matrizes ADS

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17 
Frente 2 – Aula 19 
MATRIZES 
 
Definições 
Uma matriz de ordem m x n (m por 
n) é uma tabela de números formando 
linhas (horizontais) e colunas 
(verticais). Em uma matriz, essa tabela 
de números é escrita entre parênteses 
ou entre colchetes. Veja, por exemplo, 
uma matriz de ordem 2 x 3: 
 
Uma matriz costuma ser representada 
por letras latinas maiúsculas (A, B,..., 
M, N, ...). Os elementos de uma matriz 
costumam ser representados por letras 
latinas minúsculas (a, b,..., m, n,...). 
De um modo geral, podemos 
representar uma matriz da seguinte 
forma: 
 
Nessa representação, observe que cada 
elemento possui dois índices: o 
primeiro indica a linha e o segundo a 
coluna a que pertence o elemento. 
Duas matrizes A (aij)mxn e B = (bij)mxn 
são iguais se, e somente se, aij=bij para 
quaisquer valores de i=l,2,.. m e de 
 j= l,2,...,n. 
Observe que, para duas matrizes 
serem iguais entre si, é preciso que 
elas sejam da mesma ordem. 
 
Tipos particulares 
De um modo geral, uma matriz é 
retangular. Entretanto, se o número de 
linhas for igual ao número de colunas, 
temos uma matriz quadrada. Veja, por 
exemplo, uma matriz quadrada de 
ordem 2 (2 x 2): 








 01
34 
Em uma matriz quadrada A = (aij)n, os 
elementos para os quais i = j formam a 
diagonal principal. 
 
Em uma matriz quadrada A = (aij)n, os 
elementos para os quais i +j = n 
formam a diagonal secundária. 
 
Matriz diagonal é uma matriz 
quadrada cujos elementos não 
pertencentes à diagonal principal são 
nulos. Por exemplo:










 200
070
008
 
Matriz triangular é uma matriz 
quadrada em que todos os elementos 
situados acima (ou abaixo) da 
diagonal principal são nulos. 
Exemplo:












135
021
004
 
Matriz identidade é uma matriz 
diagonal em que todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a 1 
(um). Exemplo: 










100
010
001
 
Matriz nula é uma matriz (quadrada 
ou não) em que todos os elementos 
são nulos. 
Exemplo:






000
000 
Uma matriz nula de ordem m x n é 
representada como Omxn. 
Matriz linha é uma matriz com uma 
única linha. Por 
exemplo:
 4710
 
Matriz coluna é uma matriz com uma 
única coluna.










3
2
1
 
OPERAÇÕES BÁSICAS 
Adição 
Para efetuar a adição de matrizes 
somamos cada elemento de uma 
matriz com o correspondente elemento 
da outra matriz. 
Assim, dadas duas matrizes de mesma 
ordem Amxn e Bmxn,de elementos aij e 
bij, chamamos soma dessas matrizes a 
uma outra matriz Cmxn, cujos 
elementos são dados por: 
cij=aij+bij 
A adição de matrizes só é definida 
para matrizes de mesma ordem. 
Para a adição de matrizes valem as 
propriedades comutativa e associativa. 
Assim, quaisquer que sejam as 
matrizes A e B do tipo m x n, temos: 
A+B=B+A 
A + (B + C) = (A + B) + C 
Subtração 
Efetuamos de forma semelhante a 
subtração de matrizes. Para subtrair 
duas matrizes, subtraímos os seus 
elementos correspondentes. 
Assim, dadas duas matrizes de mesma 
ordem Amxn e Bmxn, de elementos aij e 
bij, chamamos subtração ou diferença 
dessas matrizes a uma outra matriz 
Cmxn, cujos elementos são dados por: 
Cij=aij.-bij 
Da mesma forma que a adição de 
matrizes, a subtração de matrizes só é 
definida para matrizes de mesma 
ordem. 
Multiplicação por um número 
real 
Podemos efetuar a multiplicação de 
um número 

 por uma matriz. 
Neste caso, obtemos uma nova matriz 
cujos elementos são iguais aos 
elementos da matriz inicial cada um 
deles multiplicados por . 
Assim, dado um número real 

 e 
uma matriz Amxn de elementos aij, 
definimos o produto de 

 por A 
como outra matriz Bmxn cujos 
elementos bij são dados por: 
 Bij =  . aij 
Em particular, se 

 = - 1, a matriz B 
é chamada de matriz oposta de A, 
representado como - A: 
Transposição 
Existe também uma outra operação 
simples que é a transposição de 
matrizes, através da qual obtemos a 
transposta de uma matriz. Dada uma 
matriz A, a transposta de A é a matriz 
A
t
 que é obtida transformando as 
linhas de A em colunas de A
t
. Por 
exemplo: 
A=






 250
321 A
t
=










 23
52
01
 
Podemos verificar que valem as 
seguintes propriedades para qualquer 
número real 

 e para matrizes de 
mesma ordem A e B: 
(A
t
)
t
=A 
(A + B)
t
 = A
t
 + B
t
 
(

 . A)
t
 = 

 . A
t
 
 
Exercícios de Aula 
 
01. (PUCSP) A é uma matriz 3 x 2 
definida pela lei 
 18 
 
 (A)






911
941
 (B) 










99
14
11 (C) 










99
41
11
 
(D) 






911
941
 (E) 










66
14
11 
 
02. Determine x e y de modo que se 
tenha: 
 





 






 22
51
21
53
y
x
y
x 
 
03. (UEL) Sejam as matrizes: 
A=






20
01 e B=





 
01
12 
 
A matriz 2A-3B é 
(A)








43
34
(B)





 
43
34
 
(C) 






34
43
 (D) 








34
43
(E) 






43
43
 
 
 
04. (UEL-01) Sabendo-se que a matriz 












0211
349
5 2
xy
yx 
é igual à sua transposta, o valor de 
 x + 2y é 
(A) -9 (B) – 5 (C) 5 (D) 13 (E) 9 
 
Tarefa Básica 
 
01. Escreva explicitamente a matriz 
A = 
 
23xij
a
 definida pela lei 
aij =2i+3j. 
 
02. (UFRN) A matriz A = (aij)2x2, onde 
aij= i
2
 + 4j
2
, tem a seguinte 
representação: 
 
(A) 






208
175
(B) 






208
165
 
(C) 






209
175
(D) 






128
175
 
(E) 






129
175
 
 
03. Determine x, y, e z de modo que 
se tenha: 
 
















zy
x
zy
x
22
1
11
21
 
 
04. Determine x, y e z de modo que se 
tenha: 
 












 
112
3
3
3
zx
y
xx
x
 
 
05. (UN1MEP) É dado um quadrado 
de lado medindo 1 unidade, numerado 
conforme a figura: 
 
A matriz 4x4 tal que aij é a distância 
entre os vértices de número i e j é 
(A) 














0120
0102
2010
0201
 
(B) 














0121
1012
2101
1210
 
(C) 














0212
2021
1201
2120
 
(D) 














2012
1210
2121
1212
 
(E) Nenhuma das alternativas 
anteriores. 
06. (UFPA) Sendo A=










3
2
1
 e 
B=











1
2
0 calcule o valor de 2A-B 
(A) 










2
0
2 (B) 










3
2
2 (C) 










4
2
2 
 (D) 









5
6
2 (E) 










5
2
2 
 
07. (UFRJ) Dadas as matrizes 
A= 










65
43
21 e B= 






102
231
 
Então A-B
t
 é 
(A)





 
41
10
(B)










53
40
02
(C)






540
302
 
(D) 






 41
12
 (E) 










53
40
00 
 
08. (UEL) Uma matriz quadrada A 
diz-se simétrica se A = A
t
. Assim, se a 
matriz 
A=












234
0
212
zx
y 
É simétrica, então x+y+z é igual a 
(A) -2 (B) -1 (C) 1 (D) 3 (E) 5 
 
09. (UEB00) Sejam as matrizes 
A=(aij)3x2 e B = (bij)3x2, definidas por 
aij = i + j, se i  j e aij=l, se i=j e 
bij=0, se i j e bij=2i-j, se i=j. Então 
A+B é igual a 
(A)










04
22
31
(B)










22
32
54
(C)










54
33
32
 
(D) 










11
61
12 (E) 










54
33
41 
 
10. (UFBA) 
M= 






y
x
10
8
, N= 






 412
6
x
y
 e 
P=






1323
167
são matrizes que 
satisfazem a igualdade 
PNM 
3
2
2
3
; logo, y-x é 
(A) 6 (B) 4 (C) 2 (D)-3 (E) 
10
7
 
Respostas da Tarefa Básica 
01.A= 










129
107
85 02.(A) 03 x= -1 y= -1 
z= -1/3 04.x= 1 y= -1 z= 2 
05.(B) 06.(D) 07.(B) 
08.(A) 09.(C) 10.(B) 
Frente 2 – Aula 20 
 
MULTIPLICAÇÃO DE 
MATRIZES 
 
Determinação do produto 
 
Vamos multiplicar duas matrizes A e 
B, supondo que: 
 19 
A= 






403
152
 B= 












56
91
08
 
 
Vamos obter a matriz C tal que A.B = 
C. 
Por definição, o elemento c11 da 
matriz produto é obtido multiplicando 
ordenadamente os elementos da linha 
1 da primeira matriz pelos elementos 
da coluna 1 da segunda matriz e 
somando os resultados. 
 
 
 
Observe detalhadamente o cálculo de 
c11: 
 
 
 
Analogamente, o elemento c12, da 
matriz produto é obtido multiplicando 
ordenadamente os elementos da linha 
1 da primeira matriz pelos elementos 
da coluna 2 da segunda matriz e 
somando os resultados. 
 
E assim repetimos com a outra linha 
de A e todas as colunas de B, obtendo: 
 
 
 
Portanto: 
A.B= C = 






 200
405 
De um modo geral o elemento cij da 
matriz produto é obtido multiplicando 
ordenadamente os elementos da linha i 
da primeira matriz pelos elementos da 
coluna j da segunda matriz e somando 
os resultados. 
Para multiplicar uma matriz A por 
uma matriz B, elas devem ser dos 
seguintes tipos: 
 
 
Observe que o número de colunas da 
matriz A deve ser igual ao número de 
linhas da matriz B. 
A matriz resultado C terá o número de 
linhas da matriz A e o número de 
colunas da matriz B: 
 
A m x p . B p x n = C m x n 
 
Podemos apresentar a definição geral 
de produto matricial usando o símbolo 
de somatório. 
Dadas as matrizes A = (aij)mxn e 
B = (bij)nxp, o produto A . B é uma 
matriz C = (cij)mxp onde: 
 
 
 
O produto matricial pode ser 
considerado uma operação que é 
definida matematicamente da forma 
apresentada. Entretanto, esta definição 
foi criada porque é útil em vários 
problemas matemáticos, como na 
resolução de sistemas de equações, e 
corresponde a operações que usamos 
na nossa vida cotidiana. 
Como exemplo, imagine uma fábrica 
de sorvetes que produz três tipos de 
sorvetes: de morango, de chocolate e 
de creme. Para um pacote de cada tipo 
de sorvete são usadas as seguintes 
quantidades de essência de sabor, 
açúcar e leite: 
 Essênci
a 
Açúca
r 
Leit
e 
Morango 4 1 2 
Chocolat
e 
1 2 3 
Creme 0 1 5 
 
Vamos supor que o custo desses 
ingredientes varia mensalmente de 
acordo com a tabela: 
 Janeir
o 
Fevereir
o 
Març
o 
Essênci
a 
5 6 7 
Açúcar 2 2 3 
Leite 3 3 4 
 
Se quisermos calcular o custo do 
material de cada pacote de sorvete de 
morango no mês de janeiro, devemos 
efetuar as seguintes operações: 
 
 
 
Analogamente, podemos calcular o 
custo do material de cada pacote de 
chocolate em janeiro: 
 
E para o sorvete de creme: 
 
Repetindo os cálculos para o mês de 
fevereiro: 
 
E para o mês de março: 
 
Com todos esses cálculos, podemos 
montar uma tabela que mostra o custo 
do material usado em cada pacote de 
cada tipo de sorvete nesses meses: 
 
 Janeiro Fevereir
o 
Març
o 
Morango 28 32 39 
Chocolat
e 
18 19 25 
Creme 17 17 23 
 
Esta última tabela representa uma 
matriz que é igual ao produto das duas 
matrizes correspondentes às duas 
tabelas iniciais 
 
Exercícios de Aula 
 
01. Obtenha os produtos AB e BA, 
caso existam, sendo: 
 
A= 





 
34
17 e B= 








232
115 
 
 
 
 
 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (UFSCAR) Seja a matriz 
M = (mij)2x3, tal que mij =j
2
 - 
 
i
2
. 
a) Escreva M na forma matricial. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Sendo M
t
 a matriz transposta de M, 
calcule o produto M. M
t
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. (UEL) Considere as matrizes 
A=(aij)3x2, onde aij=(-1)
i+j
, e B=(bij)2x3, 
onde b=(-i)
j
. 
Na matriz AB, o elemento na posição 
“3.ª linha e 3 coluna” é igual a 
(A) 0 
(B) 1 
(C) -1 
(D) 7 
(E) -7 
 
 
 
 
 
Tarefa Básica 
 
01. Obtenha os produtos AB e BA, 
caso existam, dadas as matrizes: 
A= 





 
20
13 e B= 








431
021 
 
02. Obtenha os produtos AB e BA, 
caso existam, dadas as matrizes: 
A= 





 
347
125 e B= 













04
31
23
 
 
03.(UEL) Dada a matriz 
A= 






21
01
seja A
t
 a sua matriz 
transposta. O produto A.A
t
 é a matriz 
(A) 






40
01
 
(B) 








51
11
 
(C) 






42
22
 
(D) 






14
10
 
(E) 








42
20 
 
04. (FUVEST-FGV) Dadas as 
matrizes 
A= 






643
521 e B= 










3
2
1
 
o elemento c21 da matriz C = A.B é 
(A)29 
(B)36 
(C) Não existe, por só ser definido o 
produto BA. 
(D)20 
(E)49 
 
05. (UNIRIO) Um proprietário de dois 
restaurantes deseja contabilizar o 
consumo dos seguintes produtos: 
arroz, carne, cerveja e feijão. No 1.° 
restaurante são consumidos, por 
semana, 25 kg de arroz, 50 kg de 
carne, 200 garrafas de cerveja e 20kg 
de feijão. No 2.° restaurante são 
consumidos, semanalmente, 28kg de 
arroz, 60kg de carne, 150 garrafas de 
cerveja e 22kg de feijão. 
Existem dois fornecedores, cujo preço, 
em reais, destes itens são: 
 
Produto Fornecedor 1 Fornecedor 2 
1Kg de 
arroz 
1,00 1,00 
1Kg de 
carne 
8,00 10,00 
1 garrafa 
decerveja 
0,90 0,80 
1Kg de 
feijão 
1,50 1,00 
 
A partir destas informações, obtenha 
a) uma matriz 2x4 que descreva o 
consumo desses produtos pelo 
proprietário no l.° e no 2.° 
restaurantes, e uma matriz 4x2 que 
descreva os preços dos produtos nos 
dois fornecedores. 
b) o produto das duas matrizes acima, 
de modo que este represente o gasto 
semanal de cada restaurante com cada 
fornecedor e determine o lucro 
semanal que o proprietário terá 
comprando sempre no fornecedor 
mais barato, para os dois restaurantes. 
 
Respostas da Tarefa básica 
 
01. AB=








862
494 ;não existe 
BA. 
02. AB= 








2613
1621
 e 
BA= 













4820
101016
921
 
03. (B) 
04. (A) 
05. a) 






221506028
202005025 












00,150,1
80,090,0
00,1000,8
00,100,1
 
b)






221506028
202005025 . 












15,1
8,09,0
108
11
= 
=






770676
705635 
R$164,00