadeira, mas sua recíproca não é verdadeira (isso nos mostra que nem sempre teremos a recíproca de uma proposição verdadeira também verdadeira). 
2. Demonstre: 
(a) Se 2x é ímpar, então, x é impar. Veja que, muitas vezes, devemos nos lembrar da equivalência que existe entre a condicional e sua contrarrecíproca para facilitar a demonstração. Lembre-se de que, quando existe a equivalência, significa que os valores lógicos são idênticos. ~ ~p q q p   
Assim, a contrarrecíproca da condicional: Se 2x é ímpar, então, x é ímpar seria: 
Se x é par, então, 2x é par. Vejamos se conseguimos demonstrar com facilidade a contrarrecíproca. Seja x um número par. Então, para um número n , 2x n . Logo,  22 2x n . 
24
Vale lembrar que    2 2 22 4 2 2n n n  . Assim,  2 22 2x n . Portanto, 2x é par. Dessa forma, consideramos a implicação demonstrada por ‘redução ao absurdo’ que se baseia na demonstração do contrarrecíproco. 
1.10. A Negação Conjunta de Duas Proposições Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q à proposição “não p e não q”, isto é, ~ ~p q . A negação conjunta, envolvendo as proposições p e q , é indicada por p q . Assim, ~ ~p q p q   
Veja a Tabela Verdade da proposição p q : 
p q p q V V F V F F F V F F F V 
1.11. A Negação Disjunta de Duas Proposições Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não p ou não 
q ”, isto é, ~ ~p q . A negação disjunta envolvendo as proposições p e q , tem sido convencionalmente indicada por p q . Assim, ~ ~p q p q   
25
unidade 1
Observe a Tabela Verdade da proposição p q : 
p q p q V V F V F V F V V F F V 
Observação. Os símbolos  e  são conhecidos por conectivos de scheffer. 
Agora é com você! Selecionamos alguns exercícios para você verificar sua aprendizagem. Lembre-se de que você poderá sempre contar com o esclarecimento do seu tutor. 
Atividade 1.3 
(1) Demonstre, por Tabela Verdade, que os três conectivos ~ ,  e  exprimem-se em função do conectivo  de Scheffer, conforme abaixo: 
(a) ~ p p p  
(b)     p q p q p q     
(c)     p q p p q q     
Sugestão: Para isso, você deverá construir a tabela verdade exibindo a equivalência, isso significa mostrar que a bicondicional é tautológica. 
(2) Demonstre, por Tabela Verdade que os três conectivos ~ ,  e  exprimem-se em função do conectivo  de Scheffer, conforme abaixo: 
(d) ~ p p q  
(e)     p q p p q q     
(f)     p q p q q p     
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Sugestão: Lembre-se, novamente, de que você deverá construir a Tabela Verdade exibindo a equivalência, isso significa mostrar que a bicondicional é tautológica. 
1.12. Álgebra das Proposições Perceba que os conectivos apresentam algumas propriedades de importância fundamental para melhor compreensão da lógica inerente aos processos de demonstração da matemática. Podemos facilmente verificar e constatar a veracidade das propriedades que serão apresentadas, por meio de Tabelas Verdades. Por convenção, as propriedades recebem nomes especiais que devemos conhecer, para que seja possível fazer referência às mesmas sem a necessidade de detalhar repetidas vezes. Percebam que a denominação é bem semelhante a outras já conhecidas, quando abordamos os conjuntos numéricos. 
1.12.1. Propriedades 
 
i. Propriedades da conjunção 
 
(a) Idempotente: p p p  
(b) Comutativa: p q q p   
(c) Associativa:     p q r p q r     
(d) Identidade: p p t ( t é uma tautologia) p c c ( c é uma contradição), onde t é considerado o elemento neutro da conjunção, e c o elemento 
absorvente da conjunção. 
Observação. Mais uma vez, lembramos que ser equivalente significa que os valores lógicos são os mesmos. 
27
unidade 1
ii. Propriedades da disjunção 
 
(a) Idempotente: p p p  
(b) Comutativa: p q q p   
(c) Associativa:     p q r p q r     
(d) Identidade: p t t ( t é uma tautologia) p p c ( c é uma contradição), onde t é considerado o elemento absorvente da disjunção, e c o elemento 
neutro da disjunção. 
Observação. Novamente, alertamos que ser equivalente significa que os valores lógicos são os mesmos. 
iii. Propriedades da conjunção e da disjunção 
 
(a) Distributiva 
       p q r p q p r      
       p q r p q p r      
(b) Absorção 
   p p q p   
   p p q p   
(c) Regra de De Morgan 
  ~ ~ ~p q p q   
  ~ ~ ~p q p q   
Observação. Note que, pelas regras de De Morgan, a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. 
28
iv. Propriedades da condicional e sua negação 
 A propriedade é dada por ~p q p q   Verifiquemos, por meio da Tabela Verdade, a equivalência acima: 
p q p q ~ p ~ p q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V 
Observação. 
(a) Nas colunas em destaque, observa-se que os valores lógicos são idênticos, isso significa que as proposições são equivalentes. 
(b) Podemos, então, utilizar das equivalências conhecidas para compreendermos outras. 
Exemplo 1.9. Considere a negação da condicional p q , então, 
    ~ ~ ~ ~p q p q p q     
Assim,  ~ ~p q p q   
v. Propriedades da bicondicional e sua negação 
 A propriedade é dada por     p q p q q p    29
unidade 1
Sugestão. Faça a tabela verdade e verifique a equivalência das propriedades. Lembre-se de que devemos compreender que ser equivalente significa ter o mesmo valor lógico. 
vi. Negação da proposição com Quantificador Importante relembrar que expressões atribuem um senso de quantidade às proposições que recorrem aos Quantificadores, como visto na Seção 1.3. Observe a negação de Proposições: 
 Toda pessoa fala francês. Nem toda pessoa fala francês (Negação de 1). 
 Alguém foi ao parque. Ninguém foi ao parque (Negação de 2). 
 Alguém foi à diretoria. Ninguém foi à diretoria (Negação de 3). Temos, então, as equivalências: 
      
     
~ ( ) ~ ( )
~ ( ) ~ ( )
x A p x x A p x
x A p x x A p x
      
      
 
Observação. Observe como é simples, pois a negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial, seguido de negação e vice-versa. Essa equivalência é conhecida como Segunda Regra de De Morgan. 
Exemplo 1.10. 
(a)    ~ , 7 12 / 7 12n n n n         
(b)    ~ / tg 0 , tg 0x x x x       
 
30
Exercício 1.2. Verifique, por Tabela Verdade, as equivalências: 
(a)  ~ p q  c 
(b)  ~ p p  t 
Lembre-se de que t e c são proposições com valores lógicos, (V) e (F), ou seja, t (tautologia) e c (contradição). 
1.13. Compreendendo o Processo Lógico Penso que vale ressaltar, neste momento, que Processo Lógico pode ser compreendido como método de raciocínio no qual, a partir da verdade de uma ou mais proposições (denominadas hipóteses), obtemos a verdade de outra, ou outras proposições (denominadas teses). O Processo Lógico de raciocínio pode ser classificado em indutivo, ou dedutivo. 
 Método indutivo – Parte de hipóteses particulares para chegar a teses mais gerais, ou seja, partindo do específico, chega-se ao geral. Vale atentar que, embora este método muitas vezes tenha sido considerado de muito valor para as ciências experimentais, o mesmo não é recomendável ou validado para a Matemática. Ou seja, não basta verificar que certa afirmação é valida, para um caso particular, para se considerar verdadeira. Por exemplo: Saber que Maria e Pedro foram reprovados em Geografia não será suficiente para afirmar que todos da turma foram reprovados em Geografia. 
 Método Dedutivo – Parte de hipóteses em que, pelo menos, uma é geral para se chegar a teses particulares. Por exemplo: Sabendo-se que todos os supermercados aumentaram o preço do café, é suficiente para afirmar que o Carrefour aumentou o preço do café. 
31
unidade 1
1.14. Classificação das Proposições 
 
Importante!! Para provarmos a verdade de uma proposição denominada tese, pelo processo lógico 
dedutivo, existe a necessidade de conhecermos proposições verdadeiras para considerarmos como hipóteses. As proposições podem ser assim classificadas: 1. Definições. São proposições nas quais são convencionados significados de elementos ou termos. 2. Postulados (ou Axioma). São proposições nas quais são convencionadas 
propriedades de elementos ou termos definidos. Geralmente, são propriedades óbvias e, portanto, a verdade dos postulados, assim como as definições, é aceita 
sem demonstração. 3. Teorema. São proposições que estabelecem propriedades dos elementos ou termos, e as verdades exigem demonstrações. 4. Corolário. Apresenta-se como um teorema advindo de uma consequência imediata de outro teorema. 5. Lema. Apresenta-se como um teorema que precede um teorema de alto grau de importância e que lhe servirá para sua demonstração. Note que, até este ponto, temos verificado as implicações e equivalências, por meio de elaboração de Tabelas Verdades. Passaremos a demonstrar as implicações e equivalências das proposições, valendo-nos do método dedutivo, a partir da álgebra das proposições. Para tal, será importante estarmos atentos às propriedades apresentadas anteriormente e que reapresentamos, a seguir. 
32
Propriedades da Conjunção,  
(a) Idempotente : p p p  
(b) Comutativa : p q q p   
(c) Associativa :     p q r p q r     
(d) Identidade : p p t ( t é uma tautologia) 
 p c c ( c é uma contradição) 
 
Propriedades da Disjunção,  
(a) Idempotente : p p p  
(b) Comutativa : p q q p   
(c) Associativa :     p q r p q r     
(d) Identidade : p t t ( t é uma tautologia) 
 p p c ( c é uma contradição) 
 
Propriedades da Conjunção e da Disjunção 
(a) Distributiva :       p q r p q p r      
      p q r p q p r      
(b) Absorção :   p p q p   
  p p q p   
(c) Leis de De Morgan :  ~ ~ ~p q p q   
 ~ ~ ~p q p q   
 
Equivalências notáveis da Condicional e sua negação 
(a) ~p q p q   
(b)  ~ ~p q p q   
 
Equivalências notáveis da Bicondicional e sua negação 
(a)         ~ ~p q p q q p p q q p         
(b)          ~ ~ ~ ~ ~p q p q q p p q q p           
 
Equivalências notáveis complementares 
(a) ~ p p  c 
(b) ~ p p  t 
33
unidade 1
Exercício 1.3. Vamos testar a compreensão? Com apoio da álgebra das proposições, demonstremos, pelo método dedutivo, as implicações que se seguem, observando que muitas recebem nomes especiais que servem de referência. 
(a) i. pc Perceba que, partindo de propriedades e equivalências conhecidas, devemos demonstrar a validade da implicação pc . Para tanto, devemos mostrar que a condicional pc é tautológica. Assim, teremos: ~ p p p     c c t t ii. p t Perceba que, partindo de propriedades e equivalências conhecidas, devemos demonstrar a validade da implicação p t . Para tanto, devemos mostrar que a condicional p t é tautológica. Assim, teremos: ~ p p   t t t 
(b) p q p  (Simplificação) O que é necessário para se demonstrar uma implicação? Claro! Devemos demonstrar que a condicional é tautológica. Assim, teremos: 
 
 
 
 
~
~ ~
~ ~
~
p q p p q p
p q p
q p p
q
    
  
  
 

t
t
 
De maneira semelhante, podemos demonstrar que p q q  
(c)  p p q  (Adição) Novamente, lembre que será necessário provar que a condicional  p p q  é tautológica. Assim, teremos: 
34
     ~~ p p q p p qp p q
q
    
  
 

t
t
 
(d)  p q p q   (Modus ponens) Perceba que é importante lembrar o que significa demonstrar uma implicação lógica. Isso mesmo... Significa que devemos demonstrar que a condicional associada é tautológica. Lembre que uma proposição P implica uma proposição Q , se, e somente se, a condicional P Q é uma tautologia. Assim, 
       
   
   
 
~ ~
~ ~ ~
~ ~ ~
p q p q p q p q p p q p q
q p q q p q
q p q q p q
q q p p
                 
        
     
    

c
t
t
 
(e)   ~ ~p q q p   (Modus tollens) Novamente, será importante pensar, antes de iniciar a demonstração, o que devemos fazer. O que significa demonstrar uma implicação lógica? Isso mesmo... Significa que devemos mostrar que a condicional associada é tautológica e, para isso, vamos utilizar as propriedades conhecidas anteriormente. Vamos começar? 
 
       
   
   
 
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~
~
p q q p p q q p p q q q p
p q p p q p
p q p p q p
p p q q
             
      
     
    

c
t
t
 
35
unidade 1
Exercício 1.4. Continuando a verificar a nossa compreensão, com apoio da álgebra das proposições, vamos demonstrar as equivalências que se seguem: 
(a) ~p q p q   c Lembremos que duas proposições são equivalentes, quando possuem o mesmo valor lógico. Assim,para demonstrar as equivalências, devemos partir de uma delas e com equivalências válidas e conhecidas chegar à outra. Uma dica que penso ser interessante divulgar é que sempre parece facilitar a demonstração, quando partimos das maiores. Vejamos, então:       ~ ~ ~ ~ ~ ~p q p q p q p q p q          c c Vale a pena tentar identificar a propriedade ou equivalência notável que garantiu cada passagem da demonstração. Faça isso... Você passará a compreender ainda mais... 
(b) p q p q q    Novamente, vamos pensar: O que devemos fazer para demonstrar uma equivalência lógica? Isso mesmo... Devemos mostrar que as proposições possuem o mesmo valor lógico. Portanto, partindo de uma delas, e lançando mão de equivalências conhecidas (por serem propriedades ou já demonstradas), chegamos à outra. Comecemos por        
   
 ~ ~ ~ ~ ~
 ~ ~
p q q p q q p q q p q q q
p q p q p q
           
      t
 
Tente identificar a propriedade ou equivalência notável que garantiu cada passagem. 
36
(c)     ~ ~p q p q p    Devemos mostrar que as proposições possuem o mesmo valor lógico. Portanto, partindo de uma delas, e lançando mão de equivalências conhecidas (por serem propriedades ou já demonstradas), chegamos à outra.           ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~p q p q p q p q p q q p p            c 
(d)    p q r p q r     Por onde começar? Devemos mostrar que as proposições possuem o mesmo valor lógico.        
   
 ~ ~ ~ ~ ~
 ~
p q r p q r p q r p q r
p q r p q r
          
     
 
(e) ~ p p p  Com efeito, ~ ~ ~p p p p p    Nem tudo que parece complicado o é... Não acha? Sempre que preciso, recorra às propriedades e equivalências notáveis apresentadas anteriormente. 
1.15. Tipos de Demonstração Vamos conversar um pouco sobre os tipos de demonstração. Como já devem ter observado, e citamos anteriormente neste texto, a Matemática exige que suas proposições sejam demonstradas, exceto aquelas denominadas definições ou postulados. Assim, vamos apresentar, ou talvez apenas recordar, os Tipos de Demonstrações mais utilizadas: 
37
unidade 1
 Demonstração pelo método dito ‘DIRETO’: Partindo de uma ou mais afirmações verdadeiras – denominadas ‘hipóteses’ – por meio de uma sequência de afirmações verdadeiras (por serem definições ou teoremas já demonstrados), chega- se ao que se deseja demonstrar, que é denominado de ‘tese’. 
 Demonstração pelo método dito ‘INDIRETO’ ou, também, denominado ‘Por Absurdo’. Esta demonstração se apoia na equivalência entre uma condicional e sua contrarrecíproca. Assim, partindo da negação da tese, por meio de uma sequência de afirmações verdadeiras, chega-se à negação da hipótese. Como a hipótese é o que temos de verdade, diz-se que é um ABSURDO! 
 CONTRAEXEMPLO Utilizamos um contraexemplo, quando queremos mostrar que uma proposição é falsa. Ou seja, a apresentação de um caso que contempla nossa proposição não é suficiente para garantir a validade da mesma. Porém, se conseguimos exibir um contraexemplo é suficiente para dizer que a proposição é falsa. Vejamos alguma situação que ilustre este fato, ou seja, vamos demonstrar a falsidade das proposições, exibindo um contraexemplo: 
Exemplo 1.11. 
(a)   0x x   Ora, sabemos que a afirmação acima é falsa, pois nem todos os números reais têm módulo diferente de zero. Temos que 0 0 é um contraexemplo. 
(b)    2 2 2 4x x x       
38
Ora, sabemos que a afirmação é falsa e para demonstrar basta exibir um contraexemplo. O número 2 seria um contraexemplo, pois 
 
2 22 2 16 2 4 8     . 
(c)   2 x x x   
1/ 3 seria um contraexemplo, pois  21/ 3 1/ 9 1/ 3  . 
Agora, é hora de exercitar e tentar compreender toda a lógica por trás da Matemática. 
unidade
39
 
 Unidade II 
 
 Conjuntos 
 Objetivos 
 
 Estabelecer relações de igualdade, pertinência e inclusão entre conjuntos. 
 Reconhecer os conjuntos unitários e vazios. 
 Realizar as operações entre conjuntos. 
 Aplicar as propriedades de operações entre conjuntos. 
 
 
unidade 2
41
unidade 2
2.1. Conceitos Primitivos e Básicos A teoria de conjunto é a base da análise matemática, tal como a conhecemos atualmente, e existe todo um campo que se ocupa de fundamentá-la. Por isso, não insistiremos muito em formalizar o conceito de conjunto, e, sim, as operações que neles poderiam realizar-se. Acredita-se que a teoria moderna dos conjuntos foi criada pelo matemático Georg Cantor (1845-1918), que notou a necessidade de tal teoria, quando estudava séries trigonométricas. Georg Cantor Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são considerados conceitos primitivos, isto é, não precisa preocupar-se com a definição de cada um deles. A construção da teoria de conjuntos tem como ponto de partida: os conceitos primitivos, as definições de inclusão e igualdade de conjuntos. 
2.1.1 Conjunto Um conjunto é uma coleção de objetos definidos de forma precisa. 
Exemplo 2.1. 
(a) O conjunto de pessoas que assistem a um clássico de futebol no estádio Maracanã. 
(b) O conjunto de frutas da fruteira de minha casa. 
(c) O conjunto de planetas de nosso sistema planetário solar. 
(d) O conjunto dos Números Naturais ( ). 
(e) O conjunto dos Números Inteiros ( ). 
(f) O conjunto dos Números Racionais ( ). 
(g) O conjunto dos Números Reais ( ). 
(h) O conjunto dos Números Complexos ( ). 
(i) A coleção de todos os bons jogadores de futebol de salão do CEPEUSP. Não é um exemplo de conjunto, pois, não está definida a palavra: “bons”. 
42
Observação. Costuma-se usar letras maiúsculas para designar um conjunto. 
2.1.2 Elemento Cada objeto de uma coleção que determina um conjunto é chamado de elemento de um 
conjunto. 
Exemplo 2.2. 
(a) Seja  laranja, pera, banana, uva, maçãA  , o conjunto de algumas frutas. Os elementos deste conjunto são: laranja, pera, banana, uva e maçã. 
(b) Seja o conjunto dos números naturais. Os elementos deste conjunto são: 
0,1,2,3, 
2.1.3 Pertinência Um elemento x de um conjunto A é denotado por x A (1) e lê-se: x pertence a A . Quando x não é um elemento de A , denotamos x A . 
Observação. Quando os elementos x de A satisfazem certa propriedade, ( )P x , expressamos o conjunto A , como  : ( )A x P x (2) 
Lê-se: “O conjunto A está formado por todos os elementos x , tal que x satisfaz ( )P x ”. 
Exemplo 2.3. 
(a) Seja  : 2 1, A n n k k     . Então, 1 A , 3 A , 5 A e 6 A . 
(b) O conjunto de todos os planetas do Sistema Planetário Solar. Este conjunto pode ser expresso do modo seguinte: 
  : é um planeta do Sistema Planetário SolarT x x 
Seja 1x = terra, 2x = saturno, 3x = júpiter. Então, 1 2 3, ,x x x T . 
43
unidade 2
2.1.4 Diagrama de Venn-Euler Em algumas ocasiões, é muito útil representar conjuntos mediante diagramas, chamados diagramas de Venn-Euler. Estes são curvas fechadas não entrelaçadas como, por exemplo, circunferências, quadrados, retângulos etc. Na Figura 2.1, representamos os conjuntos A , B , e C , nos diagramas de Venn-Euler. 
 Figura 2.1. Diagramas de Venn-Euler. 
Definição 2.1. (Conjunto Vazio) Um conjunto que não tem elementos é chamado de Conjunto Vazio e se denota pelo símbolo  . 
Exemplo 2.4. O conjunto de números racionais cujo quadrado seja 2 , isto é,  2: 2r r  2: 2  2  2: 2  : 22: 22  2: 22r r  r r: 2r r: 2  : 2r r: 2 
Definição 2.2. (Conjunto Unitário) Um conjunto com um único elemento é chamado Conjunto Unitário. 
Exemplo 2.5. O conjunto das soluções reais não negativas que satisfazem a equação 
 
42 64x   é unitário. Com efeito, de  4 42 2x  , temos que  4 42 2 0x   ou, equivalentemente, 
           
4 2 2 24 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 0x x x x x x                              Assim, 0x  , 4x   , 2 2x i   e 2 2x i   . Se denotarmos por
44
  4 4: 2 2 , 0A x x x    A x x xA x x x: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0: 2 2 , 0: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0A x x x    A x x x: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0    : 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0    : 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0 o conjunto em questão, teríamos que  0A  , o qual é unitário. 
Definição 2.3. (Conjuntos Disjuntos) Dois conjuntos A e B se dizem disjuntos, se não têm elementos em comum. Em diagrama de Venn-Euler (Figura 2.2), é apresentada a disjunção de dois conjuntos A e B . 
 Figura 2.2. Conjuntos disjuntos. 
Exemplo 2.6. Se A é o conjunto de salários de um representante da câmara de deputados do Congresso Nacional do Brasil durante um ano, e B é o conjunto de salários mínimos de um trabalhador do Brasil durante um ano, estes conjuntos são disjuntos. 
Definição 2.4. (Inclusão de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que B está contido em A (ou B é subconjunto de A ), se todo elemento de B é elemento de A . Em notação simbólica , B A x x B x A      (3) A inclusão B A , em diagrama de Venn-Euler, é apresentada na Figura 2.3. 
 Figura 2.3. Inclusão de conjuntos: B A . 
 
45
unidade 2
Observação. 1. Em vez de escrever B A , podemos escrever A B (lê-se: A contém a B ). 2. Quando um conjunto B não está contido em A , podemos escrever, simbolicamente, por B A . Mais precisamente, , B A x x B x A      (4) 3. Se A é um conjunto, então, o conjunto A , isto é, o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Mais formalmente, será demonstrado na Proposição 2.1a. 4. A relação A A expressa que “todo conjunto é subconjunto de si mesmo”. Para mais detalhes, veja Proposição 2.1b. 5. Conjunto Universal. O conjunto universal denotado por U é o “maior” conjunto que contém todos os outros conjuntos que participam em um determinado problema sobre conjuntos. 
Exemplo 2.7. 
(a) Seja  2,4,6,8,10A  e  4,6B  . Então, B A . 
(b) Seja  3 2: 2 3 0A x x x x     . Verifique que  2: 1, 0B x x x    é um subconjunto de A . Com efeito, de equação 3 22 3 0x x x   , temos que  2 2 3 0x x x   , ou equivalentemente,   3 1 0x x x   . De aqui,  3,0,1A   . Por outro lado, de 
B , temos que 1x   e 0x  . Assim,  1B  . Desse modo, B A . 
(c)  . De fato, existe o 1 , tal que 1  e 1  . 
Definição 2.5. (Igualdade de Conjuntos) Dois conjuntos A e B são iguais, se todo elemento de A é elemento de B , e todo elemento de B é elemento de A . Em notação simbólica , A B x x A x B      (5) 
46
Observação. Como consequência dessa definição, pode-se definir quando dois conjuntos 
A e B são diferentes, denotando-lhes por A B , e dados por     , , A B x x A x B x x B x A           (6) 
Exemplo 2.8. 
(a) Seja 1: 0, 0A x x x
x
 
     
 
 e  1,1B   . Então, A B . 
(b) Seja  : é vogal da palavra coraçãoC x x e  : é vogal da palavra amorA x x . Então, A C . 
(c) Seja  2: 2 0A x x x     e  2: 2 0B x x x     . Logo, A B . De fato,  1, 2A   e  1,2B   . 
Definição 2.6. (Subconjunto Próprio) Dizemos que B é um subconjunto próprio de 
A , se B A e B A . 
Exemplo 2.9. Num trem da CPTM de São Paulo, considere o conjunto B como sendo os passageiros que viajam num vagão do trem, e A o conjunto de pessoas no trem. Então, 
B é um subconjunto próprio de A . 
Proposição 2.1. (Propriedades da Inclusão) Sejam , ,A B C conjuntos arbitrários. Então, 
(a) A 
(b) A A (Reflexividade) 
(c)   A B B A A B     (Antissimetria) 
(d)   B A A C B A     (Transitividade) 
Prova. (a) Suponha que A , então, pela Eq. (4) , x x x A    . Como o conjunto 
 não tem elementos, então, x , o qual é uma contradição. Portanto, A . 
(b) – (d) deixa-se para o aluno. 
47
unidade 2
Observação. Como consequência dessa definição, pode-se definir quando dois conjuntos 
A e B são diferentes, denotando-lhes por A B , e dados por     , , A B x x A x B x x B x A           (6) 
Exemplo 2.8. 
(a) Seja 1: 0, 0A x x x
x
 
     
 
 e  1,1B   . Então, A B . 
(b) Seja  : é vogal da palavra coraçãoC x x e  : é vogal da palavra amorA x x . Então, A C . 
(c) Seja  2: 2 0A x x x     e  2: 2 0B x x x     . Logo, A B . De fato,  1, 2A   e  1,2B   . 
Definição 2.6. (Subconjunto Próprio) Dizemos que B é um subconjunto próprio de 
A , se B A e B A . 
Exemplo 2.9. Num trem da CPTM de São Paulo, considere o conjunto B como sendo os passageiros que viajam num vagão do trem, e A o conjunto de pessoas no trem. Então, 
B é um subconjunto próprio de A . 
Proposição 2.1. (Propriedades da Inclusão) Sejam , ,A B C conjuntos arbitrários. Então, 
(a) A 
(b) A A (Reflexividade) 
(c)   A B B A A B     (Antissimetria) 
(d)   B A A C B A     (Transitividade) 
Prova. (a) Suponha que A , então, pela Eq. (4) , x x x A    . Como o conjunto 
 não tem elementos, então, x , o qual é uma contradição. Portanto, A . 
(b) – (d) deixa-se para o aluno. 
Observação. Muitas das vezes, quando queremos demonstrar a igualdade de dois conjuntos, usamos a Proposição 2.1c, em vez da Definição 2.5. 
Atividade 2.1 
(1) Sejam  4 3 2: 10 35 50 24 0A x x x x x       e  2: 6 8 0B x x x     . Classifique as seguintes expressões como sendo verdadeira ou falsa: 
(a) B A (b) B A 
(c) A (d) B 
(e)  : 2 , 1,2x x n n B    (f) A 
(g)   1, 2 A (h)    1,2 1,2,3 e  1,2,3 A , então,  1,2,3 A 
(i) 0 A (j)  2,4 B 
 
(2) Sejam 
 , ,A    
 alfa, beta, gamaB  
 : são as primeiras três letras do alfabeto gregoC x x Quais das seguintes expressões são verdadeiras ou falsas. 
(a) A B C  (b) B C e B A 
(c) A C e B C (d) A 
(3) Determine quais conjuntos são unitários ou vazios. 
(a)  2: 1 0x x   (b)  : são deuses do Cristianismox x 
(c)  : 1 0n n   (d)  : são galáxias de nosso sistema planetário solarx x 
48
(4) Explicar e citar um exemplo da seguinte expressão: “Todos os conjuntos disjuntos são diferentes, porém existem conjuntos diferentes que não são disjuntos”. 
2.2. Operações com Conjuntos 
As operações básicas, em Teoria de Conjuntos, são: a reunião, interseção e diferença de conjuntos. 
Definição 2.7. (Reunião de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. Define-se a reunião de A e B (denote-se A B e lê-se “ A reunião B ”) a todos os elementos que pertencem a A ou a B . Simbolicamente,  : A B x x A x B     (7) 
A reunião de conjuntos aparece nos seguintes casos: conjuntos disjuntos, inclusão de conjuntos, e elementos comuns entre conjuntos. Na Figura 2.4, apresentamos esses casos com diagramas de Venn-Euler. 
 (a) (b) (c) Figura 2.4. Reunião de conjuntos. (a) Disjuntos. (b) Inclusão. (c) Elementos comuns. 
Notação. A reunião infinita de conjuntos denota-se por 1 2 3: ...n
n
A A A A

   1 2 3: ...1 2 3: ...1 2 3n
n
A A A A: ...A A A A: ...

A A A A   A A A A: ...A A A A: ...   : ...A A A A: ...1 2 3: ...1 2 3A A A A1 2 3: ...1 2 3   1 2 3: ...1 2 3A A A A1 2 3: ...1 2 3 , veja BARTLE (2000). 
Exemplo 2.10. 
(a) Seja  1,0,1A   e  2,2,4B   . Então,  2, 1,0,1,2,4A B    . 
49
unidade 2
(b) Seja : 0A p p   : 0A p p: 0A p p: 0: 0  : 0A p p  A p p: 0A p p: 0  : 0A p p: 0 e  : 0B p p   : 0B p p: 0B p p: 0: 0  : 0B p p  B p p: 0B p p: 0  : 0B p p: 0 . Então, A B  . 
(c) Seja  : 5 10A p p    : 5 10A p p: 5 10A p p: 5 10: 5 10    : 5 10A p p    A p p: 5 10A p p: 5 10    : 5 10A p p: 5 10 e  : 10 5B p p    : 10 5B p p: 10 5B p p: 10 5B p p    B p p: 10 5B p p: 10 5    : 10 5B p p: 10 5 . Então, 
 : 10 10A B p p     A B p p: 10 10A B p p: 10 10A B p p     A B p p: 10 10A B p p: 10 10     : 10 10A B p p: 10 10 . 
Definição 2.8. (Interseção de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. Define-se a interseção de A e B (denote-se A B e lê-se “ A interseção B ”) a todos os elementos que pertencem a A e a B . Simbolicamente,  : A B x x A x B     (8) 
A interseção de conjuntos aparece nos seguintes casos: conjuntos disjuntos, inclusão de conjuntos, e elementos comuns entre conjuntos. Na Figura 2.5, apresentamos esses casos com diagramas de Venn-Euler. 
 (a) (b) (c) Figura 2.5. Interseção de conjuntos. (a) Disjuntos. (b) Inclusão. (c) Elementos comuns. Observe que, na Figura 2.5(a), a interseção é vazia. 
Notação. A interseção infinita de conjuntos denota-se por 1 2 3: ...n
n
A A A A

   1 2 3: ...1 2 3: ...1 2 3n
n
A A A A: ...A A A A: ...

A A A A   A A A A: ...A A A A: ...   : ...A A A A: ...1 2 3: ...1 2 3A A A A1 2 3: ...1 2 3   1 2 3: ...1 2 3A A A A1 2 3: ...1 2 3 
Exemplo 2.11. 
(a) Seja  : 2 , A p p n n    A p p n n: 2 , A p p n n: 2 ,    A p p n n   A p p n n: 2 , A p p n n: 2 ,    : 2 , A p p n n: 2 , e  : 2 1, B p p n n     : 2 1, B p p n n: 2 1, B p p n n: 2 1,     B p p n n    B p p n n: 2 1, B p p n n: 2 1,     : 2 1, B p p n n: 2 1, . Então, 
A B  . 
50
(b) Seja A  e B  . Então, A B  . 
(c)  , , ,A   ,  , , , ,B     . Então,  ,A B   . 
Definição 2.9. (Diferença de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. A diferença entre A e B , denota-se A B ou \A B , é o conjunto formado por todos os elementos de 
A que não pertencem a B . Simbolicamente,  : A B x x A x B     (9) 
A diferença entre conjuntos aparece nos seguintes casos: conjuntos disjuntos, inclusão de conjuntos, e elementos comuns entre conjuntos. Na Figura 2.6, apresentamos esses casos com diagramas de Venn-Euler. 
 (a) (b) (c) Figura 2.6. Diferença de conjuntos. (a) Disjuntos. (b) Inclusão. (c) Elementos comuns. 
Definição 2.10. (Complementar de um Conjunto) Sejam A e B conjuntos. O complementar de B em relação a A , denote-se cB , é o conjunto A B . Simbolicamente, cB A B  (10) 
Observação.  c x B x A B x A x B        . Então, 
 c x B x B   (11) 
51
unidade 2
Definição 2.11. (Diferença Simétrica) Sejam A e B conjuntos. A diferença simétrica de A e B , denota-se A B , é o conjunto formado por elementos que pertencem ou A ou a B , mas não pertencem a ambos os conjuntos, simultaneamente. Simbolicamente,     A B A B B A     (12) 
ou, ainda,     A B A B A B     (13) 
 Figura 2.7. Diferença simétrica de A e B . 
2.3. Propriedades das Operações com Conjuntos 
Teorema 2.1 (Propriedades de Reunião e Interseção) Sejam A , B , C subconjuntos 
próprios de U . Então, 
(a) Elemento Neutro 
A A 
A U A  
(b) Idempotência 
A A A  
A A A  
(c) Comutatividade 
A B B A   
A B B A   
52
(d) Associatividade 
   A B C A B C     
   A B C A B C     
(e) Distributividade 
     A B C A B A C      
     A B C A B A C      
Prova. 
(a) i. A A . Com efeito,  x A   x A  x . Como o conjunto vazio não possui elementos, então, temos unicamente x A . ii. A U A  . Com efeito, se  x A U  , então, x A e x U . Por outro lado, se 
x A e, por hipótese, temos que A U , então, x U . Assim, x A U  . 
(b) – (e) Deixa-se para o aluno. 
(f) 
i.      A B C A B A C      . Com efeito, 
 
     
     
       
   
   
 
 
 
 
,
,
, 
,
,
x A B C x A x B C
x A x B x C
x A x B x A x C
x A B x A C
x A B A C
         
       
             
           
    
 
Desse modo,      A B C A B A C      . 
ii.      A B C A B A C      . Deixa-se para o leitor. ∎ 
 
53
unidade 2
Teorema 2.2 (Teorema de De Morgan) Sejam A e B conjuntos. Então, 
(a)  c c cA B A B   
(b)  c c cA B A B   
Prova. 
(a) De Eq. (11), 
    
 
c
c c
c c
 
 
 
 
 
, 
,
,
,
x A B x A B
x A x
x A
B
x A
x B
B
    
  



 

 
Logo,  c c cA B A B   . 
(b) Deixa-se para o aluno. ∎ 
Teorema 2.3 (Propriedades do Complementar) Sejam A , B e U conjuntos. Então, 
(a)  
ccA A 
(b) c U  
cU  
(c) cA A U  
cA A  
(d) c c A B B A   
Prova. 
(a)  cc cx A x A x A     . Então,  ccA A . 
(b) (i) c U  . Com efeito, cx x   . Então, x K para algum conjunto K  , 
K U . Assim, x U . (ii) cU  . Segue imediatamente depois de aplicar o complementar na parte (i). 
(c) e (d) Deixa-se para o leitor. ∎ 
54
2.4. Conjunto das Partes O conjunto das partes de um conjunto é aquele cujos elementos são conjuntos. Esse conjunto é também chamado de Conjunto Potência. 
Definição 2.12. (Conjunto das Partes) Seja A um conjunto. O conjunto das partes de 
A , denotado por  AP , é aquele formado por todos os subconjuntos de A . Simbolicamente,    :A X X A P (14) 
Observação. Os elementos de  AP são conjuntos. Para dizer que um elemento X está em  AP , usamos  X AP , e não  X A P . 
Note que os conjuntos  e A são elementos de  AP . 
Exemplo 2.12. Seja  1 2 3, ,A a a a . Então, 
    1 2 3 1 2 1 3 2 3, ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , }A A a a a a a a a a a P . 
No exemplo anterior, podemos escrever, por exemplo,  1 2{ , }a a AP ou 
   1 2{ , }a a A P . Assim, como também:  1 1 3,{ },{ , }a a a A P ou 
   1 1 3,{ },{ , }a a a A  P . 
Definição 2.13. (Cardinal de um Conjunto) Seja A um conjunto finito1. O cardinal de 
A , denotado por A , é o número de elementos de A . 
 
1 Informalmente um conjunto é finito quando se podem contar seus elementos. 
55
unidade 2
Exemplo 2.13. Verifique que A B A B A B     . Com efeito, seja  1 2, ,..., nA a a a e 
 1 2, ,..., mB b b b . Suponha que , 1,...,k kb a k j j l    , onde l n j  e 1 k n m   . Assim, 
   
 
1 1
1 1 1
1 1 1
,..., , ,...,
,..., , ,..., ,..., ,...,
,..., , ,..., , ,...,
n m
n j j l m
n j j l m
A B a a b b
a a b a a b
a a b b b b
 
 
 


 
e 
  1,...,j j lA B a a   
Logo, A B n m l    , A B l  , A n , B m . Desse modo, 
A B A B A B     . 
Teorema 2.4 Se A n , então,   2nA P , onde n é um número natural não nulo. 
Prova. Uma ideia da prova deste teorema pode ser encontrada no Capítulo 3, Atividade 3.2(3).∎ 
Exemplo 2.14. Seja  2: 1 0A x x    . Então   4A P . De fato,  1,1A   , então, 
2A  . Assim,   22 4A  P , onde    , ,{ 1},{1}A A  P . 
Atividade 2.2 
(1) Encontre    c cS V W T   , onde o conjunto universal  1,2,3,4,5,6,7 ,U  e        2,4,5 , 3,5,7 , 2,3,4,5,7 , 1,2,3,4,6S T V W    . 
(2) Demonstre que A B A B A B     
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(3) Mostre que se A , B e C são conjuntos, então, 
 A B C A B C A B A C B C A B C              
(4) Defina-se o seguinte conjunto:   1 :nC n m m   , para cada n . Determine 
(a) 1 2C C (b) n
n
C

 (c) n
n
C

 
(5) Prove que      A B C A B A C      
(6) Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. Demonstre, caso seja possível, 
(a)      A B A B  P P P (b)      A B A B  P P P 
(7) Um intervalo fechado é definido por    , :a b x a x b    . Encontre 10,
n n
 
 
 
. 
(8) Prove, para quaisquer conjuntos R , S e T , 
      R S T R S R T      
unidade
57
 
 
 Unidade III 
 
 Relações 
 Objetivos 
 
 Descrever relações e possibilidades de associação entre grandezas, advindas de diferentes contextos. 
 
unidade 3
59
unidade 3
3.1. Introdução Na Matemática, bem como em outras ciências, muitas vezes, estabelecemos relações entre conjuntos. Comumente, estamos estabelecendo relações entre grandezas variáveis. Vale lembrar que a relação ocorre quando emparelhamos elementos entre dois conjuntos. Por exemplo, poderíamos pensar na relação que associa o conjunto de funcionários de uma universidade pública e o conjunto dos diferentes salários do funcionalismo público. Ou, ainda, poderíamos estabelecer uma relação entre os funcionários, que ocupam cargos de chefia de uma dada empresa, e o número de reuniões agendadas para um determinado mês. Perceba que cada funcionário que ocupa cargo de chefia poderia ter participado em mais de uma reunião agendada para um determinado mês, ou, quem sabe, não ter participado de reunião alguma. No primeiro exemplo, temos que, em geral, a cada funcionário público, relacionamos um único e determinado salário. Veremos, mais adiante, que relações com esta particularidade são especiais e recebem denominação especial. Para facilitar a visualização, as relações podem ser expressas em tabelas ou gráficos. Como exemplo de uma relação, a Tabela 1 mostra as tarifas praticadas pelo correio brasileiro para o envio de carta não comercial e cartão postal. 
 Tabela 1. Tarifas de envio para carta não comercial e cartão postal. 
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Note que a tabela, com clareza, nos apresenta uma relação entre o peso da correspondência a ser enviada e o valor a pagar. Observando a tabela, podemos responder a perguntas como as relacionadas, a seguir: a) Qual o valor a ser pago por uma carta que “pesa” 73 g? b) Qual o “peso” máximo de uma carta para que sua tarifa não ultrapasse R$ 1,00? c) É possível que duas cartas com tarifas diferentes tenham o mesmo “peso”? Vale notar que, nessa relação, o “peso” da carta é a variável independente, e a tarifa, a 
variável dependente. Você pode notar que a cada “peso” de carta a ser enviada corresponde uma única tarifa. A tarifa depende do peso da carta. Como outra situação que caracteriza uma relação, poderíamos estabelecer uma associação entre os pontos de uma reta e os números reais, de tal modo que, a cada ponto da reta, associamos exatamente um número real. Os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, ou seja: i. A cada ponto da reta corresponde exatamente um número real. ii. A cada número real corresponde exatamente um ponto da reta. Interessante observar que a distância entre dois pontos quaisquer da reta poderá ser encontrada pelo valor absoluto da diferença dos números reais a eles associados. Comumente, essa afirmação tem sido denominada de Postulado da Régua e, assim, o postulado da Régua nos fornece uma régua infinita (imaginária) que pode ser colocada em qualquer reta e que pode ser utilizada para medir a distância entre dois pontos quaisquer. Para definir um sistema de coordenadas na reta, escolhe-se um dos seus pontos como a origem do sistema. A esse ponto, geralmente denominado pela letra 0 , associamos o número zero, que será a sua coordenada. Então, fixa-se uma unidade de medida, por exemplo, centímetros, e a coordenada de cada ponto p da reta será determinada pela medida do segmento 0 p , ou seja, desde a origem até o ponto: 1 0x p centímetros. 
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unidade 3
Se, conforme a Figura 1, o ponto d está à direita da origem, sua coordenada será 0d e, portanto, positiva. Por outro lado, se o ponto e está à esquerda de 0 , sua coordenada será dada por 0e , sendo negativa. 
 Figura 1. Pontos na reta. Para representarmos a localização de um ponto no plano, temos a necessidade de duas referências, ou seja, um par de números. Vale lembrar que o plano tem duas dimensões. Assim, criou-se um sistema que possibilitasse a localização de pontos no plano, utilizando duas retas numeradas como referência. Esse sistema é denominado de Sistema de Coordenadas Cartesianas, veja Figura 2, em homenagem ao matemático e filósofo francês, René Descartes. Trata-se de um sistema que utiliza retas numeradas que se interceptam perpendicularmente na origem de cada uma (ou seja, no ponto associado ao zero). Assim, um par de números representaria a posição de um ponto no plano. 
 Figura 2. Sistema de coordenadas cartesianas. 
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A reta horizontal, com a direção positiva para a direita, é denominada eixo x ou eixo das abscissas. A outra reta vertical, com a direção positiva para cima, é chamada eixo y , ou eixo das ordenadas. Note que o plano com o sistema de eixos fica dividido em quatro regiões, denominadas quadrantes, indicados na Figura 3, pelas letras romanas I , II , III e IV . 
 Figura 3. Quadrantes no Sistema de coordenadas cartesianas. 
3.2. Par Ordenado e Produto Cartesiano 
Primeiro, vale a pena lembrar o conceito de par ordenado. 
3.2.1. Par ordenado Denominamos de par qualquer conjunto de dois elementos, e par ordenado ao conjunto de dois elementos em que a ordem dos mesmos é importante, ou seja, em geral, a ordem os diferencia. Indicamos um par ordenado utilizando parêntesis. 
Igualdade de pares ordenados Dois pares ordenados são iguais, se, e somente se, os seus primeiros e segundo elementos são iguais, respectivamente. Isto é,    , , a b c d a c b d     (3.1) 
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unidade 3
Assim, cada ponto P do plano fica associado a um par de números  ,x y , que são as coordenadas desse ponto. O número x mede a distância orientada do ponto P ao eixo 
y e é chamado abscissa desse ponto, e o número y mede a distância orientada do ponto 
P ao eixo x e é a sua ordenada. Se P tem coordenadas x e y , é denotado por  ,P x y , veja Figura 4. Diz-se que as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de números reais. 
 Figura 3. Um ponto P de coordenadas x e y . 
 Importante lembrar que a ordem na qual as coordenadas são escritas é importante. Por exemplo, o ponto de coordenadas  1,2 é diferente do ponto de coordenadas  2,1 . 
Portanto, todo ponto P do plano pode ser relacionado a um par ordenado de números reais e, reciprocamente, todo par ordenado de números reais  ,x y se relaciona a um único ponto do plano. Então, há uma correspondência biunívoca entre os pares ordenados de números reais e os pontos do plano. Uma correspondência desse tipo se denomina sistema de coordenadas no plano. O plano, munido desse sistema de coordenadas, geralmente é chamado plano 
coordenado, ou plano cartesiano, é denotado pelo símbolo 22 , e trata-se do conjunto formado por todos os pares ordenados de números reais. 
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3.2.2. Produto Cartesiano Denomina-se produto cartesiano de um conjunto não vazio A por um conjunto não vazioB ao conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados  ,a b , em que o primeiro elemento a pertence ao conjunto A , e o segundo elemento b pertence a B . Denota-se por A B e lê-se: A cartesiano B . Em símbolos, teríamos: 
   ( , ) : A B x y a A b B     (3.2) 
Observação. 
(a) Se um dos conjuntos A ou B for um conjunto vazio, o produto cartesiano 
A B será um conjunto vazio. 
(b) Se A B , então, A B B A   . 
(c) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, então, A B é um conjunto finito com m n elementos. 
(d) Se A ou B for um conjunto com infinitos elementos e nenhum deles for vazio, então, A B é um conjunto com infinitos elementos. 
(e) A A pode ser indicado por 2A . 
Notação. 2 é o produto cartesiano de com , isto é, 2   . 
Exemplo 3.1. Sejam  1,4A  e  1,2,3B  . Então, {(1,1),(1,2),(1,3),(4,1),(4,2),(4,3)}A B  
Atividade 3.1 
(1) Considere o Exemplo 3.1, para representar no, plano cartesiano, o produto cartesiano acima, pois cada par ordenado  ,x y pertencente a A B pode ser associado a um ponto do plano. 
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unidade 3
3.3. Relação Binária 
Refletindo... Será que podemos pensar em um produto cartesiano que não seja formado por pares ordenados de números reais? Vejamos uma situação hipotética: 
Maria está prestes a se casar e imagina a entrada dos casais que serão seus 
padrinhos. Na igreja, ficou estabelecido que, na entrada, o casal formado, à direita 
se posiciona o padrinho, e à esquerda, a madrinha. Maria decidiu que todos devem 
ser seus amigos. Sabendo que Maria tem doze amigas e nove amigos, imaginemos 
todas as possibilidades de pares de casais, independente da ordem. Esse conjunto 
formado de todos os pares ordenados de casais, amigos de Maria, poderia ser 
reconhecido como um produto cartesiano A B , em que A seria o conjunto de 
amigas, e B o conjunto de amigos de Maria. Entretanto, Maria teve que escolher por alguns desses pares que, de fato, entrariam na igreja no dia do seu casamento. Para relacionar os quatro casais, estabeleceu-se o critério que o padrinho e a madrinha teriam alguma afinidade. Assim, ficou estabelecida uma relação binária, formada pelos casais que entrariam na igreja no dia do seu casamento. 
3.3.1. Definição de Relação Binária Dados dois conjuntos A e B , denominamos Relação binária de A em B a todo subconjunto R de A B , isto é, 
R é uma relação binária de A em B  A B R Se em uma relação binária R , os conjuntos A e B são iguais, ou seja, A A R , dizemos que R é, simplesmente, uma relação sobre A , ou ainda, R é uma relação em 
A . 
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3.3.2. Propriedades das Relações Considere-se R uma relação em A . 
(a) Reflexiva 
R é reflexiva, se, e somente se, para todo x pertencente a A tem-se que x se relaciona com x em A , ou seja,  ,x x R . Simbolicamente:    x x A x x   R (3.3) 
(b) Simétrica 
R é simétrica, se, e somente se,  ,a b R , então,  ,b a R , isso significa que R é simétrica quando, estando a relacionado com b , tem-se também b relacionado com a , segundo R . Simbolicamente:    , a b A a b b a  R R (3.4) 
(c) Antissimétrica 
R é antissimétrica, se, e somente se,  ,a b R e  ,b a R , então, a b . Em outras palavras, se R é antissimétrica, para a b , nunca se tem, simultaneamente,  ,a b R e  ,b a R . 
Simbolicamente:    , a b A a b b a b a    R R (3.5) 
 
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unidade 3
(d) Transitiva 
R é transitiva, se, e somente se, a bR e b cR , então, a cR . Isto é, se a se relaciona com b e b se relaciona com c , então, a se relaciona com c . Simbolicamente:    , , a b c a b b c a c   R R R R (3.6) 
Observação. Não pense que tem alguma complicação nessas especificidades. Aos poucos e com calma, você compreenderá que tudo é muito simples, bastando ficar atento aos detalhes de cada definição. 
Definição 3.1. (Comparáveis) Seja R uma relação sobre um conjunto A . Dizemos que 
,x y A são comparáveis mediante R , se x yR ou y xR , ou seja, tem-se na relação que 
todo elemento do conjunto A se relaciona de alguma forma um com ou outro. Assim, na 
relação, figura pelo menos um dos pares:  ,x y ou  ,y x . 
3.3.3. Tipos de Relações Destacam-se dois tipos de relações sobre A que possuem características importantes: Relações de Equivalência e Relações de Ordem. 
Definição 3.2. (Relação de Equivalência) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada Relação de Equivalência sobre A , se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. 
Definição 3.3. (Relação de Ordem Parcial) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada Relação de Ordem Parcial sobre A , se, e somente se, R é reflexiva, antissimétrica e transitiva. 
Definição 3.4. (Relação de Ordem Total) Dizemos que uma relação de ordem parcial sobre um conjunto A é uma relação de ordem total sobre A , se quaisquer dois elementos de A forem comparáveis mediante R . 
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Exemplo 3.2. Seja A o conjunto de números reais, ou seja, A  . Vamos avaliar se a relação abaixo pode ser caracterizada como relação de equivalência ou de ordem (parcial ou total).  2( , ) :x y x y  R 
Vamos pensar... o que deve ser verificado? Isso mesmo: temos que verificar se a relação apresenta características de relação reflexiva, simétrica, antissimétrica ou transitiva. Mãos à obra! 
 Será que a relação é reflexiva? Deverá provar-se que    x x A x x   R , ou seja, todo número real se relaciona consigo mesmo, segundo R . Essa expressão é verdadeira, pois todo número é menor ou igual a si mesmo (veja Capítulo 6). Assim, podemos concluir que R é reflexiva. 
 Será que a relação é simétrica? Ou seja, é verdade que sempre que x se relaciona com y , segundo R teremos ytambém se relacionando com x , segundo R . Um contraexemplo nos mostra não ser verdadeira essa afirmação, pois 3 4 e, portanto,  3,4 R , mas não é verdade que 4 3 . Assim, o par  4,3 R . Logo, 
R não é simétrica. 
 Será que a relação é antissimétrica? 
   , a b A a b b a b a    R R . Em palavras, verificamos que a única maneira que os pares  ,x y e  ,y x pertencerem a R seria quando x y , pois 
x x é sempre verdadeiro. Dessa forma, podemos concluir que R é antissimétrica. 
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 Será que a relação é transitiva? 
 , , , x y z x y y z x y y z x z x z         R R R R Assim, R é transitiva. Para maior informação, revise Capítulo 6. Dessa forma, temos que R apresenta as propriedades: reflexiva, antissimétrica e transitiva, podendo ser caracterizada como uma relação de ordem parcial. Seria possível dizer que R é uma relação de ordem total sobre R ? Claro que sim... Perceba que, para quaisquer dois números reais, podemos sempre afirmar x y ou 
y x e, portanto, quaisquer dois elementos são comparáveis. 
Conclusão: A relação  2( , ) :x y x y  R é uma relação de ordem total. ∎�
Atividade 3.2 
(1) Verifique se a relação de igualdade sobre o conjunto dos números reais, R , pode ser caracterizada como uma relação de ordem ou equivalência. Ou seja, verifique as propriedades da relação  2( , ) :x y x y  R . 
unidade
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 Unidade IV 
 
 Conjunto dos Números Naturais e Números Inteiros 
 Objetivos 
 
 Reconhecer a simbologia que o povo antigo usou para representar os números. 
 Usar o Princípio de Indução Infinita na demonstração de propriedades de números naturais. 
 Aplicar as propriedades dos números naturais e inteiros. 
 Demonstrar as propriedades do módulo de um número inteiro. 
 
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4.1. História dos Números Os fundamentos nos quais descansa toda estrutura lógica do cálculo infinitesimal e em geral, da análise, são os números. Estes nos são tão familiares que, num