Teorema de Laplace - determinantes

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TEOREMA DE LAPLACE
Engenharia Civil
FAROL – Faculdades Rolim de Moura
Profº André Luiz Biancardine de França
Introdução
• Nos cálculos dos determinantes, as regras práticas se estendem, em 
sua maioria, apenas para as matrizes quadradas de ordem igual ou 
menor que três. Para calcular o determinante das demais, é 
necessário usar o teorema de Laplace.
Teorema de LAPLACE
• Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem 
menor ou igual a 3 (n≤3), temos algumas regras práticas para realizar 
estes cálculos. Entretanto, quando a ordem é superior a 3 (n>3), 
muitas destas regras não são aplicáveis.
• Por isso veremos o teorema de Laplace, que, utilizando o conceito do 
cofator, conduz o cálculo dos determinantes para regras que se 
aplicam a quaisquer matrizes quadradas.
• O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou 
coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos 
seus respectivos cofatores.
Ilustração Algébrica
Exemplo
• Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de 
Laplace:
Solução
• De acordo com o teorema de Laplace, devemos escolher uma fila 
(linha ou coluna) para calcular o determinante. Vamos utilizar a 
primeira coluna:
Precisamos encontrar os valores dos 
cofatores:
Continuação
• Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é 
dado pela seguinte expressão:
•
Calcule o determinante da matriz B, utilizando 
o teorema de Laplace:
Solução
• Veja que a segunda coluna é a fila que possui maior quantidade de 
zeros, portanto utilizaremos esta fila para calcular o determinante da 
matriz através do teorema de Laplace.
Solução
• Portanto, para determinar o determinante da matriz B, basta 
encontrar o cofator A22.
• Sendo assim, podemos finalizar os cálculos do determinante:
• det B = (- 1) . (- 65) = 65
1) ExercíciosEncontre o determinante de cada matriz. 
 
a) 
0140
3121
5340
2132


 b) 
1402
1643
4121
3000


 c) 
1000
1000
4120
3198

 
R: a) -119
b) 72
c) 0
2) Exercícios
Resolva as equações: 
 
a) 
0
2
101
100
011
100
2
x
x
x
x
x
x
 b) 
0
23
123

 xx c) 12
213
121
2

xx
 
Solução
a) 
   










2
1
0
0)12(02
]).[1(]).[()).(1()).(1().1()).(1()).(().(
)).(()0).(2(
01
00
11
).1(
10
10
01
).(
0
2
101
100
011
100
23223
32232
2
2
x
x
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
b)
4
9
94036620)12(3)3(20
23
123


xxxxxx
xx 
 
c) 
2
3
4
6
64125612)5).(()1)(()3).(2(12
213
121
2
 xxxxxx
xx
 
 
3) Exercícios
• 1. O valor do determinante das matrizes abaixo é : 
• A)
• B) 
Solução
• A) 
Solução
• B)