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17 Frente 2 – Aula 19 MATRIZES Definições Uma matriz de ordem m x n (m por n) é uma tabela de números formando linhas (horizontais) e colunas (verticais). Em uma matriz, essa tabela de números é escrita entre parênteses ou entre colchetes. Veja, por exemplo, uma matriz de ordem 2 x 3: Uma matriz costuma ser representada por letras latinas maiúsculas (A, B,..., M, N, ...). Os elementos de uma matriz costumam ser representados por letras latinas minúsculas (a, b,..., m, n,...). De um modo geral, podemos representar uma matriz da seguinte forma: Nessa representação, observe que cada elemento possui dois índices: o primeiro indica a linha e o segundo a coluna a que pertence o elemento. Duas matrizes A (aij)mxn e B = (bij)mxn são iguais se, e somente se, aij=bij para quaisquer valores de i=l,2,.. m e de j= l,2,...,n. Observe que, para duas matrizes serem iguais entre si, é preciso que elas sejam da mesma ordem. Tipos particulares De um modo geral, uma matriz é retangular. Entretanto, se o número de linhas for igual ao número de colunas, temos uma matriz quadrada. Veja, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 2 (2 x 2): 01 34 Em uma matriz quadrada A = (aij)n, os elementos para os quais i = j formam a diagonal principal. Em uma matriz quadrada A = (aij)n, os elementos para os quais i +j = n formam a diagonal secundária. Matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos. Por exemplo: 200 070 008 Matriz triangular é uma matriz quadrada em que todos os elementos situados acima (ou abaixo) da diagonal principal são nulos. Exemplo: 135 021 004 Matriz identidade é uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 (um). Exemplo: 100 010 001 Matriz nula é uma matriz (quadrada ou não) em que todos os elementos são nulos. Exemplo: 000 000 Uma matriz nula de ordem m x n é representada como Omxn. Matriz linha é uma matriz com uma única linha. Por exemplo: 4710 Matriz coluna é uma matriz com uma única coluna. 3 2 1 OPERAÇÕES BÁSICAS Adição Para efetuar a adição de matrizes somamos cada elemento de uma matriz com o correspondente elemento da outra matriz. Assim, dadas duas matrizes de mesma ordem Amxn e Bmxn,de elementos aij e bij, chamamos soma dessas matrizes a uma outra matriz Cmxn, cujos elementos são dados por: cij=aij+bij A adição de matrizes só é definida para matrizes de mesma ordem. Para a adição de matrizes valem as propriedades comutativa e associativa. Assim, quaisquer que sejam as matrizes A e B do tipo m x n, temos: A+B=B+A A + (B + C) = (A + B) + C Subtração Efetuamos de forma semelhante a subtração de matrizes. Para subtrair duas matrizes, subtraímos os seus elementos correspondentes. Assim, dadas duas matrizes de mesma ordem Amxn e Bmxn, de elementos aij e bij, chamamos subtração ou diferença dessas matrizes a uma outra matriz Cmxn, cujos elementos são dados por: Cij=aij.-bij Da mesma forma que a adição de matrizes, a subtração de matrizes só é definida para matrizes de mesma ordem. Multiplicação por um número real Podemos efetuar a multiplicação de um número por uma matriz. Neste caso, obtemos uma nova matriz cujos elementos são iguais aos elementos da matriz inicial cada um deles multiplicados por . Assim, dado um número real e uma matriz Amxn de elementos aij, definimos o produto de por A como outra matriz Bmxn cujos elementos bij são dados por: Bij = . aij Em particular, se = - 1, a matriz B é chamada de matriz oposta de A, representado como - A: Transposição Existe também uma outra operação simples que é a transposição de matrizes, através da qual obtemos a transposta de uma matriz. Dada uma matriz A, a transposta de A é a matriz A t que é obtida transformando as linhas de A em colunas de A t . Por exemplo: A= 250 321 A t = 23 52 01 Podemos verificar que valem as seguintes propriedades para qualquer número real e para matrizes de mesma ordem A e B: (A t ) t =A (A + B) t = A t + B t ( . A) t = . A t Exercícios de Aula 01. (PUCSP) A é uma matriz 3 x 2 definida pela lei 18 (A) 911 941 (B) 99 14 11 (C) 99 41 11 (D) 911 941 (E) 66 14 11 02. Determine x e y de modo que se tenha: 22 51 21 53 y x y x 03. (UEL) Sejam as matrizes: A= 20 01 e B= 01 12 A matriz 2A-3B é (A) 43 34 (B) 43 34 (C) 34 43 (D) 34 43 (E) 43 43 04. (UEL-01) Sabendo-se que a matriz 0211 349 5 2 xy yx é igual à sua transposta, o valor de x + 2y é (A) -9 (B) – 5 (C) 5 (D) 13 (E) 9 Tarefa Básica 01. Escreva explicitamente a matriz A = 23xij a definida pela lei aij =2i+3j. 02. (UFRN) A matriz A = (aij)2x2, onde aij= i 2 + 4j 2 , tem a seguinte representação: (A) 208 175 (B) 208 165 (C) 209 175 (D) 128 175 (E) 129 175 03. Determine x, y, e z de modo que se tenha: zy x zy x 22 1 11 21 04. Determine x, y e z de modo que se tenha: 112 3 3 3 zx y xx x 05. (UN1MEP) É dado um quadrado de lado medindo 1 unidade, numerado conforme a figura: A matriz 4x4 tal que aij é a distância entre os vértices de número i e j é (A) 0120 0102 2010 0201 (B) 0121 1012 2101 1210 (C) 0212 2021 1201 2120 (D) 2012 1210 2121 1212 (E) Nenhuma das alternativas anteriores. 06. (UFPA) Sendo A= 3 2 1 e B= 1 2 0 calcule o valor de 2A-B (A) 2 0 2 (B) 3 2 2 (C) 4 2 2 (D) 5 6 2 (E) 5 2 2 07. (UFRJ) Dadas as matrizes A= 65 43 21 e B= 102 231 Então A-B t é (A) 41 10 (B) 53 40 02 (C) 540 302 (D) 41 12 (E) 53 40 00 08. (UEL) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = A t . Assim, se a matriz A= 234 0 212 zx y É simétrica, então x+y+z é igual a (A) -2 (B) -1 (C) 1 (D) 3 (E) 5 09. (UEB00) Sejam as matrizes A=(aij)3x2 e B = (bij)3x2, definidas por aij = i + j, se i j e aij=l, se i=j e bij=0, se i j e bij=2i-j, se i=j. Então A+B é igual a (A) 04 22 31 (B) 22 32 54 (C) 54 33 32 (D) 11 61 12 (E) 54 33 41 10. (UFBA) M= y x 10 8 , N= 412 6 x y e P= 1323 167 são matrizes que satisfazem a igualdade PNM 3 2 2 3 ; logo, y-x é (A) 6 (B) 4 (C) 2 (D)-3 (E) 10 7 Respostas da Tarefa Básica 01.A= 129 107 85 02.(A) 03 x= -1 y= -1 z= -1/3 04.x= 1 y= -1 z= 2 05.(B) 06.(D) 07.(B) 08.(A) 09.(C) 10.(B) Frente 2 – Aula 20 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Determinação do produto Vamos multiplicar duas matrizes A e B, supondo que: 19 A= 403 152 B= 56 91 08 Vamos obter a matriz C tal que A.B = C. Por definição, o elemento c11 da matriz produto é obtido multiplicando ordenadamente os elementos da linha 1 da primeira matriz pelos elementos da coluna 1 da segunda matriz e somando os resultados. Observe detalhadamente o cálculo de c11: Analogamente, o elemento c12, da matriz produto é obtido multiplicando ordenadamente os elementos da linha 1 da primeira matriz pelos elementos da coluna 2 da segunda matriz e somando os resultados. E assim repetimos com a outra linha de A e todas as colunas de B, obtendo: Portanto: A.B= C = 200 405 De um modo geral o elemento cij da matriz produto é obtido multiplicando ordenadamente os elementos da linha i da primeira matriz pelos elementos da coluna j da segunda matriz e somando os resultados. Para multiplicar uma matriz A por uma matriz B, elas devem ser dos seguintes tipos: Observe que o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. A matriz resultado C terá o número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B: A m x p . B p x n = C m x n Podemos apresentar a definição geral de produto matricial usando o símbolo de somatório. Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp, o produto A . B é uma matriz C = (cij)mxp onde: O produto matricial pode ser considerado uma operação que é definida matematicamente da forma apresentada. Entretanto, esta definição foi criada porque é útil em vários problemas matemáticos, como na resolução de sistemas de equações, e corresponde a operações que usamos na nossa vida cotidiana. Como exemplo, imagine uma fábrica de sorvetes que produz três tipos de sorvetes: de morango, de chocolate e de creme. Para um pacote de cada tipo de sorvete são usadas as seguintes quantidades de essência de sabor, açúcar e leite: Essênci a Açúca r Leit e Morango 4 1 2 Chocolat e 1 2 3 Creme 0 1 5 Vamos supor que o custo desses ingredientes varia mensalmente de acordo com a tabela: Janeir o Fevereir o Març o Essênci a 5 6 7 Açúcar 2 2 3 Leite 3 3 4 Se quisermos calcular o custo do material de cada pacote de sorvete de morango no mês de janeiro, devemos efetuar as seguintes operações: Analogamente, podemos calcular o custo do material de cada pacote de chocolate em janeiro: E para o sorvete de creme: Repetindo os cálculos para o mês de fevereiro: E para o mês de março: Com todos esses cálculos, podemos montar uma tabela que mostra o custo do material usado em cada pacote de cada tipo de sorvete nesses meses: Janeiro Fevereir o Març o Morango 28 32 39 Chocolat e 18 19 25 Creme 17 17 23 Esta última tabela representa uma matriz que é igual ao produto das duas matrizes correspondentes às duas tabelas iniciais Exercícios de Aula 01. Obtenha os produtos AB e BA, caso existam, sendo: A= 34 17 e B= 232 115 20 02. (UFSCAR) Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij =j 2 - i 2 . a) Escreva M na forma matricial. b) Sendo M t a matriz transposta de M, calcule o produto M. M t . 03. (UEL) Considere as matrizes A=(aij)3x2, onde aij=(-1) i+j , e B=(bij)2x3, onde b=(-i) j . Na matriz AB, o elemento na posição “3.ª linha e 3 coluna” é igual a (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 7 (E) -7 Tarefa Básica 01. Obtenha os produtos AB e BA, caso existam, dadas as matrizes: A= 20 13 e B= 431 021 02. Obtenha os produtos AB e BA, caso existam, dadas as matrizes: A= 347 125 e B= 04 31 23 03.(UEL) Dada a matriz A= 21 01 seja A t a sua matriz transposta. O produto A.A t é a matriz (A) 40 01 (B) 51 11 (C) 42 22 (D) 14 10 (E) 42 20 04. (FUVEST-FGV) Dadas as matrizes A= 643 521 e B= 3 2 1 o elemento c21 da matriz C = A.B é (A)29 (B)36 (C) Não existe, por só ser definido o produto BA. (D)20 (E)49 05. (UNIRIO) Um proprietário de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: arroz, carne, cerveja e feijão. No 1.° restaurante são consumidos, por semana, 25 kg de arroz, 50 kg de carne, 200 garrafas de cerveja e 20kg de feijão. No 2.° restaurante são consumidos, semanalmente, 28kg de arroz, 60kg de carne, 150 garrafas de cerveja e 22kg de feijão. Existem dois fornecedores, cujo preço, em reais, destes itens são: Produto Fornecedor 1 Fornecedor 2 1Kg de arroz 1,00 1,00 1Kg de carne 8,00 10,00 1 garrafa decerveja 0,90 0,80 1Kg de feijão 1,50 1,00 A partir destas informações, obtenha a) uma matriz 2x4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no l.° e no 2.° restaurantes, e uma matriz 4x2 que descreva os preços dos produtos nos dois fornecedores. b) o produto das duas matrizes acima, de modo que este represente o gasto semanal de cada restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes. Respostas da Tarefa básica 01. AB= 862 494 ;não existe BA. 02. AB= 2613 1621 e BA= 4820 101016 921 03. (B) 04. (A) 05. a) 221506028 202005025 00,150,1 80,090,0 00,1000,8 00,100,1 b) 221506028 202005025 . 15,1 8,09,0 108 11 = = 770676 705635 R$164,00
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