Distribuições de Probabilidade

Prévia do material em texto

EXERCÍCIOS 
CAPÍTULO 11 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Exercício 1
Calcule as probabilidades abaixo para a curva normal reduzida (μ = 0 e σ = 1)
Resolução:
Sugestão: Consulte a seção Áreas sob a Curva Normal, no livro-texto.
Abra a pasta 11exercícios e a planilha reduzida. Utilize a função dist.norm para calcular as probabilidades pedidas. Como você deve se recordar, essa função retorna a probabilidade da normal ser menor do que o valor especificado; assim, alguns cálculos exigem passagens intermediárias, marcadas em verde (nas colunas B e C), antes de se chegar ao resultado final (em azul, na coluna D). Confira os resultados em reduzida-r.
Lembre-se que esses são resultados notáveis para qualquer distribuição normal (desde que as ordenadas sejam expressas em desvios padrões em torno da média). Assim, a probabilidade de X, normalmente distribuída, ser menor ou igual à “média mais um desvio padrão” é sempre igual à probabilidade da normal reduzida ser menor ou igual a 1, ou seja, 84,13%. 
Exercício 2
No berçário de uma maternidade há 8 recém-nascidos. Qual a probabilidade de que:
todos sejam homens
pelo menos um seja mulher
exatamente 3 sejam homens
ao menos 3 sejam homens
Resolução:
Sugestão: obtenha a distribuição de probabilidade completa de “X = número de nascimentos de meninos”, admitindo que a probabilidade de sucesso é p = 0,5. Abra a pasta 11exercícios e a planilha maternidade. Na coluna A aparecem os possíveis resultados de X ; consulte o livro-texto para gerar as probabilidades associadas a cada valor de X e confira o resultado em maternidade-r. 
 
Respondendo aos quesitos:
p(8) = 0,004
p(ao menos 1 mulher) = 1 – p(todos homens) = 1 – 0,004 = 0,996
p(x=3) = 0,218
p(x≥3) = 0,855 
Exercício 3
Qual é a média da distribuição do exercício anterior? E o seu valor mais provável?
Uma enfermeira, indagada sobre quantos meninos havia no berçário, disse que não sabia, mas que, pela sua experiência, estimava que houvesse entre 3 e 5. Qual a probabilidade desse palpite estar certo?
Resolução:
A média de uma distribuição binomial é np. Neste caso, média = 8*0,5 = 4.
O valor mais provável também é 4 (27,3% de chance de ocorrer). Na vizinhança da média também estão os valores mais prováveis, de modo que a probabilidade de a enfermeira acertar seu palpite é de 71,1%.
Exercício 4
A Loteria Esportiva, concurso de prognósticos de futebol, reúne 13 jogos a cada semana. Para cada jogo, o apostador deve assinalar uma das três alternativas: vitória do time 1, empate ou vitória do time 2. Admitindo que o apostador possa marcar as três opções em um (e apenas um) dos jogos, calcule a chance (o inverso da probabilidade por exemplo, 1:1000, uma em mil) de ele acertar os 12 jogos restantes, considerando:
que o apostador não entende nada de futebol, de modo que sua chance de acertar um jogo é p=1/3
que o apostador entende alguma coisa de futebol, de modo que sua chance de acertar um jogo é p=1/2
que o apostador entende muito de futebol, de modo que sua chance de acertar um jogo é p=2/3
qual a expectativa de acertos de cada um dos apostadores acima?
Resolva os exercícios em loteria e confira em loteria-r. 
Exercício 5
Em um teste com 50 questões, cada uma com 5 alternativas, qual a probabilidade de um candidato que responda ao acaso acertar:
exatamente 25 questões
25 questões ou menos
mais de 25 questões
Resolva os exercícios em teste e confira em teste-r. 
Sugestão: no quesito (b) faça exatamente igual a (a), trocando apenas Cumulativo para 1.
Exercício 6
Imagine que a Universidade Federal Fluminense tivesse antecipado os resultados abaixo, referentes aos candidatos não eliminados, antes de divulgar a relação com as notas de todos os candidatos.
Admitindo que as notas são normalmente distribuídas:
o que você responderia para um candidato à Economia que estimasse ter conseguido 50 pontos? Na sua opinião ele conseguiria se classificar? E se ele estimasse ter conseguido 60 pontos? Responda sem fazer qualquer cálculo; lembre-se das probabilidades notáveis da distribuição normal.
o que você responderia para candidatos aos cursos de Economia e Administração que estimassem ter conseguido, respectivamente, 55 e 58 pontos?
imagine que você tenha que responder a dezenas de vestibulandos; para poupar trabalho, estime a nota mínima para classificação em cada curso.
na planilha relação, estão os resultados oficiais divulgados pela Universidade Federal Fluminense; calcule a percentagem dos candidatos de Economia que obtiveram notas inferiores à média (50,92), à média mais um desvio padrão (60,01) e para um valor intermediário (55); repita para Administração (valores 55,11; 63,33; e 58) e compare com as probabilidades obtidas em (b). 
Resolução:
a) Serão aprovados apenas 37% dos candidatos. Como, na distribuição normal, 50% das observações situam-se acima da média, mais da metade dos candidatos deve ter pontuação superior a 50, de modo que o primeiro candidato não deve se classificar.
Outro resultado notável da normal é que 16% das observações situam-se acima da média mais um desvio padrão (no caso, 50,92 + 9,09 = 60,01); assim, um candidato que alcance 60 pontos deve se classificar.
b) Abra a planilha uff e, usando a função distrnorm calcule (em B13), a probabilidade de ocorrência de notas de Economia menores do que 55: em X digite B12, em Média digite B3, em Desv_padrão digite B4 e em Cumulativo digite 1. Para Administração, copie B13 para C13.
Em B16 e C16 calcule a probabilidade de ocorrência de notas maiores do que 55 e 58, respectivamente. Conclusão: como essas probabilidades são menores do que as relações classificados/vagas, os candidatos devem ser aprovados.
c) A nota mínima para classificação deve ser tal que 63% e 59%, respectivamente, dos candidatos de Economia e Administração ficarão abaixo dela
Utilize a função inv.norm em B19 indicando os endereços B9, B3 e B4, respectivamente, para Probabilidade, Média e Desv_padrão.. Copie B19 para C19.
Confira os resultados em uff-r, que apresenta, também, as notas mínimas que efetivamente foram alcançadas para classificação nos dois cursos.
d) Na planilha relação, preencha F4:F6 utilizando a função ordem.porcentual e confirme o resultado em F12:F14. Repita para M4:M6 e confirme o resultado em M12:M14.
Agora compare com os resultados que obtivemos anteriormente (em F18:F20 e M18:M20), quando admitimos que as distribuições eram normalmente distribuídas.
Como você pode ver, os resultados de Economia estão mais próximos do esperado pelo modelo normal, o que é esperado tendo em vista que possui mais do dobro das observações de Administração.